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2009.05.27 (Wed)

階乗の答え

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

交流掲示板<http://penpenpensama.hp.infoseek.co.jp/Go.html>

任意の正の実数xについて、
x! = Γ(x+1)
と定義する。このとき、次の値を求めよ。

(1) 6!
(2) 100!
(3) (1/2)!

ただし、
Γ(x) = ∫[0,∞]tx-1e-tdt

(答)
6! = 720

100! =
933262154439441526816992388562
667004907159682643816214685929
638952175999932299156089414639
761565182862536979208272237582
511852109168640000000000000000
00000000

(1/2)! = (√π)/2

↓↓ハイ↓↓
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14:57  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.05.26 (Tue)

階乗

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任意の正の実数xについて、
x! = Γ(x+1)
と定義する。このとき、次の値を求めよ。

(1) 6!
(2) 100!
(3) (1/2)!

ただし、
Γ(x) = ∫[0,∞]tx-1e-tdt


↓↓ハ?↓↓
17:19  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.04.28 (Tue)

無限の彼方を利用する2

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「1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ・・・ = 2
などの和を用いて、素数が無限個あることを証明せよ。」
とのことですね。

証明してみましょう。

(証明)
少々イレギュラーですが、次の事柄は既知の事実として扱います。
このことは、また後日、詳しくお伝えしましょう。

1 + 1/n + 1/n2 + 1/n3 + 1/n4 + ・・・ = n/(n-1) ・・・※

です。

これを使います。


素数が
2,3,5,7,・・・,p
というように有限個だとすると、全ての自然数は、

2e2 3e3 5e5 7e7 ・・・ pep

というように因数分解されます。 ・・・☆

ただし、
e2,e3,e5,e7,・・・,ep は非負整数です。

ここで、

ζ = (1 + 1/2 + 1/22 + 1/23 + ・・・)(1 + 1/3 + 1/32 + 1/33 + ・・・)(1 + 1/5 + 1/52 + 1/53 + ・・・)・・・(1 + 1/p + 1/p2 + 1/p3 + ・・・)

という積を考えます。

ζの右辺を展開すると、☆より、この和はすべての自然数の逆数の和ということになり、

ζ = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ・・・

となります。

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ・・・

1 + 1/2 + (1/4 + 1/4) + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + ・・・) + ・・・
=
1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ・・・
=


よって、ζは無限大に発散します。


ところが、※より、

ζ = 2・(3/2)・(5/4)・・・・・(p/p-1)

となり、有限の確定値を持ちます。

よって、矛盾が示せたので、

素数は無限個あります。






それでは。


↓↓OH!↓↓

22:20  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.04.27 (Mon)

無限の彼方を利用する

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「1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ・・・ = 2
などの和を用いて、素数が無限個あることを証明せよ。」

↓↓Hi!↓↓
23:22  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.04.20 (Mon)

4/18解答

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「i = √(-1) と定義する。このとき、
i i は実数か。」

ということでしたね。

解答です。

(解答)
i = cos(π/2) + i ・sin(π/2) = e(π/2) i
とおけるので、

i i
= e{ (π/2) i } i

= e(π/2) i ・i

= e-(π/2)

e , -(π/2) はどちらも実数であるので、

e-(π/2)

は実数の実数乗となる。

よって、e-(π/2) は実数であるので、

i i は実数である。

面白いですね。
それでは。


↓↓ね。↓↓
22:28  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.04.18 (Sat)

4/18問題

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「i = √(-1) と定義する。このとき、
i i は実数か。」

奥深い。


↓↓奥深し↓↓
21:56  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.04.07 (Tue)

4/4解答

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ようやく解答です。

「(1+tan1゜)(1+tan2゜)(1+tan3゜)・・・(1+tan42゜)(1+tan43゜)(1+tan44゜)
の値を求めよ。」



(解答)
加法定理より、
tan(45°- θ) = (tan45° - tanθ)/(1+tan45°tanθ)
=(1-tanθ)/(1+tanθ)

である。

ここで、
(与式)
={(1+tan1゜)(1+tan44゜)}{(1+tan2゜)(1+tan43゜)}{(1+tan3゜)(1+tan42゜)}
・・・{(1+tan22°)(1+tan23°)}

