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2009.07.24 (Fri)

7/20手抜き解答

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/mathbun/mathbun89.htm

参照してください。
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21:22  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.07.20 (Mon)

7/20問題

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問題です。

X + Y + Z = 0
のとき、
(X5+Y5+Z5)/5 = (X3+Y3+Z3)/3 × (X2+Y2+Z2)/2
が成り立つことを示せ。



なんだか美しいですね。


↓↓感動したらポチッ↓↓

 
22:37  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.06.06 (Sat)

ただ美しい行列式

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nを自然数とする。

n!(n-1)!(n-2)!・・・3!2!1!

=Π[k=1,n] k!

=| 1 1213・・・1n|
| 2 2223・・・2n|
| 3 3233・・・3n|
|・・・・・・・・・・・・・・・|
| n n2n3・・・nn|


うまく描けませんが。


↓↓それでは↓↓
22:42  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.04.15 (Wed)

さて、ツェラーの形式を思い出しましょう

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

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「13日の金曜日はどの年にも少なくとも1日は存在することを証明せよ。」

証明をしましょう。

使う公式は、あなたの誕生日は何曜日?華麗なる節約術で紹介しました、ツェラーの公式です。


ツェラーの公式です。

a百b年c月d日の曜日を求める。
(aは西暦の上2桁、bは西暦の下2桁。1月・2月の場合は前の年の13月・14月として計算する。よって、2008年1月は2007年13月として計算する。)

そのとき、
W=[a/4]-2a+[b/4]+b+[13(c+1)/5]+d
とし、
Wを7で割った余り(Wが負の数の時は、Wに7の倍数を足して正の数にする。例えばW=-1なら、Wに7の倍数の7を足して、6にする)が0の時は土曜日、1の時は月曜日、2の時は火曜日、・・・6の時は金曜日となる。(下図)
余り0123456
曜日


(証明)
a,b,d を固定し、c が3から14までの値をとるとき、 [13(c+1)/5] と {0,1,2,3,4,5,6} が mod 7 で合同となればよい。
(つまり、[13(c+1)/5] を7で割った余りが、0から6までのすべての値をとればよい)

c に対する [13(c+1)/5] の値と、それを 7 で割った余りを表に表すと、下図のようになる。

c
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
mod 7
3
6
1
4
6
2
5
0
3
5
1
4


[13(c+1)/5] と {0,1,2,3,4,5,6} が mod 7 で合同となるので、示された。
(Q.E.D.)

ちなみに、これを見る限り、3月から10月の間に少なくとも一回、13日の金曜日が存在することも分かり、1日から28日は、毎年、すべての曜日に当たっている、ということが分かります。

それでは。



↓↓終了↓↓

22:07  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.04.14 (Tue)

さて、復習問題

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「13日の金曜日はどの年にも少なくとも1日は存在することを証明せよ。」

使う公式は?

↓↓既に公式は紹介しましたよ↓↓

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2009.02.05 (Thu)

中国剰余定理4

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中国剰余定理実践問題解答篇ですね。
「どの数も素数の二乗を因数にもつような、1000000個の連続した整数は存在するか」
ということですが、あっさりとした解答です。
気持ちいいですね。

(解答)
p1,p2,p3,・・・,p1000000
を相異なる1000000個の素数とする。
このとき、
p21,p22,p23,・・・,p21000000
は、すべて互いに素である。

よって、中国剰余定理より、
x ≡ -k (mod p2k )
となる xは存在する。

ゆえに、
x + k ≡ 0 (mod p2k )
となるので、どの数も素数の二乗を因数にもつような、1000000個の連続した整数は存在し、

連続した整数の列、

x + 1 , x + 2 , x + 3 ,・・・, x + 106

が求める1000000個の連続した整数である。

簡単ですね。
それでは。


↓↓中国剰余定理万歳↓↓

21:14  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.02.04 (Wed)

中国剰余定理3

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それでは、問題です。
「どの数も素数の二乗を因数にもつような、1000000個の連続した整数は存在するか」

では。

↓↓勿論「はい」か「いいえ」だけで答えないように↓↓

21:15  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.02.03 (Tue)

中国剰余定理2

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中国剰余定理の証明ですね。

今回は、数学的帰納法で証明したいと思います。


この数学的帰納法、面白いことに、「最小のとき」を証明する方が難しいのです。


どういうことかというと、たとえば、数学的帰納法では、
[I] n=1 のとき
[II] n=k のときに題意が成り立つと仮定したとき、n=k+1
という二段階を踏んで証明しますよね?

普通は、[I]のときの証明はそれほど難しくなく、この証明で一番頭を使うところと言えば、おそらく[II]の方でしょう。

しかし、今回の証明は、[I]の方が難しいのです。

まずは、中国剰余定理です。
「p1,p2,p3,・・・,pkを、どの二つも互いに素である整数とする。
a1,a2,a3,・・・,akを整数とするとき、
x ≡ ai (mod pi) ( i = 1,2,3,・・・,k )
を満たす整数 x が存在する」


証明しましょう。

(証明)
数学的帰納法で証明する。
(今回議論すべきは、i が 2 以上の整数のときです。 i が 1 のときというのは、この定理の意味がありませんから)

[I] k = 2 のとき
a1 = a,a2 = b
とおき、
p1 = m,p2 = n
とおく。

このとき、
x ≡ a (mod m) かつ x ≡ b (mod n) を満たす整数 x が存在することを示せばよい。

ここで、
a,a+m,a+2m,a+3m,・・・,a+(n-1)m
という n 個の整数について考えると、これらはすべて m を法として a と合同である。
また、これらの整数はすべて、 n を法として合同でない。

なぜなら、整数 h,j を用いて、(0≦h<j<n)
a+hm ≡ a+jm (mod n)
と表せるとすると、移行して、
(j-h)m ≡ 0 (mod n)
m,n は互いに素であるので、j-h が n で割り切れなければならないが、0≦h<j<n であることから、j-h が n で割り切れることはないので、
a+hm ≡ a+jm (mod n)
となることもないからである。

整数を n で割った時の剰余は、全部で n 通りあり、
a,a+m,a+2m,a+3m,・・・,a+(n-1)m は、どの 2 つも n を法として合同ではない n 個の整数であることから、
a,a+m,a+2m,a+3m,・・・,a+(n-1)m を n で割った時の剰余は、0 から n-1 の全ての場合を尽くす。

よって、任意の整数 b に対して、
a + lm ≡ b (mod n)
となるような整数 l が存在するので、
x = a + lm
としたとき、これが、
x ≡ a (mod m) かつ x ≡ b (mod n) を満たす整数 x である。

よって、k = 2 のとき、中国剰余定理は成り立つことが示された。


[II] k = u (u は2以上の自然数)のとき、中国剰余定理は成立すると仮定する。
このとき、帰納法の仮定より、
x ≡ ai (mod pi) ( i = 1,2,3,・・・,u )
となる整数 x が存在するので、これを c とする。
また、p1p2p3・・・pu = d
とおく。

このとき、d と pu+1 は互いに素であるので、
x ≡ c (mod d)
x ≡ au+1 (mod pu+1)
となる整数 x は、[I] より存在する。

よって、k = u+1 のときも中国剰余定理は成立する。


以上 [I] [II] より、中国剰余定理の成立は示された。
(Q.E.D.)

