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2009.08.01 (Sat)

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21:02  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.07.31 (Fri)

角谷(コラッツ)の予想

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

交流掲示板<http://penpenpensama.hp.infoseek.co.jp/Go.html>

有名な未解決予想ですね。
「任意の自然数 n について、
  • n が偶数なら 2 で割る
  • n が奇数なら 3 倍して 1 を足す
という操作を繰り返し行うと、最終的に必ず 1 になる」


コンピュータでは、 3 × 253 までこの予想が正しいことが確認されているようです。
証明してみてくださいね。


・・・ではなく、これを意識した中学入試問題があったようですね。
ここでは言いませんが。市川中学入試問題(2009)だそうです。

面白いですね。


↓↓ポチッ↓↓
20:21  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.07.23 (Thu)

7/20解答?

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問題でしたね。

X + Y + Z = 0
のとき、
(X5+Y5+Z5)/5 = (X3+Y3+Z3)/3 × (X2+Y2+Z2)/2
が成り立つことを示せ。



この美しい式を証明しましょう。


・・・っていうのは明日です。それでは。

↓↓ポチッ↓↓

 
22:39  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.07.14 (Tue)

7/13解答

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前回の問題ですね。
「座標空間に4点A(2,1,0),B(1,0,1),C(0,1,2),D(1,3,7)がある。3点A,B,Cを通る平面に関して点Dと対称な点をEとするとき、点Eの座標を求めよ。」
[2006 京都大・文]


素直な問題ですね。

(解答)
AB↑ = (-1,-1,1)
AC↑ = (-2,0,2)
であるので、
AB↑× AC↑ = (-2,0,-2)
平面ABCはこのベクトルを法線ベクトルに持ち、点A(2,1,0)を通るので、平面ABCの方程式は、
-2(x-2) + 0(y-1) - 2(z-0) = 0
∴ x + z - 2 = 0

ここで、平面ABCの方程式のx,zに点Dの座標を代入すると、
1 + 7 - 2 = 6
となり、点Dは平面ABCに関し、正領域にある。

点Dと平面ABCの距離は、公式を用いて、

|1+7-2| / {√(1+1)} = 3√2

である。

ここで、y軸と平面ABCは平行であるので、
点Eのy座標は、点Dと同じ3である。

よって、E(X,3,Z)とすると、
点Eは平面ABCに関し、負領域にあるので、
X + Z - 2 < 0
かつ、
|X+Z-2| / √2 = 3√2
∴X + Z = -4 ・・・(i)

また、DE↑ と AB↑×AC↑は平行なベクトルなので、
(1-X,0,7-Z) // (-2,0,-2)
∴ -2(1-X) + 2(7-Z) = 0
∴ X - Z + 6 = 0 ・・・(ii)

(i)(ii)より、
X = -5,Z = 1

以上より、
E(-5,3,1)
である。


他にも様々な解き方がありますが、今回は外積を使っててっとり早く済ませてしまいました。
それでは。

↓↓バイバイ!↓↓

20:52  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.07.06 (Mon)

J↑→→ J→

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J↑→ J↑↑(+) J↓ F←← J↑→→ F↑ F↑ J↑← J↓→→

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↓↓。↓↓

16:36  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.07.01 (Wed)

これ、見て・・・

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http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/mathbun/mathbun69.htm

こちらをご覧ください。(コピー&ペーストで。外部サイトです。Pen.とは関係ありません。)


↓↓。↓↓

20:16  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.06.23 (Tue)

6/22解答

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それでは、解答です。
「以下のそれぞれの命題が真であるか偽であるかを答え、真の場合は証明を、偽の場合は反例を与 えよ。
(1) x < y ならば x2 < y2 である。
(2) log2x = log3y ならば x ≦ yである。
(3) 微分可能な関数ƒ(x) がƒ’(a) = 0 を満たすならば、ƒ(x) は x = a において極値をとる。
(4) n が2以上の自然数ならば、 1 + 2 + … + n の約数の中に3以上の奇数がある。」
[2009 広島大 (1)(2)文系・(3)(4)文理共通]


(解答)
(1) 偽。
x = -10,y = 1のとき、x < y であるが、x2 = 100,y2 = 1 より、x2 > y2である。

(2)偽。
x = 1/2,y = 1/3 のとき、
log2x = log3y = -1
であるが、
x > y
である。

(3)偽。
ƒ(x) = x3 のとき、
ƒ’(x) = 3x2 で、ƒ’(0) = 0 であるが、増減表は以下の表のようになり、ƒ(x) は x = 0 において極値をとらない。

x・・・0・・・
ƒ’(x)
0
ƒ(x)↗(↑)極大↘(↓)