であり、
中カッコ内は、θ=1°,2°,3°,・・・,22°
において、すべて
(1+tanθ){1+tan(45°-θ)}
の形になっている。

(1+tanθ){1+tan(45°-θ)}
= (1+tanθ){1 + (1-tanθ)/(1+tanθ)}
=(1+tanθ){(1+tanθ)/(1+tanθ) + (1-tanθ)/(1+tanθ)}
=(1+tanθ) + (1-tanθ)
= 2

となるので、

(1+tan1゜)(1+tan2゜)(1+tan3゜)・・・(1+tan42゜)(1+tan43゜)(1+tan44゜)

= 222

である。


ま、こんなところで。

↓↓終↓↓


21:41  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2009.04.04 (Sat)

4/4問題

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今回も問題です。

「(1+tan1゜)(1+tan2゜)(1+tan3゜)・・・(1+tan42゜)(1+tan43゜)(1+tan44゜)
の値を求めよ。」


この掛け算、計算してみてください。

↓↓surprise↓↓


22:20  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.03.28 (Sat)

数学マジック脚注

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やはり、数式にも、厳しい「条件」というものが課せられるわけです。

理論づくしの世界ですね。

↓↓・・・↓↓

21:28  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.03.27 (Fri)

数学マジック

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次の公式は、実際に成り立つ有名な公式です。

1 + x + x2 + x3 + x4 + ・・・ = 1/(1-x)

また、

1 + 1/x + 1/x2 + 1/x3 + 1/x4 + ・・・ = x/(x-1)


それでは、一つ目の式を x 倍して、辺々を足し合わせてみましょう。

1 + x + 1/x + x2 + 1/x2 + x3 + 1/x3 + x4 + 1/x4 + ・・・

= x/(1-x) + x/(x-1)

= x/(1-x) - x/(1-x)

= 0

明らかに

(左辺)≠ 0

と思えますが、0 になるという計算。

ちなみに、最初の式に x = 2 を代入すると、

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ・・・ = -1

ということにもなります。

摩訶不思議。

↓↓不可思議。↓↓

18:00  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.03.26 (Thu)

eが無理数であることの証明2

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それでは、ネイピア数

e = ∑[n=0,∞](1/n!) = 1 + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!) + ・・・

と定義して、
eが無理数であることを証明します。

(証明)
背理法で証明する。
e = a/b (a,bはともに自然数)とする。(eが正の数であることは明らか)
ここで、b!eを考えると、
b!e = b!・a/b = (b-1)!a
よって、b!e は整数。
しかし、
b!e
= b!{1 + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!) + ・・・ + (1/b!)} + b![{1/(b+1)!} + {1/(b+2)!} + ・・・]

となり、
b!{1 + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!) + ・・・ + (1/b!)}
は約分されて整数となるが、

b![{1/(b+1)!} + {1/(b+2)!} + ・・・]
= 1/(b+1) + 1/(b+2)(b+1) + ・・・

となり、整数でないので、

b!e は整数でないが、これはb!e が整数であることに矛盾する。

よって、e は a/b の形で表せない、つまり、有理数でないので、e は無理数である。

(Q.E.D.)

それでは。


↓↓どうでしたか?↓↓


21:17  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.03.25 (Wed)

eが無理数であることの証明

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それでは、ネイピア数

e = ∑[n=0,∞](1/n!) = 1 + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!) + ・・・

と定義して、
eが無理数であることを証明してみましょう。

挑戦してみてください。

それでは。

↓↓挑戦、お待ちしております!!↓↓


22:38  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.02.26 (Thu)

関数方程式8

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そういえば、2008年の数学オリンピックには、次のような問題が出されていましたね。

数学オリンピックでは、「微積分」「確率統計」「行列」は範囲外とのことです。
チャレンジしてみては?

<<第18回(2008年)日本数学オリンピック本選第4問>>
実数に対して定義され,実数値をとる関数ƒであって,任意の実数x,yに対して,
ƒ(x+y)ƒ(ƒ(x)-y) = xƒ(x) - yƒ(y)
をみたすものをすべて求めよ.


<<第49回(2008年)国際数学オリンピックスペイン大会第4問>>
関数ƒ : (0,∞) → (0,∞) (正の実数に対して定義され,正の実数値をとる関数ƒ)であって,次の条件をみたすものをすべて求めよ.

条件 : wx = yz をみたす任意の正の実数w,x,y,zに対して,
(ƒ(w))2 + (ƒ(x))2
=
w2 + x2
ƒ(y2) + ƒ(z2)
y2 + z2

が成立する.