とても素晴らしい、見事な証明だと思いませんか?

それでは。

↓↓素晴らしい!!↓↓

22:28  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.02.02 (Mon)

中国剰余定理

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中国剰余定理です。
「剰余の定理」とは違う定理です。
ちなみに、「剰余の定理」とは、
「整式P(x)を x-a で割った余りは、P(a) の値に等しい」
というものです。
ここから、「因数定理」にも発展しますね。

今回は、中国剰余定理です。
まずは、下をご覧ください。


『孫子算経』の一節です。

「今有物、不知其数。三・三数之、剰二。五・五数之、剰三。七・七数之、剰二。問物幾何?
答曰:二十三。
術曰:『三・三数之、剰二』、置一百四十。『五・五数之、剰三』、置六十三。『七・七数之、剰二』、置三十。并之、得二百三十三。以二百一十減之、即得。凡、三・三数之、剰一、則置七十。五・五数之、剰一、則置二十一。七・七数之、剰一、則置十五。一百六以上、以一百五減之、即得。」


つまり、
「3で割ると2余り、5で割ると3余り、7で割ると2余る数は?」
という問題と、その答え、及び解説です。

日本の和算では、江戸時代に日本にこの問題が伝えられ、「百五減算」と言われていました。


ここから、「中国」という名前がついたようです。

それでは、定理の内容について見ていきましょう。

たとえば、次の表をご覧ください。



2で割った余り
3で割った余り
5で割った余り
1
1
1
1
2
0
2
2
3
1
0
3
4
0
1
4
5
1
2
0
6
0
0
1
7
1
1
2
8
0
2
3
9
1
0
4
10
0
1
0
11
1
2
1
12
0
0
2
13
1
1
3
14
0
2
4
15
1
0
0
16
0
1
1
17
1
2
2
18
0
0
3
19
1
1
4
20
0
2
0
21
1
0
1
22
0
1
2
23
1
2
3
24
0
0
4
25
1
1
0
26
0
2
1
27
1
0
2
28
0
1
3
29
1
2
4
30
0
0
0


1~30 までの整数を、2,3,5それぞれで割った時の剰余を表にしてみました。

何か、気付くことはありませんか?

そうです。全ての「余りの組み合わせ」が一つずつ登場しているのです。

例えば、ƒ(x,y,z) という関数を、
「2で割ると x 余り、3で割ると y 余り、5で割ると z 余る整数で、1以上30以下のもの」というように定義すると、
(ただし、x=0,1 y=0,1,2 z=0,1,2,3,4)
ƒ(0,0,0) = 30
ƒ(1,0,4) = 9
ƒ(1,2,4) = 29
というように、すべて一意に定まります。

このようなことを述べた定理が、中国剰余定理です。



<<中国剰余定理>>
「p1,p2,p3,・・・,pkを、どの二つも互いに素である整数とする。
a1,a2,a3,・・・,akを整数とするとき、
x ≡ ai (mod pi) ( i = 1,2,3,・・・,k )
を満たす整数 x が存在する」


つまり、ある整数を、
p1で割った余り、p2で割った余り、p3で割った余り、・・・
の組が、どんな組であろうと、それを満たすある整数 x というものは存在する、という定理です。


それでは、これを証明してみてください。

それでは。

↓↓次回は証明↓↓


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2009.01.20 (Tue)

1/19解答

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さてさて、前回の問題ですね。
「1335 + 1105 + 845 + 275 = n5
を満たす自然数 n の値を求めよ」


解答です。

(解答)
まず、
1335 + 1105 + 845 + 275 ≡ 15 + 05 + 05 + 15 ≡ 2 ≡ 0 (mod 2)
1335 + 1105 + 845 + 275 ≡ 15 + 25 + 05 + 05 ≡ 1 + (-1)5 ≡ 0 (mod 3)
1335 + 1105 + 845 + 275 ≡ 35 + 05 + 45 + 25 ≡ (-2)5 + 05 + (-1)5 + 25 ≡ -1 ≡ 4 (mod 5)

つまり、
n5は、
2の倍数かつ3の倍数、すなわち6の倍数
かつ
5で割って4余る
自然数

である。

ここで、任意の整数 k について、一般に
k5 ≡ k (mod 5)
k5 ≡ k (mod 3)
k5 ≡ k (mod 2)
が成り立つ(証明は後ほど)ので、

n は、
2の倍数かつ3の倍数、すなわち6の倍数
かつ
5で割って4余る
自然数
 ・・・※
である。

ここで、
1335 + 1105 + 845 + 275 = n5
より、
n > 133
であることが必要条件である。

※及び n>133 を満たす n を求めると、
n = 144,174,204・・・

ここで、n = 174 とすると、



n5 = 1745

= 1335 ・ (174/133)5

> 1335 ・ 1.35

>1335 ・ 3

= 1335 + 1335 + 1335

>1335 + 1105 + (84 + 27)5

>1335 + 1105 + 845 + 275

より、

n5 >1335 + 1105 + 845 + 275

であり、この不等式は n が174より大きければ常に成り立つので、

n < 174

先ほどの候補の中で、この範囲を満たす n は、
144
のみである。

どうでしょうか?

