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2009.05.07 (Thu)

じゃんけん

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2009/5/5の朝日新聞の記事に、次のようなことが載っていました。

11567回中

グー  4054回
チョキ 3664回
パー  3849回


この統計を取る教授の姿が・・・瞼の裏に映ります。


Excelに計算をさせてみる。いろいろと出来ますね。

・・・といってもあまりさせる計算はないのですが。

確率は、

グー  0.350479813
チョキ 0.316763206
パー  0.332756981



何かのご参考になれば。



↓↓じゃんけんで強くなりたいなら↓↓


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22:03  |  確率・場合の数-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.11.28 (Fri)

11/27解答

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
僕、今日、ちょっとグレる。

「A君は次のように考えた。
 『さいころを 6 回振ることにする。 m = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 のおのおのについて、 m 回目に 1 の目が出る確率は 1/6 である。
 したがって、 6 回のうちに少なくとも 1 回は 1 の目が出る確率は、
 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1
である。
 すなわち、さいころを 6 回ふれば少なくとも 1 回は 1 の目が出る。』

 A君の考えは正しいかどうかをいえ。もし正しくないならば、誤りの原因を、なるべく簡潔に指摘せよ。 」
[1980 京都大・文]


解答。


(解答)
そんなの、6回振って1~6までの目が1回ずつ出る方が奇跡じゃん。
この計算だとそうなるし。

バカだな、A君。

そもそも、6回サイコロを振って、それぞれの回に1が出るかどうかなんて事象、互いに排反でないんだから、足し合わせる意味なんて全くないじゃん。ゼロ。不要。


余事象って考え方、知ってるよね?


6回サイコロ振って、6回も1が出ない事象。


1以外の目が出る確率は、それぞれの回で5/6なんだから、6回連続で1以外が出る事象は、
(5/6)6
で、これが余事象の確率ってことだから、1から引いたのが、求める確率でしょ。

求める確率は、
1 - (5/6)6

これって、明らかに1より小さいよね?

ってことは、さいころを 6 回振っても、必ずしも 1 が出るとは限らないわけ。
分かった?


じゃあね。

↓↓A君!↓↓
20:44  |  確率・場合の数-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2008.11.27 (Thu)

11/27問題

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
今回は、何だか面白い問題です。
理由が必要ないのならば、小学生でも直感で答えられますよ。絶対。

「A君は次のように考えた。
 『さいころを 6 回振ることにする。 m = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 のおのおのについて、 m 回目に 1 の目が出る確率は 1/6 である。
 したがって、 6 回のうちに少なくとも 1 回は 1 の目が出る確率は、
 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1
である。
 すなわち、さいころを 6 回ふれば少なくとも 1 回は 1 の目が出る。』

 A君の考えは正しいかどうかをいえ。もし正しくないならば、誤りの原因を、なるべく簡潔に指摘せよ。 」
[1980 京都大・文]


↓↓A君・・・↓↓
21:49  |  確率・場合の数-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2008.11.11 (Tue)

またまた二項係数の問題

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
∑[ n,k=1 ] knCk
の値を求めよ。


つまり、
nC1 + 2nC2 + 3nC3 + ・・・ + nnCn
の値を求めろということですが、どうしますか?





それでは解答です。

ここでは、こちらこちらを既知の事実として扱います。

一般項
knCk = nn-1Ck-1
であるので、
∑[ n,k=1 ] knCk

= ∑[ n,k=1 ] nn-1Ck-1

= n・∑[ n,k=1 ] n-1Ck-1

= n・∑[ n-1,m=0 ] n-1Cm

∑[ n-1,m=0 ] n-1Cm = 2n-1
であるので、

n・∑[ n-1,m=0 ] n-1Cm

= n・2n-1

よって、
∑[ n,k=1 ] knCk

= 2n-1n


はい、こういうことです。

それでは。

↓↓バイバイ↓↓

22:07  |  確率・場合の数-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.11.06 (Thu)

二項定理の美しき式

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
美しいと思いませんか?

