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2008.06.30 (Mon)

犯人は誰?

スーツを着た4人の人が、ある屋敷へ入っていった。
そう、今日はこの屋敷でパーティーが開催されるのだ。
そのパーティとは、ある作家の受賞パーティーである。

ところで、招待された4人は、
新聞記者の松坂、
A社の編集長の田崎、
B社の編集長の谷、
フリーライターの一条
である。

彼らには、この屋敷に入る前に、例の作家の秘書官からこのパーティーを記念してつくられた特製の牛革のベルトを渡された。これに付け替えてほしいというのだ。その秘書官は、松坂にベルトをまとめて渡した。

「面倒ですね」田崎は言った。
「しょうがないでしょう。はい」そう言って松坂はベルトを配った。
「新しいベルトはあんまり使いたくないんですけどね」谷は言った。
「でもそれ、結構いいベルトじゃないですか」一条が口をはさんだ。
「ま、相手もすごい先生だし、ここは我慢することとしましょうか」田崎は言った。

こうして、屋敷に入った。
屋敷はとても広かった。
「どうも、招待されたのは4人だけのようですね」
一条が呟いた。

「こちらへ」秘書がテーブルへと案内した。「好きな所にお掛けください」
4人は、それぞれ適当な位置の椅子に腰かけ、上着を脱ぎ、それを背もたれにかけた。
「ではしばらくお待ちください」
秘書は去って行った。
「あ、ちょっと」谷が秘書を呼んだ。
「なんでしょうか?」
「お手洗いの方は・・・」
「そこの扉を出て、つきあたりです」
「ありがとうございます」
そう言うと、谷はすぐに立ち上がり、言われた方向へと行った。
「私も行くことにしましょう」と、田崎も立ち上がり、谷と共に部屋を出た。

それから、谷と田崎が帰ってきた。どうも、ずっと一緒だったらしい。
すると、次に松坂が席を立った。
しばらくたって、松坂が帰ってくると、その次には一条が席を立った。
数分後、一条も戻ってきた。

それから随分と時間がたったが、誰もやってこないし、もちろん食事もこない。
「それにしても、遅いですね」谷が頬杖をつきながら言った。
「今から何があるんでしょうか」松坂も、眼鏡をいじっている。
「招待された側なんですし、おとなしく待ちましょう」そう言う一条も、左手で上着のボタンを触っている。
「でも、こんな待遇はないでしょうよ」田崎は携帯電話まで取り出した。

すると、血相を変えた秘書が駆け込んできた。
「大変です、先生が、先生が!」

4人は、席を立ちあがった。先生の部屋なら、皆知っていた。お手洗いに行くまでの廊下の途中に扉があったからだ。

扉を開けると、その作家は倒れていた。

首には、何かで締め付けられたような跡。

田崎はその作家の元へ近寄り、息を確かめた。
「だめだ、死んでいる・・・。首の跡からして、凶器はおそらく先ほど配られたベルトです」



犯人は単独犯であり、犯人以外は秘書の知らせを聞いて、事件のことを初めて知った。
さて、犯人は誰だろうか?
もちろん、秘書ではない。
外部犯でもない。
犯人は、招待された4人の中にいる。

理由と共にお答えください。
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21:19  |  その他  |  TB(0)  |  CM(5)  |  EDIT  |  Top↑

2008.06.28 (Sat)

Fair or Unfair?

勝負事においては、何事もフェアであることが望ましいのですが、そうはいかないのがこの世の中です。

ちなみに、勝負の類義語は、輪贏です。
読み方は、「ゆえい」または「しゅえい」です。
本来の読み方は、「しゅえい」ですが。
輪=負け
贏=勝ち
の意味です。

思いっきり簡単な問題(もう皆さんがご存知の問題)も含み、いろいろと紹介していきます。
この勝負は、Fair or Unfair?

勝負とか言いながらも、まずはくじ引きから。

(1)10本中3本が当たり、7本が外れのくじがある。10人以内の人間が、1人1本ずつ順番にくじを引く時、このくじ引きは公平であるかどうか?

基本中の基本。有名すぎます。「くじ引きの平等性」ですよ。
答えを先に言うと、公平だということです。

1人目の当たる確率・・・3/10
2人目の当たる確率・・・(3/10)・(2/9)+(7/10)・(3/9)=9/30=3/10
・・・3人目以降はご自分で計算してください。ここに書いてしまうと煩雑になってしまうので。

ただし、全員、3/10になります。

それでは、次。

(2)15本中3本が当たり、7本が外れ、5本が「もう一度引く」のくじがある。10人以内の人間が、1人1本ずつ順番にくじを引く時、このくじ引きは公平であるかどうか?ただし、「もう一度引く」を選んだ場合は、当たりか外れを引くまで、同じ人が引き続ける。

どうでしょうか?

1人目が当たりを引く確率から求めましょう。
どういう計算をしますか?
「1本目に当たり、1本『もう一度引く』を引いてから2本目に当たり・・・」
というように計算しますか?