※の証明は、授業を延長してご覧ください。

↓↓ エクセレント!↓↓
21:58  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.01.19 (Mon)

1/19問題 ~方程式~

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さて、問題です。
「1335 + 1105 + 845 + 275 = n5
を満たす自然数 n の値を求めよ」


方程式です。
そのまま計算しても、解けないことはないと思いますが、「五乗根を頑張って求めましょう」という問題ではありませんね。
五次方程式には、解の公式はあるようですが、とても手軽に使えるようなものではありません。

工夫して解きましょう。電卓なんて卑怯なマネはここではよしてください。

ヒントは、「消去法」です。そのために、n の候補をあげましょう。


↓↓ "n" ってどんな自然数?↓↓
11:59  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2008.10.16 (Thu)

ω

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
 次の問題をご覧ください。

x5 + x + 1 を因数分解せよ。

さて、解答です。

(解答)
x3 = 1 の1でない複素数解の一つをωとおく。

すると、次の事柄が成り立つ。

ω + ω2 + 1 = 0
ω = ω2
ω3 = 1


ここで、
ƒ(x) = x5 + x + 1
とおくと、

ƒ(ω) = ω5 + ω + 1 = ω2 + ω + 1 = 0
ƒ(ω2) = ω10 + ω2 + 1 = ω + ω2 + 1 = 0

よって、因数定理より、ƒ(x) は、( x - ω ) ,及び ( x - ω2 ) で割り切れる。

∴ƒ(x)は、 ( x - ω )( x - ω2 ) を因数にもつ。

( x - ω )( x - ω2 ) = x2 + x + 1 であるので、

ƒ(x) = ( x2 + x + 1 )( x3 + x2 - 1 )

である。

分かりましたか?
それでは。

↓↓ω↓↓

20:38  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.10.08 (Wed)

フェルマー数

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
フェルマー数は、昔、フェルマーによって、それは素数であると予想されましたが、オイラーによってあっさりとその予想は間違っていることが示されてしまいました。

フェルマー数とは、次のように表せます。

Fn= 22n + 1


フェルマーは、{Fn}のすべての項は素数であると予想しました。
実際に計算してみると、

F0= 220+1= 21+1= 3
F1= 221+1= 22+1= 5
F2= 222+1= 24+1= 17
F3= 223+1= 28+1= 257
F4= 224+1= 216+1= 65537


となります。

ここまでは、全て素数です。
P≠NP予想の回にも述べましたが、素因数分解には公式など存在しません。
それ故、数字が大きくなると、それが素数であるのか合成数であるのかの判別も難しくなります。
それでは、次をご覧ください。

F5= 225+1= 232+1= 4294967297

4294967297が素数であるのかどうか?判別が難しい。
結論から言うと、これは合成数です。

4294967297を素因数分解すると、
4294967297= 641×6700417
となります。

ご覧のとおり、素因数自体が大きな数であり、この素因数を見つけることも一苦労です。

調べる素因数の範囲を限定しようとしても、

√4294967297<65536

ですので、結局「65536以下の素数を調べればよい」ということしかわからず、気の遠くなるような作業を続けなければなりません。

フェルマーがF5を素数だと思ったのも無理はないわけです。


実は、フェルマー数Fnで、nが5以上の整数のとき、素数であるフェルマー数はまだ見つかっていません。今のところは、フェルマー数でそれが素数であるものは、n=1,2,3,4のときのみです。これらの素数を、フェルマー素数と言います。


このように、実は大きな誤りだったフェルマーのこの予想。しかし、このフェルマー数には大きな意味がありました。

それは、
正多角形の作図
です。

正n角形がコンパスと定木のみを使って作図可能であるときのnの条件は、nが次の条件を満たすときです。

n = 2m × p1p2・・・pq(mは0以上の整数,p1・・・qは互いに異なるフェルマー素数または1)
かつ
n ≠ 1


よって、正三角形、正五角形、正十七角形、正二百五十七角形、正六万五千五百三十七角形は作図可能であることはすぐに分かります。つまり、角の数がフェルマー素数である正多角形は作図可能だということです。

また、角の数が異なるフェルマー素数の積である正多角形も作図可能です。
例えば、正十五角形、正五十一角形なども作図可能です。

上の数字に2を何回か掛けても作図可能です。
例えば、正六角形、正十二角形、正二十四角形、正三十四角形なども作図可能です。

あとは、角の数が2を何乗かしたものである正多角形も作図可能だということになります。
正方形、正八角形、正十六角形などが作図可能です。


分かりましたか?それでは。





↓↓フェルマー!↓↓
22:44  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.10.03 (Fri)

複素数の世界

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ

今回は複素平面とは離れましょう。

複素数まで世界を広げた時、どんな利点があるのでしょうか?

例えば、次をご覧ください。

α,β,aは実数です。

「xの二次式ƒ(x)について、
ƒ(x)=0の二解がx=α,βである

ƒ(x)=a(x-α)(x-β)

(aは定数)

分かりますね。
多項式を因数分解するということは、方程式を解くことと根本的な部分は同じなのです。

また、定数aの存在を考えなければ、
ƒ(x)=0の解が決定したとき、ƒ(x)は一意に定まる
ということも分かります。


ところで、次の二式をご覧ください。

ƒ(x)=(x-1)(x+1)
g(x)=(x2+1)(x-1)(x+1)

見るからに異なる式ですね。
ƒ(x)はxの二次式、
g(x)はxの四次式であるということは一目瞭然です。


ところが、実数の範囲で
ƒ(x)=0とg(x)=0の解を考えると、
どちらもx=±1
でしかなく、
F(x)=0の解が決定したとき、F(x)は一意に定まる
という考え方に基づくと、
ƒ(x)とg(x)は同じ関数である、ということになってしまいます。


しかし、これでは都合が悪い。
F(x)=0の解が決定したとき、F(x)は一意に定まる
とは、F(x)がxのn次式の時、xが実数の範囲でn個の解を持つときにしか成り立たないのでしょうか?


これでは、ややこしい。
「F(x)がxのn次式の時、xが実数の範囲でn個の解を持つ」
という条件をなんとか外せやしないだろうか。


そこで、世界を実数から複素数まで広げてみると、これはうまくいくのです。

ƒ(x)=0
の解は複素数の範囲でも相変わらずx=±1ですが、
g(x)=0
の解は、複素数の範囲だと、
x=±1,±i
となり、これでƒ(x)とg(x)の区別がつきました。


このように、複素数の範囲で考えると、実数の範囲ではうまくいかなかったことも、うまくいくようになるのです。



そして、次のような定理も成り立ちます。


代数学の基本定理
複素数の係数を持つn次方程式は必ず複素数の解を持つ

また、これは複素数の範囲で必ずn個の解(k重解はk個として数える)を持つことも分かっています。


 四次方程式までは「解の公式」が存在しますが、五次以上の方程式には解の公式が存在しないことも証明されています。



つまり、これらのことから、
「複素数係数のn次方程式には必ずn個の解が存在するが、必ずしもその解が何であるかは分からない」
ということが分かります。


どうです?おもしろいでしょう?

