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2008.04.30 (Wed)

数学の神秘

今日は神秘シリーズ第一弾!

まずは、基本的で有名な、整数の綺麗な性質を挙げていきましょう。

<完全数>
~その数自身を除く、その数の約数の和が、その数自身と等しい数~
本当に有名ですね。
最小の数は6。天地創造。
6の約数は、1,2,3,6。
6自身を除く約数の和、1+2+3=6となり、 もとの数6と一致します。
次に小さい数は28。ほぼ月の公転周期です。

ちなみに、これらそれぞれの数の約数を全て足すと、
6の約数の和・・・12
28の約数の和・・・56
となります。これは、もとの数の2倍になっているので、「2倍完全数」ということになりますが、つまりこれが完全数です。
120の約数の和は360となり、120は「3倍完全数」ということになります。

奇数の完全数は存在するのか、また完全数は無限に存在するのか?
未だに解明されておりません。

<友愛数>
~異なる2つの自然数の自分自身を除いた約数の和が、互いに他方と等しくなるような数~
これも有名です。
最小の組は220と284です。
220の約数・・・1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110,220
284の約数・・・1,2,4,71,142,284
それぞれ、自分自身を除く約数の和は、
220・・・1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
284・・・1+2+4+71+142=220
となります。
17296と18416が、その次に小さな組です。
奇数と偶数の組は存在するのか、このような友愛数の組は無限に存在するのか?
未だに解明されておりません。

<婚約数>
~異なる2つの自然数の自分自身と1を除いた約数の和が、互いに他方と等しくなるような数~
友愛数に似てますね。1も除きます。
最小の組は48と75です。
48の約数・・・1,2,3,4,6,8,12,16,24,48
75の約数・・・1,3,5,15,25,75
それぞれ、自分自身と1を除く約数の和は、
48・・・2+3+4+6+8+12+16+24=75
75・・・3+5+15+25=48
となります。
次は、140と195です。
奇数同士、偶数同士の組は存在するのか、このような婚約数の組は無限に存在するのか?
未だに解明されておりません。

<社交数>
~異なる3つ以上の自然数の組で、何度か友愛数のような作業を続けていると、もとの数になるような数~
詳しく書くと長くなってしまうので、簡潔にまとめてみました。
Aの約数(Aを除く)の和=B
Bの約数(Bを除く)の和=C
Cの約数(Cを除く)の和=D
・・・というような作業を続け、最終的に、
Xの約数(Xを除く)の和=A
となれば、その自然数の組(A,B,C,・・・,X)が社交数の組ということになります。

見つけることができますか?
最小の例は追記の部分に書かせていただきます。

<友愛的三対>

~異なる3つの自然数の組で、ある数の自分自身を除く約数の和が他の2つの自然数の和で表すことのできるという関係にあるような数~
分かりにくいですね。
103340640と123228768と124015008がその例です。
103340640の約数(自分自身を除く)の和=247243776=123228768+124015008
123228768の約数(自分自身を除く)の和=227355648=124015008+103340640
124015008の約数(自分自身を除く)の和=226569408=103340640+123228768

難しいですね。ややこしくなるので、今回は土曜日の問題の解説の掲載はやめましょう。
下に、社交数です。
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21:07  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2008.04.29 (Tue)

ピックの定理・ブラマグプタの公式

ホルンっていいなぁ~、とつくづく思います。
優しい音色も、勇ましい音色も、どちらも気に入っています。
メロディーも対旋律も、かっこいい!

僕の傾向だと、かなりホルン贔屓ですね。いいとこはいつもホルン。それかオーボエ。

ところで、例えば「解析幾何学」という分野の内容のものを記事にしたら、カテゴリは何に当たるのでしょうか?「解析学」に分類するのか、「幾何学」に分類するのか?
ケースバイケースですね。

書体がいつもと違う?「HGP創英角ポップ体」ですよ。
今日はポップ調でいきましょう!!(ブラウザ・閲覧するPC・携帯によっては書体が変わらないこともあります。ご了承ください。)

 今日は、ピックの定理ですね。
内容は次の通りです。


「格子点のみを点にもつ多角形の面積Sは、
周上の格子点の個数をN、
周上の点を除く内部の格子点の個数をPとすると、
S=1/2N+P-1」
(「MS P明朝」です)

です。
内容は簡単ですね。これを使えば、どんな複雑な図形でもすぐに面積が求まるかもしれません。
「格子点」とは、xy座標がともに整数値の点です。
いろいろな証明方法があります。今回は、この場での証明は省かせていただきますので、ご自身でお調べください。「ピックの定理 証明」と検索バーに打ち込むだけでも、多くの件数がヒットすると思います。
数学的帰納法だとすぐに証明できます。


面積といえば、次のようなものもありますね。


ブラマグプタの公式
「円に内接する四角形の辺の長さをそれぞれa,b,c,dとし、
周の長さの半分(a+b+c+d)/2=sと置くと、
四角形の面積
S=√(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)

