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2008.11.12 (Wed)

バビロニア

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

交流掲示板<http://penpenpensama.hp.infoseek.co.jp/Go.html>

問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
等比数列、等差数列は、メソポタミア文明のバビロニア人によって発見されたと言われています。
また、彼らは古代エジプト人と同様、10進法も用いておりましたが、そのほかに60進法も使っていたようです。
一年が365日、一周360度などというのも、ここからきているようです。
また、円周をその円の半径で区切っていくと、6回で一周することも確かめています。正六角形の作図です。

数列における、

<<等差数列>>
公差 d , 第 k 項が ak である等差数列の、第 m 項から第 n 項までの和は、

(n-m+1)(am + an) / 2

特に、初項から第 n 項 までの和は、

n(a1 + an) / 2 = n{2a1 + d(n-1)} / 2


<<等比数列>>
公比 r , 第 k 項が ak である等比数列の、第 m 項から第 n 項までの和は、

am(rn-m+1 - 1) / (r - 1)

特に、初項から第 n 項 までの和は、

a1(rn - 1) / (r - 1)



というようなことも、この時代に発見されたと言われています。

順番が前後しますが、何故60進法が、これほど重宝されたか。今の、「時間」や「角度」というものは、60に関係するものばかりです。
理由は、60には多くの約数が存在する、というものが考えられるでしょう。

A = {x | x は60の約数}
だとすると、
A = {±1,±2,±3,±4,±5,±6,±10,±12,±15,±20,±30,±60}
です。ちなみに、
B = {x | x は正の数}
とすると、
AB = {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}
ですね。

まあ、そんな感じです。

今回はこれくらいで。

それでは。

↓↓バビロニア↓↓

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21:29  |  数学史-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.07.17 (Thu)

チェバ・メネラウスの定理の歴史

チェバの定理・メネラウスの定理が双子の定理だ、というような記述をよく見ることがあると思います。

確かに、中身はよく似ています。

チェバとメネラウスは、それぞれ別の人物です。そのくらい、誰だってわかりますよね。

そして、それぞれ、チェバは16cの人であるのに対し、メネラウスは1cくらいの人であるのです。

チェバの定理は、1670年のことです。
日本では江戸時代真っ只中です。

それに対し、メネラウスの定理は1世紀。

ヘロンもこのころの人物です。
キリスト教が起こってまだ間もないころですね。

なんと、二つの定理は、1400~1500年ほども離れているのです。

それも、メネラウスの定理の方が先に発見されているのです。

数学の参考書等では、ほとんどがチェバの定理を先に紹介し、そのあとにメネラウスの定理が紹介されています。
また、こんかいの記事の題名もそうですが、「チェバの定理・メネラウスの定理」のような順番で並べて書くことがほとんどですね。

しかし、実際には、逆である、というのです。

なんと、チェバの定理を使って解く問題というのは、すべてメネラウスの定理のみで解くことができます。

メネラウスの定理を二回ほど使えばいいのです。


このことを考えても、チェバの定理よりも、メネラウスの定理の方が基本的なものなのだ、と言わざるを得ません。

ここで、チェバの定理の逆の話ですが、多くの参考書は誤ったものを載せています

よくあるチェバの定理の逆は、これです。

(誤)
「3点D,E,F をそれぞれ△ABC の3 辺BC,CA,AB の内分点または外分点とする。
D,E,Fのすべてが辺BC,CA,AB上にあるか、D,E,Fのうち1点が辺上にあり、あとの2点が辺の延長上にあり、
BD/DC ・ CE/EA ・ AF/FB = 1
が成り立つならば,3 直線AD,BE,CF は一点で交わる。」


何が間違いだか分かりますか?
あなたの習ったことも、これかもしれませんね。(おそらくそうです)

実は、一点で交わらないことがあるのです。

この式を満たしておきながら、3直線が平行であることがあるのです。

反例は、自分で作り上げてください。その気があれば、反例の図でも載せようと思いますが。

それでは、正しい「チェバの定理の逆」は?

簡単です。
こういえばいいのです。

(正1)
「3点D,E,F をそれぞれ△ABC の3 辺BC,CA,AB の内分点または外分点とする。
D,E,Fのすべてが辺BC,CA,AB上にあるか、D,E,Fのうち1点が辺上にあり、あとの2点が辺の延長上にあるとき、
BD/DC ・ CE/EA ・ AF/FB = 1
が成り立つならば,3 直線AD,BE,CF は一点で交わるか、平行である。」


もしくは、
(正2)
「3点D,E,F をそれぞれ△ABC の3 辺BC,CA,AB の内分点または外分点とする。
D,E,Fのすべてが辺BC,CA,AB上にあるか、D,E,Fのうち1点が辺上にあり、あとの2点が辺の延長上にあるとき、BEとCFが一点で交わり、
BD/DC ・ CE/EA ・ AF/FB = 1
が成り立つならば,3 直線AD,BE,CF は一点で交わる。」


こういうことなのです。

さあ、自分の見ている参考書を見てみてください。

間違っていませんか?

この、正しい知識をちゃんと身につけましょう。

それでは。
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