それでもいいですが。

単刀直入に申し上げましょう。

3/10
です。

信じられない方、頭が固い。
何本「もう一度引く」があろうとなかろうと、当たりが3本、外れが7本の当たりと外れは計10本ですから、3/10です。
嘘じゃないです。信じてください。これが「確率」というものです。

小学生ならすぐに理解してくれますけどね。
そんな問題いくらでもあります。小学生の方がすぐに解ける問題と言うものは。

ということで、「もう一度引く」が何本あっても結果は同じ、この勝負は公平です。

次は、不公平な勝負をどうしたら公平にするか、という問題です。

(3)サイコロを振り、その目が偶数か奇数かを当てる賭けを二人でする。
もちろん、普通ならば平等な勝負だが、このサイコロには、ある仕掛けがしてあり、相手は偶数の目と奇数の目、どちらの方が出やすいかを知っている。
このとき、どのようなルールにすれば公平になるか。
もちろん、自分はどちらの目の方が出やすいかは知らない。
そして、必ず相手から予想するものとする。


さあ、がんばって!

自分に不利な状況を、いかにして乗り切るか。今回はそういう問題です。

さて、考えられましたか?答えはすぐ下なので、考え中の方はすぐに下を見ないようにしてくださいね。


それでは、答えを申し上げます。



「サイコロを続けて2回振り、『偶数から出てから奇数が出る』か、『奇数が出てから偶数が出る』かのどちらかに賭ける。

例えば、極端な例、
偶数が出る確率・・・0.9
奇数が出る確率・・・0.1
としましょう。

このとき、
(偶数が出てから奇数が出る確率)=0.9×0.1=0.09
(奇数が出てから偶数が出る確率)=0.1×0.9=0.09
なので、これは公平です。

それでは、最後の問題です。

(4)大相撲の、3人の力士による優勝決定戦の「巴戦」は公平か?
ただし、3人の力士はそれぞれ同程度に強いものとし、「巴戦」の形式は、次のようなものとする。
  • まず、力士AとBが戦う。
  • AとBとの戦いの勝者(ここではAとする)が、次にCと戦う。
  • Cが負ければ、第一試合で勝ったAは続けて二勝したことになるので、その時点で優勝は決まる。Cが勝てば、次に、Bと戦う。
  • このようにして、先に続けて二勝した者が優勝する。


さて、この試合、実際に行われていますが、公平でしょうか?

Fair or Unfair?

直感的に考えましょう。

AかBは、最初の試合で戦います。仮に、Bが負けたとしても、Bには優勝のチャンスが残されています。なぜなら、次の試合でAが負ければよいからです。

しかし、Cは、二戦目で戦います。Cが負けた時点で、優勝者は決定してしまいます。
つまり、Cは一度負けてしまえば、優勝できるチャンスは残されていないのです。

だから、公平でないことはすぐに分かります。

では、どのくらいCは不利なのか。

確率的に考えましょう。

計算は続きをご覧ください。
21:00  |  確率・場合の数-math  |  TB(0)  |  CM(3)  |  EDIT  |  Top↑

2008.06.27 (Fri)

数学の神秘7

直線の上を、その直線と1点で接している円が滑らずに回転します。
このとき、円周上に一点を取り、その動き(軌跡)を考えます。
そうすると、こんな曲線(Wikipedia)になります。x軸、y軸の数値などは考えなくていいです。ただ、こんな曲線なんだな~、と思っておいてください。このような曲線のことを、サイクロイド曲線と言います。

さて、ここで問題です。
例えば、このサイクロイド曲線が、
直径1cmの円の円周上の点によるものだったならば、このサイクロイド曲線の長さは何cmになるのでしょうか?

これが、今回の美しいところです。

 ちなみに、「数学の神秘」という題で更新しているときの、「神秘」とは、どのような基準なのか?
それは、管理人である私が、「これは美しい」「神秘的だ」と、感銘を受けた内容について掲載しています。

じらしてしまって申し訳ありませんね。
もう少し、お付き合いください。

 数学は、とても芸術的です。まず、必ず「答え」が存在する。答えのない問題は存在しません。
一つ、注釈を付け加えておきますが、「答えのない問題」とは、ここでは、「答えがあるのかどうかも分からない」という問題です。
 「不可能な問題」でも、それには「不可能だ」という答えが与えられています。
また、この世の中には、まだ解明されていない問題もありますが、それは、ただ、解明されていないだけで、答えは存在するのです

 そして、次に、「ただ一つの解に達するための方法が、一つとは限らない」ことです。
たとえ、もう解明された問題でも、「もっと別の解法はないのか」「もっと簡単な解法はないのか」と探ることができます。それが、また一つの楽しみであり、そして、見つけたときの達成感と言えば、この上ありません。

 そして、「数学は不変である」ということです。

「平面幾何学(ユークリッド幾何学)において、三角形の内角の和は180°である」

どんな三角形を描いても、必ず180°になります。
179°でも、181°でもありません。必ず180°なのです。

それ以外にも、ピタゴラスの定理もありますし、それだけではなく、すべてが不変です。

それに対し、物理などにも、いろいろな公式がありますが、同じ世界において、ニュートン力学がすべてに適用されるわけではありません。原子レベルの話になると、どうしても量子力学になってしまうのです。

(ユークリッド幾何学と、非ユークリッド幾何学は、根本的に別の世界です。同じ世界ではありません)

他にも、いろいろと要素がありますが、このように、数学は、とても芸術的なのです。

それでは、本題に戻りましょう。
答えはずばり、4cmです。

えっ!有理数?

