2008年05月 / 04月≪ 12345678910111213141516171819202122232425262728293031≫06月

--.--.-- (--)

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
--:--  |  スポンサー広告  |  EDIT  |  Top↑

2008.05.31 (Sat)

これまでの復習!(4~5月)

今日は絶対にテストで使える(といっても数学アドバンストα1の最初の章だからもう終わった?)ものを紹介しようかと思いましたが、それは次回。

今日は5月最終日なので、二ヶ月間の復習をしたいと思います。
全部できるわけではないので、一部をピックアップしていきましょう。
数学だけとは限りませんよ。

問1.「ウエスト・サイド・ストーリー」で、トニーについて、
(1)恋に落ちた相手は?
(2)誰を殺した?
(3)誰に殺された?

問2.フィボナッチ数列において、平方数はただ一つ存在する。その数を答えよ。

問3.△ABCにおいて、∠Bの二等分線と、∠Cの二等分線の交点は、∠Aの二等分線上にあることを示せ(傍心と内心)。

問4.50人のクラスで、無作為に席替えを行った。このとき、前と全く同じ位置の席に座る人が1人以上存在する確率を求めよ。

問5.チームプラクトの正規メンバーの数を答えよ。

問6.「罰金」「科料」「過料」の3つの違いを答えよ。

問7.次の文章、「A君の飼っている犬の親の犬は、B君のよりも小さいのなんのって言ってA君、何も聞かないの。何か方法はないの?A君ももう中学生なのだから、そんなことは言わないの!」について、助詞「の」が多用されているが、使われている順に意味を答えなさい。


今日はこのぐらいにしときましょうか?

次回は、最初にも言ったとおり、「絶対にテストで使える」ものです。
特に中3かな?

それでは。
スポンサーサイト
20:51  |  復習-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2008.05.30 (Fri)

間違い探し ~ありえない結論~

第二弾です。昨日は楽しい楽しい詭弁でした。論理は楽しいですね!今日は違います。「ありえない結論」です。

本題に入る前にちょっと。
0÷0は?
これ、「すべての数」です。「解なし」ではありませんよ。知ってましたか?よくよく思えばこれもまた当たり前ですが。


それでは、またまた間違いを見抜いてください。小学生でも解けるかな?・・・と思いましたが、さすがにそれは無理ですね。

最初は簡単です。

(1)ウサギとゾウ
ゾウの体重をa、ウサギの体重をbとおく。

-a=b-(a+b)
-b=a-(a+b)
この2式は明らかに成り立つ。
また、(-a)・b=a・(-b)も明らかに成り立つので、上の2式をこれに代入して、
{b-(a+b)}・b = a・{a-(a+b)}
両辺を展開して、
b2-(a+b)b=a2-(a+b)a
ここで、両辺に{(a+b)/2}2を加えると、どちらも平方数になり、
{b-(a+b)/2}2={a-(a+b)/2}2
これより、
b-(a+b)/2=a-(a+b)/2
よって、
a=b
つまり、ウサギの体重とゾウの体重は等しい。


そうだったんですね。ウサギの体重とゾウの体重は等しかったんですね。
では、次の問題に・・・
なんて、納得できませんよね。
すぐに分かったと思います。これはよくある間違いですよ。
いかにもそれっぽく書かれると気づきにくいかもしれませんが、それでもやっぱり見つけてくださいよ。

解答(1)

間違っているのは、
{b-(a+b)/2}2={a-(a+b)/2}2
これより、
b-(a+b)/2=a-(a+b)/2
としたのが間違いです。

これで気づいてもらいたいものですが、どうしてもわからない人は、たとえば
a=1000、b=2でも代入してみてください。
問題の箇所では、
(2-501)2=(1000-501)2
です。
(-401)2=4012
なのでOKです。
しかし、この次には、どちらかにマイナスの符号をつけて、
b - (a+b)/2 = - {a-(a+b)/2}
とする必要がありますね。


次の問題です。

(2)
a=1,b=1とする。
明らかに、a=b
両辺にbを掛けて、
ab=b2
さらに、両辺からa2を引いて、
ab-a2=b2-a2
両辺それぞれを整理して、
a(b-a)=(b+a)(b-a)
両辺を (b-a) で割って、
a=b+a
ここで、a=1,b=1なので、
1=1+1
よって、
1=2


中学校に入って、代数を学んだからこそしてしまう間違いです。
これがヒントですよ。もうわかりますね。

解答(2)
a(b-a)=(b+a)(b-a)
この式を、(b-a)で割ることはできません。なぜなら、(b-a)は(1-1)で、0ですから。

それでは、最後の問題です。
これは上級レベルです。頑張ってください。
前にも言いましたが、Xのb/a乗というのは、a√(Xb)ですよ。

(3)
三角関数の公式より、
sin2θ+cos2θ=1
これを変形して、
cos2θ= 1-sin2θ

両辺を2分の3乗すると、
cos3θ= (1-sin2θ)3/2

これに5を足し、さらに2乗すると、
(cos3θ+5)2= {(1-sin2θ)3/2+5}2

ここで、cosπ=-1,sinπ=0であるので、
θにπ(円周率「パイ」。単位はラジアン。つまり、180°)を代入すると、
{(-1)3+5}2=(1+5)2

よって、42=62となり、
16=36


これはなかなかに難しい問題です。どこかで間違っているのは自明ですね。
どこで間違っているのでしょうか?
追記部分に答えです。
19:15  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(2)  |  EDIT  |  Top↑

2008.05.29 (Thu)

間違い探し ~嘘を見抜け!~

世の中には詭弁(きべん)なるものが存在しますね。
もっともらしいけれども、実は間違えている理論です。それも、主に人を欺く目的で使われるものです。

次の理論のどこが間違えているか、わかりますか?

簡単なものから。

(1)甲と乙の会話。
「叱られるのが怖いのならば、悪いことをするのはやめなさい」
「僕は叱られるのは怖くないから、悪いことをしてもいいってことだね」

(2)
「何も知らないから人はこんな風に笑顔でいられるんだ。つまり、笑顔でいるやつは無知なんだ」

(3)甲と乙の会話。
「これ食べろよ」
「いらない」
「なぜ食べないんだ。嫌いなのか?」
「いや、嫌いではないんだけれども・・・」
「なら好きだってことだろ。食べろよ」

わかりますね。何が間違いか。

(1)は、「XならばYである。よって、XでないならばYでない」という構造です。
「魚ならば泳ぐ。よって、魚でないならば泳がない」と同じです。
明らかに間違いです。XとYが理論的に同値(X⇔Y)のときにしか成り立ちません。
「日本の首都は東京である。よって、日本の首都でないならば東京でない」は成り立ちます。

(2)は、「XならばYである。よって、YならばXである」という構造です。
逆は必ずしも成り立ちませんね。
「夏ならば暑い。よって、暑いならば夏である」
春にだって暑い日はあります。

(3)「XでないならばYである」という構造です。
「好き」と「嫌い」の二つしかないと決めつけてしまっています。
実際に、二つのうちどちらか片方しか同時に成立せず、また、必ずすべてはその二つのうちどちらか片方に属するという時には成り立ちます。
人間の場合ならば、「男でないならば女である」という論理構造と同じです。
しかし、「好き」と「嫌い」の場合は、その中間というべき、曖昧なものも存在します。
「嫌いでない」=「好き」は必ずしも成立しません。
「XでないならばYである」は必ずしも成立するとは限らないのです。

それでは、少し難しくなります。

(4)有名ですね。
先生「来週の月曜日から土曜日のうちの一日に、抜き打ちテストを一回だけ必ず行う。いつ行うか当日俺がテストを行う旨を発表するまでに、テストを行う日を当てることができたら試験は行わない」
生徒「それならば、テストは行えませんね」
先生「なぜだ?」
生徒「もし、金曜日までテストを行わなければ、土曜日だとすぐに分かってしまいます。よって、土曜日にテストを行うことはできません。すると、最後に行うことができる曜日は金曜日だということになりますが、そうすると、木曜日までテストを行わなければ、金曜日にテストを行うとすぐに分かってしまいます。よって、金曜日にもテストを行うことができません。そのように考えていくと、結局、どの日にもテストを行うことができないのです」

(5)
「髪の毛がn本の人はハゲである。また、たとえ一本増えてn+1本であったとしても、それもまたハゲである。また一本増えてn+2本でもハゲである。つまり、髪の毛が何本であってもハゲである。
よって、人類は全員ハゲである」



わかりましたか?