解いてみてください。
難易度としては、JMO(日本数学オリンピック)本選の方が、格段に難しいと思います。

「必要条件から攻めていく」ということを忘れないでください。

解答は・・・御希望ならお教えいたします。

それでは。

↓↓ハッキリ↓↓



18:44  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.02.23 (Mon)

関数方程式7

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さて、今回こそは解説ですね。
問題は、こちらでした。
「関数 ƒ:Z → Z (ただし、Zは整数全体の集合とする)
について、次の2つのことが成り立つ。

(i)任意の整数 x について、
|ƒ(x)| < ∞

(ii)任意の整数 k ,n について、
ƒ(k+n) + ƒ(k-n) = 2ƒ(k)ƒ(n)

このとき、条件を満たす ƒ をすべて求めなさい。」



まず、ƒ(0)は定義されているので、この値について調べてみましょう。

k = n = 0 のとき、(ii)より、

2ƒ(0) = 2{ƒ(0)}2

であることが分かるので、
「ƒ(0) = 0 または ƒ(0) = 1」
です。

1) ƒ(0) = 0 のとき、
(ii)に、n = 0 を代入して、
2ƒ(k) = 2ƒ(k)ƒ(0)
よって、任意の整数 k について、
ƒ(k) = 0
であることが分かります。(必要条件です)

逆に、任意の整数 x について、
ƒ(x) = 0 のとき、
(i)および(ii)は成り立つので、

ƒ(x) = 0 は解の一つです。



2) ƒ(0) = 1 のとき、
(i)より、|ƒ(m)| が |ƒ(x)| (x は整数)の最大値となる整数 m が存在します。

(ii)において、 k = n = m とすると、
ƒ(2m) + ƒ(0) = 2{ƒ(m)}2

よって、
ƒ(2m) = 2{ƒ(m)}2 - 1

となります。

ここで、|ƒ(m)| > 1 のとき、

|2{ƒ(m)}2 - 1| - |ƒ(m)| > 0
より、

|ƒ(2m)| > |ƒ(m)|

となり、ƒ(m)の最大性に矛盾するので、

任意の整数 x に対して、
|ƒ(x)| ≦ 1 です。

|ƒ(m)| は最大値 1 をとります。

ƒ:Z → Z
より、
ƒ(x) の取り得る値は、-1,0,1のいずれかとなります。 ・・・(iii)

また、(ii)に k = 0 を代入して、
ƒ(n) + ƒ(-n) = 2ƒ(n)
より、任意の整数 n に対して
ƒ(-n) = ƒ(n)

よって、ƒ(x)は偶関数ですので、あとは x が自然数であるときのみを調べればよいわけです。

(iii)より、次の三つの場合を考えます。

a) ƒ(1) = -1 のとき
b) ƒ(1) = 0 のとき
c) ƒ(1) = 1 のとき


a)
ƒ(0) = 1, ƒ(1) = -1
なので、
(ii)のk,nに適当な数値を代入して、
ƒ(2) = 1 (k=n=1)
ƒ(3) = -1 (k=2,n=1)
ƒ(4) = 1 (k=3,n=1)

以上より、ƒ(i) = (-1)i (i = 1,2,3,・・・)
であることが予想され、これは数学的帰納法で示せます。

b)
ƒ(0) = 1,ƒ(1) = 0
なので、
ƒ(2) = -1 (k=n=1)
ƒ(3) = 0 (k=2,n=1)
ƒ(4) = 1 (k=3,n=1)
また、
ƒ(-1) = ƒ(1) = 0

以上より、
ƒ(2i) = (-1)i
ƒ(2i + 1) = 0
(i = 1,2,3,・・・)
であることが予想され、これは数学的帰納法で示せます。

c)
ƒ(0) = ƒ(1) = 1
なので、
(ii)のk,nに適当な数値を代入して、
ƒ(2) = 1 (k=n=1)
ƒ(3) = 1 (k=2,n=1)
ƒ(4) = 1 (k=3,n=1)

以上より、
ƒ(i) = 1 (i = 1,2,3,・・・)
であることが予想され、これは数学的帰納法で示せます。




以上 (i),(ii) より、
ƒ(x) = 0
または、
ƒ(x) = (-1)|x|
または、
ƒ(2x) = (-1)|x| かつ ƒ(2x+1) = 0
または、
ƒ(x) = 1