と思った方もいるでしょう。

そうです。πが登場しないのです。

超越数ではないのです。(超越数については後ほど)

サイクロイド曲線の長さは、直径の長さの4倍と等しくなります。

どうです?神秘的じゃありませんか?
あの曲線が、超越数でも何でもないなんて。

それだけなのですが、今日、私は、このことを知り、ひどく感動いたしました。

どうでしょう?感動していただけたでしょうか?

それでは、この続きに、超越数です。
21:27  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.06.26 (Thu)

必勝法!

簡単なゲームをしましょう。
次にあげるようなゲームは、必勝法があるようなものばかりです。
先手必勝、後手必勝など、様々ですが、有名なものもありますね。
さあ、知っている人も知らない人も、必勝法を考えてみましょう。
 50までの自然数を、1から順に数え上げていくゲームを二人で行います。
ルールは、次にあげる通りです。
  • 一人は一回につき、1つ以上、3つまで連続して数字を数え上げることができる。
  • パスは許されない。
  • 最後に50を言ってしまったら負け

どうでしょう?これは、先手必勝なのか、後手必勝なのか、どちらでも勝てるのか。
その必勝法とともに考えてみてください。
少しは考えてからこの先を読んでくださいね。
さて、このゲーム、つまり、49を言った者が勝つということですね。

自分が49を言うためには、相手には46,47,48のいずれかを言わせなければいけません。
そのためには、自分は45を言う必要があります。

自分が45を言うためには、相手には42,43,44のいずれかを言わせなければいけません。
そのためには、自分は41を言う必要があります。

・・・というように、自分は、後ろからたどれば、49,45,41,37,34・・・と言えばよいのです。

49,45,41,37,33,29,25,21,17,13,9,5,1

これらの数字で自分の番が終わればよい、ということです。

つまり、自分が1さえ言えば、あとはそれに4を足した数字で自分の番が終わるようにしていけばよいのです。

1を言えるのは、先手、つまり、このゲームは先手必勝なのです。

後手必勝のルールにするにはどうすればよいか。
三つ目の条件、「最後に50を言ってしまったら負け」の50という数字を動かして考えましょう。

最初に1,2,3を言えるのは先手です。後手は、4しか言えません。5,6は、先手が先にそれぞれ1,2を言うことになってしまうので、最初に4を言ったほうが勝ってしまうときにしか後手は勝てないのです。

だから、(4の倍数)+1 の数字に設定すれば、後手必勝のルールになるのです。




今日はこれでおしまいですが、このことについて、もう一度触れたいと思います。
その時の題名は、
「二人零和有限確定完全情報ゲーム」
です。
お楽しみに!
19:06  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(2)  |  EDIT  |  Top↑

2008.06.25 (Wed)

酒の肴に魚の鮭

日本語って難しいですね。

私は「『ら』抜き言葉」がどうしても気に入らないので、それに対してはとても敏感なのです。

次の言葉の中から、「『ら』抜き言葉」でないものをすべて選んでみてください。
「食べれる」
「蹴れる」
「来れる」
「喋れる」
「掛けれる」
「見れる」
「写れる」
「乗れる」


全部「『ら』抜き言葉」のようにも思えますが、日常生活でもどれも聞いたことのあるような言葉ですね。

「『ら』抜き言葉」でないのは、
「蹴れる」「喋れる」「写れる」「乗れる」
です。

他の言葉は、文法上では間違いです。
「食べられる」「来られる」「掛けられる」「見られる」
が正しい形です。

「来られる」は「尊敬」、「見られる」は「受身」の意味でしかあまり耳にしないような気もします。
しかし、「来ることができる」「見ることができる」の意でも、これを使うべきなのです。

「食べる」「掛ける」は下一段活用、「見る」は上一段活用、「来る」はカ行変格活用です。

「られる」は、上一段活用、下一段活用、カ行変格活用
「れる」は、五段活用、サ行変格活用

に接続します。

ちなみに、「蹴られる」「喋られる」「写られる」「乗られる」という言い方もありますね。

どういうことだか分かりますよね?