どうですか?ヘロンの公式に似てますよね?三角形の面積を求める公式です。
こう考えればどうでしょう?
「三角形はd=0の四角形と考える。また、三角形は必ず円に内接するので、上式を満たす。」
こう考えると、
S=√(s-a)(s-b)(s-c)(s-0)
となり、
ヘロンの公式
S=√s(s-a)(s-b)(s-c)
が導き出されます。

すみません。これも証明は省かせていただきます。余弦定理から証明できるようです。
また、この公式から、いろいろなことも導き出すことができます。余力があればやってみてください。


どちらも、便利な公式ですね。

19:33  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(5)  |  EDIT  |  Top↑

2008.04.28 (Mon)

確率2・場合の数

予告なしで、いきなり昨日は更新をお休みさせてもらいました。
突然だったので気づいていらっしゃらないかもしれませんが、「日曜日は更新定休日」ということにさせていただきました。上にも書きましたので、どうかご了承お願いいたします。

それでは、今日の本題へと参りましょう。

確率の2回目です。

まずは補足から。
前回の確率では、1億箱の例を出しましたが、あの問題、この考え方と似ていないでしょうか?
問題です。
「あなたは、A社の株かB社の株のどちらに投資しようか迷い、占い師に相談することにした。
占い師Xは70%の確率で当たるが、7000円の見料がかかる。それに対し、占い師Yは20%の確率でしか当たらないが、2000円の見料で済む。コストパフォーマンスを考えた場合、どちらに見てもらったほうがよいだろうか?」

簡単ですね。



正解は、確率20%で2000円の占い師Yです。占い師が言った会社と違うほうの会社の株を買えば、それは80%の確率で当たっているのですから。
考え方、似てませんか?
逆転の発想です。


まあ、これは余談として、次の問題。
「3人の囚人A・B・Cは、一人だけが恩赦で釈放され、残り二人は処刑される。恩赦で釈放される確率は、それぞれ1/4,1/4,1/2である。A・B・Cはこのことは知っているが、誰が釈放され、誰が処刑されるのかは分からない。ある日、Aは全てのことを知っている看守に『B・Cのどちらかが処刑されるのは確実なのだから、処刑される人間のうち、BかCの一人だけ教えてほしい』と言った。看守はこれに応じ、『Bは処刑される』と答えた。このとき、Aが釈放される確率はいくらか?」

前回の確率を読んでいれば少なくとも1/4のままではないことは分かると思います。


この間、土曜日の問題の問1~4の解説を。(解説というまでのこともありませんが・・・)
問1.三角形ABCの、辺BCを1:2に内分する点をPとする。AB=5,AC=6,AP=3のとき、BCの長さを求めよ。

問2.三角形ABCの、辺BCを4:3に内分する点をPとする。,AC=7,AP=4,BC=15のとき、ABの長さを求めよ。

問3.「朕深ク世界ノ大勢ト帝国ノ現状トニ鑑ミ、非常ノ措置ヲ以テ時局ヲ収拾セムト欲シ、茲ニ忠良ナル爾臣民ニ告グ。」とラジオ放送された日の曜日を答えよ。

問4.管理人Pen.の誕生日、西暦1992年7月17日の曜日を答えよ。

(解説)
問1.問2.トレミーの定理に数値を代入。ただし、問1はBP=xとおき、そのときCP=2xなのでこれを利用する。

問3.問4.ツェラーの公式に代入。ただし、問3は1945年8月15日の玉音放送の内容である。


それでは三囚人の問題の答えです。

(解答)
求める確率は、
看守が「Bは処刑される」と言い、Aが釈放される確率

看守が「Bは処刑される」と言う確率


です。

<看守が「Bは処刑される」と言う確率>
処刑される囚人の考えられる組み合わせは、
A,B・A,C・B,C
そのうち、Bが処刑されるのは
A,Bのときと、B,Cのとき。

A,Bが処刑されるとき、Cが釈放されるので、確率は1/2。このとき、看守はAのことは言わないので、必ず「Bが処刑される」と答える。よって、このとき看守が「Bは処刑される」と言う確率は1/2。

B,Cが処刑されるとき、Aが釈放されるので、確率は1/4。このとき、看守はBかCかのどちらかの名前を言う。よって、看守が「Bは処刑される」と言う確率は1/4×1/2=1/8。