(4)真。
(証明)
1 + 2 + 3 + ・・・ + n

= n(n+1)/2

であり、n ≧ 3 であることから、n と n+1 の偶奇は異なり、どちらかは3以上の奇数である。
ゆえに、n(n+1)/2 は必ず3以上の奇数を約数に持つ。
(証明終)


それではさようなら。


↓↓できました。↓↓


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2009.06.04 (Thu)

6/4問題

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今回も問題です。簡単にいきましょう。
「p を素数、 n を正の整数とするとき、 ( pn ) ! は p で何回割り切れるか。」
[2009 京都大・理甲、文]


理系乙には出てませんね。

それでは。

↓↓ではでは。↓↓
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2009.05.02 (Sat)

5/1解答

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「次の各問いに答えよ。
(1) a2 + b2 = 2009 を満たす自然数(a,b) (a≦bは7の倍数) の組を一つ挙げよ。
(2) l2 + m2 + n2 = 2009 を満たす自然数(l,m,n) (l≦m≦nは7の倍数) の組を一つ挙げよ。」

パパパパパーッと。

(解答)
(1)
2009を素因数分解すると、
2009 = 72×41
である。
ここで、a,b は7の倍数なので、a2,b2 は72 = 49の倍数である。
よって、a2 + b2 は必ず49の倍数となるので、あとはこれが41の倍数となればよい。

ここで、
41 = 16 + 25 = 42 + 52
であるので、

a2 = 49・16
b2 = 49・25

であればよい。
(このとき、a2 + b2 = 49(16 + 25) = 2009
a = 7・4,b = 7・5)

よって、
(a,b) = (28,35)

(2)
(1)と同じ要領で、
41 = 1 + 4 + 36 = 12 + 22 + 62
であるので、
l2 = 49・1
m2 = 49・4
n2 = 49・36

ゆえに、
(l,m,n) = (7,14,42)

それでは。


↓↓それでは↓↓

20:49  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.04.29 (Wed)

コンパスの可能性4

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それでは実際に、与えられた任意の円Cの中心Oをコンパスだけで作図してみましょう。

(1)円Cの円周上に、任意の点Aをとる。
(2)点Aを中心として、任意の半径の円Γ を描き、この円と円Cとの交点をそれぞれP,Qとする。
(3)円Γ と同じ半径の円(半径AP = AQ)を描き、二円の交点のうちAでないほうをBとする。
(4)点Bを、円Γ に関して反転させた点が、求める中心Oである。

分かりましたでしょうか?

解析は、またの日に。
それでは。


↓↓フンッ↓↓
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2009.04.17 (Fri)

4/16解答

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さて、今日は問題の解答です。
「72009 を 41 で割った余りを求めよ.」

72009 = (750)40・79
ここで、41は素数であり、750 は 41 の倍数でないので、
フェルマーの小定理
より、
(750)40 ≡ 1 (mod 41)
が成り立ちます。
よって、
72009 ≡ 79 (mod 41)
です。
79
= 7・494
≡ 7・84 (mod 41)
≡ 7・642 (mod 41)
≡ 7・232 (mod 41)

7・232
= 161・23
≡ -3・23 (mod 41)
≡ -69 (mod 41)
≡ 13 (mod 41)

ゆえに、
72009 を 41 で割った余りは、
13です。

懐かしいですね。フェルマーの小定理。
さあ、思い出しましょうね。

それでは。


↓↓数学は面白い↓↓
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2009.04.16 (Thu)

4/16問題

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さて、今日も問題です。
「72009 を 41 で割った余りを求めよ.」

↓↓考えてください↓↓
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2009.04.13 (Mon)

フェルマーの最終定理を考える4

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戻る

昨日紹介した問題ですね。
 「ある世界的組織は6カ国のメンバーから構成される。組織のメンバーリストには1978人が登録し、各人が1,2,・・・,1978番と番号付けられている。このとき次のようなメンバーが少なくとも一人はいることを証明せよ。
『その人の番号は同じ国の2人の人の番号の和であるか、あるいは同じ国のある人の番号のちょうど2倍である』」


証明をここでしてしまうのは、さすがにやめた方が良いと思います。
証明を聞きたい方は、直接お話しするしか方法はありません。


ただし、題意は考えておきましょう。

例えば、1,2,3,4,5という5つの数字をすべて、重複がないように、2つの集合A, Bに分けます。

ただし、A ≠ φ,B ≠ φ です。(AもBも空集合でない)

このとき、
どちらかの集合の中では、
「ある要素は、他の2つの要素の和になっているか、あるいは他の数字のいずれかのちょうど2倍である」
というようなことが起きないように振り分けられるでしょうか?