∑[ k=0,n ] nCk = 2n

この式のことを。

nC0 + nC1 + nC2 + ・・・ + nCn = 2n

とは、はたまた素晴らしい式です。
有名ですね。二項定理の醍醐味とでもいえる公式かもしれません。

一応証明をしておきましょう。

∑[ k=0,n ] nCk = 2nの証明
(証明)
(a + b)n = nC0 an b0 + nC1 an-1 b1 + nC2 an-2 b2 + ・・・ + nCn a0 bn
であるので、
(a + b)n = ∑[ k=0,n ] ( nCk an-k bk )

ここで、a = b = 1 とすると、
(a + b)n = (1 + 1)n = 2n = ∑[ k=0,n ] ( nCk1n-k 1k ) = ∑[ k=0,n ] nCk

以上より、
∑[ k=0,n ] nCk = 2n
が示された。
(Q.E.D.)

何度見ても美しいですね。

そういえば、
nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr
の式も美しい式ですね。

これも証明しておきます。

nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr の証明

n-1Cr-1 + n-1Cr = (n-1)! / (r-1)!(n-r)! + (n-1)! / r!(n-1-r)!

= (n-1)!r / r!(n-r)! + (n-1)!(n-r) / r!(n-r)!

= (n-1)!n / r!(n-r)!

= n! / r!(n-r)!

= nCr

以上より、
nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr
が示された。
(Q.E.D.)

これから、パスカルの三角形と二項係数の関係が分かるのですね。
なんとも素晴らしいと思います。
貴方も、そう思いはしませんか?

それでは。

↓↓美しい!↓↓

21:42  |  確率・場合の数-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.10.29 (Wed)

直感と違う??確率

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
今回は、直感でお答えください。(cf.常識と違う??確率

問題です。

「サイコロ(のようなもの、つまり立方体)があり、6面のうち3面には赤い丸が、2面には青い丸が、残りの1面には黄色い丸が書いてある。
このサイコロを2つ用意し、同時に投げた時、考えられる出る色の組み合わせのうち、最も出る確率の高い組み合わせを答えよ」



直感でお答えくださいね。



やはり、
「赤-赤」
ですか?







基本的なことですが、出る色の組み合わせは、
(赤-赤)
(赤-青)
(赤-黄)
(青-青)
(青-黄)
(黄-黄)
ですね。




確率で考えるので、2つのサイコロをA,Bとすると、
A-Bの順番で考えて、

(赤-赤)・・・赤-赤
(赤-青)・・・赤-青 青-赤
(赤-黄)・・・赤-黄 黄-赤
(青-青)・・・青-青
(青-黄)・・・青-黄 黄-青
(黄-黄)・・・黄-黄


を考えなければなりません。

それぞれの確率を考えると、

(赤-赤)
3/6 × 3/6 = 9/36

(赤-青)
3/6 × 2/6 × 2 = 12/36
(A-Bの組み合わせが入れ替わったものがあるので2倍します。以下、AとBが異なるものは同様です)

(赤-黄)
3/6 × 1/6 × 2 = 6/36

(青-青)
2/6 × 2/6 = 4/36

(青-黄)
2/6 × 1/6 × 2 = 4/36

(黄-黄)
1/6 × 1/6 = 1/36

となるので、
確率が高い順に並べると、

(赤-青) 1/3
(赤-赤) 1/4
(赤-黄) 1/6
(青-青)(青-黄) 1/9
(黄-黄) 1/36

となります。

意外でしたか?

それでは。


↓↓意外でした↓↓

18:23  |  確率・場合の数-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.09.06 (Sat)

質問への回答 To:Adamさん

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
問題:1~90の数字が書いてあるのくじが各1枚ずつ、全部で90枚あり、その中から5枚取り出す。それらを数字の小さい順に並べるとき、連続した数が出ないのは何通りか?
(解答)
小さい順に(a,b,c,d,e)と並ぶ5つの整数がある。
このとき、取り出したくじに書いてある数字が、小さい順に(a,b+1,c+2,d+3,e+4)であるならば、これらは連続した数ではない。