よって、看守が「Bは処刑される」と言う確率は1/2+1/8=5/8。

<看守が「Bは処刑される」と言い、Aが釈放される確率>

B,Cが処刑され、看守が「Bは処刑される」という確率1/8がこれに当たります。


よって、(1/8) / (5/8) = 1/5
です。

Aは、このことを聞いたがために、自分が釈放される確率が1/20減ってしまいましたね。聞かなきゃよかった・・・

ちなみに、看守が「Cは処刑される」と言っていたら、Aが釈放される確率は1/3になります。1/12上がることになります。

それではもう一問。今度は場合の数です。最初の2問は授業でも基本問題として(重複組み合わせなので発展内容ですが)扱われるような問題です。

「x+y+zの方程式x+y+z=nにおいて、
1.この方程式を満たす自然数(x,y,z)はいくつあるか
2.この方程式を満たす負でない整数の組(x,y,z)はいくつあるか
3.x+y+z≦nを満たす負でない整数の組(x,y,z)はいくつあるか」
1番、2番は簡単ですね。3番もエレガントな解法がありますよ~


~いきなり日曜日を定休日にした理由~
これだけの分量を毎日書いていたら、他のことをやる時間が無くなり、特に「曲の制作に取り組めない!」
ただこれだけの理由です。
大袈裟な見出しでしたね。
スミマセン
18:57  |  確率・場合の数-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2008.04.26 (Sat)

4/25解答+ブロガーたちへ

みなさま、いかがお過ごしでしょうか?
ここでは、皆様からの質問も大募集しております。数学で無くとも結構です。できる限りで答えていきますので、よろしくお願いします。


昨日の問題は解けましたか?
解説を掲載すると膨大な文字数になると予想されるので、今日は解答のみを掲載し、次回以降で解説をしていこうと思っております。
ほとんどが適当に作った問題なので、答えも自分で計算して載せます。
もしも間違いがあったらご指摘ください。

問1.3√(59/6)  ←ルートは6分の59全体です。
問2.8√(77)/4  ←ルートは77だけです。
問3.水曜日
問4.金曜日
問5.(証明)
AC=p,DB=qとする。

弧 ADC上に点 D ’を ΔDAC ≡ ΔD'CA となるようにとり BD' = r とする。
また弧 DCB上に点C ’を ΔCBD ≡ ΔC'DB となるようにとる。

ΔABD' ≡ ΔBAC' となるので AC' = r である。

トレミーの定理より pq = ac + bd ---- (1)
             qr = ab + cd ---- (2)
             rp = ad + bc ---- (3)

√((1)×(3)÷(2)) より p = √( (ac + bd) (ad + bc) / (ab + cd) )  (Q.E.D.)
問6.11986
問7.n=35
問8.6/19
問9.一回目で陽性かつXに感染・・・8/1007
    二回目も陽性かつXに感染・・・64/1063
問10.Aが鼠、Bが鴨(猫と鼠ではありません。そうしたら二人とも真実を言っていることになり条件に合いませんから。
問11.A:広重(2万円)
     B:写楽と広重(5万円)
     C:北斎と写楽(7万円)

論理の問題はなじみやすいですが、問11はかなり手ごたえのある問題だったと思います。

この記事を書くときに、手計算で計算し、答えを出しました。何度も言いますが、間違いがあったらご指摘ください。

21:00  |  復習-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.04.25 (Fri)

4/19~4/24のおさらい

まず、昨日曲を聞けなかった方、
もしいらっしゃいましたら、こちらまで。
確実に聞くことができると思います。


それでは、今日は今週のおさらいです。
論理・スチュワートの定理・トレミーの定理・確率・ツェラーの公式・ガウス記号
とやりましたね。

実践に取り組みましょう。

たいした問題ではありません。
ちゃんと覚えているかどうかです。
論理の問題も出しますよ~

  • 問1.三角形ABCの、辺BCを1:2に内分する点をPとする。AB=5,AC=6,AP=3のとき、BCの長さを求めよ。

  • 問2.三角形ABCの、辺BCを4:3に内分する点をPとする。,AC=7,AP=4,BC=15のとき、ABの長さを求めよ。

  • 問3.「朕深ク世界ノ大勢ト帝国ノ現状トニ鑑ミ、非常ノ措置ヲ以テ時局ヲ収拾セムト欲シ、茲ニ忠良ナル爾臣民ニ告グ。」とラジオ放送された日の曜日を答えよ。

  • 問4.管理人Pen.の誕生日、西暦1992年7月17日の曜日を答えよ。

  • 問5.円 O に内接する四角形 ABCD がある。
    AB = a,BC = b,CD = c,DA = d とするとき AC の長さをa,b,c,d で表わせよ。

  • 問6.23984!を素因数分解したときの、3の指数を求めよ。

  • 問7.147!が15nで割り切ることができるとき、自然数nの最大値を求めよ。

  • 問8.ある人は、外出するときは必ず1台の携帯電話を持って家を出る。他人の家に行ったときは、いつも3分の1の確率で携帯電話を忘れてきてしまう。
    ある日、その人はA,B,Cの家をこの順に回り、家に帰るとどこかに携帯電話を忘れてきた事に気づいた。
    さて、回った三軒のうちいずれかの家で携帯電話を忘れてきたとすると、Bの家で携帯電話を忘れてきた確率を求めよ。