例えば、
A に 1 という数字を入れましょう。
すると、2 は B に入れなければなりません。

ここで、3 を A に入れると、 4 は B に入ることになりますが、4 は、すでに B にある数 2 の 2 倍であるので、Bに入れてはいけません。

よって、 3 は B に入れてみましょう。
4 は B に入ってはいけないので、 A に入る必要があります。

このとき、
A = {1,4}
B = {2,3}
となります。最後に 5 を振り分けますが、どちらに入ることもできません。
5 = 1 + 4 = 2 + 3
であるからです。


これが、題意を簡略化し、 2 カ国 と 5 人 という規模で考えた場合です。

このくらいの量であったら、実際に操作を行って証明することができますが、
6 カ国 と 1978 人という規模となると、そうはいきません。

「何かうまい証明」

というものが必要になります。


このくらいですね。

ちなみに、これの証明、内容は別に難しいものではありません。その発想にいたるということが、難しいことなのです。

それでは。





↓↓やはり難しい↓↓

16:10  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.04.09 (Thu)

フェルマーの最終定理を考える2

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戻る

それでは早速、リブリの定理を証明しましょう。

<<リブリの定理>>
「p,q はともに奇素数であるとする。
pを固定して、
xp + yp ≡ zp (mod q)

を満たす自然数 (x,y,z) の組が、
xyz ≡ 0 (mod q)
を満たす自然数 (x,y,z) の組しか存在しないような q が無限に存在するならば、フェルマーの最終定理は正しい。」



(証明)
仮定を満たす奇素数 q の無限列を
q1,q2,q3,・・・  ― (i)

とする。

フェルマーの最終定理が正しくなく、

ap + bp = cp

を満たす自然数 a,b,c が存在すると仮定する。

当然、この a,b,c の組は

ap + bp ≡ cp (mod q1)

を満たす。

すると仮定より、

abc ≡ 0 (mod q1)

となり、abc は q1 の倍数であることが分かる。

同様にして、 abc は q1,q2,q3,・・・ の倍数となる。

しかし、qi は無限個あるので、 abc は無限の大きさを持つこととなり、矛盾。

ゆえに、リブリの定理は示された。

(Q.E.D.)

このようになるので、無限列 (i) を見つけられれば、フェルマーの最終定理の証明は完了するわけですが、この方向性はシューアという人物によって閉ざされました。

彼の発表した定理は次のような定理です。

<<シューアのフェルマー合同式定理>>
「奇素数 p を固定する。この p に対し、定数Nが存在して、q≧N なるすべての奇素数 q に対して、

xp + yp ≡ zp (mod q)

かつ、

xyz と 0 は q を法として合同でない

を満たす自然数 x,y,z の組が存在する。」


これで、無限列 (i) の存在は否定されました。

この定理の証明は、ここではいたしません。

非常に面白い定理、「シューアの定理」を使って証明するのですが、「シューアの定理」も、また面白い定理です。

以前、数学オリンピックにこれを簡略化した問題が出題されたこともあります。

とっても、エレガントな証明方法でした。


次へ

↓↓奥深いですね↓↓

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2009.04.03 (Fri)

4/1解答

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それでは、今回は解答篇です。
「相異なる9個の数 a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9 があり、すべて1以上9以下の自然数である。
k = 1,2,3,4,・・・
について、
a1a2・・・ak

がkの倍数となるような組
(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9)

を求めよ。

ただし、a1a2・・・akというのは位取り記法であって、

たとえば、a1=1,a2=2,a3=3であれば、

a1a2a3 は 123 という数を表す。」



(解答)
まず、
a1a2a3a4a5

は5の倍数であるので、末尾a5は0か5ですが、条件よりa5= 5 と決定します。

また、a2,a4,a6,a8 は偶数です。

1~9 には偶数は4つしかないので、他はすべて奇数です。

a1a2a3a4は4の倍数なので、

末尾a3a4は4の倍数である必要があります。

a3は奇数であるので、末尾 a4 は 2 か 6 であることが分かります。

また、a1a2a3a4a5a6a7a8 は8の倍数なので、

a6a7a8が8の倍数であり、a6は偶数なので、a7a8が8の倍数です。

a7は5でない奇数なので、

a7a8 = 16,32,72,96

という4つの候補に絞れます。

整理しておきましょう。今の時点で、
a1 = 1,3,7,9
a2 = 4,8
a3 = 1,3,7,9
a4 = 2,6
a5 = 5 (確定)
a6 = 4,8
(a7,a8) = (1,6),(3,2),(7,2),(9,6)
a9 = 1,3,7,9