今日はここらへんで。

それでは。

↓↓x+yi↓↓

19:33  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2008.09.20 (Sat)

作図可能と代数5

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ

さて、今回解説するのは、前回導き出した方程式、

Xの三次方程式
X3-3X-2cos3θ=0
を解け

という問題ですね。


(解答)
3倍角の公式より、cos3θ=4cos3θ-3cosθ

∴X3-3X-2cos3θ=X3-3X-8cos3θ-6cosθ=0

このとき、
ƒ(X)=X3-3X-8cos3θ-6cosθ
とおくと、
ƒ(2cosθ)=0
となるので、
因数定理より、
X3-3X-8cos3θ-6cosθはX-2cosθを因数にもつ。

∴X3-3X-8cos3θ-6cosθ

=(X-2cosθ)(X2+2cosθ・X+4cos2θ-3)=0

2+2cosθ・X+4cos2θ-3=0のとき、解の公式より、

X=-cosθ±(√3)sinθ

三角関数(単振動)の合成をおこなうと、

X=2cos(120°±θ)



よって、方程式の解は
X=2cos(120°±θ),2cosθ



分かりましたか?
それでは。

↓↓分かりました↓↓
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2008.09.19 (Fri)

作図可能と代数4

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ


それでは、以前の問題を解決していきましょう。

以前紹介した方程式は、実は「角の三等分が作図でできる角」というものを求めていたのです。

まずは、下の図をご覧ください。

three

まず、3θ=∠AOBが与えられているものとします。

このとき、Oを中心として半円を描きます。このときの半円の半径を1とします。
そして、直線OB上に点Cをとり、直線ACを描きます。
ACと半円Oの円弧との交点のうちAでない方をDとします。
このとき、DC=1となるようにするものとします。

すると、OB=OD=DCとなります。

∠DCO=∠DOC=α
とします。

すると、∠ODA=∠DCO+∠DOC=2α
となります。

そして、OD=OAであるので、
∠ODA=∠OAD=2α
となります。

∠DOC+∠DOA+∠AOB=180°
であるので、
このことと△ODAに着目すると、

∠DOC+∠AOB=4α

であることが分かります。

∠DOC=α

であるので、

∠AOB=3α

です。

∠AOB=3θ

であるので、

3α=3θ

よって、

α=θ

∠AOB=3θ,∠DCO=θであるので、

∠DCOは∠AOBを三等分した角です。


まずは、このようにして角の三等分ができましたが、この図を見る限り、与えられた∠AOB=3θに応じた長さの線分OCが作図できれば、∠ACO=θになるということです。

よって、∠AOBの三等分が作図可能ということは、線分OCが作図可能であるということと同値です。


それでは、OC=Xとおきましょう。
また、DF=AF=Y,OG=aとおきます。
そして、図に示したように点E,F,Gをとります。

すると、
△CDE∽△COE∽△DAG
となります。

よって、

1:(X/2)=X:(1+Y)=(1+2Y):(X+a)

です。

これより、

X2/2=1+Y ・・・(i)
(1+Y)(1+2Y)=X(X+a) ・・・(ii)

ということが分かります。
(i)式より、

Y=(X2+2)/2

これを(ii)式に代入すると、

X3-3X-2a=0

という方程式が導き出されます。

aという線分の長さは、与えられる角3θに依存し、
a=cos3θであるので、

X3-3X-2cos3θ=0

という式が導かれ、これが以前出題した方程式です。



さあ、分かってきましたでしょうか?

ちなみに、この方程式の解き方はまた後日。

それでは。



↓↓今日も終わりっ!↓↓
22:29  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.09.15 (Mon)

作図可能と代数3

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ


前回問題提起だけで終わったこの問題、
「xの方程式
x3 - 3x - 2cos 3θ=0
(0°≦θ≦360°)
の解のうち、
xが無理数(二乗根)の範囲までの比(分数)であらわすことができる解を持つとき、
これを満たす整数の角度θの値を求めなさい」

というものですが、答えだけを簡単に示していきたいと思います。


まず、この方程式の解は、
x=2cosθ,2cos(120°±θ)
です。

例えば、θ=30°のとき、cosθ= √3 / 2 となるので、
x=√3
が一つの解となり、これは、問題文を満たすxの解であるので、θ=30°が題意を満たすθの一つということになります。

ほかに、45°60°90°120°135°150°180°210°225°240°270°300°315°330°360°(これは、x=2cosθの解を考えた時に、題意を満たすθ)
なども考えられます。


ここでお詫びです。

出題の時点でミスをしておりました。

まず、今回は訂正しましたが、θは整数の角度(度数法)です。
また、0°≦θ≦120°
で考えるべきでした・・・


なぜなら上の問題で求めたθの三倍の角度、3θは、
作図によって角の三等分ができる角
であるからなのです。

だから、上の問題では、θ=15°も題意を満たしますが、この三倍の角、3θ=45°は、作図によって三等分ができます。

他にも135°も三等分できることが分かります。他にもたくさん分かりますね。


では、何故この方程式を解けば、このように「作図可能」の問題と結び付けられるのでしょうか?


↓↓終わりっ!↓↓
21:54  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.09.13 (Sat)

作図可能と代数2

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ

以前、作図可能と代数で、
代数で、+,-,×,÷,√を使って表される数は、作図が可能
と言いました。

「二次方程式を繰り返しといていくことによって得られる範囲の数」ならば、定木とコンパスで作図が可能なのです。

つまり、二次方程式、又は、一次方程式のみの問題に帰結できるならば、それは作図可能です

・・・と、少々分かりにくい表現になってしまいましたが、これは頭の片隅にでも置いておいてください。





それでは兎に角、次の問題をお解きください。

「xの方程式
x3 - 3x - 2cos 3θ=0
(0°≦θ≦360°)
の解のうち、
xが無理数(二乗根)の範囲までの比(分数)であらわすことができる解を持つとき、
これを満たすθの値を求めなさい」


すみません、拙い文章で…

つまり、「x=1/√2」などのように表せる解をもてばよいわけです。


今日はこのように問題提起だけで終了させていただきます。


それでは。


↓↓え~!!↓↓
21:41  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.07.19 (Sat)

ド・モアブルの定理の数学的帰納法を用いた証明

(i は虚数単位とします)

ド・モアブルの定理
「任意の整数nについて、
(cosθ+i・sinθ)n=cos(nθ)+i・sin(nθ)
が成り立つことを示せ」
(証明)

(i)n=0のとき
(cosθ+i・sinθ)0=1
cos(0・θ)+i・sin(0・θ)=cos0+i・sin0=1

よって、(cosθ+i・sinθ)n=cos(nθ)+i・sin(nθ)

(ii)n=kのとき、
(cosθ+i・sinθ)n=cos(nθ)+i・sin(nθ)が成り立つと仮定する。
つまり、(cosθ+i・sinθ)k=cos(kθ)+i・sin(kθ)

n=k+1のときについて考えると、
(cosθ+i・sinθ)k+1
=(cosθ+i・sinθ)
=(cosθ+i・sinθ)k (cosθ+i・sinθ)
={cos(kθ)+i・sin(kθ)}(cosθ+i・sinθ)
=cos(kθ)cosθ-sin(kθ)sinθ+i・{cos(kθ)sinθ+sin(kθ)cosθ}
(加法定理より、)
=cos(kθ+θ)+i・sin(kθ+θ)
=cos( (k+1)θ)+i・sin( (k+1)θ)