(4)後日、水曜日に抜き打ちテストが行われた。そのときの先生と生徒の会話。
生徒「今日は抜き打ちテストは行えないはずですよ」
先生「しかしお前はいつテストが行われるか、当てることができなかっただろう」
生徒「・・・・・」

こういうことですね。正しいのは先生のほうです。生徒は、「いつ行うにしても、予測できてしまうので、テストは行えない」という結論に達しました。テストは行えないと結論付けたのですから、テストが行われたとしたら、それは想定外の出来事。予測できるはずがありません。
生徒は詭弁を使っていたのですが、先生は見事にそれをかわしましたね。

(5)「ハゲ」というものは、本来髪の毛の量で定義されるものではありません。
同じ髪の毛の本数の人でも、円形脱毛症などはどうでしょうか?
また、髪の毛の太い人、細い人では、髪の毛の量が同じでも、見た目は全く違います。
「ハゲ」=「髪の毛がn本の人」と定義したのが、そもそもの原因です。

今日はこのくらいで。また間違い探しシリーズも行いたいと思います。

追記もご覧ください。
21:18  |  論理学-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2008.05.28 (Wed)

数学の神秘5

eπi=-1
これこそ素晴らしいですね。
無理数と虚数だけで、整数が作り出されるわけです。

ここで、まずは"i"から。
i は虚数単位です。x2 = -1 の解の一つですね。(解は、±i です。)
i2= -1 です。

次に、"π"。
円周率です。3.141592・・・・という超越数です。

最後に、"e"。
自然対数の底です。2.71828182・・・というこれもまた超越数です。
対数関数y=logaxのx=1のときの接線の傾きが1になるようなaがeの値です。
詳しいことは学校で学んでください。

そして、まずは「虚数乗」とはどのようなことか?ということですが、これはちゃんと定義されています。

eθi=cosθ+i・sinθ

こんな定義がなされています。このθにπを代入すれば、-1になるということです。
cosπ=-1で、sinπ=0なので、cosπ+i・sinπ=-1です。

ちなみに、無理数乗とは?
たとえば、X√2は、
X1
X1.4
X1.41
X1.414

という計算を続けていくと、ある一定値に収束するので、その値です。
Xb/a=a√(Xb
です。

と、まあ納得いかないと思いますが、eのπi乗は-1。何か神秘を感じませんか?
18:40  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(2)  |  EDIT  |  Top↑

2008.05.27 (Tue)

vs.edi

詭弁対決?
そんなこと気にせず、次のやり取りをどうぞ。ただし、少しは簡潔にまとめております。また、不必要だと思われる部分は省略もしておりますので。
現実に忠実に書こうと思いますが、どうしても誤りや、認識の違いが出てくると思います。ちなみに、真実は、僕は30円は借りてなんかいませんよ。
ediさん、できればそちらのブログでもまとめていただけないでしょうか?ただし、できるだけ客観的に。主観を入れすぎないように。
それでは、ご覧ください。

(注)次の文章中の[Pen.]や、[edi]などは、固有名詞を示します。実際の会話では、本名で話しているところです。また、赤字がedi、青字がPen.の発言です。
「30円返せ」
「?」
「30円返せ」
「借りた覚えはない。だから返さない」
「じゃあ、Finaleを買ってくれると[Pen.]は約束した。(しかし、買ってくれる気配はない。)[Pen.]はそれも裏切ってかつ30円も返さない気か?」
「それなら君はSRPGツクール購入費を、([edi][038][TTTT]の)三人が500円で、僕だけ2500円なのはどういうことか?(ちなみに主に使うのは[edi])」
「公平だ」
「どう見ても不公平だ」
「じゃあ、他の二人に判断してもらおうか?」
「有利な立場にある当事者に聞いては意味がない」
「ならば[野比]に見てもらおう」
「まあそのほうがマシ(全くの第三者ではないのだが・・・)」
「で、30円返せ」
「何故?」
「夢の中で貸した」
「借りた覚えはない」
「でも貸した。返せ」
「夢の中の世界はあくまで夢であって現実ではない。今、この世界は現実だ。現実には借りた覚えはない。だから返す必要はない」
「この世界が現実とは限らないし、自分の見た夢こそが現実かもしれない。だから返せ」
「しかし、[edi]の見た夢もまた現実とも限らない。だから返さない」
ここで[Pen.]はなぜか『夢確かめ機』の話。
「結局、どれが現実で、どれが現実でないのかはわからない。よって、何も信じることはできない」
「ならば、[Pen.]が30円借りていないということも信じられない。30円返せ」
「しかし、[edi]の言っていることもまた信じられない。だから30円は返さない」
このあと、じゃんけんのやり取り。[edi]が最初はグーと言って終わる(もともとどうでもいい僕のネタ)。[Pen.]はそれを棄権とみなす。だから、返さなくてもいいと主張。[edi]は不戦勝と主張。意見が合わないのでもう一度今度こそじゃんけん。[edi]は[Pen.]の不意をつき勝利。しかし[Pen.]は、[edi]が勝てば[Pen.]が30円を払うなどと約束した覚えはない。少なくとも、承諾していないと主張。ところで、じゃんけんにお金を賭けるのは賭博罪だと[edi]。[Pen.]はこれは「一時の娯楽に供する物」でないかどうか考察。・・・というやりとり。その後、[edi]は、じゃんけんをあきらめ次の攻撃。
「[Pen.]は概念であって真実ではない」
「この場合の[Pen.]は、固有名詞ではなく普通名詞の抽象名詞のことか?」
「違う。固有名詞としての[Pen.]だ。[Pen.]なのだから、30円返せ」
「理由がまったくわからない」
「だから、[Pen.]だからだ」
「[Pen.]ならば払わなければならないのは何故?」
「[Pen.]は[Pen.]であって[Pen.]以外の何者でもないからだ」
「ならば、君は[edi]だから僕は君に30円を払う必要はない。なぜなら、[edi]は[edi]であって[edi]以外の何者でもないからだ」
「で、30円返せ」
「何故?」
「[Pen.]は概念であって真実ではないから。概念は30円を払うことはできない。また、[Pen.]は30円を払うことができない。よって、[Pen.]は概念である。30円を払うことができないのだから、生活することはできない」
「[edi]に30円を払えない=生活できない、という等式は論理的に言えない。言い過ぎではないか?」
「違う。[Pen.]は概念なのだから、お金を払うことは不可能だ。だから、生活はできない。概念でないならば、お金は払える。また、概念でないことを証明するには[Pen.]は30円返せばよい。そうして、[Pen.]は初めて真実だということになる」
「仮に[edi]の仮定、『[Pen.]は概念であって真実ではない』が正しいとしても、僕は全く不自由してない。たとえ僕が概念だとしても、概念でない者と同じように生活することが現にできているし、そう考えると、僕は全く真実であることを証明する必要があるようには思えない。だから、僕は[edi]に30円を返す必要がない」
そして、一瞬の沈黙。
「で、30円返せ」
「全く説得力ないし」

今日のところは[Pen.]の勝利!!
よし。一勝。
次回はどのようなロジカル・バトルが繰り広げられるのか?楽しみです。


21:47  |  論理学-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2008.05.26 (Mon)

作図

角の二等分線、ちゃんと作図できますか?

「そんなの楽勝~♪」
なんて思っているあなた、本当ですか?

馬鹿にしているわけではありませんが、まずは、その「楽勝」の作図から。

「下図の∠AOBの二等分線を作図せよ」角その1


これはできますね。

コンパスで、Oを中心とする適当な円を描きます(1)。そして、その円と、OA、OBの交点それぞれを中心とする、同じ半径の円を描きます(2)。後半で描いた2円の交点と、Oを結ぶ直線が、求める直線となります(3)。

角その2


では、次の問題はどうでしょう?
「下図の、2直線AC、BDが点Oで交わるとき、角AOBの二等分線XYを作図せよ」角その3

できますか?延長してOを作るのは反則です。数学の問題を書く紙の大きさは有限ですから。
Oを作れなくても、作図はちゃんとできます。
XYはどんな点を通るのでしょうか?これがヒントです。

・・・そんな簡単には作図できる問題ではありません。
頑張ってみましょう。


ちなみに、コンパスと定木の歴史って古いですね。

今更ながら言っておきますが、定木は定規のことです。

定規と物差しの違いは、機能の違いです。

「直線・曲線・角を描くためのもの」が定規、「長さをはかるためのもの」が物差しです。


それでは、角を二等分してみましょう。
先ほどもそうでしたが、説明の文中にある(1)などの数字は、図中の番号と対応しております。
重ねてご覧ください。

それでは、下の図を見ながら。

(解答)
AC、BD双方と交わる、適当な直線ℓ(エル)を引く(1)。
直線ℓとAC、BDの交点の2点と、Oでできる三角形の内心と、∠Oの内側の傍心を通る直線が求める直線である。
(2)、(3)、(4)の作業は、(1)の作業でできた4つの角の二等分線の作図を表している。
図において、ℓより左側にある点が、その三角形の内心、右側にある点が傍心である。
この2点を通る直線が、求める直線XYである(5)。

・・・と、簡単に説明させてもらいましたが、赤字の部分の意味は分かりますよね?
内心は、三角形の三つの角の二等分線の交点です。
そして、ここでの傍心は、∠Oの二等分線と、残り二つの角の外角の二等分線の交点です。

つまり、どちらも∠Oの二等分線上の点であるわけです。

このような発想ができたでしょうか?
全然楽勝なんかじゃありませんね?
結構難しい問題です。

角は、必ずしも図の中にあるとは思ってはいけません。図には角ができていない可能性も十分にありえます。
簡単なことでも、状況が変われば難しくなるのです。

一度、考えてみませんか?
「この作図は、普段は簡単だが、もしも、状況がいつもと違えば、どうなるのだろう?」
と。

ちなみに、この二等分線ができた人は、応用力が十分にあるとおもいますよ。


角その4
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。
20:00  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(2)  |  EDIT  |  Top↑

2008.05.24 (Sat)

こっちの方がいいのではないか?

昨日の続きみたいになってしまいますがあしからず。

昨日、
|x|+|y|≦a (aは定数)
のグラフは、正方形を表す(中は塗りつぶされている)と書きました。間違ってません。ちなみに、何があっても定数aは正ですよ。
昨日はこの不等式の解法は示しませんでした。
僕が見た模範解答は、
xとyそれぞれの正負で場合分けしていました。
すると、(x,y)=(正,正),(正,負),(負,正),(負,負)
の四つで場合わけが必要ですが、そんなに場合分けは必要なのでしょうか?