なぜなら、

たとえば(a,b,c,d,e)が連続した5整数であったとき、
(b+1)-a=2
(c+2)-(b+1)=2
(d+3)-(c+2)=2
(e+4)-(d+3)=2
であるので、(a,b+1,c+2,d+3,e+4)は連続した数ではない。

つまり、一般的に、(a,b,c,d,e)がどのような5整数の組であっても、
(b+1)-a≧2
(c+2)-(b+1)≧2
(d+3)-(c+2)≧2
(e+4)-(d+3)≧2
が成り立つのである。

よって、(a,b+1,c+2,d+3,e+4)が、左から小さい順に並んだ1~90の整数となる5つの整数の組(a,b,c,d,e)の総数を調べればよい。

a<b+1<c+2<d+3<e+4≦90

であるので、

a<b<c<d<e≦86

よって、5つの整数の組(a,b,c,d,e)の総数は、

86C5(通り)

=34826302(通り)

となる。



分かりましたか?
それでは。

↓↓分かった!↓↓
22:39  |  確率・場合の数-math  |  TB(0)  |  CM(3)  |  EDIT  |  Top↑

2008.07.04 (Fri)

待ち合わせの確率

あ、もう授業終わりですか。
うーん、どうしても今日中にやってしまいたい!
休憩時間なくなるけど、いい?
18:08  |  確率・場合の数-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2008.06.28 (Sat)

Fair or Unfair?

勝負事においては、何事もフェアであることが望ましいのですが、そうはいかないのがこの世の中です。

ちなみに、勝負の類義語は、輪贏です。
読み方は、「ゆえい」または「しゅえい」です。
本来の読み方は、「しゅえい」ですが。
輪=負け
贏=勝ち
の意味です。

思いっきり簡単な問題(もう皆さんがご存知の問題)も含み、いろいろと紹介していきます。
この勝負は、Fair or Unfair?

勝負とか言いながらも、まずはくじ引きから。

(1)10本中3本が当たり、7本が外れのくじがある。10人以内の人間が、1人1本ずつ順番にくじを引く時、このくじ引きは公平であるかどうか?

基本中の基本。有名すぎます。「くじ引きの平等性」ですよ。
答えを先に言うと、公平だということです。

1人目の当たる確率・・・3/10
2人目の当たる確率・・・(3/10)・(2/9)+(7/10)・(3/9)=9/30=3/10
・・・3人目以降はご自分で計算してください。ここに書いてしまうと煩雑になってしまうので。

ただし、全員、3/10になります。

それでは、次。

(2)15本中3本が当たり、7本が外れ、5本が「もう一度引く」のくじがある。10人以内の人間が、1人1本ずつ順番にくじを引く時、このくじ引きは公平であるかどうか?ただし、「もう一度引く」を選んだ場合は、当たりか外れを引くまで、同じ人が引き続ける。

どうでしょうか?

1人目が当たりを引く確率から求めましょう。
どういう計算をしますか?
「1本目に当たり、1本『もう一度引く』を引いてから2本目に当たり・・・」
というように計算しますか?

それでもいいですが。

単刀直入に申し上げましょう。

3/10
です。

信じられない方、頭が固い。
何本「もう一度引く」があろうとなかろうと、当たりが3本、外れが7本の当たりと外れは計10本ですから、3/10です。
嘘じゃないです。信じてください。これが「確率」というものです。

小学生ならすぐに理解してくれますけどね。
そんな問題いくらでもあります。小学生の方がすぐに解ける問題と言うものは。

ということで、「もう一度引く」が何本あっても結果は同じ、この勝負は公平です。

次は、不公平な勝負をどうしたら公平にするか、という問題です。

(3)サイコロを振り、その目が偶数か奇数かを当てる賭けを二人でする。
もちろん、普通ならば平等な勝負だが、このサイコロには、ある仕掛けがしてあり、相手は偶数の目と奇数の目、どちらの方が出やすいかを知っている。
このとき、どのようなルールにすれば公平になるか。
もちろん、自分はどちらの目の方が出やすいかは知らない。
そして、必ず相手から予想するものとする。


さあ、がんばって!