となり、n=kのときに等式(cosθ+i・sinθ)n=cos(nθ)+i・sin(nθ)が成り立つのならば、
n=k+1のときにも、等式(cosθ+i・sinθ)n=cos(nθ)+i・sin(nθ)は成り立つ。

以上(i)(ii)より、nが0以上の整数のときに
等式(cosθ+i・sinθ)n=cos(nθ)+i・sin(nθ)が成り立つことが示された。

(iii)n<0のとき、n=-mを満たす整数mについて考える。
n<0,n=-mで、mは整数なので、mは自然数。

なので、n=mのとき、等式(cosθ+i・sinθ)n=cos(nθ)+i・sin(nθ)は成り立つ。

n=-mのとき、

(cosθ+i・sinθ)-m
=1/(cosθ+i・sinθ)m
=1/{cos(mθ)+i・sin(mθ)}
={cos(mθ)-i・sin(mθ)} / {cos(mθ)+i・sin(mθ)}{cos(mθ)-i・sin(mθ)}
={cos(mθ)-i・sin(mθ)} / cos2(mθ)+sin2(mθ)
={cos(mθ)-i・sin(mθ)} / 1
=cos(mθ)-i・sin(mθ)

(cos(-α)=cosα,sin(-α)=-sinαなので、)

=cos(-mθ)+i・sin(-mθ)

よって、nが負の数のときにも、等式(cosθ+i・sinθ)n=cos(nθ)+i・sin(nθ)は成り立つ。

以上(i)(ii)(iii)より、
任意の整数nについて、
(cosθ+i・sinθ)n=cos(nθ)+i・sin(nθ)
が成り立つ。

(Q.E.D.)

ま、これはこれでよろしいかと。

それでは。
21:38  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(2)  |  EDIT  |  Top↑

2008.06.02 (Mon)

テストで使える 「数学α1問題集 16ページ」 エレガントな解法

こんな問題がありますね。やっぱり中3生かな?高1は復習のつもりで。

【例題】(余りを求める)
整式P(x)をx-1で割ると -1 余り,x2-2x+5で割ると 6x-11余る.
この整式を(x-1)(x2-2x+5)で割ったときの余りを求めよ.


まずは、問題集通りの解答を、より丁寧に、解説していきます。

≪問題集通りの解答≫
P(x)を(x-1)(x2-2x+5)で割ったときの余りを、整式Q(x)と置く。
(x-1)(x2-2x+5)は3次式であるから、余りは高々2次式の整式である。
よって、余りをax2+bx+cとおくと、
P(x)=(x-1)(x2-2x+5)Q(x)+ax2+bx+c ・・・(i)

となる。条件より、P(x)をx-1で割った余りは-1なので、P(1)=-1となる。

なぜなら、「P(x)をx-1で割った余りは-1」ということから、
P(x)=(x-1)・(商)+(-1)
であり、x=1を代入すれば、
P(1)=0・(商)-1=-1となる。

よって、P(1)=a+b+c=-1 ・・・(ii)

また、(i)の式を変形すると、
P(x)=(x-1)(x2-2x+5)Q(x)+ax2+bx+c
   =(x-1)(x2-2x+5)Q(x)+a(x2-2x+5)+2ax-5a+bx+c
   =(x2-2x+5){(x-a)Q(x)+a}+(2a+b)x-5a+c
となる。
ここで、(x2-2x+5){(x-a)Q(x)+a}は(x2-2x+5)で割り切れるので、P(x)を(x2-2x+5)で割った余りは(2a+b)x-5a+cである(一次以下の式)。

よって、条件より、P(x)を(x2-2x+5)で割った余りは6x-11なので、

6x-11=(2a+b)x-5a+c
係数を比較して、
6=2a+b ・・・(iii)
-11=-5a+c ・・・(iv)

(ii)(iii)(iv)より、連立方程式を解いて、a=1,b=4,c=-6

求める余りはax2+bx+cなので、上の値を代入して、x2+4x-6

したがって、上より、
整式P(x)を(x-1)(x2-2x+5)で割ったときの余りはx2+4x-6

途中の式変形も厄介ですし、何といっても連立方程式では間違える率が高く、そのような意味では「難しい」問題でしょう。もっと簡単な方法はないのでしょうか?
・・・そう思っていたら、ありました。ご覧ください。明らかに、簡単で、時間も節約できます。

≪elegant!≫
P(x)を(x2-2x+5)で割ったときの余りは6x-11なので、P(x)は、整式Q(x)を用いて、
P(x)=(x2-2x+5)Q(x)+6x-11 ・・・(i)

とおける。
また、Q(x)をx-1で割った商をQ'(x),余りをkとおくと、
Q(x)=(x-1)Q'(x)+k
なので、これを(i)に代入して、

P(x)=(x2-2x+5)(x-1)Q'(x)+k(x2-2x+5)+6x-11

となる。これは、
P(x)を(x-1)(x2-2x+5)で割ったときの商がQ'(x),余りがk(x2-2x+5)+6x-11であることを示している。

ここで、条件より、P(x)をx-1で割った余りは-1なので、P(1)=-1となる。
よって、
P(1)=4k-5=-1
よって、k=1

これを、k(x2-2x+5)+6x-11に代入して、
x2+4x-6


したがって、上より、
整式P(x)を(x-1)(x2-2x+5)で割ったときの余りはx2+4x-6

どうですか?どちらの方が簡単ですか?下の解き方は、連立方程式を使っておりません。また、最初の解法のように、複雑な式変形も行っておりません。
下のほうが、速く、かつ、正確に、そして簡単に解くことができると思います。
ぜひ、マスターしてみてください。
どちらのやり方でも、できるように。

それでは。

下に、前回の解答です。
18:31  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(2)  |  EDIT  |  Top↑

2008.05.30 (Fri)