である。


どうでしたか?
それでは。

↓↓すごいですよ。↓↓

20:21  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.02.21 (Sat)

関数方程式6

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前回の問題の答えは次回です。

普通、関数方程式と言えば、微積分が絡んでくるような方程式を思い浮かべることが多いと思いますが、前回の問題のような方程式となると、これといった解法というものはありません。

まず、定義されたさまざまな値を代入して考えることが、第一でしょう。

0が定義域に含まれるのならば、ƒ(0) の値を考えてみたり、
また、ƒ(a) = 0 となるような a の値を考えてみたり・・・

等々、問題によって様々です。

パズルのようなものですね。

それでは。




↓↓明後日に期待↓↓

21:06  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.02.20 (Fri)

関数方程式5

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「関数」の概念を持たない小学生は遉(さすが)に無理でしょうが、中学生でも解けます。

問題です。
「関数 ƒ:Z → Z (ただし、Zは整数全体の集合とする)
について、次の2つのことが成り立つ。

(i)任意の整数 x について、
|ƒ(x)| < ∞

(ii)任意の整数 k ,n について、
ƒ(k+n) + ƒ(k-n) = 2ƒ(k)ƒ(n)

このとき、条件を満たす ƒ をすべて求めなさい。」



↓↓これこそ!!↓↓

21:19  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.02.19 (Thu)

関数方程式4

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「ƒ:R → R (Rは実数の集合)とし、
x,yを実数とする。
ƒ(x+y) = ƒ(x) + ƒ(y) ⇔ ƒ(x) = xƒ(1)」

これが成り立つものとして、次の関数方程式を解け。


x,yを実数とする。
ƒ(x+y) = ƒ(x)ƒ(y)
を満たす定数関数でない関数ƒ(x)を求めよ。」



ということですが、

解いてみましょう。

(解答)
ƒ(x+y) = ƒ(x)ƒ(y) ・・・(i)
とする。
(i)にx=y=0を代入して、
ƒ(0) = ƒ(0)ƒ(0)

ゆえに、ƒ(0) = 1 または 0
しかし、ƒ(0) = 0 のとき、
ƒ(x) = ƒ(x)ƒ(0) = 0
となり、定数関数となるので不適。

よって、ƒ(0) = 1 である。

また、ある x≠0 について、ƒ(x) = 0 のとき、
ƒ(0) = ƒ(x)ƒ(-x) = 0
となり、ƒ(0) = 1 に反する。

よって、すべての実数xについて、ƒ(x)≠0

ここで、任意のxに関し、
ƒ(x) = ƒ(x/2)ƒ(x/2) = (ƒ(x/2))2
で、ƒ(x/2)の値は実数で、また、ƒ(x)≠0より、
ƒ(x) > 0
である。


よって、logƒ(x) = g(x) とおくと、
(i)の両辺の自然対数をとって、
g(x+y) = g(x) + g(y)
であるので、
g(x)=xg(1) となる。

g(1) = logƒ(1) = a
とおくと、

logƒ(x) = xa より、

ƒ(x) = exa

となる。


このように解くのです。
それでは。


↓↓パチパチパチ↓↓

20:39  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.02.18 (Wed)

関数方程式3

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ところで、
すべての実数 x,y について、
ƒ(x+y) = ƒ(x) + ƒ(y)

が成り立つ関数ƒ(x)が微分可能であるとした時、どうなるでしょうか?

関数方程式を解いてみましょう。

まず、
ƒ(x+y) = ƒ(x) + ƒ(y)
の両辺を y で微分すると、
ƒ'(x+y) = ƒ'(y)
となります。このとき、ƒ(x)は定数とみなされているので、微分すると0になります。

y = 0 を代入して、
ƒ'(x) = ƒ'(0)

つまり、ƒ'(x) は定数関数であるので、 ƒ(x) は一次関数となります。

ƒ(x) = ax + b (a≠0)
とおくと、
ƒ(x+y) = ƒ(x) + ƒ(y)
より、
a(x+y) + b = ax + b + ay + b = a(x+y) + 2b

これが、xとyについての恒等式となるので、
a = a
b = 2b
となり、b = 0 なので、結局、
ƒ(x) = ax
となります。

つまり、ƒ'(x) = a となるので、

ƒ(x) = xƒ'(x)

となります。

よって、
ƒ(x) = xƒ'(0)
です。

また、x=1 を代入して、
ƒ(1) = ƒ'(0)
なので、

ƒ(x) = xƒ(1)
ということになります。
( ƒ(x) = ax )


どうでしょうか?

