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2009.07.29 (Wed)

7/28解答

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

交流掲示板<http://penpenpensama.hp.infoseek.co.jp/Go.html>

昨日の問題です。
「自然数 n をそれより小さい自然数の和として表すことを考える。ただし、 1 + 2 + 1 と 1 + 1 + 2 のように和の順序が異なるものは別の表し方とする。
 例えば、自然数 2 は 1 + 1 の 1 通りの表し方ができ、自然数 3 は 2 + 1 、 1 + 2 、 1 + 1 + 1 の 3 通りの表し方ができる。
(1) 自然数 4 の表し方は何通りあるか。
(2) 自然数 5 の表し方は何通りあるか。
(3)  2 以上の自然数 n の表し方は何通りあるか。」
[2002 大阪教育大]


(1)(2)は実験ですので、ここでは(3)だけを解きます。

(解答)
(3)
2以上の自然数nは、下のようにn個の1の和で表せる。

n = 1 + 1 + 1 + ・・・ + 1

つまり、n個の「1」と、(n-1)個の「+」で表される。

このうち、それぞれの + をそのまま残しておくか、先に計算してしまうか
(つまり、1+1をそのままにしておくか、2とするか。
3 = 1 + 1 + 1
なら、
最初の1+1 を先に計算してしまって、
3 = 2 + 1
最後の1+1 を先に計算してしまって、
3 = 1 + 2
どの + もそのまま残しておいて、
3 = 1 + 1 + 1
全て先に計算してしまって、
3 = 3(除外))

を選べばよいので、

2n-1 (通り)

あるが、すべてを先に計算してしまってはいけない
(つまり、n = n となる状況になってはいけない)
ので、ここから1を引いた、

2n-1 - 1 (通り)

が答えである。
それでは。


↓↓ポチッ↓↓
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20:39  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.07.28 (Tue)

7/28問題

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

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今日は、問題です。
「自然数 n をそれより小さい自然数の和として表すことを考える。ただし、 1 + 2 + 1 と 1 + 1 + 2 のように和の順序が異なるものは別の表し方とする。
 例えば、自然数 2 は 1 + 1 の 1 通りの表し方ができ、自然数 3 は 2 + 1 、 1 + 2 、 1 + 1 + 1 の 3 通りの表し方ができる。
(1) 自然数 4 の表し方は何通りあるか。
(2) 自然数 5 の表し方は何通りあるか。
(3)  2 以上の自然数 n の表し方は何通りあるか。」
[2002 大阪教育大]


では。

↓↓ポチッ↓↓
20:35  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.07.15 (Wed)

「7/13問題」におけるコメントへの返信

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

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馬さんが書き込みをしてくださったので、それに対する返事をしたいと思います。

問題は、こちらです。
「座標空間に4点A(2,1,0),B(1,0,1),C(0,1,2),D(1,3,7)がある。3点A,B,Cを通る平面に関して点Dと対称な点をEとするとき、点Eの座標を求めよ。」
[2006 京都大・文]


馬さんのように、この問題は平面座標の応用問題としても十分解けるのです。

平面ABCの方程式はそれほど問題ではないので、これを出したところから続けましょう。

平面ABC : x + z - 2 = 0

都合の良いことに、yの項がありません。
 すなわち、平面ABCはy軸と平行であるので、点Dを平面ABCに関して対象移動しても、y座標は変わりません。

よって、考えやすいように、点Dを zx平面上(平面y=0上)に正射影し、この点をD'とします。

ここから先、すべて zx平面上で考えましょう。

点D'を直線 x + z - 2 = 0 に関して対称移動した点をE'とし、このE'の座標を求めます。

(座標は、(x,z)で表します)

x + z - 2 = 0
は、すなわち
z = -x + 2 ・・・(i)
であるので、これと垂直な直線D'E'の傾きは1である。
これが、D'(1,7)を通るので、
D'E' : z = x + 6 ・・・(ii)

直線(i)と(ii)の交点は(-2,4)であり、点E'はこの点に関して点D'(1,7)と対称な点なので、

E'(-5,1)


以上より、
E(-5,3,1)
ま、こういうことですね。

↓↓CU↓↓

22:24  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.07.13 (Mon)