・・・と、今日世界史の試験時間に考えていました。
(だって世界史ってどんなにがんばっても思い出せないもんは思い出せないし、いっそのこと、遊んじゃえ、って・・・)

そんなことどうでもいいですが、場合分けは二つで十分です。
xの正負だけで解けます。

(解答)
|x|+|y|≦a
|x|を右側に移項すると、

|y|≦-|x|+ a

yの絶対値をはずして、

-( -|x|+a )≦y≦-|x|+ a

すなわち、

|x|- a ≦y≦-|x|+ a

ここで、xの正負について場合分けをする。

(1)x≧0のとき、
上式は、

x - a ≦y≦- x + a

(2)x<0のとき、
上式は、
- x - a ≦y≦x + a


(1)(2)より、
x≧0のとき、y≧x - a かつ y≦- x + a
x<0のとき、y≧- x - a かつ y≦x + a


これが答えです。この方が楽だと思います。
テストで「この不等式を解け」という問題が出たら、こう答えないといけません。

しかし、です。すこし考えてみましょう。
これ、グラフを描くだけなら、最後まで求める必要ありませんよね?
|x|- a ≦y≦-|x|+ a
これが求まればもうグラフは描けます。
y≧|x|- a かつ y≦-|x|+ a
これだけで十分ですね。

y=|x|- aは、y=|x|、つまり、y=xのグラフの、x軸より下の部分を上へ折り返し、そのグラフを下にaだけ平行移動させればいいわけです。
また、y=-|x|+ aは、y=-|x|、つまり、y=xのグラフの、x軸より上の部分を下へ折り返し、そのグラフを上にaだけ平行移動させればいいわけです。

そして、そのy=|x|- aより上にあり、y=-|x|+ aより下にある部分を塗りつぶせばいいわけです。

結局、上の不等式を解くためには場合分けが必要になるものの、グラフを描くためだったら全く場合わけが必要ないということになります。

模範解答はなんと面倒なことをやっていたのでしょうか??

謎です。

下に、全く別の問題のとってもエレガントで、ものすごく便利な解法を紹介したいと思います。
16:26  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2008.05.23 (Fri)

グラフ!

絶対値のグラフって、面白い形を描きますね。

たとえば、まずは
|x|+|y|=a (aは定数)
のグラフ。
(a,0)(0,a)(-a,0)(0,-a)
の四点を頂点とする正方形ができますね。
|x|+|y|≦aの方がきれいかな?(中を塗りつぶしただけですけども。)

次のグラフはどうでしょう?
| | | x | - 4 || y | - 4 | ≦ 2

描けますか?とっても面白い形になりますよ。せめて、不等式だけでも解いてみてください。「y=f(x)」の形で。後ほど解説します。

このごろ、あまり曲のいい案が浮かんできません。どうすればよいのでしょうか?
いいインスピレーションが沸きません。
気分転換をしていると、思いつくときがあるのですが、タイミングが悪い!!
道を歩いているときにメロディーがよく思いつくのですが、家に帰ると、それを忘れてしまっているのです。
どうしても思い出すことができません。
また、授業中などに思いついたら紙などにメモをするのですが、そのときはいいと思っていても、いざ起こしてみると今一つ。そのときと比べて、何かが足りない。僕が「いい」と思った以上、そのときにしかなかったものがあったはず。しかし、どうしても思い出せないのです。
どうしましょう・・・


できましたか?
まずは、不等式をといてみないことにはグラフは描けませんね。
場合分けしかありません。

(1)x,y共に正のとき
赤の絶対値と緑の絶対値は、共にそのまま外れるので、
| | x - 4 |+ y - 4 | ≦ 2
そこで、xの値によって場合わけをすると、

(i)x≧4のとき
青の絶対値はそのまま外れるので、
| x - 4 + y - 4 | ≦ 2
つまり、
| x + y - 8 | ≦ 2
絶対値を外すと、
- 2 ≦ x + y - 8 ≦ 2
よって、
6 ≦ x + y ≦ 10

(ii)x<4のとき
青の絶対値は正負が変わって外れるので
|- x + 4 + y - 4 | ≦ 2
つまり、
|- x + y| ≦ 2
絶対値を外すと、
- 2 ≦ - x + y ≦ 2

(i)(ii)より、x,y共に正のとき、
x≧4のとき、 y≧-x+6 かつ y≦-x+10
x<4のとき、 y≧x-2 かつ y≦x+2


・・・という調子で、あとは場合分け(2)(3)(4)についてもといていってください。xとyの正負についての場合分けですよ。

すると、結局、(1)で求めたのはそのグラフの第一象限での形を求めたものですが、そのグラフを、
y軸に対して対象移動したものが第二象限のグラフ、
そして、第一、第二象限のグラフをそれぞれx軸について対象移動したものが、
第四、第三象限のグラフになります。


図は、下図のようになります。
グラフ


一つの式だけで、こんな複雑で面白い図形も描けちゃうのです。すごいと思いますね。

15:32  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(2)  |  EDIT  |  Top↑

2008.05.22 (Thu)

鳩ノ巣原理

リンクは、頼まれたら拒みませんし、また人のブログからのリンクも拒むことはありません。
ただし、ご一報はくださいね。把握が困難になってしまうので。
リンクしてくれた、又はリンクさせていただいたみなさん、ありがとうございました。
これからも受付中です。
鳩ノ巣原理ですね。部屋割り論法とも言います。例の教科書ならcoffee breakに載っていたのですが。そこでは、分数を小数に直したときの値は、必ず有限小数又は循環小数であることを示していましたね。

早速問題です。解いてみてください。

「1から1999までの1000個の奇数がある。この奇数のうち、任意の501個の奇数を選んだとき、必ず異なる2数の和が2000になる奇数の組が存在することを示せ。」

簡単ですね。次のような証明です。

(証明)
1から1999までの1000個の奇数の中で、異なる2数の和が2000になる奇数の組(x,y)は、
(1,1999),(3,1997),(5,1995),・・・,(999,1001)の全部で500組存在する。
(定員2羽の鳩の巣が500個存在している。)
今、501個の奇数を選んだので、鳩の巣原理より、少なくとも一組は足して2000になる組が存在する。
(定員2羽の鳩の巣500個に501羽の鳩を割り振ると、少なくとも1つの鳩の巣には、鳩が2羽入っている。)
(Q.E.D.)

分かりますね?
次の問題です。

「xy平面上に任意にとった異なる5点の格子点が存在している。
この5点のうち、適当な2点の中点は、必ず格子点であることを示せ」

一応補足です。格子点とは、x座標、y座標ともに整数である点です。

(証明)
中点が格子点になるには、適当な2点のx座標の和と、y座標の和のそれぞれが偶数になればいい。
そのためには、適当な二点の座標がどちらも、(偶数,偶数),(奇数,奇数),(奇数,偶数),(偶数,奇数)であればよい。・・・※

ここで、格子点には、座標が(偶数,偶数),(奇数,奇数),(奇数,偶数),(偶数,奇数)の4種類しか存在しない。
(鳩の巣は4つしか存在しない。)
任意の異なる5点を取ったとき、鳩の巣原理より、必ずx座標、y座標の両方の偶奇が一致する点が少なくとも一組存在する。
(4つの鳩の巣に5羽の鳩を振り分ければ、少なくとも1つの鳩の巣には2羽の鳩が入っている。)

よって、※より、適当な2点の中点は、必ず格子点である。
(Q.E.D.)


実際に使えそうですか?鳩ノ巣原理。
何度も書きましたが、基本的な考え方はこうです。
「n個の鳩の巣に、n+1羽以上の鳩を振り分けたとき、必ず2羽以上入る鳩の巣が、少なくとも1つ存在する。」

分かりますね。この感覚は常識ですね。

それでは、最後の問題です。

「あるパーティーの参加者の知り合いの人数を調べたとき、必ず知り合いの人数が同じ人が一組以上存在することを示せ。ただし、AがBを知っているとき、必ずBもAを知っており、また、AがBを知らないとき、必ずBもAを知らないものとする。」

ちゃーんと理解していれば簡単な問題ですね。追記部分に答えです。
リンク募集中
オリンピックが終わるまでは当分これです。
18:15  |  論理学-math  |  TB(0)  |  CM(3)  |  EDIT  |  Top↑

2008.05.21 (Wed)

リンク募集中!(本日二度目の更新)

リンク募集中


分かりますか?この色。

実は、「五輪マーク」の色です。
といっても、五輪は五色。「リンク募集中」は六文字なので、真ん中の円と縦棒が「中」と言う漢字です。

・・・とまあ関係ないのですが、
リンク先、及び、リンクしてくれる方募集中です!!
21:03  |  サプライズ  |  TB(0)  |  CM(5)  |  EDIT  |  Top↑

2008.05.21 (Wed)

噂の論理

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

交流掲示板<http://penpenpensama.hp.infoseek.co.jp/Go.html>

問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
主に、論理の回、得に地球破壊爆弾とBeginningが分かりやすい、という私は、ずっと前に、
命題「Aが風邪を引いているときにはBは風邪を引いていない」が真のとき、命題「Bが風邪を引いているときにはAは風邪を引いていない」は真か?
と言う問題を出しましたね。(ちなみに、確率の回(箱)も分かりやすいというコメントをいただきました。)

分かる人には分かるのですが、分からない人は、「必ずしも真とは言えない」とか言いそうです。つまり、偽ですね。

よーくみてください。分かりませんか?