間違い探し ~ありえない結論~

第二弾です。昨日は楽しい楽しい詭弁でした。論理は楽しいですね!今日は違います。「ありえない結論」です。

本題に入る前にちょっと。
0÷0は?
これ、「すべての数」です。「解なし」ではありませんよ。知ってましたか?よくよく思えばこれもまた当たり前ですが。


それでは、またまた間違いを見抜いてください。小学生でも解けるかな?・・・と思いましたが、さすがにそれは無理ですね。

最初は簡単です。

(1)ウサギとゾウ
ゾウの体重をa、ウサギの体重をbとおく。

-a=b-(a+b)
-b=a-(a+b)
この2式は明らかに成り立つ。
また、(-a)・b=a・(-b)も明らかに成り立つので、上の2式をこれに代入して、
{b-(a+b)}・b = a・{a-(a+b)}
両辺を展開して、
b2-(a+b)b=a2-(a+b)a
ここで、両辺に{(a+b)/2}2を加えると、どちらも平方数になり、
{b-(a+b)/2}2={a-(a+b)/2}2
これより、
b-(a+b)/2=a-(a+b)/2
よって、
a=b
つまり、ウサギの体重とゾウの体重は等しい。


そうだったんですね。ウサギの体重とゾウの体重は等しかったんですね。
では、次の問題に・・・
なんて、納得できませんよね。
すぐに分かったと思います。これはよくある間違いですよ。
いかにもそれっぽく書かれると気づきにくいかもしれませんが、それでもやっぱり見つけてくださいよ。

解答(1)

間違っているのは、
{b-(a+b)/2}2={a-(a+b)/2}2
これより、
b-(a+b)/2=a-(a+b)/2
としたのが間違いです。

これで気づいてもらいたいものですが、どうしてもわからない人は、たとえば
a=1000、b=2でも代入してみてください。
問題の箇所では、
(2-501)2=(1000-501)2
です。
(-401)2=4012
なのでOKです。
しかし、この次には、どちらかにマイナスの符号をつけて、
b - (a+b)/2 = - {a-(a+b)/2}
とする必要がありますね。


次の問題です。

(2)
a=1,b=1とする。
明らかに、a=b
両辺にbを掛けて、
ab=b2
さらに、両辺からa2を引いて、
ab-a2=b2-a2
両辺それぞれを整理して、
a(b-a)=(b+a)(b-a)
両辺を (b-a) で割って、
a=b+a
ここで、a=1,b=1なので、
1=1+1
よって、
1=2


中学校に入って、代数を学んだからこそしてしまう間違いです。
これがヒントですよ。もうわかりますね。

解答(2)
a(b-a)=(b+a)(b-a)
この式を、(b-a)で割ることはできません。なぜなら、(b-a)は(1-1)で、0ですから。

それでは、最後の問題です。
これは上級レベルです。頑張ってください。
前にも言いましたが、Xのb/a乗というのは、a√(Xb)ですよ。

(3)
三角関数の公式より、
sin2θ+cos2θ=1
これを変形して、
cos2θ= 1-sin2θ

両辺を2分の3乗すると、
cos3θ= (1-sin2θ)3/2

これに5を足し、さらに2乗すると、
(cos3θ+5)2= {(1-sin2θ)3/2+5}2

ここで、cosπ=-1,sinπ=0であるので、
θにπ(円周率「パイ」。単位はラジアン。つまり、180°)を代入すると、
{(-1)3+5}2=(1+5)2

よって、42=62となり、
16=36


これはなかなかに難しい問題です。どこかで間違っているのは自明ですね。
どこで間違っているのでしょうか?
追記部分に答えです。
19:15  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(2)  |  EDIT  |  Top↑

2008.05.13 (Tue)

数学の神秘4

32+42=52
33+43+53=63
20:57  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(3)  |  EDIT  |  Top↑

2008.05.12 (Mon)

数学の神秘3

黄金比
次のXの値を求めよ。
gold.png

分かりますか?
解き方は、両辺を二乗します。
すると、X2=1+√1+・・・となりますね。
このX2からXを引くと、1が残りますね。
よって、方程式
X2-X-1=0
をの解がXということになります。
これを解くと、
X=(1±√5) / 2

解けましたね。
そして、これの正の解
X=(1+√5) / 2
に見覚えはありませんか?

黄金比です。
1 : (1+√5) / 2
これが黄金比です。

これだけでも十分美しい比ですね。
芸術作品や、自然界にも存在しています。

そして、次のことはご存知でしょうか?

X=(1+√5) / 2
これを二乗します。そして、その値を分母が2になるように書くと、そのときの分子は
3+√5
です。
また、黄金比を三乗し、その分母を2になるようにすると、そのときの分子は
4+2√5
です。
四乗したときは、
7+3√5
になります。
なにか規則性を見出せませんか?

そうです。
黄金比をn乗し、分母を2にしたとき、分子の有理数部分はリュカ数列(ルーカス数列)、無理数部分の係数はフィボナッチ数列のそれぞれn番目の項になっているのです!

ちなみに、フィボナッチ数列とリュカ数列は、それぞれ似たようなものです。
フィボナッチ数列は、
1,1,2,3,5・・・
と、1,1からスタートして、前の二つの項を足したものが次の項になるという数列です。

それに対し、リュカ数列は1,3からスタートして、
1,3,4,7,11・・・
という数列です。

知ってましたか?
黄金比は、図形として美しいだけではなく、式としてもとても美しいものだったのですね。
17:41  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.05.07 (Wed)

因数分解

次回も少し因数分解に触れてますが、大方は今回です。
因数分解って、やっぱりエレガントな解法はないみたいですね。
地道にやっていくのが一番ですが、調べてみると少しは使えそうなものが見つかりました。

基本的なことから順にまとめていきましょう。

<共通因数でくくる>
これが一番基本ですね。
X2-X
これを因数分解するには、共通因数Xでくくって、
X(X-1)
とすればいいのです。全部これだったら楽なのですが、そうはいきません。

次にするのがこれです。

<公式を使う>
展開公式をひっくり返しただけです。
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
X2+(a+b)X+ab=(X+a)(X+b)・・・たすき掛け
a2-b2=(a+b)(a-b)
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
これだけは覚えるしかありませんね。

<襷掛け>
先ほどの公式、
X2+(a+b)X+ab=(X+a)(X+b)
ですね。
これを拡張して、
abX2+(ad+bc)X+cd=(aX+c)(bX+d)
例えば、次の問題
「6X2+X-2を因数分解しなさい」
という問題においては、上の公式から、「襷掛け」という作業をしますね。
2-1-3
×
3
2
4


まあ、こんな感じですね。
一番左はX2の係数6を2×3に分解、真ん中は定数項-2を-1×2に分解して、襷掛けをし、一番右側の-3と4を足すと、Xの係数1に一致しますね。(詳しいことは授業で学んでください)