7/13問題

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「座標空間に4点A(2,1,0),B(1,0,1),C(0,1,2),D(1,3,7)がある。3点A,B,Cを通る平面に関して点Dと対称な点をEとするとき、点Eの座標を求めよ。」
[2006 京都大・文]


それでは。

↓↓GO!↓↓

16:00  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(2)  |  EDIT  |  Top↑

2009.06.27 (Sat)

6/24解答

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お待たせしました、解答です。
「(1) 2つの有理数の和は、また有理数であることを示せ。
(2) 次の命題(P)とその証明を考える。

 (P) : q1,q2,q3,・・・ が有理数であるとき、その無限和 は有理数である。


 証明 :
 q1,q2が有理数だから、 q1+q2 は有理数である。
 そこで、n を 2 以上の自然数とし、Q = ∑[i=1,n]qi が有理数であると仮定する。
 このとき、∑[i=1,n+1]qi = Q + qn+1 であり、 Q もqn+1も仮定によって有理数だから、
 ∑[i=1,n+1]qiもまた有理数である。
 したがって数学的帰納法より、∑[i=1,∞]qi は有理数である。


実は命題(P)は間違っている。反例を示した上で、上の証明のどこが間違っているかを説明せよ。」
[2005 上智大・理・数]


(1)は、「有理数全体の集合は、和について閉じている」ということですね。

それでは解答です。

(解答)
(1)(証明)
a,b,c,dを整数とし、2つの有理数を
b/a,c/d
とおくと、
b/a + c/d = (bd+ac)/ad
となり、
bd+ac,ad
はいずれも整数であるから、
2つの有理数の和は有理数である。
(証明終)

(2)
(反例)
例えば、√2を一桁ごとの和、すなわち、
1 + 0.4 + 0.01 + 0.004 + ・・・
について、
これら一つ一つは有理数であるが、その和√2は無理数である。
(√2が無理数であることの証明省略)

(他にも、ζ(2) = π2/6 など)


数学的帰納法は、有限のN番目について成り立つと仮定したとき、N+1が成り立てばよいということであり、無限において成り立つものではない。



それでは。


↓↓ふう。↓↓

18:31  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.06.25 (Thu)

6/24ヒント

無限は有限と同じように考えていいのかな?
20:37  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.06.24 (Wed)

6/24問題

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「(1) 2つの有理数の和は、また有理数であることを示せ。
(2) 次の命題(P)とその証明を考える。

 (P) : q1,q2,q3,・・・ が有理数であるとき、その無限和 は有理数である。


 証明 :
 q1,q2が有理数だから、 q1+q2 は有理数である。
 そこで、n を 2 以上の自然数とし、Q = ∑[i=1,n]qi が有理数であると仮定する。
 このとき、∑[i=1,n+1]qi = Q + qn+1 であり、 Q もqn+1も仮定によって有理数だから、
 ∑[i=1,n+1]qiもまた有理数である。
 したがって数学的帰納法より、∑[i=1,∞]qi は有理数である。


実は命題(P)は間違っている。反例を示した上で、上の証明のどこが間違っているかを説明せよ。」
[2005 上智大・理・数]


では。

↓↓やってね↓↓

22:18  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.06.22 (Mon)

6/22問題

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「以下のそれぞれの命題が真であるか偽であるかを答え、真の場合は証明を、偽の場合は反例を与 えよ。
(1) x < y ならば x2 < y2 である。
(2) log2x = log3y ならば x ≦ yである。
(3) 微分可能な関数ƒ(x) がƒ’(a) = 0 を満たすならば、ƒ(x) は x = a において極値をとる。
(4) n が2以上の自然数ならば、 1 + 2 + … + n の約数の中に3以上の奇数がある。」
[2009 広島大 (1)(2)文系・(3)(4)文理共通]

では。


↓↓大丈夫。↓↓


21:40  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.06.12 (Fri)

6/8解答

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それでは永らくお待たせいたしました問題の解答です。
「 次の問に答えよ。答えだけではなく式・説明など解答の途中の経過を示すこと。
(1) 関数 y = ƒ ( x ) の値域の定義を述べよ。
(2) 関数 y = ƒ ( x ) があるとき、逆関数が存在する条件と逆関数の定義を述べよ。
(3) 対数関数を指数関数により定義せよ。
(4) 対数関数の底の変換公式を書きなさい。さらに、指数法則より底の変換公式を示しなさい。 」
[2009 順天堂大・医]