「蹴る」「喋る」「写る」「乗る」は、すべて五段活用の動詞です。
五段活用の動詞には、特徴がありましたね。
「可能動詞」が作れることです。

「可能動詞」は、五段活用動詞を下二段活用化させるとできます。

「蹴れる」「喋れる」「写れる」「乗れる」は、すべて可能動詞の意味で、それぞれ、
「蹴ることができる」「喋ることができる」「写ることができる」「乗ることができる」の意味です。

それに対し、これは、ラ行の五段活用動詞です。「蹴る」を例にとると、未然形は、「蹴ら」「蹴ろ」の二つです。
「れる」は、五段活用では「蹴ら」というア段音に接続されるので、「蹴られる」ということになります。

これにも、「蹴ることができる」という意味はありますが、そのような意味では使いませんね。
「尊敬」「受身」の意味で使います。
他も同じです。「喋られる」も「写られる」も「乗られる」も、可能の意味ではあまり使いませんね。
可能の意味では、可能動詞を使うのが普通なのです。


ここで、思ったことがあります。
関西弁です。

「書かれへ~ん」
なんですね。
「書けない」ではなく、「書かれない」なのですね。

先ほど、「可能動詞ができる動詞は、可能動詞を使うのが普通」と言いました。
でも、これ、可能動詞が使えるにも関わらず、可能動詞を使わず、「れる」を使った表現ですよね。

なぜこうなるのでしょうか?

わかりません。

教えてください。
20:08  |  国語  |  TB(0)  |  CM(4)  |  EDIT  |  Top↑

2008.06.24 (Tue)

嬉しいこと

Guten Tag. Ich glaube, daß ich heute einen Bericht in Deutsch schreiben werde.

・・・Io dissi una bugia.

ドイツ語で挨拶し、イタリア語でお詫びして、日本語で登場!!
です。

まあいいでしょう。

「スチュワートの定理」を実際にテストで使うことができました!!(やっとこのブログが役に立ったという実感)

数Aですね。三角比なので、実際のところ数Iですが。
数Iで今授業をしている「三角関数」は数IIだとか。
中間テストでの「写像」「逆関数」「分数関数」「無理関数」は数IIIだとか。

建前上「数A」「数I」で教科を分けているだけですね。前から分かってましたが。


数学I
方程式と不等式
数と式 - 実数、式の展開、因数分解(旧課程では数学Aで学習)
一次不等式(以前は中学2年で学習)
二次方程式
二次関数
二次関数とそのグラフ
二次関数の値の変化 - 二次関数の最大・最小
二次不等式
図形と計量
三角比 - 正弦・余弦・正接、三角比の相互関係
三角比と図形 - 正弦定理、余弦定理、図形の計量
数学II
式と証明・高次方程式
式と証明 - 多項式の割り算、分数式、等式と不等式の証明(旧課程では数学Aで学習)
高次方程式 - 複素数と二次方程式、高次方程式(旧課程では数学Bで学習、複素平面も扱っていた)
図形と方程式
点と直線 - 点の座標、直線の方程式
円- 円の方程式、円と直線
いろいろな関数
三角関数 - 角の拡張(弧度法)、三角関数とその基本的な性質、三角関数の加法定理(弧度法は旧課程では数学IIIで学習)
指数関数と対数関数 - 指数の拡張、指数関数、対数関数
微分・積分の考え
微分の考え - 微分係数と導関数、導関数の応用、接線、極値
積分の考え - 不定積分と定積分、面積
数学III
極限
数列の極限 - 数列の極限、無限等比級数の和
関数とその極限 - 合成関数と逆関数、関数値の極限
微分法
導関数 - 関数の和・差・積・商の導関数、合成関数の導関数、三角関数・指数関数・対数関数の導関数、高次導関数
導関数の応用 - 接線・法線、関数値の増減、第2次導関数の応用(グラフの凹凸)、速度、加速度
積分法
不定積分と定積分 - 積分とその基本的な性質、簡単な置換積分法・部分積分法、いろいろな関数の積分
積分の応用 - 面積、体積(旧課程では曲線の長さも扱っていた)
数学A
平面図形
三角形の性質
円の性質(以前は中学3年で学習)
集合と論理
集合と要素の個数
命題と証明
場合の数と確率(旧課程では数学Ⅰで学習)
順列・組み合わせ
二項定理
確率とその基本的な性質
独立な試行と確率
期待値
数学B
数列(旧課程では数学Aで学習)
数列とその和 - 等差数列、等比数列、いろいろな数列(階差数列など)
漸化式と数学的帰納法
ベクトル
平面上のベクトル - ベクトルとその演算、ベクトルの内積
空間のベクトル
統計とコンピュータ(旧課程では数学Cで学習)
資料の整理 - 度数分布表、相関図
資料の分析 - 代表値、分散、標準偏差、相関係数
数値計算とコンピュータ(旧課程では数学Cで学習)
簡単なプログラム
いろいろなプログラム - 整数の計算、近似値の計算
数学C
行列とその応用
行列 - 行列とその演算、行列の積と逆行列
行列の応用 - 連立一次方程式、点の移動(一次変換)
式と曲線
二次曲線 - 放物線、楕円と双曲線
媒介変数表示と極座標 - 曲線の媒介変数表示、極座標と極方程式、焦点、準線
確率分布(旧課程では数学Bで学習)
確率の計算
確率分布 - 確率変数と確率分布、二項分布
統計処理
正規分布 - 連続型確率変数、正規分布
統計的な推測 - 母集団と標本、統計的な推測の考え
(Wikipediaより)