  • 問9.ある病気Xは、1000人に1人の確率で感染する。
    これに人が感染しているかどうかを調べる検査は不十分で、Xに感染している人の80%しか陽性の反応が出ず、また、感染していない人の10%も陽性の反応がでてしまう。
    ある人物がこの検査を受けると、陽性の反応が出た。この人物がXに感染している確率を求めよ。また、もう一度同じ検査をして再び陽性の反応が出たとき、この人物がXに感染している確率を求めよ。

  • 問10.A,Bは鴨、猫、鼠のいずれかで、AとBは同じではない。
    A「私が猫なら、Bは鼠です」
    B「吾輩が鴨なら、吾輩は猫である」
    どちらか片方のみが真実を述べている。
    誰が何?

  • 問11.昨日Aはデパートで北斎(4万円)、写楽(3万円)、広重(2万円)の複製の内1点か2点を買った。ただし、同じ物2つを買ってはいない。また、B,Cも同様の買い物をし、買ったものの総額は3人合計で14万円だった(税除く)。買ったものの組み合わせが全く同じ2人はいない。
    A「Bは北斎を買っています」
    B「Cは広重を買っています」
    このどちらの発言も、自分よりお金をたくさん使った人に関する発言なら偽、そうでなければ真である。
    3人はそれぞれ何を買ったのだろうか?



    問題はこれで終わりです。解答は次回に掲載します。

    それでは余談

18:50  |  復習-math  |  TB(0)  |  CM(6)  |  EDIT  |  Top↑

2008.04.24 (Thu)

懐かしき問題~音楽を聴きながら~

いきなりですいませんが、こちらをお聞きください。変なページに飛ぶかもしれませんが、その中の再生ボタンらしき物を探してクリックしてみてください。できなければ、右クリックしてファイルを保存してください。
注意:クリックしただけでは聞けません(なぜか)。開いたら「このページは準備中です」と出ると思いますが、アドレスバーをクリックして、そのままエンターキーを押してください。以下も同様です。分からない場合はこちら、又は管理人のメールアドレスまで。コメント欄でもいいですが、できるだけメールでお知らせください。または、こちらをご覧ください。
The Thief(Masaki's Theme)<シーフ(マサキのテーマ)>
作曲しました。お気に入りの曲の一つです。m4a形式なので、すぐに再生されると思います。別ウィンドウで開きます。聞けない場合は
http://www.geocities.jp/penpenpensama/Files/The_thief.m4a
とアドレスバーに打ち込んでください。
楽譜はこちら


中学入試対策で、このような問題を解いたことがありませんか?
「1~100までの整数を掛け合わせた時、末尾に0が何個続くか?」

これは簡単ですね。このように解きます。解答は簡潔にするため、小学校では習わない記号も使いますが、基本は同じですね。

(答)
100!を素因数分解したときの、5の指数を求めればよい。
よって、
100÷5=20
100÷25=4
100÷125=0・・・100
20+4=24
よって、24個。
こんな求め方しませんでしたか?

意味はわかりますよね?
100÷5で、100の中の5の倍数の数を求めます。しかし、これでは、5の指数は求まりません。5の自乗も1つとして数えているからです。(25も5が1つとしか数えていない)
だから、次は5の自乗、25の倍数を調べます。こうして、5が2つあるのに一回しか数えていない数をもう一度数えます。
次に、5の三乗を調べましたが、ありませんでした。

こんな感じです。思い出していただけたでしょうか?

この方法、例えば「1000000000000000000000000000000000000000!は、末尾に0は何個つく?」のような問題の時、どうしますか?
5の倍数、25の倍数、125の倍数、625の倍数、3125の倍数・・・と調べていきますか?
大変ですよね。
次のような便利な公式をご存知ですか?



ここで、話は飛びます。
先ほどの曲、聴き終わりましたか?まだなら、聞き終えるまですこしお待ちください。

聞き終わったら、次はこちらです。
Masaki<マサキ>
こちらは先ほどより短いピアノ曲です。mp3なのですぐに再生されます。すぐ終わります。聞けない場合は
http://www.geocities.jp/penpenpensama/Files/Masaki.mp3
楽譜はこちら



それでは、音楽を聴きながらどうぞ。

自然数 N の階乗( N!)を素因数分解した際の、素数 P の指数は次の公式で求められる。

分子・・・ N-(NをP進法で表したときの各桁の和)
分母・・・ P-1

すなわち、

N-(NをP進法で表したときの各桁の和)
―――――――――――――――――
         P-1


です。
非常にシンプルです。
例えば、先ほどの問題の、100!を素因数分解した時の5の指数は、
100は5進法で表すと
5 )100
5 ) 20 ・・・0
    4 ・・・0