(解答)
(1) 変数 x が定義域内の値をうごくとき、その値 x = a に応じて定まる変数 y の値 ƒ ( a ) の取り得る値の範囲をいう。

(2) 「値域の任意の値 b に対して、 b = ƒ ( a ) となる定義域の値 a がただ1つ存在すること」ことが存在条件である。
 逆関数 とは、ƒ の値域を定義域とし、値域に対応するただ1つの定義域の値 a を対応させる関数をいう。

(3) 指数関数とは、y = ax ( x は実数全体、 a > 0 , a ≠ 1 )を満たす関数である。0 < a < 1 のとき単調減少、 a > 1 のとき単調増加の関数であるから、 xi ≠ xj であれば f ( xi ) ≠ f ( xj ) である。すなわち値域に対応する定義域の値はただ1つであるから、指数関数には逆関数が存在する。これを対数関数と定義して、 y = logax と表す。

(4) 底の変換公式とは、 a > 0 , a ≠ 1 , b > 0 , c > 0 , c ≠ 1 に対して、

logab = logcb / logca

というものである。

logab = x
logcb = y
logca = z

とおくと、対数関数は指数関数の逆関数であることから、

ax = b
cy = b
cz = a

が成り立つので、

b = ax = cy

また、cz = a であるから、

指数法則も考慮して、

b = cxz = cy

よって、対数関数の定義より、

y = xz = logcb

y = xz で、z ≠ 0 であるから、

x = y/z

ゆえに、

logab = logcb / logca

である。

以上より、底の変換公式は示された。



↓↓OK!↓↓

23:23  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.06.08 (Mon)

6/8問題

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それでは、今日の問題です。
「 次の問に答えよ。答えだけではなく式・説明など解答の途中の経過を示すこと。
(1) 関数 y = f ( x ) の値域の定義を述べよ。
(2) 関数 y = f ( x ) があるとき、逆関数が存在する条件と逆関数の定義を述べよ。
(3) 対数関数を指数関数により定義せよ。
(4) 対数関数の底の変換公式を書きなさい。さらに、指数法則より底の変換公式を示しなさい。 」
[2009 順天堂大・医]


では。

↓↓手抜き風↓↓
21:48  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.06.05 (Fri)

6/4解答

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では、パッパと解答しましょう。
「p を素数、 n を正の整数とするとき、 ( pn ) ! は p で何回割り切れるか。」
[2009 京都大・理甲、文]


今回、ガウス記号を使う必要はあるわけではないのですが、応用が効くように使っておきます。

(解答)
pは素数なので、p≧2である。
よって、求める値は、
(∑[k=1,n]を「∑」と表します)
∑[pn/pk]
=
1 + p + p2 + p3 + ・・・ + pn-1
=
(pn - 1)/(p - 1)

それでは。

↓↓Renaissancha!↓↓
22:07  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.06.03 (Wed)

6/2解答

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前回の問題です。
「2以上の整数m,nは m3 + 13 = n3 + 103 をみたす。 m,n を求めよ。」
[2009 一橋大]

因数分解して解くのが定石ですね。
それでは解答です。

(解答)
与式を変形すると、
m3 - n3 = 103 - 13 = 999 = 33×37
である。

よって、
m3 - n3 = (m - n)(m2 + mn + n2) = 33×37
である。

ここで、
m - n = p
m2 + mn + n2 = q
とおくと、

m = n + p
であるので、これより、

n2 + n(n + p) + (n + p)2 = q

ゆえに、

3n2 + 3pn + p2 - q = 0

ここで、n は自然数なので、これを n についての二次方程式と見ると、この方程式は実数解をもつ。
ゆえに、判別式を D とすると、

D = 9p2 - 12p2 + 12q = 12q - 3p2 ≧ 0

よって、

p2 ≦ 4q

これと、pq = 33×37

より、考えられる (p,q) の組は、

(p,q) = (1,999),(3,333),(9,111)