さてさて、6つにも分けちゃって…
つくづく、思います。

ま、こういうことですね。

今日は手抜きです。

反省しなければ・・・

それでは。
19:13  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(3)  |  EDIT  |  Top↑

2008.06.23 (Mon)

ピタゴラス音階と平均

和音の響きも美しいですね。

まずは、これを確認しておきます。

振動数の比が3:2のとき(完全5度)、2:1のとき(完全8度)のとき、4:3のとき(完全4度)のとき協和音となる。

この定義だと、例えば、完全5度は、ドとその下のソ、完全8度はドと、その1オクターブ下のド、完全4度はドとその下のファですね。

ピタゴラス音階とは、このようにある音から始って、完全5度の積み重ねで出来上がる音階です。
(ここでは、2:3で積み上げていきます)
C-G-D-A-E-B-F-C-G-D-A-F-C

最初のCの音の振動数を分かりやすく4096とおくと、

C  4096
G  6144
D  9216
A  13824
E  20736
B  31104
F 46656
C 69984
G 104976
D 157464
A 236196
F  354294
C  531441

ということになります。

また、最初のC 4096を1:2の計算で、完全8度で積み上げていくと、
C 4096の7オクターブ上の振動数は、C 524288となります。
531441≒524288
ということで、辻褄を合わせています。
これらの音を、1オクターブ内に収めた音階では、長3度が上手く響きません。そのような欠点は持っています。また、移調も容易ではありません。

それはともかく、Cを中心に考えると、
C F G C
この4つの音は協和音となる、ということです。
ただし、別に具体的に音を定める必要はありません。
たとえば、バイオリンなどの弦の長さの比が
6:8:9:12
となればいいのです。
よって、
6 8 9 12
この四つの数字は、ある意味では美しい数字なのです。

さて、ここに、6の1オクターブ下の音、3を加えましょう。

3 6 8 9 12
この五つの数字を見て、何か思いませんか?


6は、3と12の相乗平均

8は、6と12の調和平均

9は、6と12の相加平均


となっているのです。

<相乗平均>
aとbの相乗平均は、
√(ab)
で与えられる。

<相加平均>
aとbの相加平均は、
(a+b)/2
で与えられる。

いわゆる一般的な「平均」ですね。

<調和平均>
aとbの調和平均は、
2/{(1/a)+(1/b)}
で与えられる。

・・・なんて言っても分かってもらえないですよね?

速さを思い出してください。

「A地点からB地点まで、行きは時速4km、帰りは時速2kmで歩いた。このとき、行きと帰りの平均の速さを求めよ」
という問題に出合った時、まさか
(4+2)/2=3
とし、時速3kmなどとはしませんよね?

時速8/3km、つまり、およそ時速2.7kmですよ。

その時の計算が、「調和平均を求める」計算になっているのです。

ピタゴラス!!比は美しい!ただし、整数比で表わせないものも認めてくれ!!!!!
19:22  |  音楽(リニューアル前)  |  TB(0)  |  CM(2)  |  EDIT  |  Top↑

2008.06.21 (Sat)

分数

登場人物:奈良君
       鳩間先生
(なぜこんな名前にしたのか?考えてみてください。意味がなくこんな名前なんかつけませんよ。)

half奈良「鳩間先生、これ、何て読むんですか?」

先生「奈良君、それは、『2分の1』と読むんだよ。」

奈良「『にぶんのいち』?何の事だかさっぱり。」

先生「これは、『分数』と言うんだ。新しく出てきた数だね。」

奈良「『分数』・・・ますますわからないや。先生、教えてください!」

先生「わかった。『分数』というのは一体何なのか、教えてあげよう。」

奈良「ありがとうございます!!」


先生「さて、先ほどの分数を見てみよう。何て読むんだったかな?」

奈良「えーっと、確か『2分の1』じゃなかったっけ?」

先生「正解。そのように、分数は下の数を先に読むんだ。」

奈良「ほんとだ。」

先生「そこで、この分数が何を意味しているかだけれども、これは、『半分』ということを表しているんだ。」

奈良「へぇ~。それなら、下の分数はどういう意味だろう?」
one sixth
先生「最初に、何と読むんだった?」

奈良
「えーと、下から先に読むんだったよね…。『6分の1』かな?」

先生「正解。では、ここで、『分数』というものは、どのような数を表しているのか、説明しよう。
まず、真ん中の線だけど、これは、括線(かつせん)というんだ。この線がなければ、ただ二つの数字を縦に並べただけになってしまう。『この二つの数字で、一つの数を表している』ということ、つまり、『分数ですよ』ということを表すための線なんだ。」