より、400です。
だから、

100-(4+0+0)
――――――――― =24
    5-1

で、先ほどの結果と合いましたね。

説明をさせてもらいます。

その前に、先ほどの曲は聞き終わったと思います。
今日は4曲ありますが、3曲目です。
Masaki's tear<マサキの涙>
これはm4aです。一曲目と同じように、再生ボタンを自分で押してください。聞けない場合は
http://www.geocities.jp/penpenpensama/Files/Masakis_tear.m4a
これもピアノの短い曲です。雰囲気でてますね~
楽譜はこちら



(説明)
N!(Nは自然数)を素因数分解した時の素数Pの指数は、
[N/P]+[N/P^2]+[N/P2]+[N/P3]・・・ (式1)
となる。(最初の解法をまとめただけです。)
[N/P]=a
[a/P]=b
[b/P]=c・・・
とおくと、
(式1)は、
[N/P]+[a/P]+[b/P]+[c/P]・・・
となる。これは、a+b+c+d+・・・と同じである。
先ほどの問題のように、N=100 P=5を代入すれば、
[100/5]+[20/5]+[4/5]で、答えは24と確かめられる。

ところで、NをP進法で表すとき、
P ) N 
P ) a   ・・・S
P ) b   ・・・T
    ・
    ・
    ・
となるのはお分かりだろうか。(このとき、PをN進法で表すと「・・・UTS」となる事を示している。ただし、「・・・UTS」とは掛け算ではない。位取りである)
ここからは分かりにくくなるので、一例を挙げて説明しておく。
例を挙げよう。
100を5進法で表すときの計算
5 )100
5 ) 20 ・・・0
     ・・・0
この式で出てきた赤文字20と4を足した24というのが求める数である。
100は5進法で表すと400になるので、
100=4・52+0・51+0・50=4・25+0・5+0・1(式2)
100を5で割った商がaに当たるので、(式2)の両辺を5で割ると、その商は、
a=20=4・51+0・50=4・5+0・1
これをまた5で割った商がb。
b=4=4・50=4・1
したがって、この場合、
[N/P]+[a/P]+[b/P]+[c/P]・・・=a+b+c+d+・・・
=4・(51+50)+0・50
   52-1     51-1
=4・――― +0・―――
    5-1     5-1
 4・52+0・51+0・50-(4+0+0)
=―――――――――――
      5-1
他の場合も同様に求まる。
(説明終)


それでは最後の曲。
Dissolution of Thieves(シーフの解散)
この曲はソロチェロとソロヴァイオリン、そして弦の響きです。短めです。mp3ファイルです。聞けない場合は
http://www.geocities.jp/penpenpensama/Files/Dissolution_of_Thieves.mp3
楽譜はこちら

これらの曲については以下をご覧ください。
19:41  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(2)  |  EDIT  |  Top↑

2008.04.23 (Wed)

あなたの誕生日は何曜日?華麗なる節約術

自分の生まれた年月日はまず間違える事はないでしょう。自分の生まれた時間は?どうかな?
それでは、自分の生まれたのは何曜日?
もう分かっている人もいるかもしれませんが、まあ便利な公式なので、覚える必要はないですが、見てください。

ツェラーの公式(グレゴリオ暦)

a百b年c月d日の曜日を求める。
(aは西暦の上2桁、bは西暦の下2桁。1月・2月の場合は前の年の13月・14月として計算する。よって、2008年1月は2007年13月として計算する。)

そのとき、
W=[a/4]-2a+[b/4]+b+[13(c+1)/5]+d
とし、
Wを7で割った余り(Wが負の数の時は、Wに7の倍数を足して正の数にする。例えばW=-1なら、Wに7の倍数の7を足して、6にする)が0の時は土曜日、1の時は月曜日、2の時は火曜日、・・・6の時は金曜日となる。(下図)
余り0123456
曜日


さあ、また見慣れない記号が出て参りました。
[ ]という記号です。
これは、「ガウス記号」などと呼ばれています。これは、[a]の場合、
「aを超えない最大の整数」、つまり「 a-1<x≦a となるような整数xが[a] 」と定義されています。
だから、[1]=1 [1.5]=1 [7/3]=2
ここまでは分かりますね。[ ]内の数字の整数部分です。
しかし、次がつまづきどころ。
[-1]=-1
これは分かります。
では、
[-1.5] [-7/3] は?
-1と-2ではありませんよ。
答えは-2と-3です。
[-1.5]の場合、-1.5を超えない最大の整数ですから、-2です。
[-7/3]も同様に考えて、-3です。
ここが間違えやすいところなので要注意!!