の3組
である。

(1) (p,q) = (1,999) のとき

m - n = 1
m2 + mn + n2 = 999
なので、

m = n + 1

よって、
(n + 1)3 - n3 = 999

この方程式を解くと、 n は自然数でないので不適。


(2) (p,q) = (3,333) のとき

m - n = 3
m2 + mn + n2 = 333
なので、

m = n + 3

よって、
(n + 3)3 - n3 = 333
∴(n - 9)(n + 12) = 0
n は2 以上の整数なので、 n = 9
このとき、 m = 12


(3) (p,q) = (9,111) のとき

m - n = 9
m2 + mn + n2 = 111

なので、

m = n + 9

よって、
(n + 9)3 - n3 = 111
∴(n - 1)(n + 10) = 0
n ≧ 2 をみたさないので不適。


以上(1)(2)(3)より、
(m,n) = (12,9)



では。


↓↓では↓↓
22:11  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.06.02 (Tue)

6/2問題

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「2以上の整数m,nは m3 + 13 = n3 + 103 をみたす。 m,n を求めよ。」
[2009 一橋大]


それでは。

↓↓では↓↓
21:49  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.05.14 (Thu)

「総合科目II 」

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こちらの問題(第一問 B)をご覧ください。

東大の後期です。

それでは。

↓↓手↓↓
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2009.05.06 (Wed)

5/5解答

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正面から普通に解きましょうか。
「a , b は実数で
   a2 + b2 = 16 , a3 + b3 = 44
をみたしている。このとき、
(1) a + b の値を求めよ。
(2) n を 2 以上の整数とするとき、an + bn は 4 で割り切れる整数であることを示せ。」
[1997 東京大・文]


(解答)
(1)
a + b = p
ab = q
とおく。
このとき、
p2 - 2q = 16 ・・・(i)
p3 - 3pq = 44 ・・・(ii)
である。

また、a,b は x についての二次方程式
x2 - px + q = 0
の2つの実数解である。
よって、判別式
D = p2 - 4q ≧ 0 ・・・(iii)
である。

(i) (ii) (iii) の3式を満たすp,q を求めればよい。

(i)より
q = p2/2 - 8 ・・・(iv)
なので、これを(ii)に代入して、
p3 - 48p + 88 = 0
よって、
(p-2)(p2 + 2p - 44) = 0
ゆえに、
p = 2,-1±3√5

また、(iv) を (iii) に代入すると、
-p2 + 32 ≧ 0
ゆえに、
-4√2 ≦ p ≦ 4√2

以上より、p = 2

よって、
a + b = 2

(2)(証明)
p = 2 より、q = -6 である。

「n を 2 以上の整数とするとき、an + bn は 4 で割り切れる整数である」・・・※
ことを数学的帰納法で示す。

(I) n = 2,3 のとき
a2 + b2 = 16 , a3 + b3 = 44
より、※は成り立つ。

(II) n = k,k+1 のときの※の成立を仮定する。
すなわち、P,Qを整数として、
ak + bk = 4P
ak+1 + bk+1 = 4Q
とおけるとする。

このとき、
ak+2 + bk+2
= (ak+1 + bk+1)(a + b) - ab(ak + bk)
= 4Pp - 4Qq
= 4(2P + 6Q)

よって、ak+2 + bk+2 も4の倍数。

以上(I)(II)より、
※の成立は示された。



どうでしたか?
それでは。



↓↓それでは↓↓

21:24  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.05.05 (Tue)

5/5問題

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「a , b は実数で
   a2 + b2 = 16 , a3 + b3 = 44
をみたしている。このとき、
(1) a + b の値を求めよ。
(2) n を 2 以上の整数とするとき、an + bn は 4 で割り切れる整数であることを示せ。」
[1997 東京大・文]


↓↓それでは↓↓

22:36  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2009.03.24 (Tue)

3/23解答

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それでは京都大学の問題の解答です。
「(x100 + 1)100 + (x2 + 1)100+ 1 は、x2 + x + 1 で割り切れるか?」