ならヒント。

「命題『p⇒q』と、命題『qでない⇒pでない』の真偽は一致する」
つまり、もとの命題とその対偶の真偽は一致するということです。

もう分かりましたね?

上の命題で、
「p」にあたるのが、「Aが風邪を引いている」
「q」にあたるのが、「Bが風邪を引いていない」

よって、
「pでない」は、「Aが風邪を引いていない」
「qでない」は、「Bが風邪を引いていない」

なので、
「p⇒q」は、「Aが風邪を引いているときにはBは風邪を引いていない」
「qでない⇒pでない」は、「Bが風邪を引いているときにはAは風邪を引いていない」

「p⇒q」は真であるというのが条件なので、その対偶、「qでない⇒pでない」も真です。

だから、上の問題の答えは、ですよ。


そんなことはどうでもいいとして、論理にはどのような記号を使うのか?ということを今回は書こうと思います。

たとえば、「p⇒q」の対偶、「qでない⇒pでない」。
これを記号で書くと、
「¬q⇒¬p」
¬という記号は、「~でない」と言う意味です。

二つの命題、A,Bがあるとき、
「AまたはB」
というのは、
「A∨B」
と表します。

「AかつB」
は、
「A∧B」
です。

ちなみに、
「全ての」は「∀」と表します。
あと、存在を表す、つまり、「ある」という記号は「∃」を使います。
(あるXは2X=4を満たす、の「ある」です。)

ちなみに、「∀」という記号は、英語の「all」や「any」ではなく、ドイツ語の「alle」からきたようです。

・・・ということで、今回は半分ほど雑談でしたね。ではまた。

↓↓雑談も楽しいよ!↓↓
18:04  |  論理学-math  |  TB(0)  |  CM(2)  |  EDIT  |  Top↑

2008.05.20 (Tue)

Prakt

銀河系から6万光年離れたところにある、地球では未だに発見されていない、すなわち未知の場所、直径18万9000光年のプラクト系においての話です。

惑星は、恒星タスピル(Taspil)を中心に、第一惑星コルポット(Colpot)、第二惑星アノトン(Anoton)、第三惑星ルトゥーソル(Rutusol)、第四惑星オピックス(Opix)、第五惑星タピルタン(Tapiltan)、そして、新たに誕生した第六惑星ロティック(Rotic)からなっております。

衛星は、
コルポット・・・ティキロントン(Tikilongtong)、バロル(Valore)
アノトン・・・アネラ(Anera)、アネリ(Unali)、アネル(Ener)
ルトゥーソル・・・ロスター(Losutur)、[今はもうないが]ピロ(Piro)
オピックス・・・ザイン(Xyn)、ウルュィコスォィュッシュァ(Uruyuicosuoiyusshua)
タピルタン・・・クラピス(Clapis)、タラトン(Taraton)、ピルコス(Pilcos)
ロティック・・・ケルタ(Kelta)、ベラー(Beller)

があります。
ここで、いろいろと事件が起こるわけですが、一番大きいのが、「プラクト戦争」です。

これの発端をここで述べてみましょう。

まず、それには次のことを分かっておいてもらわないといけません。
<タピルト共和国>
 惑星コルポット、アノトン、オピックス、タピルタンとその衛星タラトンで構成されている。首都はカオット(CAOTT)で、タピルタンにある。

<フランシュ王国>
 惑星ルトゥーソルとその衛星ロスター(とピロ)からなる。惑星ルトゥーソルはプラクト系最強の惑星である。フランシュ王国には、多くの温泉地がある(硫黄泉)。


<衛星連合>
 上に出てきた衛星以外の衛星が集まってできたもの。本部はウルュィコスォィュッシュァのウヌャニゥペェイギュゥ(Unujaniupeigyu)にある。

それでははじめましょう。

 ピロは、アネルと友好関係にあり、物品のやりとりも多くしていた。当時、ピロを治めていたのはトゥギー(Togie)で、彼はある日アネルへ出向いた。
 アネルは、ザインとも仲がよく、アネルにザインからの移民も多くいた。しかし、アネルの中では、アネル先住民とザイン移民が対立していた。ザインの王、コシー(Cothy)とトゥギーは仲が悪く、ザインとピロも敵対関係にあったのである。
 事件は、アネルの都市、ロズ(Loz)で起こった。ロズに訪れたトゥギーを、ザイン移民のカル(Qal)が襲ったのである。
 トゥギーは一命を取り留めたが、これをきっかけに、アネルとピロの関係は悪化した。
 この知らせを聞いた、プラクト系で唯一裁判所を持つタピルタンは、裁判を行った。当然、カルは有罪とされ、刑に処せられた。また、アネルとピロの間に条約を結ばせ<ラムサーノレ(Ramsanole)条約>、二星間の関係を保とうとしたが、対立したままであった。
 また、この事件がきっかけで、アネル内でも、アネル派とザイン派に分かれ、紛争が絶えなくなった<エナーシン(Ener-Xyn)戦争の始まり>
 対立はやがて激しくなり、エナーシン戦争となり、そこにアネラとアネリが巻き込まれたため、アノトンはここに介入し、戦争を終わらせた。
 しかし、このときアノトンはザインを制圧したため、ザインはアノトンに対し反アノトン感情を持つようになった。

 このころ、ルトゥーソルは密かにタスピルを軍事基地にする計画<プランT>を進めていた。これを悟ったコルポットは、バロルからルトゥーソルにスパイを送った。ルトゥーソルはこのスパイに気づき、計画を一時中断すると同時に、スパイの処刑を始めた。
 コルポットは、何とか生き残ったスパイから、ルトゥーソルの計画を聞きだすことに成功した。
 これに怒りを覚えたルトゥーソルは、ティキロントンと友好関係にあるウルュィコスォィュッシュァの制圧に向かい、この二星間の交友関係を断ち切ろうとしたが、かえって二星間の関係を深める結果となってしまった。
 これがきっかけとなり、コルポット、バロル、ティキロントン、ウルュィコスォィュッシュァ、オピックスはルトゥーソルに戦争を仕掛けた<プラクト戦争の始まり>
 一方、アノトンと対立していたザインは、同様にアノトンと対立していたピロと利害関係が一致し、ピロを管理しているルトゥーソルとも関係をもち、アノトンにも戦争を仕掛けた。これを知ったタピルタンは、管理下にあるクラピスが、アノトンと関係をもっていることから、アノトンの援軍として、戦争に参加することになった。

 このように、コルポット、バロル、ティキロントン、ウルュィコスォィュッシュァ、オピックス連合軍とアノトン、アネラ、アネリ、アネル、タピルタン、クラピス、タラトン、ピルコス連合軍が、ルトゥーソル、ピロ、ロスター、ザイン連合軍と対立して、プラクト戦争は始まった。



 ザインはオピックスの管理下でもあるので、ルトゥーソルは危険因子であるザインを見放してしまった。オピックスはザインを味方につけ、実質、タピルト共和国、衛星連合連合軍と、フランシュ王国との戦いになった。
 その後、アノトンはミサイルでピロを破壊した。これを受け、ルトゥーソルは、カオットにミサイルを放ち、タピルタンは7つのセクションに分かれる運命となってしまった。

18:24  |  プラクト  |  TB(0)  |  CM(2)  |  EDIT  |  Top↑

2008.05.19 (Mon)

初等幾何学で必須の定理2

順を追って説明していこうと思いましたが、今日悠。。さんよりリクエストがありましたので、そちらを優先させていただきたいと思います。

「チェバの定理」
「三角形ABCと、その辺上にない点Oがある。
AOとBC,BOとCA,COとABの交点をそれぞれD,E,Fとしたとき、
AF  BD  CE = 1
FB   DC   EA

である。」

ちゃんと表示されているかどうかは多いに疑問ですので、もう一度。
(AF/FB)+(BD/DC)+(CE/EA)=1

これは、点Oが三角形ABCの内部にあっても外部にあっても成り立ちます。

そして、この逆、
「(AF/FB)+(BD/DC)+(CE/EA)=1ならばAD,BE,CFは一点で交わる」
も成り立ちます。

証明は場合分けなどがあり、ここに書くと煩雑になってしまうので省略します。

図を描きましょう。

図に書かれた辺の番号は、長さではありません。通し番号です。

上の公式の線分に通し番号、AFに1、FBに2、BDに3、DCに4、CEに5、EAに6を割り当てたものです。
分かりやすいと思います。
チェバ1

チェバ2


基本は反時計回りに一回転

B qqq ?c xxe Pen.

上は遊びです。「Maestro Wide」というフォントがインストールされていれば、音符などの記号になっているはずです。

証明はしませんが、方針だけ。

点Oが内部にある場合は、△AOB,△BOC,△COAを作って考える。

点Oが外部にある場合は、位置によって場合分け

点Oが∠A,∠B,∠Cの対頂角の外部の場合は、△AFEにおいて、点Oが内部にある場合と同じように考え、発展させる。

点Oが∠A,∠B,∠Cの対頂角の内部の場合は、それぞれの辺の比を△ABO,△BCO,△CAOの面積の比に置き換える。

やってみてくださいね。
これがすべてです。

次回はメネラウスの定理を。

では。

下に雑談。
18:10  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(3)  |  EDIT  |  Top↑

2008.05.17 (Sat)

無限降下法

フェルマーは、「フェルマーの最終定理」を証明することはしていませんでしたが、
X4+Y4=Z4
を満たす自然数(X,Y,Z)の組が存在しないことの証明はしていました。これの証明はここに書くことも可能で、ややこしくはありますが、理解ができないほど難しいものでもありません。

よって、これと似た問題を出します。
ヒントなしに解けるでしょうか?
「Xn+2Yn=4Znを満たす自然数(X,Y,Z)の組は、
n≧3の場合において存在しないことを示せ」


フェルマーの最終定理と似ていますが、こちらはすぐに証明ができます。

すこし考えてみましょう。
あなたはどうやって証明しようとするでしょうか?