続きがあります。

↓↓パチパチパチ↓↓
21:56  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.02.17 (Tue)

関数方程式2

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まだ「関数方程式」ではありませんね。

前回の問題です。

「関数ƒ及びすべての実数 x,y について、
ƒ(x+y) = ƒ(x) + ƒ(y)
が成り立つとき、すべての有理数 r について、
ƒ(r) = rƒ(1)
が成立することを示せ。」


(証明)
x=y=0 を代入して、
ƒ(0) = 2ƒ(0)
ゆえに、
ƒ(0) = 0 
これより、r = 0 のとき、、ƒ(r) = rƒ(1) は成立する。 ・・・※


(1) r が任意の自然数のとき、ƒ(r) = rƒ(1)が成立することを示す。
数学的帰納法で示す。

(i) r = 1 のとき
ƒ(1) = 1・ƒ(1)
ゆえに、ƒ(r) = rƒ(1)

(ii) r = k(kは自然数)のとき、ƒ(r) = rƒ(1)が成立すると仮定する。
このとき、
ƒ(k+1) = ƒ(k) + ƒ(1) = kƒ(1) + ƒ(1) = (k+1)ƒ(1)
よって、r = k+1 のときも、ƒ(r) = rƒ(1)は成立する。

以上より、r が自然数のときのƒ(r) = rƒ(1)の成立は示された。


(2) r が任意の整数のとき、ƒ(r) = rƒ(1)が成立することを示す。
※と(1)より、r が 0 以上の整数のときのƒ(r) = rƒ(1)の成立は示されているので、r が任意の負の整数のときについて考える。
このとき、r = -n (nは任意の自然数)とおくと、
ƒ(0) = ƒ(n+(-n)) = ƒ(n) + ƒ(-n) = 0
∴-ƒ(n) = ƒ(-n)
これと(1)を合わせて、
-nƒ(1) = ƒ(-n)
r = -n より、
rƒ(1) = ƒ(r)
ゆえに、r が負の整数のときにも、ƒ(r) = rƒ(1) は成り立つ。
よって、r が任意の整数のときのƒ(r) = rƒ(1)の成立は示された。


(3) r が任意の既約分数のとき
r = 1/m (mは0でない任意の整数)とおける。
ƒ(1) = ƒ(m・1/m)
= ƒ((m-1)・1/m) + ƒ(1/m)
= ・・・
= mƒ(1/m)

ゆえに、ƒ(1) = mƒ(1/m)なので、
(1/m)ƒ(1) = ƒ(1/m)
r = 1/m より、
ƒ(r) = rƒ(1)

よって、r が任意の既約分数のときのƒ(r) = rƒ(1)の成立は示された。


(4) r が任意の有理数の分数のとき
(3)より既約分数のときのƒ(r) = rƒ(1)の成立は示されているので、
r = q/p (p,q は互いに素な任意の整数)
であるときのƒ(r) = rƒ(1)の成立を示せばよい。
ƒ(q/p) = ƒ(q・(1/p)) = qƒ(1/p)
ここで、(3)より、
ƒ(q/p) = qƒ(1/p) = q・(1/p)ƒ(1) = (q/p)ƒ(1)
r = q/p より、
ƒ(r) = rƒ(1)

よって、 r が任意の有理数の分数のときのƒ(r) = rƒ(1)の成立は示された。

以上(1)(2)(3)(4)より、r が任意の有理数のときの
ƒ(r) = rƒ(1)
の成立は示された。
(Q.E.D.)