(解答)
x3= 1の解のうち、1でない解の1つをωとおく。

このとき、
ω2+ ω + 1 = 0
ω3= 1

が成り立つ。
ƒ(x) = (x100 + 1)100 + (x2 + 1)100+ 1

として、

ƒ(ω) = (ω100 + 1)100 + (ω2 + 1)100+ 1

= (ω + 1)100 + (ω2 + 1)100 + 1

= (-ω2)100 + (-ω)100 + 1

= ω2 + ω + 1

= 0

また、

ƒ(ω2) = (ω200 + 1)100 + (ω4 + 1)100+ 1

= (ω2 + 1)100 + (ω + 1)100 + 1

= (-ω)100 + (-ω2)100 + 1

= ω + ω2 + 1

= 0

つまり、
ƒ(ω) = ƒ(ω2) = 0

であるので、

ƒ(x) は (x - ω)(x - ω2) = x2 + x + 1 で割り切れる。


まあ、できるようになりましょう。
↓↓YES!↓↓


21:30  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.03.23 (Mon)

3/23問題

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京都大学の問題です。
「(x100 + 1)100 + (x2 + 1)100+ 1 は、x2 + x + 1 で割り切れるか?」

それでは。

↓↓解けます↓↓


17:23  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.02.14 (Sat)

2/13解答

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前回の問題です。

「座標平面上の3点 A(1,0),B(-1,0),C (0,-1) に対し、
   ∠APC = ∠BPC
をみたす点Pの軌跡を求めよ。ただしP≠A,B,C とする。」
[2008 東京大・文]


それでは、解答です。

(解答)
確実な解答は、こちらを見てもらえれば、分かると思いますが、幾何学的に、簡単に説明します。

まず、確認しておきますが、
△ABCは、CA=CBの二等辺三角形です。

∠APC = ∠BPC

となるとき、まず、対称性からも十分分かると思いますが、線分ABの垂直二等分線上に点Pがあるとき、このPは条件を満たします。ただし、P≠Cでないといけません。

また、点Pが線分ABを除く直線AB上にあるときも、∠APCと∠BPCは一致するので、条件を満たします。


最後に、△ABCの外接円の一部である、Cを含まない側の弧AB上(点A,B除く)に点Pがあるときも、∠APCと∠BPCは、二本の弦CA=CBより、同じ長さの弦に立つ角で、尚且つ弦、中心、角の位置関係が同じであるので、条件を満たすことになります。


では。



↓↓ポチッ↓↓
21:51  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.02.13 (Fri)

2/13問題

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今回の問題は、昨年の、東京大学の入試問題ですので、御存知の方も多いとは思います。

「座標平面上の3点 A(1,0),B(-1,0),C (0,-1) に対し、
   ∠APC = ∠ BPC
をみたす点Pの軌跡を求めよ。ただしP≠A,B,C とする。」
[2008 東京大・文]


↓↓知っています!!↓↓
15:26  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.01.30 (Fri)

1/30問題

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今日も問題です。
京大です。

a3 - b3 = 217 を満たす整数の組 ( a , b ) を求めよ。


[2005 京都大・理]


整数問題ですね。

それでは。


↓↓頑張ってください。↓↓
18:23  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2009.01.29 (Thu)

1/28解答

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(1) 次の等式 (A) を、数学的帰納法によって証明しなさい。

1 + 2 + 3 + ・・・ + n = n(n+1)/2  ・・・(A)
   
(2) 連続した自然数の組 ( 500 , 501 , 502 , 503 ) は、そこに並んだすべての数の総和が 2006 になるものである。
   500 + 501 + 502 + 503 = 2006
 このように 2 個以上の連続した自然数の組で、そこに並んだすべての数の総和が 2006 になるものをすべて求めなさい。
 ただし、必要ならば、次のように素因数分解できることを利用してよい。
   2006 = 2 × 17 × 59


[2006 慶應大・看護医療]


影さんが解答をくださいました。
ありがとうございます。

それでは、一通り解答を書きましょう。


(1)(証明)
数学的帰納法で証明する。
(I) n = 1 のとき
このとき、
1(1+1)/2 = 1
より、(A)式は成立する。

(II) n = k (kは任意の自然数)のとき、(A)式が成立すると仮定する。

n = k + 1 のとき、

1 + 2 + 3 + ・・・ + k + (k + 1)

= k(k+1)/2 + (k + 1)

= k(k+1)+2k+2/2

= k2+3k+2/2

= (k+1)(k+2)/2

ゆえに、
1 + 2 + 3 + ・・・ + k + (k + 1) = (k+1)(k+2)/2
となるので、
n = k + 1 のときも(A)式は成立する。

以上(I)(II)より、
等式(A)の成立は示された。

(Q.E.D.)