まさか、直接真正面から証明しようとなんて思わないですよね?
そんなことしたら時間がいくらあっても足りません。

普通は、「存在する」と仮定すると矛盾することを導く、つまり、背理法が用いられるわけです。しかし、では、n≧3の場合においても存在するとして、どのように矛盾を導くか?

そこで登場するのが、無限降下法です。
内容説明は後です。有無を言わず次の証明をご覧ください。

(証明)
「Xn+2Yn=4Znを満たす自然数(X,Y,Z)の組は、n≧3の場合においても存在する」と仮定する。
2Ynと4Znは、明らかに偶数なので、Xnも偶数。
(∵偶数には偶数を足さないと和が偶数にならない)
Xnが偶数なので、Xも偶数。

よって、X=2X’となる自然数X’が存在する。

これより、与式は
(2X’)n+2Yn=4Zn
つまり、
2nX’n+2Yn=4Znと書き換えられる。

両辺を2で割ると、
2n-1X’n+Yn=2Zn ・・・式1
2n-1X’nと2Znは明らかに偶数なので、Ynも偶数。
Ynが偶数なので、Yも偶数。
よって、Y=2Y’となる自然数Y’が存在する。

これより、式1は、
2n-1X’n+2nY’n=2Znと書き換えられる。

両辺を2で割ると、
2n-2X’n+2n-1Y’n=Zn ・・・式2
2n-2X’nと2n-1Y’nは、明らかに偶数なので、Znも偶数。
Znが偶数なので、Zも偶数。

よって、Z=2Z’となる自然数Z’が存在する。

これより、式2は、
2n-2X’n+2n-1Y’n=2nZ’nと書き換えられる。

この式を2n-2で割ると、

X’n+2Y’n=4Z’n

よって、
Xn+2Yn=4Znを自然数の組(X,Y,Z)が満たすとき、
自然数(X/2k,Y/2k,Z/2k)の組も与式を満たすことになる。

(ただし、kは自然数)
しかし、X,Y,Zそれぞれより小さい自然数は有限個しかなく、
kの値を大きくすると、
X/2k,Y/2k,Z/2kの値は自然数でなくなってしまうので矛盾。
よって、示された。

(Q.E.D.)

つまり、無限降下法とは、
「ある自然数より小さい自然数は有限個しかない。
そこで、ある仮定をし、それをある自然数nが満たすとする。
そこから、nをどこまでも小さくしていくことができるという結論が出たとする。
しかし、実際には自然数nはどこまで無限に小さくすることは不可能である。
ゆえに、ある仮定は間違いである」

というような証明です。
分かりましたか?




18:09  |  論理学-math  |  TB(0)  |  CM(2)  |  EDIT  |  Top↑

2008.05.16 (Fri)

初等幾何学で必須の定理

おれさまさん、問題のご提示、ありがとうございます。
これも、一回では書ききれないので、シリーズとして進めていきたいと思います。

「幾何学で必須の定理の紹介」とは、漠然とした提示でありますので、ご希望にお答えできるよう、最初からすべて順を追って紹介していこうと思います。

ユークリッド幾何学ですね。第5公理(平行線の公理)を否定しちゃだめですよ。

まず、同位角・錯角・対頂角について。
定義は省きます。
ただし、ここで、「平行線の同位角は等しい」ことを認めるものとします。公理ですもの。

「対頂角は等しい」
(証明)
直線ℓとmが一点で交わるとき、一組の向かい合う角を、∠A,∠Bとおく。
このとき、∠A=∠Bを示せばよい。
また、残る二つの角のうち、一方を∠Cとおく。
∠A+∠C=180°・・・I
∠B+∠C=180°・・・II
I,IIより、∠A+∠C=∠B+∠C
∴∠A=∠B
よって、対頂角は等しい。
(Q.E.D.)

「平行線の錯角は等しい」
(証明)
平行な2直線をℓ,mとする。また、この2直線とそれぞれ一点で交わる直線をnとおく。
ℓ,m,nによってできる一組の錯角をそれぞれ∠A,∠Bとおく。
このとき、∠A=∠Bを示せばよい。

∠Aの対頂角を∠Cとおく。
上の定理より、対頂角は等しいので、∠A=∠C・・・I
∠Cと∠Bは同位角なので等しい。・・・II
I,IIより、∠A=∠B
よって、平行線によってできる錯角は等しい。
(Q.E.D.)

ちなみに、逆の証明です。
「対頂角は等しい」の逆は成り立ちませんね。
「等しい2つの角は、対頂角である」なんてありえませんから。

ただし、「平行線の錯角は等しい」の逆は成り立ちます。
この定理の逆をわかりやすくすると、
「錯角」の定理は逆もありますね。錯角が等しければ、その2直線は平行です。
これは、「同位角が等しければ、二直線は平行」が公理なので、ここから先ほどと同じ要領で示すことができます。(錯角の話は対頂角を用いて同位角に持っていくことが容易ですから)


この調子で大丈夫でしょうか?
大丈夫ですよね。
シリーズにしたら、いずれ終わります。
いずれ、おれさまさんのご希望に副えることもできると思います。

それでは。
18:54  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(3)  |  EDIT  |  Top↑

2008.05.15 (Thu)

いくらかかっても必ず儲かる?

どんなことでもいいので質問がある方は挙手(コメント欄に書き込んでください)。
どんな教科でもいいです。答えられる範囲で答えます。
前も因数分解やりましたね?
よろしくお願いします。

それでは本題に移りたいと思います。
期待値と実際の感覚にずれが生じることってあると思いますか?

普通なら、
「くじ引き一回30円、あたり一本はずれ一本、当たったら100円もらえる」
というくじ引きならやりますね?
一回外れても、二回外れても、三回目で当たれば10円得します。
当たる確率は2分の1なので、たいていは(計算上)2回やれば当たります。70円得するわけです。

まあ、このくじは、得する確率の方が高いですね。直感でもそう思います。このくじ引きの期待値も50円ですから、直感とも一致するわけです。

しかし、次のようなゲームはどうでしょうか?
「コインをまず一回投げる。
このとき表が出れば100円もらえ、ゲームが終了する。また、裏が出れば二回目に挑戦する。
二回目は、表が出れば200円もらえ、ゲームが終了する。また、裏が出れば三回目に挑戦する。
三回目は、表が出れば400円もらえ、ゲームが終了する。また、裏が出れば四回目に挑戦する。
四回目は、表が出れば800円もらえ、ゲームが終了する。また、裏が出れば五回目に挑戦する。
このように、n回目には、
表が出れば(2n-1×100)円もらえ、ゲームが終了する。
裏が出れば、(n+1)回目に挑戦する。」


このようなルールのゲームがあります。

さて、ゲームの参加料は1万円です。
参加しますか?

計算上は、必ず得をします。それも、参加料がいくらであっても得をします。
計算してみれば明らかです。

100円がもらえる確率は、2分の1
200円がもらえる確率は、一回目で裏が出て二回目で表が出るので4分の1
400円がもらえる確率は、一回目、二回目で裏が出て三回目で表が出るので8分の1
800円がもらえる確率は、一回目、二回目、三回目で裏が出て四回目で表が出るので16分の1・・・

ということで、期待値は、
100・(1/2)+200・(1/4)+400・(1/8)+800・(1/16)+・・・

となり、結局

50+50+50+50+50+・・・

となり、無限大に発散していきます。

時間が無限にあれば、無限にお金が手に入る計算になります。

さあ、やりますか?1万円で一回。


それでもやはりやろうとは思わないと思います。1万円が100円になってしまう確率も1/2ですから。

このように、期待値が実際の感覚との間にずれが生じてしまうこともあります。
計算上でいくら得をすると言われても、感覚では得をするとは思えないことだってあるのです。

宝くじなら、直感的に損をすると思うし、計算上でも損をしている。
直感的に判断できないようなものもあります。そのような場合は、計算をしてみて、得なら得だと思えますし、損なら損だと思えます。
しかし、この場合だと、直感的に「損をする」と思ってしまいますね。しかし、計算では得。また、いくらそう言われても、納得できないような気がします。

こんなこともあるんですね。
18:49  |  確率・場合の数-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2008.05.14 (Wed)

法律の雑学!!なぜ4月2日生まれが一番最初?