です。


a1a2a3,a1a2a3a4a5a6,a1a2a3a4a5a6a7a8a9 は、

それぞれ3の倍数、6の倍数、9の倍数であるので、

a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9はそれぞれ3の倍数である必要があります。

a4 + a5 + a6 = a4 + 5 + a6

が3の倍数であり、a4 = 2,6 なので、

(a2,a4,a6,a8) = (4,2,8,6),(8,6,4,2)

のいずれかであることが分かります。

・・・

もうお分かりですね。

この二通りと、「3の倍数」という条件から、すべてを調べていき、最後に「7の倍数」の条件を遣います。

「7の倍数」の条件については、後日お伝えしましょう。

それでは。

ちなみに、答えは

(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9) = (3,8,1,6,5,4,7,2,9)

ですよ。


↓↓パズルでした↓↓


22:36  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.04.01 (Wed)

4/1問題

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またもや問題です。
パズルですよ。

「相異なる9個の数 a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9 があり、すべて1以上9以下の自然数である。
k = 1,2,3,4,・・・
について、
a1a2・・・ak

がkの倍数となるような組
(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9)

を求めよ。

ただし、a1a2・・・akというのは位取り記法であって、

たとえば、a1=1,a2=2,a3=3であれば、

a1a2a3 は 123 という数を表す。」


↓↓応援します↓↓


22:18  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.01.31 (Sat)

1/30解答

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前回の問題は、
「a3 - b3 = 217 を満たす整数の組 ( a , b ) を求めよ。」
[2005 京都大・理]


です。
影さん、コメントありがとうございます。

一つ、不適と解答なさっている部分がありますが、実際は適しております。

それでは、解答です。

(解答)

a3 - b3

=(a-b)(a2+ab+b2)

であるので、

a - b = m ・・・(i)
a2+ab+b2 = n ・・・(ii)

とおく(m,n はともに整数)と、

(i)より
a = b + m
であるので、これを(ii)に代入して、

(b+m)2 + b(b+m) + b2 = n

∴3b2 + 3mb + m2 - n = 0 ・・・(iii)

b は整数であるので、この式を b についての二次方程式として考えた時、この方程式は解をもつ。
よって、判別式 D ≧ 0 である。

D = 9m2 - 12m2 + 12n ≧ 0

∴ 4n ≧ m2


また、mn = 217 = 7×31 であることと、m,n が共に整数であることを考えると、

(m,n) = (±1,±217),(±7,±31),(±31,±7),(±217,±1) (複合同順)

この中で、4n ≧ m2 を満たす組み合わせは、

(m,n) = (1,217),(7,31)

の二つしかない。

それぞれについて、


(I) (m,n) = (1,217) のとき、

これらの値を(iii)式に代入して、

3b2 + 3b - 216 = 0

∴(b-8)(b+9) = 0

ゆえに、b = -9,8であり、これらの値を(i)式に代入して、
(a,b) = (-8,-9),(9,8)
を得る。


(II) (m,n) = (7,31) のとき、

これらの値を(iii)式に代入して、

3b2 + 21b + 18 = 0

∴(b+1)(b+6) = 0

ゆえに、b = -1,-6であり、これらの値を(i)式に代入して、
(a,b) = (6,-1),(1,-6)
を得る。


以上(I)(II)より、
(a,b) = (-8,-9),(9,8),(6,-1),(1,-6)

である。


どうでしたか?
それでは。


↓↓次回は中国剰余定理↓↓
17:07  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.01.28 (Wed)

1/28問題

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(1) 次の等式 (A) を、数学的帰納法によって証明しなさい。

1 + 2 + 3 + ・・・ + n = n(n+1)/2  ・・・(A)
   