奈良「へぇ~。結構重要なんだね。」

先生「そして、この括線の下の数字を分母、上の数字を分子というんだ。」

奈良「親子なんだね。」

先生「そういうことになるね。これを理解したうえで、分数の意味について考えよう。
例えば、奈良君のお誕生日会を考えよう。友達をたくさん呼んでのお誕生日会だ。大きなケーキが一台テーブルの上にある。このケーキを、このあとどうするか考えよう。」

奈良「まず、ケーキの上のローソクに火を灯して、そのあとみんなで歌を歌って、それでからローソクを吹き消します。そして、そのあと、お母さんが人数分に分けてくれて、それでからみんなで食べます。」

先生「お母さんはどのようにケーキを人数分に切り分けるかな?」

奈良「『どのように』って言うのは?ナイフを使って切り分けますけど・・・。」

先生「いや、そうじゃなくて、例えば、お母さんは、いろいろな大きさに切り分けるのかな?」

奈良「少しは大きかったり小さかったりするけど、大体同じ大きさになるように切り分けます。みんな平等でないと喧嘩がおきちゃうから。」

先生「そうだね。平等に切り分けるよね。お母さんは、例えばお誕生会に来た人が6人だと、お母さんは何等分しようとする?お母さんは、ダイエット中で、ケーキは控えていると考えよう。」

奈良「それなら、全部で6人なんだから、6等分しようとします。」

先生「そう。君のお母さんは、6人の子供たちのために、6等分する。これが、『6分の1』の『6』の意味だ。」

奈良「『分母』は、『お母さんが一台のケーキを何等分にするか』と言う意味ですね。」

先生「そういうことになるね。次に、分子の『1』の意味を考えよう。お母さんは、ケーキを6等分しました。当然、そのあと一人に一切れずつケーキを配るよね。」

奈良「はい。そうです。」

先生「一台のケーキを6等分して、6人の子供に一人一切れずつケーキを配ったときの、『1人分』の量が、『6分の1』だ。」

奈良「それなら、2人分の量だったら『6分の2』、3人分の量だったら『6分の3』ということですね。」

先生「そういうことだ。これで、最初の分数『2分の1』が『半分』を意味する理由も分かるね?」

奈良「分母は2ってことは、子供は2人いるんだ。だから、お母さんは、2等分する。そして、2人の子供に一切れずつあげるんだ。贅沢だな~。分子は1だから、1人分の量だということになる。
ケーキを2等分して、1人に1切れずつ配ったときの1人分の量だってことですね。
あ、2等分って、半分こにするってことだ。半分こにして、1人に1切れずつあげるってことは、1人は半分ずつもらえる。だから、1人分の量というのは、『半分』だということだ。」

先生「そういうこと。」

奈良「よく分かりました。ありがとうございます!」

先生「これが、『分数』の意味だ。でも、『分数』と一概にいっても、まだまだ奥は深い。今度は、その話をしてあげるよ。」

奈良「楽しみにしておきます。」

先生「今日はこれでおしまい。奈良君も、もうそろそろ家に帰るんだ。」

奈良「はい。鳩間先生、ありがとうございました。」
17:31  |  算数-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.06.20 (Fri)

今日も手短に。

Jordanは、図を書いたら一目瞭然。解析的な証明もできますが。

ポーカーは、昨日は断りが足りませんでした。
「任意に五枚のカードを引いたとき」が条件です。
フルハウス 0.0014405
フラッシュ 0.0019654
です。
これは、強さと一致しています。

明日にご期待ください。
さようなら。
22:07  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2008.06.19 (Thu)

いきなり問題

ポーカーで、
フラッシュとフルハウスでは、
ルール上どちらの役の方が強いか。
また、フラッシュとフルハウスのそれぞれがでる確率を求めよ。


もう一問。

次の不等式、(Jordan’s inequality)
「0≦θ≦π/2ならば、
(π/2)θ≦sinθ≦θ」
を示せ。
21:11  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.06.18 (Wed)

今が最悪でないのだから。

Te quieroは、スペイン語で「I love you」

マーフィーの法則というのをご存知ですか?