本当に順番が大事な証明です。
是非、マスターしておきましょう。

それでは。




↓↓証明する順番が大事でした↓↓
22:57  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.02.16 (Mon)

関数方程式

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関数方程式の第一回目です。
いきなり問題です。

「関数方程式」ではありませんが。

「関数ƒ及びすべての実数 x,y について、
ƒ(x+y) = ƒ(x) + ƒ(y)
が成り立つとき、すべての有理数 r について、
ƒ(r) = rƒ(1)
が成立することを示せ。」


↓↓証明する順番が大事↓↓
22:21  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.01.22 (Thu)

コーシー=シュワルツの不等式2 (問題)

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次の、コーシー=シュワルツの不等式を証明しなさい。

項が全て正数である数列{an},{bn}と、任意の自然数mにおいて、
(∑[m,i=1]ai2)(∑[m,i=1]bi2) ≧ (∑[m,i=1]aibi)2


(ただし、等号成立は a1:b1 = a2:b2 = a3:b3 = ・・・ = am:bm のとき)


つまり、

(a12 + a22 + a32 + ・・・ + am2)(b12 + b22 + b32 + ・・・ + bm2)

(a1b1 + a2b2 + a3b3 + ・・・ + ambm)2

ということです。



↓↓素晴らしいのです。↓↓
18:53  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2009.01.09 (Fri)

中間値の定理の考え方

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「ある人は、ある6kmの区間を18分かけて走った。
このとき、この区間のうちで、3分で走った1kmの区間が必ず存在すること示せ。」


直感で考えると、ありそうな、なさそうな・・・というような問題です。

この人が、常に一定の速さで走っていたのならばこのことは自明ですが、実際問題、そんな人はまずいないでしょう。

最初の1kmは15分で走って、残りの5kmを3分で駆け抜けた可能性もあります。恐らく世界に通用するレベルのお方ではないかとは思いますが。


どんな走り方であっても、どこか1kmの区間は、ちょうど3分で駆け抜けているのです。


一応正解を述べておきましょう。

(証明)
スタート地点より x(km) (0≦x≦5)の地点から、x+1(km) の地点を走り抜けるまでにかかった時間を
ƒ(x) (分) とおきます。

すると、
ƒ(0) + ƒ(1) + ƒ(2) + ƒ(3) + ƒ(4) + ƒ(5) = 18

です。

よって、ƒ(0)からƒ(5)まででは、どれかは3以上で、また、どれかは3以下であるはずです。

つまり、0≦a≦5 , 0≦b≦5 ,a<b を満たす実数a,bにおいて、
ƒ(a) ≦ 3
ƒ(b) ≧ 3
となる実数a,bが存在します。
ただし、ƒ(a) < ƒ(b)
です。

また、関数ƒ(x)は、区間 a≦x≦bにおいて連続で、

ƒ(a) ≦ 3 ≦ ƒ(b)

ですので、中間値の定理より、

3 = ƒ(c)となるような実数c (a≦c≦b)が必ず存在します。

以上より、題意は示せました。(Q.E.D.)

中間値の定理です。

簡単に言えば、

「a≦x≦bにおいて定義され、連続する関数ƒ(x)において、

ƒ(a) < ƒ(b)

のとき、

ƒ(a) ≦ y ≦ ƒ(b)

となる y において、

y = ƒ(c)

となる a≦c≦b の範囲内の実数 c が存在する」


というものです。

分かりやすく直感的に説明いたしましょう。

下の図をご覧ください。



chukan.jpg

区間[a,b]における関数ƒ(x)の図です。

点Aから点Bまでこの関数は、途切れることなく、続いています。

そうすると、「?」の部分がどんな形になろうと、この関数は、y座標がƒ(c)となるところを、必ず横切らなければなりません。

分かりますよね?

こういうことです。

厳密な証明は、数III にまかせましょう。

それでは。


↓↓それでは。↓↓


18:57  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.01.06 (Tue)

抛物線とy軸

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放物線(抛物線)
y = x2
上の二点、
A(a,a2)及びB(-b,b2
について考えます。ただし、a,bは非負整数です。

線分ABとy軸との交点の座標は、一体いくらでしょうか?



考えてみましょう。


線分ABとy軸との交点をPとします。

三点A,B,Pをx軸上に正射影した点を、それぞれAx ,Bx ,Px とします。

Ax Px : Px Bx = a : b

ですので、

AP : PB = a : b

よって、三点A,B,Pをy軸上に正射影した点を、それぞれAy ,By ,Py とすると、

Ay Py : Py By = a : b

ということになります。

つまり、点Pは、

点(0,a2)と(0,b2)を a : b に内分する点ですので、

点Pのy座標は、

a2・b/(a+b) + b2・a/(a+b)

= ab(a+b)/(a+b)

= ab

となります。よって、

P(0,ab)

です。


すなわち、

掛け算a×bの答えが現れるのです。

どうでしょうか?