(2) 連続した自然数の組 ( 500 , 501 , 502 , 503 ) は、そこに並んだすべての数の総和が 2006 になるものである。
   500 + 501 + 502 + 503 = 2006
 このように 2 個以上の連続した自然数の組で、そこに並んだすべての数の総和が 2006 になるものをすべて求めなさい。
 ただし、必要ならば、次のように素因数分解できることを利用してよい。
   2006 = 2 × 17 × 59


[2006 慶應大・看護医療]



↓↓ノータッチ↓↓
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2009.01.24 (Sat)

コーシー=シュワルツの不等式3 (証明)

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それでは、コーシー=シュワルツの不等式、
「項が全て正数である数列{an},{bn}と、任意の自然数mにおいて、
(∑[m,i=1]ai2)(∑[m,i=1]bi2) ≧ (∑[m,i=1]aibi)2
(ただし、等号成立は a1:b1 = a2:b2 = a3:b3 = ・・・ = am:bm のとき)」

を証明しましょう。

(証明)
この証明では、「∑[m,i=1]」を単に「∑」と表します。

xの多項式、

P(x) =∑(ai・x - bi2

について考えます。

ここで、すべての実数 x において、 P(x) は二乗の和となりますので、P(x)≧0 であることが分かります。

ここで、P(x)の右辺を展開します。

P(x)

= ∑(ai2x2 - 2aibix + bi2

= (∑ai2)x2 - 2(∑aibi)x + (∑bi2

ここで、二次方程式 P(x) = 0 の判別式Dについて考えます。


すべての実数 x について、 P(x) ≧ 0 なので、二次方程式 P(x) は、重解をもつか、実数解をもたないかのどちらかです。
ゆえに、D≦0 となります。

D/4 = (∑aibi2 - (∑ai2)(∑bi2) ≦ 0

ゆえに、
(∑ai2)(∑bi2) ≧ (∑aibi2

となります。

また、この不等式の等号が成立するためには、
D/4 = 0 であればよく、このとき、P(x) = 0 は重解をもちます。
ただ、任意の実数 x について、P(x) ≧ 0 ですから、P(x) = 0 が重解をもつときは、 P(x) = 0 が実数解をもつときに限られます。

ここで、P(x) = 0 となるとき、これは、
a1:b1 = a2:b2 = a3:b3 = ・・・ = am:bmかつ x = bi/ai = (確定値) のとき に限られます。

よって、等号成立は、a1:b1 = a2:b2 = a3:b3 = ・・・ = am:bm
のときです。

以上より、示されました。
(Q.E.D.)

どうだったでしょうか?

それでは。

↓↓うん。↓↓
19:39  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.01.12 (Mon)

1/10解答

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前回の問題です。
「p を 3 以上の素数とする。 4 個の整数 a , b , c , d が次の3条件
   a + b + c + d = 0 , ad - bc + p = 0 , a ≧ b ≧ c ≧ d
を満たすとき、 a , b , c , d を p を用いて表せ。」
[2007 京都大・文理甲乙]


それでは解いていきましょう。

(解答)
条件より、

a + b + c + d = 0 ・・・(i)
ad - bc + p = 0 ・・・(ii)
a ≧ b ≧ c ≧ d ・・・(iii)
a,b,c,d は整数 ・・・(iv)
p は3以上の素数 ・・・(v)

である。

(i)式より、
d = - a - b - c
であるので、これを、(ii)式を変形した式、p = - ad + bc に代入して、
a(a + b + c) + bc = p
すなわち、
a2 + ab + ac + bc = p
∴a(a + b) + c(a + b) = p
∴(a + b)(a + c) = p

ここで、条件(iii)より、
a + b ≧ a + c

また、(i)式より、a + b = -(c + d)
また、(ii)式より、a + b ≧ c + d
であるから、a + b ≧ 0

以上より、
(a + b,a + c) = (p,1)

これと(i)式より、
b = p - a
c = 1 - a
d = -(a + b + c) = a - 1 - p
・・・(vi)

これを条件(iii)に代入して、
a ≧ p - a ≧ 1 - a ≧ a - 1 - p

a ≧ p - a より、
2a ≧ p

また、1 - a ≧ a - 1 - p より、
2a ≦ 2 + p

以上より、
p ≦ 2a ≦ 2 + p
(iv)より2aは整数で、これと(v)より、2a = 1 + p である。
ゆえに、a = (1 + p)/2

これと(vi)より、
a = (p + 1)/2
b = (p - 1)/2
c = (- p + 1)/2
d = (- p - 1)/2

である。

どうでしたか?
それでは。


※影さん、ご指摘ありがとうございました。

↓↓ふぅ~↓↓

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2009.01.05 (Mon)