自分に不利な状況を、いかにして乗り切るか。今回はそういう問題です。

さて、考えられましたか?答えはすぐ下なので、考え中の方はすぐに下を見ないようにしてくださいね。


それでは、答えを申し上げます。



「サイコロを続けて2回振り、『偶数から出てから奇数が出る』か、『奇数が出てから偶数が出る』かのどちらかに賭ける。

例えば、極端な例、
偶数が出る確率・・・0.9
奇数が出る確率・・・0.1
としましょう。

このとき、
(偶数が出てから奇数が出る確率)=0.9×0.1=0.09
(奇数が出てから偶数が出る確率)=0.1×0.9=0.09
なので、これは公平です。

それでは、最後の問題です。

(4)大相撲の、3人の力士による優勝決定戦の「巴戦」は公平か?
ただし、3人の力士はそれぞれ同程度に強いものとし、「巴戦」の形式は、次のようなものとする。
  • まず、力士AとBが戦う。
  • AとBとの戦いの勝者(ここではAとする)が、次にCと戦う。
  • Cが負ければ、第一試合で勝ったAは続けて二勝したことになるので、その時点で優勝は決まる。Cが勝てば、次に、Bと戦う。
  • このようにして、先に続けて二勝した者が優勝する。


さて、この試合、実際に行われていますが、公平でしょうか?

Fair or Unfair?

直感的に考えましょう。

AかBは、最初の試合で戦います。仮に、Bが負けたとしても、Bには優勝のチャンスが残されています。なぜなら、次の試合でAが負ければよいからです。

しかし、Cは、二戦目で戦います。Cが負けた時点で、優勝者は決定してしまいます。
つまり、Cは一度負けてしまえば、優勝できるチャンスは残されていないのです。

だから、公平でないことはすぐに分かります。

では、どのくらいCは不利なのか。

確率的に考えましょう。

計算は続きをご覧ください。
21:00  |  確率・場合の数-math  |  TB(0)  |  CM(3)  |  EDIT  |  Top↑

2008.05.15 (Thu)

いくらかかっても必ず儲かる?

どんなことでもいいので質問がある方は挙手(コメント欄に書き込んでください)。
どんな教科でもいいです。答えられる範囲で答えます。
前も因数分解やりましたね?
よろしくお願いします。

それでは本題に移りたいと思います。
期待値と実際の感覚にずれが生じることってあると思いますか?

普通なら、
「くじ引き一回30円、あたり一本はずれ一本、当たったら100円もらえる」
というくじ引きならやりますね?
一回外れても、二回外れても、三回目で当たれば10円得します。
当たる確率は2分の1なので、たいていは(計算上)2回やれば当たります。70円得するわけです。

まあ、このくじは、得する確率の方が高いですね。直感でもそう思います。このくじ引きの期待値も50円ですから、直感とも一致するわけです。

しかし、次のようなゲームはどうでしょうか?
「コインをまず一回投げる。
このとき表が出れば100円もらえ、ゲームが終了する。また、裏が出れば二回目に挑戦する。
二回目は、表が出れば200円もらえ、ゲームが終了する。また、裏が出れば三回目に挑戦する。
三回目は、表が出れば400円もらえ、ゲームが終了する。また、裏が出れば四回目に挑戦する。
四回目は、表が出れば800円もらえ、ゲームが終了する。また、裏が出れば五回目に挑戦する。
このように、n回目には、
表が出れば(2n-1×100)円もらえ、ゲームが終了する。
裏が出れば、(n+1)回目に挑戦する。」


このようなルールのゲームがあります。

さて、ゲームの参加料は1万円です。
参加しますか?