今回はこれまでです。

それでは。

↓↓驚きました↓↓

21:12  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.12.24 (Wed)

区間縮小法

ご存じでしょうか?区間縮小法を。
その名の通り、区間をだんだんと極限まで狭めていき、限りなく1つになるまでにする方法です。詳しいことはまたの日に。それでは。
18:26  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.12.22 (Mon)

コーシー=シュワルツの不等式(数 I /数 B )

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今回紹介するのはこれ。

実数 x,y,a,b について、

( a2 + b2 )( x2 + y2 ) ≧ ( ax + by )2

ただし、等号成立は a : b = x : y のとき


というものです。

実はこれ、二つに限ったものではなく、


∑[ i = 1,n]を∑とただ表すことにすると、
実数列{xi},{yi}に対して、

( ∑xi2 )( ∑yi2 ) ≧ ( ∑xi yi )2

が成り立ちます。

↓↓へぇ~↓↓

18:00  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.12.05 (Fri)

9.濃度

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
←「8.一対一対応」へ
前回の内容をまとめておきます。

有限集合 AB において、要素の個数を #A , #B と表す時、

集合 A から B への単射が存在すれば、
#A ≦ #B

集合 A から B への全射が存在すれば、
#A ≧ #B

集合 A から B への全単射が存在すれば、
#A = #B

である。


上で、不等式にはイコールがついていますが、この等号が成立するのは、結局全単射が存在するときです。

なので、

集合 A から B への単射のみが存在するとき、
#A < #B

集合 A から B への全射のみが存在するとき、
#A > #B

です。


つまり、写像の有無を調べれば、自ずと有限集合の要素の個数の大小関係が見えてくるわけです。


さて、この考え方を用いて、「無限集合」の大きさなるものを比べることはできまいか?

そのように、偉大なる数学者、カントールは考えたわけです。(カントールについてはご自身で御調べください)


そして、次のように表すことにしたのです。

「無限集合 AB において、集合 A から B への全単射が存在するとき、 AB は濃度が等しいといい、
card A = card B
と表す」



有限集合の要素の個数のときと同じように、

集合 A から B への単射が存在すれば、
card A ≦ card B

集合 A から B への全射が存在すれば、
card A ≧ card B

ということが言えます。

また、特に、自然数の濃度を、ℵ0 (アレフゼロ) と言い、また、実数の濃度を、ℵ (アレフ) と言います。


以上のことから、たとえば、N を自然数の集合とし、

E = {2,4,6,8,10,12,14,16,・・・}

とおくと、

例えば、 N から E への写像で、ƒ(x) = 2x という写像を考えると、これは全単射となります。

N から E への全単射が存在しているので、

card N = card E
つまり、
0 = card E

ということが言えるわけです。


今回はここまでです。

次は、濃度の違う集合を見てみましょう。

「10.対角線論法」へ→


↓↓楽しい!!↓↓
19:58  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.12.04 (Thu)

8.一対一対応

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ

I = {x | 0<x<1}とするとき、

20 = card I


ですね。
アレフ、って言う記号、なんだかいい感じですね。(←気にしないでください。)

←「7.合成写像・合成関数」へ

要素の数が有限である集合の場合、
例えば、
A = {x | xは偶数,100<x≦200}
B = {x | xは奇数,1≦x≦100}
とします。
集合 A の要素の個数を #Aと書くことにすると、この場合、

#A = #B

ですね?

また、
C = {1,2,3}
D = {1,2,3,4,5,6}
とすると、明らかに、

#C > #D

が成り立ちます。

これらのことはすぐに理解できると思います。

一対一写像のことを、単射、上への写像のことを、全射といいます。

こちらの方が、分かりやすく語弊を招きにくい言葉でもありますので、こちらを用いることにします。


例えば、上で定義した集合 A および B について考えると、

集合A を集合 B へと移す写像というものを考えます。

つまり、ƒ:AB
という写像です。

このような写像を探すと、定義域を A として、

ƒ(x) = x - 101

というような写像を見つけることができます。

また、この逆関数 ƒ-1 (x) = x + 101
というのが存在して、
この写像は、集合 B を集合 A へと移す写像であり、また、

ƒ(n) = ƒ(m)
となるような n∊A ,m∊Aという二つの数について考えると、
ƒ(n) = ƒ(m)
より、
n - 101 = m - 101
よって、
n = m
であるので、ƒは単射であるので、先ほどのことより、全単射であることが分かります。