↓↓

↓↓
↓↓
↓↓
↓↓
↓↓
↓↓
↓↓
↓↓
↓↓
↓↓
↓↓ポチッとな↓↓

20:41  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(3)  |  EDIT  |  Top↑

2009.01.01 (Thu)

2009

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あけましておめでとうございます。

2009年ですね。


2009という数字に着目すると、

(9002 - 2009) / 9 = 777

となります。

スリーセブンですね。今年はいい年になりそうです。



一般に、

10n-1a1 + 10n-2a2 + 10n-3a3 + ・・・ + an

という n桁 の数と、これをひっくり返した数

10n-1an + 10n-2an-1 + 10n-3an-2 + ・・・ + a1

との差は、9で割りきることができます。

確かめてみましょう。



10n-1a1 + 10n-2a2 + 10n-3a3 + ・・・ + an



10n-1an + 10n-2an-1 + 10n-3an-2 + ・・・ + a1

の差は、

10n-1(a1 - an) + 10n-2(a2 - an-1) + 10n-3(a3 - an-2) + ・・・ + (an - a1)

であり、二つの数 ak と am について、

ak - am = - (am - ak)

ですので、先ほどの差は、

(10n-1 - 1)(a1 - an) + (10n-2 - 101)(a2 - an-1) + (10n-3 - 102)(a3 - an-2) + ・・・  (有限和)

となります。


ここで、

10 ≡ 1 (mod 9)

であり、自然数 N について、

10N ≡ 1N = 1 (mod 9)

であるので、

10k - 10m ≡ 1 - 1 = 0 (mod 9)

となります。結局、10の冪乗から10の冪乗を引いたものは、9で割り切れるということです。

よって、

(10n-1 - 1)(a1 - an) + (10n-2 - 101)(a2 - an-1) + (10n-3 - 102)(a3 - an-2) + ・・・  (有限和)

という数は、9で割りきることができます。




ただ、9で割った値が777になるかどうかは別問題です。

2009年は、特別な年です。

それでは。

↓↓世界陸上!↓↓

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2008.12.31 (Wed)

2008年、戊子

2008年、戊子(つちのえね、ぼし)の年も、残り僅かとなってしまいました。

2009年は、己丑(つちのとうし、きちゅう)です。


干支とは、

<<十二支>>

子(ね)
丑(うし)
寅(とら)
卯(う)
辰(たつ)
巳(み)
午(うま)
未(ひつじ)
申(さる)
酉(とり)
戌(いぬ)
亥(い)



<<十干>>
甲(こう・きのえ)
乙(おつ・きのと)
丙(へい・ひのえ)
丁(てい・ひのと)
戊(ぼ・つちのえ)
己(き・つちのと)
庚(こう・かのえ)
辛(しん・かのと)
壬(じん・みずのえ)
癸(き・みずのと)


木(き)・火(ひ)・土(つち)・金(か)・水(みず)の五行と、陰陽の兄(え)・弟(と)を合わせて十干ですね。

干支を「えと」と読むのは、「兄弟」(えと)に由来するようですね。

それでは、よいお年を。


↓↓よいお年を!↓↓

18:31  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.12.20 (Sat)

サンタクロース

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フィンランド国営放送局はロシア国境近いラップランド東部にあるコルヴァトゥントゥリ(その形から耳の山と呼ばれている)をサンタクロースの正式な住居に定めました。


↓↓○へぇ~↓↓
22:29  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.12.15 (Mon)

1~10を4つの2でつくる

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
コーシー=プニャコフスキー=シュワルツの不等式
何て名前は今はどうでもいいんですけどね。

本題に移りましょう。
2を4つすべてと、四則計算+、-、×、÷、()と、累乗(22 など)のみをつかって、1~10を作ってみましょう。

すると、ある一つの数字だけ、作れない数字が存在します。

さて、どの数字でしょう?


・・・


ということですが、もう答えを言ってしまってもいいですか?

ご自身で、紙と鉛筆(もちろんパソコンのワードでもメモ帳でも構いませんが)考えてみましょう。

・・・


・・・


どうでしょう?

分かりましたでしょうか?