題名の内容は最後にしましょう。



「民法」
第550条
 「書面ニ依ラサル贈与ハ各当事者之ヲ取消スコトヲ得但履行ノ終ハリタル部分ニ付テハ此限ニ在ラス」


例えば、「これあげる」と言って、その時点で双方の同意があっても、その約束は取り消すことができます。契約書などを作っていたら話は別ですが。ただ、あげた後に「やっぱりやめる」はNGです。

「刑法」
第104条 (証拠隠滅等)
 「他人の刑事事件に関する証拠を隠滅し、偽造し、若しくは変造し、又は偽造若しくは変造の証拠を使用した者は、2年以下の懲役又は20万円以下の罰金に処する。」


ええと、自分の刑事事件の証拠隠滅はOKです。

「爆発物取締罰則」
第7条
 「爆発物ヲ発見シタル者ハ直ニ警察官吏ニ告知ス可シ違フ者ハ百円以下ノ罰金ニ処ス」


今では「百円以下の罰金」とは「一万円以下の罰金」ですね。
爆発物を見て、逃げたら罰金です。ちゃんと通報しましょう。

「民法」
第226条 (囲障の設置)
  第1項
  「二棟の建物がその所有者を異にし、かつ、その間に空地があるときは、各所有者は、他の所有者と共同の費用で、その境界に囲障を設けることができる。」
  第2項
  「当事者間に協議が調わないときは、前項の囲障は、板塀又は竹垣その他これらに類する材料のものであって、かつ、高さ二メートルのものでなければならない。」


 第1項は普通ですね。隣り合う二世帯が共同で塀を作ることができます。
第2項は?ちょっと限定しすぎじゃないかな・・・
二世帯が「ブロック塀を作りましょう」と決めても、高さでもめたとき、「二メートルの竹垣」でないといけません。ブロック塀でいいと思いますけどね。

「銀行法」
第6条 (商号)
  第1項
  「銀行は、その商号中に銀行という文字を使用しなければならない。」


「○○バンク」という銀行は銀行ではありません。「○○バンク銀行」でないといけません。


4月2日云々の話をするには、次のことを理解していただかないといけません。問題です。
「明後日二十歳の誕生日を迎える人がお酒を飲めるのはいつからか?」
A.明日 B.明後日 C.明後日の生まれた時間 D.明々後日

ちなみに、法律上でお酒は二十歳未満は飲んではいけません。

答えはどれでしょう?
・・・

・・・

・・・

実は、「A.明日」です。

意外だと思います。
なんと、一般人は、法律上、二十歳の誕生日の前日に二十歳として認められるのです。
つまり、「二十歳未満」とは、「二十歳の誕生日の前日を迎えていない者」のことです。成人も原則「二十歳以上」なので、二十歳の誕生日の前日に成人として認められますが、結婚すると成人として認められるので、男子は18歳、女子は16歳以上で成人することも可能です。

そして、なぜ「誕生日の前日」なのか。それは、閏年の2月29日の存在です。
「誕生日」と規定してしまうと、2月29日生まれの人は、法律上ほぼ4年に1度しか誕生日が来ないことになります。
だから、「誕生日の前日」とするのです。
2月29日生まれの人は2月28日に法律上年を取ります。これで、毎年、年がとれます。
もちろん、3月1日生まれの人は、閏年の場合は2月29日、そうでなければ2月28日に年を取れるので問題はありません。

だから、4月1日生まれの人は、法律上3月31日に年を取り、「年度で一番遅く年を取る」ということになってしまうので、一番最初は4月2日なのです。

わかりましたか?

それでは。
21:57  |  法律  |  TB(0)  |  CM(2)  |  EDIT  |  Top↑

2008.05.13 (Tue)

数学の神秘4

32+42=52
33+43+53=63
20:57  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(3)  |  EDIT  |  Top↑

2008.05.12 (Mon)

数学の神秘3

黄金比
次のXの値を求めよ。
gold.png

分かりますか?
解き方は、両辺を二乗します。
すると、X2=1+√1+・・・となりますね。
このX2からXを引くと、1が残りますね。
よって、方程式
X2-X-1=0
をの解がXということになります。
これを解くと、
X=(1±√5) / 2

解けましたね。
そして、これの正の解
X=(1+√5) / 2
に見覚えはありませんか?

黄金比です。
1 : (1+√5) / 2
これが黄金比です。

これだけでも十分美しい比ですね。
芸術作品や、自然界にも存在しています。

そして、次のことはご存知でしょうか?

X=(1+√5) / 2
これを二乗します。そして、その値を分母が2になるように書くと、そのときの分子は
3+√5
です。
また、黄金比を三乗し、その分母を2になるようにすると、そのときの分子は
4+2√5
です。
四乗したときは、
7+3√5
になります。
なにか規則性を見出せませんか?

そうです。
黄金比をn乗し、分母を2にしたとき、分子の有理数部分はリュカ数列(ルーカス数列)、無理数部分の係数はフィボナッチ数列のそれぞれn番目の項になっているのです!

ちなみに、フィボナッチ数列とリュカ数列は、それぞれ似たようなものです。
フィボナッチ数列は、
1,1,2,3,5・・・
と、1,1からスタートして、前の二つの項を足したものが次の項になるという数列です。

それに対し、リュカ数列は1,3からスタートして、
1,3,4,7,11・・・
という数列です。

知ってましたか?
黄金比は、図形として美しいだけではなく、式としてもとても美しいものだったのですね。
17:41  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.05.10 (Sat)

ウェスト・サイド・ストーリー 

今日は音楽!!「Tonight」です!!
「WEST SIDE STORY」
 1957年9月26日、ニューヨークのウィンター・ガーデン劇場にて初演、1961年に映画化されたミュージカルです。
 原案はシェイクスピアの悲劇、「ロメオとジュリエット」、アメリカの演出家ジェローム・ロビンズがこれのミュージカル化を思い立ち、劇作家アーサー・ロレンツと作曲家レナード・バーンスタインとも相談の上、ニューヨークのストリート・ギャングの派閥抗争にラヴ・ロマンスを絡ませた「イースト・サイド・ストーリー」を着想します。しかし、その後ウェスト・サイドのプエルトリコ移民の社会問題化も受け、タイトルを「ウェスト・サイド・ストーリー」に変更しました。ヒロインの設定もプエルトリコの娘に変え、1957年にこの名作ミュージカルをつくりあげたのです。
 また、音楽による効果も大きく、それによってこのミュージカルが成功に導かれたと言っても過言ではないでしょう。

 曲を順に追いながら説明していきましょう。
<<第一幕>>

 まず、「導入」(Prologue)です。指を鳴らしながらの登場ですね。白人グループのジェッツ(ジェット団)と移民であるプエルトリカンのグループのシャークス(シャーク団)がゴタゴタを起こし、警察にとめられるといういつもの風景です。

 そこで、ジェッツのリーダーであるリフは、シャークスを追い払うため決闘しようと考え、今夜行われるダンスパーティーを中立地帯と考えて、シャークスとの話し合いをたくらみます。元ジェッツのリーダーで、今は非行から足を洗ったトニーにも決闘に参加してもらうことを提案し、他のメンバーも了承します。そして、興奮する心を歌い、踊ります。これが「ジェッツの歌」(Jet Song)です。

 リフはトニーにそのことを頼みにいきますが、トニーはこれを断ります。それでも、結果的にパーティーに参加することとなり、その時に感じた幸せな予感、を歌います。「何かの予感」(Something's Coming)です。

 次の曲は、「体育館でのダンス」(The Dance at the Gym)です。これは、次の6曲、「ブルース」(Blues)「プロムナード」(Promenade)「マンボ」(Mambo)「チャチャ」(Cha-Cha)「出会い」(Meeting Scene)「ジャンプ」(Jump)からなっています。
 「マンボ」は激しいですね。トランペットのソロもいいですけど。トロンボーンも奮発してます。それに対して、「チャチャ」の優雅なメロディー。このような曲が好きです。後の「マリア」のメロディーですね。「出会い」でトニーはマリアと出会い、恋に落ちます。

 その後、トニーはパーティーで出会ったマリアという女性の名前のその美しい響きを懐かしみ歌います。これが「マリア」(Maria)です。

 夜、トニーはアパートの非常階段からマリアのもとへ会いに行きます。これが、とても有名な曲、「バルコニーにて―トゥナイト」(Balcony Scene - Tonight)です。綺麗なデュエットです。一番のお気に入りです。

 「アメリカ」(America)は、アメリカに移住したプエルトリコ派が、プエルトリコを皮肉って歌う曲です。ちなみに、プエルトリコを皮肉っているのはシャークスのリーダーであるベルナルドの恋人、アニタですね。マリアは、ベルナルドの妹です。トニーとマリアは、本来対立すべき関係であるので、表だって付き合うことができないんですね。

 決闘を前に、興奮しているジェッツのメンバーたち。リフは手下たちを落ち着かせながらも鼓舞し歌う曲が「クール」(Cool)です。
 
 「一つの手、一つの心」(One Hand, One Heart)もいい曲ですね。トニーとマリアが花嫁衣裳店でマネキンを介添え人に見立て、愛を誓い合い歌う曲です。

 そして、「トゥナイト」(Tonight)です。すごい五重奏ですね。あとで触れます。

 その次が、「乱闘」(The Rumble)です。ベルナルドはリフを、トニーはベルナルドを殺してしまいます。

<<第二幕>>

 そのような乱闘が行われているとも知らないマリアは、恋の幸せに酔って「何てきれいなの」(I Feel Pretty)を歌います。

 そこにトニーがやってきて、事情を聞きます。トニーはマリアの部屋に匿われ、二人で幸せなひとときを満喫します。「バレエの場」(Ballet Sequence)です。この曲は「導入部」(Beginning)「スケルツォへの移行部」(Transition to Scherzo)「スケルツォ」(Scherzo)「どこかに」(Somewhere)「行列と悪夢」(Procession and Nightmare)からなります。これらの曲も本当にいい曲ですね。

 「はいはい、クラプキー巡査」(Gee, Officer Krupke)はジェッツの若者が、自分たちを訊問したクラプキー巡査をその後揶揄して歌う、とても楽しい曲ですね。