(2)(解答)
自然数 a から b までの和が 2006 になるとする。
ただし、a > b である。

(a+b)(b-a+1)/2 = 2006

であるので、

(a+b)(b-a+1) = 4012 = 22 ・ 17 ・ 59

ここで、
a + b > b - a + 1 ≠ 1
で、a + b と b - a + 1 の偶奇は一致しないので、
a + b と b - a + 1 組み合わせは次のものが考えられる。

(a + b , b - a + 1)
= (1003,4),(236,17),(68,59)

(a + b , b - a + 1) = (1003,4)のとき、
(a,b) = (500,503)

(a + b , b - a + 1) = (236,17)のとき、
(a,b) = (110,126)

(a + b , b - a + 1) = (68,59)のとき、
(a,b) = (5,63)

ゆえに、求める自然数の組は、

(500,501,502,503)
(110,111,112,・・・,124,125,126)
(5,6,7,・・・,501,502,503)
の三組

である。

どうでしたか?
それでは。

↓↓できましたね。↓↓
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2009.01.27 (Tue)

1/26解答

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それでは、解答です。
「正の整数の下2桁とは、100の位以上を無視した数を言う。たとえば2000、12345の下2桁はそれぞれ0、45である。 m が正の整数全体を動くとき、 5m4 の下2桁として現れる数をすべて求めよ」
[2007 東京大・文]

それでは。

(解答)
5(x + 10)4

= 5(x4 + 4・10x3 + 6・100x2 + 4・1000x + 10000)

= 5x4 + 200x3 + 3000x2 + 20000x + 10000

よって、
5x4 の下2桁と、5(x + 10)4 の下2桁は変わらない。

(以下、x = 1~10 のときを調べてもよいのですが、もう少し候補を絞ってみましょう)

ここで、n,kを整数として、

5(10n ± k)4

= 100N + k4

(Nは整数)

ということですので、10を基準にして、そこから1引いた数を m に代入しても、逆に1足した数を m に代入しても、どちらも下2桁はそれぞれ等しくなります。

よって、調べるべきなのは、

m = 1,2,3,4,5,10

のときのみです。

それぞれ、

m=1 5m4 = 5
m=2 5m4 = 40
m=3 5m4 = 405
m=4 5m4 =1280
m=5 5m4 = 3125
m=10 5m4 = 50000

ですので、答えは、

0,5,25,80

です。





どうでしたか?

それでは。


↓↓バイバイ↓↓
21:19  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.01.26 (Mon)

1/26問題

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今回も、問題です。
「正の整数の下2桁とは、100の位以上を無視した数を言う。たとえば2000、12345の下2桁はそれぞれ0、45である。 m が正の整数全体を動くとき、 5m4 の下2桁として現れる数をすべて求めよ」
[2007 東京大・文]

それでは。

↓↓バイバイ↓↓
22:07  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.01.17 (Sat)

1/16解答

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三つ子素数の解答ですね。
「n を自然数とする。n , n + 2 , n + 4 がすべて素数であるのは n = 3 の場合だけであることを示せ。」
[2004 早稲田大・政経]


まずは考察してみましょう。
nが偶数であると、明らかに n + 2 と n + 4 は2を因数にもってしまうので、n が奇数であることはすぐに分かります。
n = 3 のとき、3,5,7 となって、確かに成り立ちます。
n = 5 のとき、5,7,9
n = 7 のとき、7,9,11
n = 9 のとき、9,11,13
n = 11 のとき、11,13,15
・・・
n = 101 のとき、101,103,105
・・・

と、勝手に選んで書いてみましたが、こう考えていくうちに、気づきます。
「3の倍数がミソになるのではないか」
これで、解答が書ける筈です。

(証明)
n,n + 1,n + 2 は連続する三整数であり、どれか一つは必ず 3 の倍数である。
また、 n + 1 ≡ n + 4 (mod 3)
より、
n,n + 2,n + 4 のうち、どれか一つは必ず 3 の倍数である。
素数でかつ 3 の倍数であるものは、3 しかないので、
(n,n + 2,n + 4) = (1,3,5),(3,5,7)
の 2 通りのみが考えられる。
しかし、 1 は素数ではないので、(n,n + 2,n + 4) ≠ (1,3,5)
(n,n + 2,n + 4) = (3,5,7)
のとき、これはすべて素数なので、これらのことより、
n を自然数としたとき、n,n + 2,n + 4 がすべて素数であるのは n = 3 の場合だけである。

(Q.E.D.)