グーフィーでもファービーでもございません(そう思った方がいたらご報告お願いします)。

ファービーによる社会現象はすごかったですが。

脱線しましたね。元に戻します。

マーフィーの法則とは、「先達の経験から生じた数々のユーモラスでしかもペーソスに富む経験則をまとめたもの」(Wikipediaより)です。


「失敗する可能性のあるものは、失敗する」

これが基本精神です。

「実行するための方法はいくつかある中に、壊滅的な結果となる方法が存在するとき、必ず誰かがその方法を実行してしまう」

こんなこともあります。

「洗車し始めると雨が降る。雨が降ってほしくて洗車する場合を除いて」

はぁ・・・。

「バターを塗ったトーストをカーペットの上に落とした時、そのトーストがバターを塗った面を下にして着地する確率は、カーペットの値段に比例する」

言われてみれば・・・。


また、これらの法則をもとに、いろいろなことを導き出すこともできます。

「念のために傘を持って家を出たときに限って雨は降らない」

「傘を家に忘れたときに限って雨が降る」

「ノートを家に忘れたときに限って板書事項が多い」

「今日こそはといつも家に忘れてしまうノートを持ってきたときに限って、『今日はプリントで授業をしま~す』」

「いつも定刻より遅くやってくるバスが、自分が遅れたときに限って定刻にやってくる」

「手を挙げても指名されないが、自分の分からない問題のときに限って指名される」

「ビデオに撮ってまで見たいと思い、録画を準備した番組に限ってその前の野球が延長される」

「録画し忘れた番組に限って、その前の野球は定時に終わる」

「目を離したときに限って決定的瞬間」

「重要な電話に限って留守中にかかってくる」

「ケーキなどを焼く際、オーブンに生地を入れようとすると余熱を忘れていることに気付く。また、前もって余熱をしていると、余熱が完了したときにはまだ生地ができていない」

「自分が、いい演奏ができたときに限って誰かが大きな失敗をする。また、自分が失敗をした時に限って他の人はこの上ない演奏をする」

「朝早く起きた時に限って電車が遅れる」

「休日に限って大雨暴風警報」

「自分の並んだ列だけ処理速度が遅い」

「ねじを落とせば、必ず自分の足に当たって狭い隙間に転がり込んでいく」


もっと書きたいのですが、限りがないので。みなさんもどんどん考えてコメント欄に報告してください!!

また、「バターを塗ったトーストをカーペットの上に落とした時、そのトーストがバターを塗った面を下にして着地する確率は、カーペットの値段に比例する」とありましたが、もっと簡単に、
「食パンを落とすと必ずバターが付いているほうが下」とも言います。これを、
選択的重力の法則
と言います。

悲しい法則ですね。

そして、これを用いたパラドックスがあります。

続きをご覧ください。
20:00  |  その他  |  TB(0)  |  CM(3)  |  EDIT  |  Top↑

2008.06.17 (Tue)

間違い探し ~ミスを見抜け!~

ホール・ニュー・ワールド好きだって??イエーイ!!同感してくれる人がいてくれて、嬉しいです!!

さてさて、採点ミスはいけませんね。なくなってほしいものですが、採点するのも人間なのですから、多少は仕方がありません。採点ミスがあれば、すぐに見抜きましょう。

次の、○×問題でのA,B二人の成績を見てみましょう。表の○や×は、正解・不正解ではなく、どのように解答したかです。○×問題ですから。
問題
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
正解数
A
×××××
6問
B
××××
4問


二人は同じ問題を受けています。
この結果に、採点ミスはあるでしょうか?

正しい答えがわかればすぐに確認できるのですが、ここは正しい答えを知らなくても採点ミスがあるかどうか判別できます。
・・・というより、このような問題を出す時点で、「採点ミスはある」ということを言っているようなものです。
なぜ、「採点ミスがある」と断言できるのか、考えてみてください。

そんなに難しいことではありません。何としてでも見抜けるようになってくださいよ。あなたに関係してくるかもしれませんから。それでは、なぜ、「採点ミスがある」と断言できるのか、解説しましょう。

(解説)
二人の正解数の合計は、10問。まずはこれを念頭に置き考えていきましょう。

まず目を付けるべきなのは、「二人が同じ解答をしている」ところです。
ここでは、1問目、4問目、7問目で二人とも同じ解答をしています。

二人とも同じ解答だということは、その問題においては「二人とも正解」か「二人とも不正解」かのどちらかでしかありえません。「二人とも正解」なら合計の正解数はそれだけで2問となり、「二人とも不正解」なら、合計の正解数は増えません。

つまり、この、1問目、4問目、7問目のみを考えたときの二人の合計の正解数は、必ず
偶数
となるのです。

それに対し、残りの7問の問題は二人とも違う解答をしています。二人とも違う解答をしているということは、必ずどちらか片方のみが正解だということです。
よって、1問目、4問目、7問目以外を考えたとき、二人の合計の正解数は、7問、つまり、
奇数
となります。

よって、全体の合計数は、(偶数)+(奇数)で、
奇数
となるはずなのですが、この採点結果では、合計の正解数は10問、つまり、偶数となっています。

これは、おかしい、つまり、採点ミスがあったという確固たる証拠なのです。

友達同士で成績を見せ合うことにも、こんなメリットがあるのですね。

しかし、自分が悪い点数だったら、やはり人には見せることに戸惑いを感じるでしょう。

見せることによるメリットとデメリット、どちらの方が大きいか・・・

ラメデータの定理より明らかですね。

あ、再三言うようですが、ラメデータの定理はあくまで自己責任ですよ。

よくわきまえてください。使用を強制、推奨しているわけでは断じてありませんので。

それでは。
21:12  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(2)  |  EDIT  |  Top↑

2008.06.16 (Mon)