実は、答えは、なのです。

7だけが、どうしてもできないのです。

しかし、数字は2を4つという条件だけで、四則計算のみという条件を取り払ったら、なんとかして作れます。


例えば、

(2 + 2) !! + 2 ÷ 2

2 + 2 + 2 + [√2]

2H2 + 2 + 2

2H2 + 2 + 2

などがありますね。

授業を延長してもらうと、上の解説と、1~10他の数字についての一例をご覧いただけます。

↓↓みたい!!↓↓
19:23  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.12.13 (Sat)

12/13解答

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
誘導タイプの問題ですね。
「a , b , c を実数とするとき、次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのような場合か。
(1) a2 + b2 + c2 ≧ ab + bc + ca
(2) a4 + b4 + c4 ≧ abc ( a + b + c )」
[1997 東北学院大]

それでは解答です。

(証明)
王道の解き方をいたしましょう。
(1)
(左辺)-(右辺)
= a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca
= (1/2)(a2 - 2ab + b2 + b2 - 2bc + c2 + c2 - 2ca + a2)
= (1/2){(a-b)2 + (b-c)2 + (c-a)2
≧0
(∵実数の二乗の和は0以上)

よって、a2 + b2 + c2 ≧ ab + bc + ca
ただし、等号成立は、a - b = b - c = c - a = 0 つまり、a = b = c のとき。


(2)
(1)の結果のa,b,c にそれぞれ a2,b2,c2 を代入すると、
(a2)2 + (b2)2 + (c2)2 ≧ (ab)2 + (bc)2 + (ca)2

また、(1)の結果のa,b,c にそれぞれ ab,bc,ca を代入すると、
(ab)2 + (bc)2 + (ca)2 ≧ abc ( a + b + c )

これら二つの不等式を合わせて、

(a2)2 + (b2)2 + (c2)2 ≧ (ab)2 + (bc)2 + (ca)2 ≧ abc ( a + b + c )

ゆえに、
(a2)2 + (b2)2 + (c2)2 ≧ abc ( a + b + c )

ただし、等号成立は、a = b = cのとき。


どうでしょうか?
それでは。



↓↓いいですね。↓↓
14:58  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.12.10 (Wed)

お詫び

残念ながら前回の問題の答え、見つけたらすごいです。
それでは。
22:15  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.12.08 (Mon)

略語

AI・・・Artificial Intelligence
Ai・・・Autopsy Imaging
DVD・・・Digital Versatile Disc
E.T.・・・The Extra Terrestrial
20:58  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.12.06 (Sat)

10.対角線論法

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
←「9.濃度」へ

それでは、予告通り「濃度の等しくない集合」についてお話したいと思います。

次の集合をご覧ください。

N を自然数の集合とし、
I = { x| x は 0 < x < 1 を満たす実数 }
とします。
もちろん、これらは無限集合です。

結論から言うと、実は、この二つの集合には、

card N < card I

が成り立ちます。

濃度が等しくない上に、実は自然数全体の集合よりも、0から1の区間という一見狭く見える区間内にあるすべての実数の集合の方が、濃度が高いというのです。

今から、これを証明しましょう。

前回の記事より、このことは、

N から I への全単射は存在せず、単射しか存在しない、ということを表しているので、このことを証明します。

N から I への写像では、単射しか存在しないことを示せば、card N < card I が成り立つことが示せる、というわけです。

(証明)
N から I への写像では、単射しか存在しないことを示す。

背理法で証明する。

N から I への全単射が存在すると仮定する。
この写像を ƒ とおく。

以下、位取り記法で表す。
(例えば、a=2 , b=3 とおいたとき、ab という数字は、 2 × 3 = 6 という数字を表すのではなく、単純に 23 という数を表します。)

ƒ(1)
=
0.
a1
a2
a3
a4
a5
a6
・・・
ƒ(2)
=
0.
b1
b2
b3
b4
b5
b6
・・・
ƒ(3)
=
0.
c1
c2
c3
c4
c5
c6
・・・
ƒ(4)
=
0.
d1
d2
d3
d4
d5
d6
・・・
ƒ(5)
=
0.
e1
e2
e3
e4
e5
e6
・・・
ƒ(6)
=
0.
f1
f2
f3
f4
f5
f6
・・・
・・・

となるとします。ただし、それぞれの数列{an},{bn},{cn},{dn},{en},{fn},・・・の項が、すべて0 や 9 になることはなく、項はすべて一桁の自然数であるものとします。
(0.999・・・ = 1 , 0.000・・・ = 0 となり、これは集合 N から I への写像とはならないからです)