それでは。





↓↓三つ子↓↓
22:54  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2009.01.16 (Fri)

1/16問題

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今回は、三つ子素数の問題です。
「n を自然数とする。n , n + 2 , n + 4 がすべて素数であるのは n = 3 の場合だけであることを示せ。」
[2004 早稲田大・政経]


実験、推測、論証の、基本スタイルを貫徹してください。

↓↓トリオ↓↓
18:47  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.01.10 (Sat)

1/10問題

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「p を 3 以上の素数とする。 4 個の整数 a , b , c , d が次の3条件
   a + b + c + d = 0 , ad - bc + p = 0 , a ≧ b ≧ c ≧ d
を満たすとき、 a , b , c , d を p を用いて表せ。」
[2007 京都大・文理甲乙]



↓↓それでは!↓↓


22:09  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.12.19 (Fri)

12/18解答

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「平面ベクトル x↑ に対し、実数 ƒ(x↑) を対応させる写像 ƒ(x↑) が次の性質 (*) をもっている。

(*)任意の平面ベクトル a↑ , b↑ に対し、
ƒ(a↑+ b↑) = ƒ(a↑) + ƒ(b↑)
が成り立つ。

このとき、任意の平面ベクトル x↑ に対して、
ƒ(x↑/3) = (1/3)ƒ(x↑)
が成り立つことを証明せよ。」
[2004 京都大・理(後)]


まあ、懼れず立ち向かいましょう。


(解答)
ƒ(x↑)

= ƒ(x↑/3) + ƒ(2x↑/3)

= ƒ(x↑/3) + ƒ(x↑/3) + ƒ(x↑/3)

= 3ƒ(x↑/3)

以上より、

ƒ(x↑/3) = (1/3)ƒ(x↑/3)

であることが示された。

(Q.E.D.)

どうでしょう?
赤字で書いた部分は、証明する上では省いてはいけません。

与えられた条件は

ƒ(a↑+ b↑) = ƒ(a↑) + ƒ(b↑)

ですので、

ƒ(a↑+ b↑+ c↑) = ƒ(a↑) + ƒ(b↑+ c↑)

とは分解できても、一度に

ƒ(a↑+ b↑+ c↑) = ƒ(a↑) + ƒ(b↑) + ƒ(c↑)

と分解することはできません。

必ず

ƒ(a↑+ b↑+ c↑) = ƒ(a↑) + ƒ(b↑+ c↑)

の手順を踏んでから、

ƒ(a↑) + ƒ(b↑+ c↑) = ƒ(a↑) + ƒ(b↑) + ƒ(c↑)

と分解しましょう。

それでは。

↓↓できた!↓↓

17:22  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.12.18 (Thu)

12/18問題

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「平面ベクトル x↑ に対し、実数 ƒ(x↑) を対応させる写像 ƒ(x↑) が次の性質 (*) をもっている。

(*)任意の平面ベクトル a↑ , b↑ に対し、
ƒ(a↑+ b↑) = ƒ(a↑) + ƒ(b↑)
が成り立つ。

このとき、任意の平面ベクトル x↑ に対して、
ƒ(x↑/3) = (1/3)ƒ(x↑)
が成り立つことを証明せよ。」
[2004 京都大・理(後)]


見た目に圧倒されてはいけません。解けます。

それでは。

↓↓解いてみせる!↓↓
21:41  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.12.12 (Fri)

12/12問題

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
「a , b , c を実数とするとき、次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのような場合か。
(1) a2 + b2 + c2 ≧ ab + bc + ca
(2) a4 + b4 + c4 ≧ abc ( a + b + c )」
[1997 東北学院大]


↓↓今回はフツーです。↓↓
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