<因数定理>
これ、画期的ですよね。
整式f(X)において、f(a)=0となるとき、f(X)の因数に(X-a)が含まれる。

つまり、X2+2X-4の場合、X=2を代入すると、式の値は0になります。
よって、この式は、(X-2)を因数に持ちます。
X2+2X-4を(X-2)でくくりだすと、(X-2)(X-2)となって、結局(X-2)2ですね。
これは本当に便利ですね。
2X4−5X3−8X2+17X−6
共通因数も見つからないし、公式もすぐに使えそうにないので、戸惑いそうですよね(何とかしたらできると思いますが・・・)。
ここで、X=1を代入してみると、
2-5-8+17-6=0となるので、この式はX-1を因数に持ちます。
よって、2X4-5X3-8X2+17X-6をX-1でくくりだすと、
(X-1)(2X3-3X2-11X+6)
ここで、(2X3-3X2-11X+6)には、Xに-2を代入すると0になるので、
(X+2)も因数です。
よって、2X4-5X3-8X2+17X-6は、
(X-1)(X+2)(2X2-7X+3)
です。あとは、因数定理でもいいですが、(2X2-7X+3)を襷掛けで因数分解して、
(X-1)(X+2)(X-3)(2X-1)
とできます。
ためしに、最初の式にX=1,-2,3,1/2を代入してみてください。全て0になるはずです。

そして、最後に新しい方法です。
続きを読んでください。
19:26  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(4)  |  EDIT  |  Top↑

2008.04.30 (Wed)

数学の神秘

今日は神秘シリーズ第一弾!

まずは、基本的で有名な、整数の綺麗な性質を挙げていきましょう。

<完全数>
~その数自身を除く、その数の約数の和が、その数自身と等しい数~
本当に有名ですね。
最小の数は6。天地創造。
6の約数は、1,2,3,6。
6自身を除く約数の和、1+2+3=6となり、 もとの数6と一致します。
次に小さい数は28。ほぼ月の公転周期です。

ちなみに、これらそれぞれの数の約数を全て足すと、
6の約数の和・・・12
28の約数の和・・・56
となります。これは、もとの数の2倍になっているので、「2倍完全数」ということになりますが、つまりこれが完全数です。
120の約数の和は360となり、120は「3倍完全数」ということになります。

奇数の完全数は存在するのか、また完全数は無限に存在するのか?
未だに解明されておりません。

<友愛数>
~異なる2つの自然数の自分自身を除いた約数の和が、互いに他方と等しくなるような数~
これも有名です。
最小の組は220と284です。
220の約数・・・1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110,220
284の約数・・・1,2,4,71,142,284
それぞれ、自分自身を除く約数の和は、
220・・・1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
284・・・1+2+4+71+142=220
となります。
17296と18416が、その次に小さな組です。
奇数と偶数の組は存在するのか、このような友愛数の組は無限に存在するのか?
未だに解明されておりません。

<婚約数>
~異なる2つの自然数の自分自身と1を除いた約数の和が、互いに他方と等しくなるような数~
友愛数に似てますね。1も除きます。
最小の組は48と75です。
48の約数・・・1,2,3,4,6,8,12,16,24,48
75の約数・・・1,3,5,15,25,75
それぞれ、自分自身と1を除く約数の和は、
48・・・2+3+4+6+8+12+16+24=75
75・・・3+5+15+25=48
となります。
次は、140と195です。
奇数同士、偶数同士の組は存在するのか、このような婚約数の組は無限に存在するのか?
未だに解明されておりません。

<社交数>
~異なる3つ以上の自然数の組で、何度か友愛数のような作業を続けていると、もとの数になるような数~
詳しく書くと長くなってしまうので、簡潔にまとめてみました。
Aの約数(Aを除く)の和=B
Bの約数(Bを除く)の和=C
Cの約数(Cを除く)の和=D
・・・というような作業を続け、最終的に、
Xの約数(Xを除く)の和=A
となれば、その自然数の組(A,B,C,・・・,X)が社交数の組ということになります。

見つけることができますか?
最小の例は追記の部分に書かせていただきます。

<友愛的三対>

~異なる3つの自然数の組で、ある数の自分自身を除く約数の和が他の2つの自然数の和で表すことのできるという関係にあるような数~
分かりにくいですね。
103340640と123228768と124015008がその例です。
103340640の約数(自分自身を除く)の和=247243776=123228768+124015008
123228768の約数(自分自身を除く)の和=227355648=124015008+103340640
124015008の約数(自分自身を除く)の和=226569408=103340640+123228768

難しいですね。ややこしくなるので、今回は土曜日の問題の解説の掲載はやめましょう。
下に、社交数です。
21:07  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2008.04.24 (Thu)

懐かしき問題~音楽を聴きながら~

いきなりですいませんが、こちらをお聞きください。変なページに飛ぶかもしれませんが、その中の再生ボタンらしき物を探してクリックしてみてください。できなければ、右クリックしてファイルを保存してください。
注意:クリックしただけでは聞けません(なぜか)。開いたら「このページは準備中です」と出ると思いますが、アドレスバーをクリックして、そのままエンターキーを押してください。以下も同様です。分からない場合はこちら、又は管理人のメールアドレスまで。コメント欄でもいいですが、できるだけメールでお知らせください。または、こちらをご覧ください。
The Thief(Masaki's Theme)<シーフ(マサキのテーマ)>
作曲しました。お気に入りの曲の一つです。m4a形式なので、すぐに再生されると思います。別ウィンドウで開きます。聞けない場合は
http://www.geocities.jp/penpenpensama/Files/The_thief.m4a
とアドレスバーに打ち込んでください。
楽譜はこちら


中学入試対策で、このような問題を解いたことがありませんか?
「1~100までの整数を掛け合わせた時、末尾に0が何個続くか?」

これは簡単ですね。このように解きます。解答は簡潔にするため、小学校では習わない記号も使いますが、基本は同じですね。

(答)
100!を素因数分解したときの、5の指数を求めればよい。
よって、
100÷5=20
100÷25=4
100÷125=0・・・100
20+4=24
よって、24個。
こんな求め方しませんでしたか?

意味はわかりますよね?
100÷5で、100の中の5の倍数の数を求めます。しかし、これでは、5の指数は求まりません。5の自乗も1つとして数えているからです。(25も5が1つとしか数えていない)
だから、次は5の自乗、25の倍数を調べます。こうして、5が2つあるのに一回しか数えていない数をもう一度数えます。
次に、5の三乗を調べましたが、ありませんでした。

こんな感じです。思い出していただけたでしょうか?

この方法、例えば「1000000000000000000000000000000000000000!は、末尾に0は何個つく?」のような問題の時、どうしますか?
5の倍数、25の倍数、125の倍数、625の倍数、3125の倍数・・・と調べていきますか?
大変ですよね。
次のような便利な公式をご存知ですか?