ということで、
上のツェラーの公式を、今日の日付で確かめてみましょう。
今日は2008年4月23日なので、
a=20 b=8 c=4 d=23
です。
よって、
W=[20/4]-2・20+[8/4]+8+[13(4+1)/5]+23
=5-40+2+8+13+23
=11
11÷7=1・・・4
余りが4なので、上より、水曜日
カレンダーで確認してください。正解ですね?
これを元に自分の誕生日の曜日を確かめてみてください!!
ただ、これはグレゴリオ暦での計算なので、それが導入された西暦1582年10月15日金曜日から有効です。


ちなみに、カレンダーには何種類あると思います。
何と、
元日の曜日は7種類(日~土)、あとは閏年であるか閏年でないかのどちらかなので、
7×2=14(通り)
しかないのです。
と、いうことは!!
毎年カレンダーを買う必要はないのです。
14通りのカレンダーの使いまわしで十分なのです!!
ただし、14年間で全てのカレンダーはそろいません。2008年から2021年の間の14年間でもカレンダーは11種類しか手に入りませんので。2032年にやっと全種類が手に入ります。
この華麗なる節約術、体験してみませんか??

下に、ガウス記号の便利な余談です。
21:24  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(3)  |  EDIT  |  Top↑

2008.04.22 (Tue)

常識と違う??確率

さてさて、前回の問題。
「40人のクラスの中に、同じ誕生日の人がいる確率は?」
ですが、答えは昨日もゲストさんにお答えいただいた通り、
1-{(364P39)/365^39}
ですね。約90%の高確率です。
断っておきますが、365^39は「365の39乗」です。/は割り算(分数)の記号です。
有名ですが、一応解説。
余事象で考えます。
例えば2人のクラスの場合だったら?
2人の誕生日が一致しない確率は、365日中、片方の一人の誕生日以外にもう一人の誕生日があるから、
364/365
よって、2人の誕生日が同じ確率は、1-(364/365)=1/365
3人だったら、同様にして、1-{(364/365)*(363/365)}
ちなみに、*は掛け算の記号です。
・・・というわけで、40人の場合、
1-{(364/365)*(363/365)*(362/365)*・・・*(325/365)}
です。中かっこの中を整理すると、結局分母は364P39、分子は365^39なので、最初の式の通りです。

それでは、こんな2つの問題を。
「区別のつかない3つの袋の中に二つの玉が入っており、それぞれ、赤玉と白玉、白玉二つ、赤玉二つが入っています。
一つの袋を選び、中身を一つ取り出すと、それは赤玉でした。その袋の残りのもう一つの玉が白玉である確率は?」
「3つの箱が並んでおり、そのうち1つの箱の中のみに賞金が入っている。
 あなたは、ある1つの箱を選んだ。すると、相手は、残った2つの箱のうち、片方のみを開け、中に賞金の入っていないことをあなたに示した。そして、相手は、今ならもう片方の開けていない箱に選びかえても良いと言った。
 さて、あなたは賞金の入った箱を選びたい。あなたは箱を選びかえたほうが良いのだろうか?それとも、変えても変えなくてもどちらでもいいのだろうか?確率の観点から説明せよ。」

さて、分かるかな?



いきなりですが、このブログに関するご意見・ご感想・質問はコメント欄、もしくは直接管理人まで!

質問は、できる限り答えていきたいと思います。難しすぎるものはやめてね。数学のページですが、数学以外でもOKです。

それでは、下に上の問題の答えです。





22:15  |  確率・場合の数-math  |  TB(0)  |  CM(3)  |  EDIT  |  Top↑

2008.04.21 (Mon)

トレミーの定理

今日は前回の問題、「トレミーの定理」の証明です。
幾何学的に解きましょう。
まず、円に内接する四角形のほうから。

「円に内接する四角形ABCDにおいて、
AB・CD+AD・BC=AC・BD
が成り立つ」


(証明)
∠CAD=∠BAEとなる点Eを下図のようにBD上にとる。

△ABEと△ACDにおいて、
円周角の定理より、∠ABD=∠ACD
よって、△ABE∽△ACD(∵2角相等)・・・( i )

また、△ABCと△AEDにおいて、
円周角の定理より、∠ACB=∠ADE
∠BAC=∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC=∠EAD
よって、△ABC∽△AED(∵2角相等)・・・( ii )

( i )より、
AB:BE=AC:CD ∴AB・CD=BE・AC・・・( iii )
( ii )より、
AC:BC=AD:ED ∴AC・ED=AD・BC・・・( iv )

( iii )( iv )の辺々をたして、
AB・CD+AD・BC=BE・AC+AC・ED
           =AC・(BE+ED)
           =AC・BD  (Q.E.D.)