 アニタはトニーに恋人のベルナルドを殺され、マリアに「あんな奴(トニー)と付き合うのはやめて」と歌います。「あんな奴」(A Boy Like That)です。

 しかし、マリアは「でも彼を愛しているの」と歌い、アニタもそれを認めます。「恋する私」(I Have a Love)です。いい曲です。

 マリアに、トニーへの伝言を頼まれたアニタは、トニーが匿われているドラッグストアに出向きます。しかし、そこにいたジェッツたちに「人殺しの恋人」と嘲られ、不信になり、「マリアは殺された」と嘘をついてしまいます。ここで流れるのが「嘲りの場面」(Taunting Scene)です。

 トニーの雇い主であるドラッグストアのドックは、アニタの言葉を信じ、それをそのままトニーに伝えます。それを聞いたトニーは自暴自棄になり外へ出て「僕も殺してくれ」と叫びます。そこにマリアが現れ、二人は抱き合おうとしますが、トニーは撃たれ、マリアに抱かれながら息絶えます。「フィナーレ」(Finale)です。


とまあこういうことですね。

追記の部分に、五重奏の「トゥナイト」について書きます。
21:37  |  音楽(リニューアル前)  |  TB(0)  |  CM(3)  |  EDIT  |  Top↑

2008.05.09 (Fri)

5/6~5/8のおさらい 今回はいつもと違いますよ。 

おさらいと言っても、問題をつくってしまったら因数分解のみになりそうなので、今回はスタイルを変えましょう。

まずは、因数分解の回で書けなかったことから。
基本といえばこれも基本ですね。
<最低次数の文字について整理する>
これこそ基本です。下の(解法2)です。
例えば、次の問題
x3+3x2+2xy+6y

(解法1)
因数定理を利用する。
この式をxについての整式と見たとき、定数項は6yであるから、6yの因数をxに代入して考える。
すると、x=-3を代入したとき、この式の値は0になるので、
x+3は因数である。
よって、与式をx+3でくくりだすと、
(x+3)(x2+2y)

(解法2)
最低次数の文字について整理する。
この場合、次数が最も低いのは、4つ目の項6y(1次)であるので、yについて整理すると、
(2xy+6y)+(x3+3x2)

ところで、整理の仕方は、この場合、
(yのn乗を含む項)+(yのn-1乗を含む項)+・・・+(yの1乗を含む項)+(yを含まない項)
のように整理します。

上式をさらに変形して、
2y(x+3)+x2(x+3)

共通因数がx+3なので、
(x+3)(x2+2y)


どちらでもできるようになってください。
9点円、すばらしかったですね。
ところで、「6点円」というのは知っていますか?テイラー円とも呼ばれます。
次のようなものです。
「三角形の各頂点から対辺に垂線を下ろし、そのそれぞれの垂線の足から他の二辺に下ろした垂線の足の6点は、同一円周上にある」
※最初に下ろした垂線の足は円周上にはありませんよ。

最初「6点円」と言えば、今でいう9点円のことを指していたようです。当時は同一円周上の9点のうち、6点しか見つかっていなかったようですから。

これの証明は、中学生でもできます。やってみてください。宿題にしておきましょう。


ところで、
P≠NP問題は解けましたか?
賞金がもらえるまではこのような経緯をたどらなければなりません。
「賞金を得るためには、査読つきの専門雑誌に掲載された後、二年間の経過期間を経て解決が学界に受け入れられたことが確認されなくてはならない。なお、P≠NPとナビエ-ストークス方程式については、肯定的・否定的のいずれの解決に対しても賞金が与えられるが、他の問題については、否定的な解決は、それが問題の実効的な解決であるとみなされる場合に限り賞金が与えられる。否定的な解決であっても問題が修正を加えられた上で生き残る場合は、賞金は与えられない。」 (Wikipediaより引用)

2年間も生き残れるでしょうか?
頑張ってください。
それでは。
19:07  |  復習-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2008.05.08 (Thu)

賞金ゲット!!

昨日は因数分解でしたね。
x3y-xy3-x3+xy2+x2y-y3
この問題の解法、昨日は因数定理を用いましたが、そんなことしなくても別のアプローチからでも解けるので、別解を追記の部分に書いておきます。
それでは、今回は頑張って賞金をGETしましょう!
次の問題を解いてください。
P≠NPか?

はい、これができたら100万ドル!!(本当です)

まず意味が分かりませんね。

ものすごい簡単にいうと、
Pは、「一般的な解法がある問題」
NPは、「しらみつぶしに調べるほか一般的な解法のない問題」
つまり、Pは、「ヒントなしに効率よく解ける問題」
NPは「ヒントが与えられれば効率よく解ける問題」
(ものすごく簡潔に書いたので不十分なところと思いますが・・・つまりはこういうことですね)

例えば、素因数分解。一般的な解法ってありますか?2,3,5,7,11・・・としらみつぶしに調べていくしかありませんね。特に大きな数についてはそうですね。
4294967297は素因数分解できるか?できる場合は素因数分解しなさい
これを解く公式はありますか?ないですね。じゃあ、2からしらみつぶしに調べていきましょう。

・・・といっても、なかなか見つけられませんね。なら素数かな?
違います。
4294967297=641×6700417
です。
なかなかエレガントな解法も見つけましたが、公式ではありませんし、やはり調べる必要があります。

しかし、次の問題ならどうでしょう?

4294967297を素因数分解すると641×6700417になるか?ただし、641,6700417は共に素数である。
簡単に答えられますね。計算をしてみればよいだけですから。

このように、一般的な解法はなく、しらみつぶしに調べていくことしかできないような、また、ヒントを与えられれば効率的に解くことができるような「素因数分解」がNPの一種です。

また、次のような問題もあります。
例えば、多くの数が並んでおり、「この中で足して○○になる組み合わせはあるか?あるならそれはどの組み合わせか?」などと言う問題です。
しらみつぶしに調べる以外方法はありませんね?

それに対して、Pとは一般的な解法がある問題ですから、例えば2次方程式(解の公式)だとか、三角形の面積(ヘロンの公式 等)だとか、こちらも色々ありますね。

そこでこれです。
P≠NP
これは、要するに、数学の世界において、「世の中には、一般的な解法がある問題と、しらみつぶしに調べる以外方法のない問題との二種類が存在する」ということです。
ところで、P=NPとなれば、
「世の中には、どのような問題に対しても一般的な解法が存在する」ということになります。
まあ、一般的な解法がある問題でもしらみつぶしに調べればかならずどこかで解は見つかるはずですから、問題になるのは逆です。

P=NPならば楽なのですが、素因数分解など、解法が見つかっておりません。おそらくないだろう、と考えられています。それが、P≠NP予想です。

この問題の直接的な解決にはなりませんが、素因数分解の一般的な解法を見つけただけでも大発見ですよ。見つけてみてください。

他にもミレニアム懸賞問題は色々とありますが、これが一番理解しやすいでしょう。そう思って掲載しました。

頑張ってくださいね~
21:38  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(3)  |  EDIT  |  Top↑

2008.05.07 (Wed)

因数分解

次回も少し因数分解に触れてますが、大方は今回です。
因数分解って、やっぱりエレガントな解法はないみたいですね。
地道にやっていくのが一番ですが、調べてみると少しは使えそうなものが見つかりました。

基本的なことから順にまとめていきましょう。

<共通因数でくくる>
これが一番基本ですね。
X2-X
これを因数分解するには、共通因数Xでくくって、
X(X-1)
とすればいいのです。全部これだったら楽なのですが、そうはいきません。

次にするのがこれです。

<公式を使う>
展開公式をひっくり返しただけです。
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
X2+(a+b)X+ab=(X+a)(X+b)・・・たすき掛け
a2-b2=(a+b)(a-b)
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
これだけは覚えるしかありませんね。

<襷掛け>
先ほどの公式、
X2+(a+b)X+ab=(X+a)(X+b)
ですね。
これを拡張して、
abX2+(ad+bc)X+cd=(aX+c)(bX+d)
例えば、次の問題
「6X2+X-2を因数分解しなさい」
という問題においては、上の公式から、「襷掛け」という作業をしますね。
2-1-3
×
3
2
4


まあ、こんな感じですね。
一番左はX2の係数6を2×3に分解、真ん中は定数項-2を-1×2に分解して、襷掛けをし、一番右側の-3と4を足すと、Xの係数1に一致しますね。(詳しいことは授業で学んでください)

<因数定理>
これ、画期的ですよね。
整式f(X)において、f(a)=0となるとき、f(X)の因数に(X-a)が含まれる。

つまり、X2+2X-4の場合、X=2を代入すると、式の値は0になります。
よって、この式は、(X-2)を因数に持ちます。
X2+2X-4を(X-2)でくくりだすと、(X-2)(X-2)となって、結局(X-2)2ですね。
これは本当に便利ですね。
2X4−5X3−8X2+17X−6
共通因数も見つからないし、公式もすぐに使えそうにないので、戸惑いそうですよね(何とかしたらできると思いますが・・・)。
ここで、X=1を代入してみると、
2-5-8+17-6=0となるので、この式はX-1を因数に持ちます。
よって、2X4-5X3-8X2+17X-6をX-1でくくりだすと、
(X-1)(2X3-3X2-11X+6)
ここで、(2X3-3X2-11X+6)には、Xに-2を代入すると0になるので、
(X+2)も因数です。
よって、2X4-5X3-8X2+17X-6は、
(X-1)(X+2)(2X2-7X+3)
です。あとは、因数定理でもいいですが、(2X2-7X+3)を襷掛けで因数分解して、
(X-1)(X+2)(X-3)(2X-1)
とできます。
ためしに、最初の式にX=1,-2,3,1/2を代入してみてください。全て0になるはずです。