ここで、次のような小数を作ります。

α = 0.a1b2c3d4e5f6・・・

です。
この小数αは、
「小数第m位の数は、ƒ(m)の小数第m位の数と等しい」
という小数です。ただし、m は自然数とします。

そして、
a1 とは異なり、0でも9でもない一桁の整数を a
b2 とは異なり、0でも9でもない一桁の整数を b
c3 とは異なり、0でも9でもない一桁の整数を c
d4 とは異なり、0でも9でもない一桁の整数を d
e5 とは異なり、0でも9でもない一桁の整数を e
f6 とは異なり、0でも9でもない一桁の整数を f
・・・
として、

β = 0.abcdef・・・

という小数を作ります。
この小数βは、任意の自然数mにおいて、αの小数第m位とは、一致しません。

そして、βの作り方より、明らかに βは I の要素です。


N から I への全単射ƒが存在すると仮定しているので、
Nのある要素 n について、
ƒ(n) = β
となるような n は必ず存在するはずです。

しかし、βの作り方により、
ƒ(n) の小数第 n 位と、βの小数第 n 位は、絶対に一致することはありません。




ゆえに、βは、写像ƒでは表すことができず、ƒは単射ではありますが、全単射ではありません。
これは、全単射ƒが存在するという仮定に矛盾します。

ゆえに、
card N < card I
であるのです。
(Q.E.D.)



これは、カントールの突飛な頭脳が考え出した証明です。
素晴らしいと思いませんか?

この論法を、対角線論法と言います。

αを作る際に、

ƒ(1)
=
0.
a1
a2
a3
a4
a5
a6
・・・
ƒ(2)
=
0.
b1
b2
b3
b4
b5
b6
・・・
ƒ(3)
=
0.
c1
c2
c3
c4
c5
c6
・・・
ƒ(4)
=
0.
d1
d2
d3
d4
d5
d6
・・・
ƒ(5)
=
0.
e1
e2
e3
e4
e5
e6
・・・
ƒ(6)
=
0.
f1
f2
f3
f4
f5
f6
・・・
・・・

という生成方法を用いたことから、こう名付けられたようです。

どうでしょう?

「写像」の世界も、なかなかに広いものなのです。


↓↓mol/L,%↓↓
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2008.12.03 (Wed)

初等幾何学の面白さ

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
ベクトルや、座標幾何、解析幾何などで、図形の問題を考えていると、時たま「初等幾何」が恋しくなることがあります。

文明が進むにつれて、先進国は、料理の手段を、どんどんと近代化させていきます。

 ガスコンロを使い始めた時点で、もはや、料理法としては、殆どを尽くしているのですが、それでも「利便」というものを求め続け、「電磁誘導加熱器」なるものや、(所謂「IHクッキングヒーター」)までをも開発してしまいました(これについては、一長一短で、ガスコンロと同等かもしれませんが)。
 それよりも、やはり、「電子レンジ」という、超万能調理機器が存在しているのです。今やオーブンとも同化し、「温める」ことだけでなく、「焼く」こともできるようになり、それ以上のこともできるようになっているようです。
 嘗て、電子レンジで茹で卵を作ることはできませんでした。今となっては有名なことですが、爆発してしまいますね。
 茹で卵は、水を張った鍋をコンロの火にかけ、生卵を茹でる、というのが常識であり、電子レンジで作ろうとする、ずぼらな考えは、邪道でした。
 しかし、今や、電子レンジで、茹で卵を作る器具まで開発されてしまいました。
 そこまでして、電子レンジで茹で卵を作る必要はあったのでしょうか?と思います。
 家から、車の通れない道を通って、徒歩2分で行ける駅に、5分ほどかけてでも、車で行く必要はあるのでしょうか?
 歩けばいいじゃないですか。
 それと同じです。態々電子レンジを使おうとせずに、「ガスコンロの火で茹でる」という王道を堂々と通ればいい訳です。


 ・・・と少々脱線気味なようですが、結局、「便利なやり方が本当に便利なのか」ということです。
 全く頭を使わず、ただ機械的に計算をするだけで、ベクトルや、座標幾何、解析幾何では問題が解けるかも知れません。
 しかし、少し頭を捻って、初等幾何的な解法を編み出せれば、そちらの方が簡単にできるかも知れませんし、こちらの方が、数学的な力はつきそうな気がします。



 矢印も大事ですし、インテグラルも大事です。xy平面だって、大事です。
 しかし、やはり、「初等幾何」も、大事なのではないのでしょうか?


↓↓三垂線の定理・・・??↓↓
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