最初の点Eさえとることができれば、あとは簡単に証明ができますね。
しかし、今日の本題はこれではありません。

本題はこれ。

「任意の四角形ABCDにおいて、
AB・CD+AD・BC≧AC・BD
が成り立つ」

先ほどの証明を踏まえて、証明できなかった人はもう一度考えてみましょう。

その間、違う話題で。

たとえば、次の文章。
「A君の飼っている犬の親の犬は、B君のよりも小さいのなんのって言ってA君、何も聞かないの。何か方法はないの?A君ももう中学生なのだから、そんなことは言わないの!」

さあ、助詞「の」が多用されてますが、すごいですね。
最初の「の」は主格を表す「の」ですね。「が」と言い換えられます。
次の「の」は格助詞で、連体修飾語を作る「の」です。
「親の犬」の「の」は、同格を表す「の」です。「である」と言い換えられます。

「B君の」の「の」は準体助詞の「の」です。「のもの」と言い換えられます。
「賢いのなんの」の「の」は?主に用言を列挙する「の」です。
「何も聞かないの」の「の」は、終助詞で、「軽い断定」(や、「女言葉」)を表します。

「何か方法はないの?」の「の」は終助詞で、「疑問」の「の」
「中学生なのだから」の「の」は理由・根拠を強調する「の」。代わりに「ん」も使います。
最後の「の」は命令。

というわけで、全ての「の」は全く違う用法の「の」でした。どうです。面白いでしょう?

それでは、トレミーの定理の本命の証明です。
いきなりすごい点を一点とります!!


18:00  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(3)  |  EDIT  |  Top↑

2008.04.19 (Sat)

スチュワートの定理


今回は大きな文字でお伝えします。
前回は論理の話でしたが、さて、今回は図形の話をしましょう。
「中線定理」というのを知っていますよね?
「任意の三角形ABCの、BCの中点をMとしたとき、
AB2+AC2=2(AM2+BM2
が成り立つ」
です。
証明は省かせてもらいます。(座標を設定すればすぐに証明できます。)

大きい文字は疲れました。やぱり普通の文字サイズにしましょう。(「やぱり」?「やはり」の間違いデス)
さて、上の定理、かなり限られた状況だけでしか適用できませんよね?
「Mが中点である」というのが条件なのですから。
明らかに、Mが中点である場合よりも、Mが中点でない場合の方が圧倒的に数が多い。
では、そんなときにも使える定理はないのでしょうか?

そこで、スチュワートの定理です。
内容は、次のようなものです。
「任意の三角形ABCの、BCをm:nに内分する点をPとする。
このとき、
n・AB2+m・AC2=(m+n)・AP2+n・BP2+m・CP2
が成り立つ」

感動ものです。
m:n=1:1、すなわちPがBCの中点のとき、中線定理になります。

これはすぐに使えますね?(ちなみに、Z会模試にもこれを使えば一発の問題が出ました!!)

しかし、これだけ覚えても意味はありません。やっぱり証明ができなきゃ。
考えてみてください。
シンキング・タイム スタート!!

・・・

・・・

・・・と言うわけで、すこし話題を変えましょう。
今日、こんなものが届いてきました。
Wii スーパーファミコン クラシックコントローラ

スーパーファミコンのコントローラ?
いやいや、違います。思いっきり"Wii"って書いてありますし。

そうです。「Wii スーパーファミコン クラッシクコントローラ」です!!
これは2007年度(9月始まりなんです!)のクラブニンテンドープラチナ会員に送られる特典のうちの一つです。(違うのも選択できましたが・・・)
非売品です。

・・・

・・・

・・・さあ、スチュワートの定理の証明、できましたか?
簡単なことです。座標を設定してみましょう。

(証明)
三角形ABCの各頂点を A(a,b) B(-mk,0) C(nk,0) (kは任意の実数の定数)とおいても一般性を失わない。
このとき、
P(0,0)となる。
このとき、 AB2=(a+mk)2+b2 、 AC2=(a-nk)2+b2
       BP2=m22 、 CP2=n22 、 AP2=(a2+b2
なので、  n・AB2+m・AC2-n・BP2-m・CP2
      =n・{(a+mk)2+b2}+m{(a-nk)2+b2}-n・m22-m・n22
      =(m+n)(a2+b2
      =(m+n)AP2
 よって、 n・AB2+m・AC2=(m+n)AP2+n・BP2+m・CP2  (Q.E.D.)

どうです。計算は少しややこしいかもしれませんが、簡単でしょう?
これは、余弦定理でも証明できるようです。余力があればやってみてください。

今回はこれで終わりですが、次回のために一題。

次回は「トレミーの定理」について説明します。
知っているかもしれませんが、今回はその原型について話をします。それは、次の定理です。
「四角形の対辺の積の和は対角線の積に等しいか、それ以上である。」

すなわち、
「四角形ABCDにおいて、
AB・CD+AD・BC≧AC・BD」

と言う定理です。
証明してみてください。
次回は、その証明をします。

おそらく、皆さんが知っているのは、
「円に内接する四角形ABCDにおいて、
AB・CD+AD・BC=AC・BD」
だとおもいます。。。

それでは。
17:42  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(3)  |  EDIT  |  Top↑

2008.04.18 (Fri)

Beginning

小学生の低学年の頃、僕は
「なぜ算数に図形があるのか?」
と思っていました。
「しかく」がどうした?「さんかく」がどうした?「まる」がどうした??