計算上は、必ず得をします。それも、参加料がいくらであっても得をします。
計算してみれば明らかです。

100円がもらえる確率は、2分の1
200円がもらえる確率は、一回目で裏が出て二回目で表が出るので4分の1
400円がもらえる確率は、一回目、二回目で裏が出て三回目で表が出るので8分の1
800円がもらえる確率は、一回目、二回目、三回目で裏が出て四回目で表が出るので16分の1・・・

ということで、期待値は、
100・(1/2)+200・(1/4)+400・(1/8)+800・(1/16)+・・・

となり、結局

50+50+50+50+50+・・・

となり、無限大に発散していきます。

時間が無限にあれば、無限にお金が手に入る計算になります。

さあ、やりますか?1万円で一回。


それでもやはりやろうとは思わないと思います。1万円が100円になってしまう確率も1/2ですから。

このように、期待値が実際の感覚との間にずれが生じてしまうこともあります。
計算上でいくら得をすると言われても、感覚では得をするとは思えないことだってあるのです。

宝くじなら、直感的に損をすると思うし、計算上でも損をしている。
直感的に判断できないようなものもあります。そのような場合は、計算をしてみて、得なら得だと思えますし、損なら損だと思えます。
しかし、この場合だと、直感的に「損をする」と思ってしまいますね。しかし、計算では得。また、いくらそう言われても、納得できないような気がします。

こんなこともあるんですね。
18:49  |  確率・場合の数-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2008.04.28 (Mon)

確率2・場合の数

予告なしで、いきなり昨日は更新をお休みさせてもらいました。
突然だったので気づいていらっしゃらないかもしれませんが、「日曜日は更新定休日」ということにさせていただきました。上にも書きましたので、どうかご了承お願いいたします。

それでは、今日の本題へと参りましょう。

確率の2回目です。

まずは補足から。
前回の確率では、1億箱の例を出しましたが、あの問題、この考え方と似ていないでしょうか?
問題です。
「あなたは、A社の株かB社の株のどちらに投資しようか迷い、占い師に相談することにした。
占い師Xは70%の確率で当たるが、7000円の見料がかかる。それに対し、占い師Yは20%の確率でしか当たらないが、2000円の見料で済む。コストパフォーマンスを考えた場合、どちらに見てもらったほうがよいだろうか?」

簡単ですね。



正解は、確率20%で2000円の占い師Yです。占い師が言った会社と違うほうの会社の株を買えば、それは80%の確率で当たっているのですから。
考え方、似てませんか?
逆転の発想です。


まあ、これは余談として、次の問題。
「3人の囚人A・B・Cは、一人だけが恩赦で釈放され、残り二人は処刑される。恩赦で釈放される確率は、それぞれ1/4,1/4,1/2である。A・B・Cはこのことは知っているが、誰が釈放され、誰が処刑されるのかは分からない。ある日、Aは全てのことを知っている看守に『B・Cのどちらかが処刑されるのは確実なのだから、処刑される人間のうち、BかCの一人だけ教えてほしい』と言った。看守はこれに応じ、『Bは処刑される』と答えた。このとき、Aが釈放される確率はいくらか?」

前回の確率を読んでいれば少なくとも1/4のままではないことは分かると思います。


この間、土曜日の問題の問1~4の解説を。(解説というまでのこともありませんが・・・)
問1.三角形ABCの、辺BCを1:2に内分する点をPとする。AB=5,AC=6,AP=3のとき、BCの長さを求めよ。

問2.三角形ABCの、辺BCを4:3に内分する点をPとする。,AC=7,AP=4,BC=15のとき、ABの長さを求めよ。

問3.「朕深ク世界ノ大勢ト帝国ノ現状トニ鑑ミ、非常ノ措置ヲ以テ時局ヲ収拾セムト欲シ、茲ニ忠良ナル爾臣民ニ告グ。」とラジオ放送された日の曜日を答えよ。

問4.管理人Pen.の誕生日、西暦1992年7月17日の曜日を答えよ。

(解説)
問1.問2.トレミーの定理に数値を代入。ただし、問1はBP=xとおき、そのときCP=2xなのでこれを利用する。

問3.問4.ツェラーの公式に代入。ただし、問3は1945年8月15日の玉音放送の内容である。


それでは三囚人の問題の答えです。

(解答)
求める確率は、
看守が「Bは処刑される」と言い、Aが釈放される確率

看守が「Bは処刑される」と言う確率


です。

<看守が「Bは処刑される」と言う確率>
処刑される囚人の考えられる組み合わせは、
A,B・A,C・B,C
そのうち、Bが処刑されるのは
A,Bのときと、B,Cのとき。