そして、最後に新しい方法です。
続きを読んでください。
19:26  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(4)  |  EDIT  |  Top↑

2008.05.06 (Tue)

数学の神秘2

やはり、数学は美しいですね。
今日も行きましょう。

<9点円の定理>
有名ですけど、本当に美しいと思います。
「任意の三角形において,各辺の中点,各頂点の垂線の足,垂心と各頂点を結ぶ線分の中点の 9点は同一円周上にある。」という定理です。
この定理で定義される円が、9点円です。

証明してみてください。
実は簡単にできるんです。証明の方針は、円周角=90°。これが全てです。
もちろん、これ以外にも証明方法は色々ありますが、これが簡単でしょうね。

(証明)
三角形ABCの辺BC,CA,ABの中点をL,M,Nとし、点A,B,Cから対辺におろした垂線の足をD,E,F,垂心をHとする。また、AH,BH,CHの中点をP,Q,Rとする。
(図は自分で描いてください。)
NはABの中点、PはAHの中点だから、NPとBHは平行。(∵中点連結定理の逆)・・・※
BE⊥ACより、BH⊥AC。BHとNPは平行なので、NP⊥AC。

また、上の※と同様に考えると、ACとNLは平行。
よって、NP⊥NL

同様に、MP⊥ML。
また、DP⊥DL。
よって、三点N,M,DはPLを直径とする同一円周上にある。
すなわち、N,M,D,P,Lは同一円周上。

これと同様に、QM,RNについても考えると、以上の9点は同一円周上にある。

(Q.E.D.)

少し省略もしましたが、これでいいでしょう。

で、これです。

<フォイエルバッハの定理>
これがすごいですね。9点円はその三角形の傍接円、内接円に接するというものです。
内容は難しい証明ではないと思うのですが、長くなるのでここでは証明は省かせていただきます。

それにしてもすごいですね。円が4点を通るだけでもすごいことなのに、9点も通ってしまうんですよ。
20:13  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.05.05 (Mon)

5/3解答

今回は解答だけですよ。
明日からのネタもちゃんと用意しているので、ご安心を。

間違えていたらごめんなさい。

問1.217
問2.問題が不備でした。「二人で」という条件を追加してください。次回に解答を掲載します。
問3.√(abcd)
問4.AとCが海だけ、BとDが山だけ
問5.言える

次回からもボリューム満点でお送りいたします。今日はこれで勘弁してください。それでは。
21:39  |  復習-math  |  TB(0)  |  CM(2)  |  EDIT  |  Top↑

2008.05.03 (Sat)

4/28~5/2のおさらい

勝手に金曜日が復習なんて思っちゃいけませんよ。
確かに、「金曜日なので復習」などと書いた覚えもありますが、それが「必ずしも金曜日は復習」ということではありませんよ。

鳩は、「羽があるから飛べる」

こういうことですね。だからといって「必ずしも羽があるなら飛べる」と言うことにはなりませんね?
普通は、鶏も駝鳥も飛びません。

それでは、おさらいです。
・・・といっても、今回の公式は2つだけですよね。
「ピックの定理」と「ブラマグプタの定理」だけですよね?

確率の時は、またまたベイズの定理を使っただけで、前回と基本的には一緒です。

まあ、問題です。

問1.O(0,0) A(2,8) B(6,6) C(9,9) D(10,-4) E(-4,-7) F(-12,4)
G(-10,-3) H(-14,5) I(-12,7) J(0,1) K(-8,11) L(1,12)のとき、
多角形ABCDEOFGHIJKLの面積を求めよ。

問2.じゃんけんで勝ったとき、グーを出して勝った確率を求めよ。

問3.ある円に内接し、また別の円には外接する四角形の面積を求めよ。ただし、四角形の各辺の長さはa,b,c,dとし、ブラマグプタの公式を用いて、もっとも簡単な式を導き出せ。

問4.ここにA,B,C,Dの四人がいる。この四人のうち二人は、先週海に行き、また、四人のうち二人は昨日山に登ってきた。海か山の片方にだけ行った人がいるなら、常にその人は嘘を語る。また、どちらにも行っていない、あるいは、海、山両方とも行った人がいるなら、常にその人は真実を語る。
A「Bは海に行った」
B「Cは海に行っていない」
C「Dは海に行った」
D「Aは山に登った」
誰がどこに行った?

問5.命題「太郎が風邪を引いているとき、花子は風邪を引いていない」が真のとき、次のことは言えるか。
「花子が風邪を引いているとき、太郎は風邪をひいていない」


今日はこのぐらいで。
さようなら。
17:26  |  復習-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.05.02 (Fri)

地球破壊爆弾

「ドラえもんが、現代で地球破壊爆弾を使用してしまいました。
『地球破壊爆弾』を使用すると、100%の確率で地球は破壊され、滅びてしまいます。
このとき、問題点を述べなさい。」

いきなりで、大雑把過ぎますね。
問題点と言われても、色々な視座から見れば、様々な問題点が浮上してくるとは思いますが、今回、僕が言いたいのはパラドックスです。

つまり、こういうことです。

「『地球破壊爆弾』は22世紀の地球で製造された。 
 それを21世紀である現代で使用してしまうと、当然のごとく22世紀には地球は存在しない。
 すると、『地球破壊爆弾』は製造されることもない。
 つまり、『地球破壊爆弾』は存在しないことになる。
 しかし、現に地球は『地球破壊爆弾』によって破壊されている。
 ということは、『地球破壊爆弾』は存在したということとなる。
 つまり、『地球破壊爆弾』が製造されたということなので、22世紀に地球は存在する。
 しかし、21世紀である現代に地球が破壊されてしまい、22世紀の地球は存在しない。
 すると、・・・・・」


いつ終わるんでしょうか?
一度ドラえもんは「地球破壊爆弾」を使いかけていたことがありましたが、使わなくてよかったですね。本当によかった・・・。


よくあるのは、過去に戻って自分の先祖を自分で殺してしまう。
同じようなことになりますね。


パラドックスというものは、少し考えないと、混乱してしまうようなものです。
次のような面白いものもあります。

「19文字以内で記述できない最小の自然数」は何か?

「ベリーのパラドックス」です。何がパラドックスか分かりますか?
分からなければ、10000000000000000000とでも答えそうですね。20桁の数字です。
しかし、条件にあう数は、次で言い表せてしまいます。

「『19文字以内で記述できない最小の自然数』とは、『19文字以内で記述できない最小の自然数』である」
と言ってしまえばいいのです。間違ってませんよね?

で、ここで問題が発生しました。「19文字以内で記述できない最小の自然数」とは、19文字で記述された文章です。

そうです。
「19文字以内で記述できない最小の自然数」が、19文字で記述できてしまえたのです!!

他にもあります。
ある規則、「例外のない規則はない」
まず、この規則に例外があるとすると、それは「例外のない規則がある」ということになり、これは明らかに矛盾。
そこで、この規則に例外がないとすると、それ自体がこの規則自体と矛盾しますね。

パラドックスです。

一度深く考えたことがあるのが、次の文章です。

「この命題は偽である」

「私は嘘つきだ」と同じように、これもすぐにパラドックスだということができますね。
「この命題」が真のとき、明らかに矛盾。
ところが、「この命題」が偽のとき、「この命題」は真ということになってしまい、これも矛盾。(命題の場合、偽でなければ真です)


しかし、これだけで納得できなかった僕は、次のように考えたのです。
18:23  |  論理学-math  |  TB(0)  |  CM(6)  |  EDIT  |  Top↑

2008.05.01 (Thu)

数学で使う略語・記号の意味

<Q.E.D.>
証明終。よく使うと思います。証明終と書くよりも、簡単で、手っ取り早いですね。そりゃ、テストでもこう書くべきでしょう。
これは、次のような言葉を略してできたものです。
Quod Erat Demonstrandum
ギリシャ語で、「かく示された」です。
知っている人は少ないのではないでしょうか?

<L.C.M.>
Least Common Multiple
「最小公倍数」

<G.C.D.>
Greatest Common Divisor
「最大公約数」

これらは英語ですね。これは知っているでしょう(ただ、言えと言われても言えないと思いますが)。

<P>
<Q>
<R>
<Z>
<N>
<C>
これらは、集合を表す文字です。
Pは素数、Qは有理数、Rは実数、Zは整数、Nは自然数、Cは複素数全体の集合です。
それぞれを英語で言うと、
素数="Prime Number"
有理数="Rational Number"
実数="Real Number"
整数="Integer"
自然数="Natural Number"
複素数="Complex Number"
P,R,N,Cは納得できますが、それではQとZは?
Qは「商」を意味する"Quotient"、Zはドイツ語で「数」の複数形"Zahlen"の頭文字です。
これで納得ですね。

<∴>
「ゆえに」ですね。

<∵>
「なぜならば」ですね。

<∽>
相似を表す記号です。

<∞>
「無限大」です。ちなみに、「無限小」は「1/∞」のように書きますね。

<∝>
これは??「無限大」?違います。「比例する」です。
「A∝B」は「AとBは比例関係にある」ということです。

今回はこんなところです。
下に、土曜日の問題の解説です。
21:47  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(4)  |  EDIT  |  Top↑
 | BLOGTOP | 
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。