しかし、高学年になり、「面積」を習い、ようやく納得する事ができました。

いや、これ確かに算数だ。
あの頃の「しかく」「さんかく」「まる」はこのための下準備だったのか~

そして、次に思ったのが、
「なぜ数学に論理があるのか?」
嘘つき者と正直者、とかそんなものです。

しかし、このことも色々な本を読んだり、勉強したりで解決しました。
そこで思った事。
「数学は、とても広い分野の勉強である」
広すぎます。
論理的な人間になるには、国語力だけでは足りない。数学力がいる。
理科ができるようになるにも、数学ができなければならない。
(しかしこれは本当に真なのであろうか?理科から生まれた数学の分野も確かに存在している。)


論理という言葉を使ったので、今回はそれについて話したいと思います。

僕は、論理の本を読んでいて、とても驚いたことが2つあります。どちらもよく考えれば当たり前なのですが、考えた事も無かった・・・

一つ目。
「命題『PならばQである』と、『Pでない、あるいは、Qである』は同値である。」
おぉ~

検証してみましょう。
まず、PとQの相互関係から。
それは、次のような表になります。




i
ii
iii
iv
P
Q

このうち、
命題「PならばQである」
が真となるのは、
i・iii・ivです。
iの場合、明らかに真ですね。
iiの場合は、「Pである」のに「Qでない」から偽です。

iii・ivの場合は、Pが偽です。仮定の部分が偽だと、結論がどうであれ、その命題は真になります。
たとえば、命題「人間に羽が生えているならば、人間は犬である」
意味不明ですね。そんな事はどうでもいいです。
仮定部分は、「人間に羽が生えている」です。これ、偽ですね?
「人間に羽は生えていないだろう」、と、こういうわけです。
人間に羽は生えていないのだから、上の命題「人間に羽が生えているならば、人間は犬である」
は別に嘘はついてませんよね?人間に羽は生えていないのですから。
偽でないのだから、真です。
(少し説明不足ですね。「偽でない=真」とは一概には言えません。まあ、これは命題なので、そうなるのも当たり前なのですが。。。)

ということで、PとQが上の表のi・iii・ivの関係であるとき、命題「PならばQである」は真となるのです。



それでは、「Pでない、あるいは、Qである」を見てみましょう。
これは、「Pでない」すなわち、Pが偽であるときの、iii・iv、
そして、「Qである」すなわち、Qが真であるときの、i・iii、
この2パターンを表しています。
よって、「Pでない、あるいは、Qである」というのは、i・iii・ivの3パターンを指し示しているのです。


ここで分かりました。
命題「人間に羽が生えているならば、人間は犬である」も、
「Pでない、あるいは、Qである」も、どちらもi・iii・ivの場合を指し示す事になるのですね。
だから、「論理的に同値」なのです。


長くなりました。それでは、二つ目です。

次の例題を解いてみてください。
「ここに、Aと書いたカードが2枚、Bと書いたカードが1枚ある。これらのカードは裏返せば見分けがつかなくなっている。
そこで、太郎と次郎はゲームをした。太郎がこれらの3枚のカードの内、次郎の前に一枚のカードを裏を向けて置いた。そして、太郎は残った2枚のカードの内から一枚を選びだし、次郎にだけこっそりと見せた。すると、次郎は、『自分の前に置かれたカードに何が書いてあるのか分かった』と言った。さて、次郎の前に置かれたカードには何が書いてあったのだろうか?」


この問題を見た人は、こう答えるでしょう。
「次郎の前に置かれたカードにはAと書いてある」
と。

理由は簡単です。
もし、太郎が次郎に見せたカードに、もしAと書いてあったら、残りの2枚のカードはAとBが1枚ずつで、次郎の前に置かれたカードがどちらかは分からないはずです。
しかし、次郎が「わかった」と言ったのだから、太郎は次郎にBと書かれたカードを見せたはず。そうすれば、残り2枚のカードはどちらもAなので、次郎の前に置かれたカードにも、Aと書いてあると分かるはずなのです。

しかし、果たしてそうなのでしょうか?

結論から言います。答えは、「Aとは限らない(分からない)」です。

??

こう思うでしょう。しかし、よく考えてみてください。次郎の知能はあなたと同じレベルなのでしょうか?ただ、次郎は何も考えずに「わかった」と言ったのかもしれないし、また、それとは全く別の考えにふけっていたのかもしれません。

そうです。上の一般的な解答を見ても分かるでしょう。「はず」という言葉が多用されています。
人の頭の中など、分かるはずがありません。だから、人の考えをもとにした答えは、単なる憶測にすぎません。断定はできないのです。


論理とは、面白い。そう思いました。
次回は、論理からは離れようと思います。
今日は初めてなのにもかかわらず、長く書いてしまいました。

ここまで読んでくださって、ありがとうございました。これからも、どうぞよろしくお願いします。


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