それに対し、
CD について考えます。
C から D への単射というものは存在しますから、(例えばƒ(x) = xという恒等写像)
#C ≦ #D
ということが分かります。

単射の性質を考えれば、明瞭なことです。
C のどの要素からも、 Dの中の要素に、重なることなく対応するような写像が「単射」ということですから、D の中の要素には、C の中の要素と対応しないものがあっても問題ありません。
ゆえに、D には、余りが出る可能性があるので、#C ≦ #Dであるのです。

それに対し、D から C への全射というものが存在します。例えば、g(x) = [x/2]
( [ ]はガウス記号です。 →あなたの誕生日は何曜日?華麗なる節約術など参照)です。

よって、
#D ≧ #C
ということは、こちらからも分かります。(こちらはご自身でお考えください)

一般に、二つの有限集合 ABについて、
A から B への単射が存在するとき、
#A ≦ #B

A から B への全射が存在するとき、
#A ≧ #B

そして、
A から B への全単射が存在するとき、
#A = #B

というようになっております。

しかし、これらは、あくまで「有限集合」での話です。
それでは、無限集合だとどうなるのか?

それが、冒頭で書いたことであるのです。

「9.濃度」へ→

↓↓単射・全射↓
22:01  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.11.26 (Wed)

グラフで遊ぶ

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
いろいろなグラフを描いて遊んでみました。

r = ƒ(θ) は、極方程式を表します。


r = 3sin2θ
三葉


r = 1/cosθ + 2 (直線 x = 1 は漸近線)
螺獅線


x = 3sin2θ , y = 3sin3θ (θは媒介変数)
リサジュー


いろいろと楽しいものですね。


↓↓遊ぼう!!↓↓


17:45  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.11.17 (Mon)

複素表面とベクトル

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
極座標
複素数の表し方
極形式の練習
複素数(極形式)の掛け算
極形式の割り算・方程式の解法
常用対数(補足)、複素数(補足)
複素平面上で考える
の続きです。



さてさて、次の問題を解いてみましょうか。

「z1,z2を相異なる複素数とし、

z3 = |z1|2 z2 + z1 |z2|2 + z12 z2 + z1 z22 + z1

とするとき、

複素平面上において、z3 と (2z1 + z2) と z1 が同一直線上にあることを示せ。」




これを考える前に、一点。

複素数の足し算・引き算は、複素平面上では、どのように考えればよいのでしょうか?


掛け算・割り算に関しては、複素数(極形式)の掛け算、及び、極形式の割り算・方程式の解法をご覧いただきましょう。


例えば、二つの複素数α,βがあります。
複素数αが複素平面上で表す点をA(α)
複素数βが複素平面上で表す点をB(β)
とし、原点をOとします。

そして、ベクトルOA↑とOB↑を考えます。

結論から言いますと、γ=α+βとし、複素数γが複素平面上で表す点をC(γ)とすると、
OC↑ = OA↑ + OB↑
となるのです。

引き算でも同様です。
γ=α-β
において、
OC↑ = OA↑ - OB↑
が成り立ちます。
つまり、OC↑ = BA↑
となる、ということです。

よって、複素数の足し算、引き算に関しては、複素数をベクトルのように扱えばよい、ということになるのです。

例えば、△ABCにおいて、
A(α),B(β),C(γ)としたとき(ただし、α,β,γは相違なる複素数)、
△ABCの重心Gの座標は、
(α+β+γ)/3
となります。

位置ベクトルと同じように考えればよいのですね。


さあ、わかってきましたか?

例えば、4点A(α),B(β),C(γ),D(δ)があるとき、
AB//CD
のための条件は、
k(α-β) = γ-δ  (ただし、kは実数)
とおけるのです。

分かりましたか?

それでは、次回、最初の問題を解いていきましょう。


↓↓Complex Number!!↓↓
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2008.11.13 (Thu)

階乗

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
(1/2) ! = (√π)/2
ですって。ガンマ関数を用いて、
(1/2)! = Γ(3/2) = ∫[ ∞,0 ] (√t)e -t dt
で、計算すると、(√π)/2
となります。

↓↓小数の階乗!!↓↓

20:49  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑
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