A,Bが処刑されるとき、Cが釈放されるので、確率は1/2。このとき、看守はAのことは言わないので、必ず「Bが処刑される」と答える。よって、このとき看守が「Bは処刑される」と言う確率は1/2。

B,Cが処刑されるとき、Aが釈放されるので、確率は1/4。このとき、看守はBかCかのどちらかの名前を言う。よって、看守が「Bは処刑される」と言う確率は1/4×1/2=1/8。

よって、看守が「Bは処刑される」と言う確率は1/2+1/8=5/8。

<看守が「Bは処刑される」と言い、Aが釈放される確率>

B,Cが処刑され、看守が「Bは処刑される」という確率1/8がこれに当たります。


よって、(1/8) / (5/8) = 1/5
です。

Aは、このことを聞いたがために、自分が釈放される確率が1/20減ってしまいましたね。聞かなきゃよかった・・・

ちなみに、看守が「Cは処刑される」と言っていたら、Aが釈放される確率は1/3になります。1/12上がることになります。

それではもう一問。今度は場合の数です。最初の2問は授業でも基本問題として(重複組み合わせなので発展内容ですが)扱われるような問題です。

「x+y+zの方程式x+y+z=nにおいて、
1.この方程式を満たす自然数(x,y,z)はいくつあるか
2.この方程式を満たす負でない整数の組(x,y,z)はいくつあるか
3.x+y+z≦nを満たす負でない整数の組(x,y,z)はいくつあるか」
1番、2番は簡単ですね。3番もエレガントな解法がありますよ~


~いきなり日曜日を定休日にした理由~
これだけの分量を毎日書いていたら、他のことをやる時間が無くなり、特に「曲の制作に取り組めない!」
ただこれだけの理由です。
大袈裟な見出しでしたね。
スミマセン
18:57  |  確率・場合の数-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2008.04.22 (Tue)

常識と違う??確率

さてさて、前回の問題。
「40人のクラスの中に、同じ誕生日の人がいる確率は?」
ですが、答えは昨日もゲストさんにお答えいただいた通り、
1-{(364P39)/365^39}
ですね。約90%の高確率です。
断っておきますが、365^39は「365の39乗」です。/は割り算(分数)の記号です。
有名ですが、一応解説。
余事象で考えます。
例えば2人のクラスの場合だったら?
2人の誕生日が一致しない確率は、365日中、片方の一人の誕生日以外にもう一人の誕生日があるから、
364/365
よって、2人の誕生日が同じ確率は、1-(364/365)=1/365
3人だったら、同様にして、1-{(364/365)*(363/365)}
ちなみに、*は掛け算の記号です。
・・・というわけで、40人の場合、
1-{(364/365)*(363/365)*(362/365)*・・・*(325/365)}
です。中かっこの中を整理すると、結局分母は364P39、分子は365^39なので、最初の式の通りです。

それでは、こんな2つの問題を。
「区別のつかない3つの袋の中に二つの玉が入っており、それぞれ、赤玉と白玉、白玉二つ、赤玉二つが入っています。
一つの袋を選び、中身を一つ取り出すと、それは赤玉でした。その袋の残りのもう一つの玉が白玉である確率は?」
「3つの箱が並んでおり、そのうち1つの箱の中のみに賞金が入っている。
 あなたは、ある1つの箱を選んだ。すると、相手は、残った2つの箱のうち、片方のみを開け、中に賞金の入っていないことをあなたに示した。そして、相手は、今ならもう片方の開けていない箱に選びかえても良いと言った。
 さて、あなたは賞金の入った箱を選びたい。あなたは箱を選びかえたほうが良いのだろうか?それとも、変えても変えなくてもどちらでもいいのだろうか?確率の観点から説明せよ。」

さて、分かるかな?



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質問は、できる限り答えていきたいと思います。難しすぎるものはやめてね。数学のページですが、数学以外でもOKです。

それでは、下に上の問題の答えです。





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