ここで、話は飛びます。
先ほどの曲、聴き終わりましたか?まだなら、聞き終えるまですこしお待ちください。

聞き終わったら、次はこちらです。
Masaki<マサキ>
こちらは先ほどより短いピアノ曲です。mp3なのですぐに再生されます。すぐ終わります。聞けない場合は
http://www.geocities.jp/penpenpensama/Files/Masaki.mp3
楽譜はこちら



それでは、音楽を聴きながらどうぞ。

自然数 N の階乗( N!)を素因数分解した際の、素数 P の指数は次の公式で求められる。

分子・・・ N-(NをP進法で表したときの各桁の和)
分母・・・ P-1

すなわち、

N-(NをP進法で表したときの各桁の和)
―――――――――――――――――
         P-1


です。
非常にシンプルです。
例えば、先ほどの問題の、100!を素因数分解した時の5の指数は、
100は5進法で表すと
5 )100
5 ) 20 ・・・0
    4 ・・・0

より、400です。
だから、

100-(4+0+0)
――――――――― =24
    5-1

で、先ほどの結果と合いましたね。

説明をさせてもらいます。

その前に、先ほどの曲は聞き終わったと思います。
今日は4曲ありますが、3曲目です。
Masaki's tear<マサキの涙>
これはm4aです。一曲目と同じように、再生ボタンを自分で押してください。聞けない場合は
http://www.geocities.jp/penpenpensama/Files/Masakis_tear.m4a
これもピアノの短い曲です。雰囲気でてますね~
楽譜はこちら



(説明)
N!(Nは自然数)を素因数分解した時の素数Pの指数は、
[N/P]+[N/P^2]+[N/P2]+[N/P3]・・・ (式1)
となる。(最初の解法をまとめただけです。)
[N/P]=a
[a/P]=b
[b/P]=c・・・
とおくと、
(式1)は、
[N/P]+[a/P]+[b/P]+[c/P]・・・
となる。これは、a+b+c+d+・・・と同じである。
先ほどの問題のように、N=100 P=5を代入すれば、
[100/5]+[20/5]+[4/5]で、答えは24と確かめられる。

ところで、NをP進法で表すとき、
P ) N 
P ) a   ・・・S
P ) b   ・・・T
    ・
    ・
    ・
となるのはお分かりだろうか。(このとき、PをN進法で表すと「・・・UTS」となる事を示している。ただし、「・・・UTS」とは掛け算ではない。位取りである)
ここからは分かりにくくなるので、一例を挙げて説明しておく。
例を挙げよう。
100を5進法で表すときの計算
5 )100
5 ) 20 ・・・0
     ・・・0
この式で出てきた赤文字20と4を足した24というのが求める数である。
100は5進法で表すと400になるので、
100=4・52+0・51+0・50=4・25+0・5+0・1(式2)
100を5で割った商がaに当たるので、(式2)の両辺を5で割ると、その商は、
a=20=4・51+0・50=4・5+0・1
これをまた5で割った商がb。
b=4=4・50=4・1
したがって、この場合、
[N/P]+[a/P]+[b/P]+[c/P]・・・=a+b+c+d+・・・
=4・(51+50)+0・50
   52-1     51-1
=4・――― +0・―――
    5-1     5-1
 4・52+0・51+0・50-(4+0+0)
=―――――――――――
      5-1
他の場合も同様に求まる。
(説明終)


それでは最後の曲。
Dissolution of Thieves(シーフの解散)
この曲はソロチェロとソロヴァイオリン、そして弦の響きです。短めです。mp3ファイルです。聞けない場合は
http://www.geocities.jp/penpenpensama/Files/Dissolution_of_Thieves.mp3
楽譜はこちら

これらの曲については以下をご覧ください。
19:41  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(2)  |  EDIT  |  Top↑

2008.04.23 (Wed)

あなたの誕生日は何曜日?華麗なる節約術

自分の生まれた年月日はまず間違える事はないでしょう。自分の生まれた時間は?どうかな?
それでは、自分の生まれたのは何曜日?
もう分かっている人もいるかもしれませんが、まあ便利な公式なので、覚える必要はないですが、見てください。

ツェラーの公式(グレゴリオ暦)

a百b年c月d日の曜日を求める。
(aは西暦の上2桁、bは西暦の下2桁。1月・2月の場合は前の年の13月・14月として計算する。よって、2008年1月は2007年13月として計算する。)

そのとき、
W=[a/4]-2a+[b/4]+b+[13(c+1)/5]+d
とし、
Wを7で割った余り(Wが負の数の時は、Wに7の倍数を足して正の数にする。例えばW=-1なら、Wに7の倍数の7を足して、6にする)が0の時は土曜日、1の時は月曜日、2の時は火曜日、・・・6の時は金曜日となる。(下図)
余り0123456
曜日


さあ、また見慣れない記号が出て参りました。
[ ]という記号です。
これは、「ガウス記号」などと呼ばれています。これは、[a]の場合、
「aを超えない最大の整数」、つまり「 a-1<x≦a となるような整数xが[a] 」と定義されています。
だから、[1]=1 [1.5]=1 [7/3]=2
ここまでは分かりますね。[ ]内の数字の整数部分です。
しかし、次がつまづきどころ。
[-1]=-1
これは分かります。
では、
[-1.5] [-7/3] は?
-1と-2ではありませんよ。
答えは-2と-3です。
[-1.5]の場合、-1.5を超えない最大の整数ですから、-2です。
[-7/3]も同様に考えて、-3です。
ここが間違えやすいところなので要注意!!

ということで、
上のツェラーの公式を、今日の日付で確かめてみましょう。
今日は2008年4月23日なので、
a=20 b=8 c=4 d=23
です。
よって、
W=[20/4]-2・20+[8/4]+8+[13(4+1)/5]+23
=5-40+2+8+13+23
=11
11÷7=1・・・4
余りが4なので、上より、水曜日
カレンダーで確認してください。正解ですね?
これを元に自分の誕生日の曜日を確かめてみてください!!
ただ、これはグレゴリオ暦での計算なので、それが導入された西暦1582年10月15日金曜日から有効です。


ちなみに、カレンダーには何種類あると思います。
何と、
元日の曜日は7種類(日~土)、あとは閏年であるか閏年でないかのどちらかなので、
7×2=14(通り)
しかないのです。
と、いうことは!!
毎年カレンダーを買う必要はないのです。
14通りのカレンダーの使いまわしで十分なのです!!
ただし、14年間で全てのカレンダーはそろいません。2008年から2021年の間の14年間でもカレンダーは11種類しか手に入りませんので。2032年にやっと全種類が手に入ります。
この華麗なる節約術、体験してみませんか??

下に、ガウス記号の便利な余談です。
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