いい曲たち

ジャズですか。
"Waltz for Debby"(ワルツ・フォー・デビー)
この曲、いい曲ですね。
「ティアナ」のCF曲にもなっていますが、かなりアレンジされています。
Bill Evansの曲らしいです。詳しいことは知りませんが。自分の持っている楽譜のアレンジがどうなのかもよくわかりませんが。(あまり見ていないので。練習してもいいかなとは思っていますが。)

"Someday My Prince Will Come"(いつか王子様が)
定番なんですが、好きなんです。とくに、自分の持っている楽譜のアレンジが。(ピアノアレンジ)
こちらの方が弾けるようになりたいですね。

ディズニーの曲はいい曲ばかりですね。
こんなのを見つけました。
ディズニーの曲のメドレーになっているようです。

Disney Classics



"A Whole New World"(ホール・ニュー・ワールド アラジンより)も特に好きですね。他も、いい曲ばかりです。
僕はこんな曲が好きなのですが、アンケートの結果は、期待はずれですが予想通りですね。

Tonightが好きなのもこんな感じだからです。ウェスト・サイド・ストーリーの回で「いい曲ですね」とコメントした曲も、こんな感じですよ。

ま、真剣に聞いてると涙が出そうになってくるので。今日の僕だったら、本当に泣いちゃうかも知れませんが。一人のときに。人前では何があっても絶対に泣きません!

心に響いてくるのです。なぜだかよくわかりませんが、なんとなく心に響いて、なぜか感動します。そして、心が洗われたような気分になります。

胸が、あふれる思いでいっぱいになります。

とても広い何かが思い浮かばれます。

ああ・・・

救われる…

それでは。
20:01  |  音楽(リニューアル前)  |  TB(0)  |  CM(4)  |  EDIT  |  Top↑

2008.06.14 (Sat)

ブラマグプタの公式2

まずは、次の式を因数分解してみてください。もっと手ごたえのある問題かと思いましたが、簡単ですね。
ひたすら(二乗)-(二乗)の因数分解です。
4(ab-c d)2-(a2+b2-c2-d2)

このぐらいの因数分解ならすぐにできますね。


さて、これを解いたうえで、例の「ブラマグプタの公式」を証明しましょう。
<<ブラマグプタの公式>>
「円に内接する四角形の辺の長さをそれぞれa,b,c,dとし、
2s=a+b+c+dとおくと、
四角形の面積は
(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)
である。」

この証明をしましょう。図は、「トレミーの定理」のときに使わせてもらった図をそのまま使用させてもらいました。何度も言いますが、下に出てくる記号「π」は、円周率「パイ」です。「エヌ」は使いません。

(証明)
ブラマグプタ

円に内接する四角形ABCDにおいて、
AB=a, BC=b, CD=c, DA=d
とおく。
また、
2s=a+b+c+d
とおく。

(四角形ABCD)=△ABC+△ADCである。
ここで、∠B=θとすると、
△ABC= (ab・sinθ)/2
また、四角形ABCDは円に内接するので、
∠B+∠D=π
よって、∠D=π-θ
△ADC= {cd・sin(π-θ)}/2 = (cd・sinθ)/2

以上より、
(四角形ABCD)=△ABC+△ADC= {(ab+cd)/2}・sinθ

ここで、AC=eとおくと、第二余弦定理より、
e2=a2+b2-2ab・cosθ
また、
e2=c2+d2-2cd・cos(π-θ)
cos(π-θ)= -cosθなので、
e2=c2+d2+2cd・cosθ

よって、
a2+b2-2ab・cosθ=c2+d2+2cd・cosθ

上式より、
cosθ=(a2+b2-c2-d2)/2(ab+cd)

三角比の性質より、
sin2θ+cos2θ=1なので、
sin2θ=1-cos2θ

よって、
sin2θ=1- (a2+b2-c2-d2)2/4(ab+cd)2

=4(ab+cd)2-(a2+b2-c2-d2)2/4(ab+cd)2

ここで、上式の分子を因数分解する。

4(ab+cd)2-(a2+b2-c2-d2)2

={2(ab+cd)-(a2+b2-c2-d2)}{2(ab+cd)+(a2+b2-c2-d2)}

={(c2+2cd+d2)-(a2-2ab+b2)}{(a2+2ab+b2)-(c2-2cd+d2)}

={(c+d)2-(a-b)2}{(a+b)2-(c-d)2

=(c+d-a+b)(c+d+a-b)(a+b-c+d)(a+b+c+d)

=(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)

a+b+c+d=2sなので、

(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)

=2(s-a)・2(s-b)・2(s-c)・2(s-d)

=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)

∴sin2θ=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)/4(ab+cd)2

約分して、

sin2θ=4(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)/(ab+cd)2

ここで、0<θ<πなので、
0<sinθ<1
よって、sinθの値は正なので、

sinθ= 2√(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)/(ab+cd)

(四角形ABCD)={(ab+cd)/2}・sinθ
なので、sinθに上の値を代入して、

(四角形ABCD)={(ab+cd)/2}・{2√(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)/(ab+cd)}

=√(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)

よって、
円に内接する四角形の辺の長さをそれぞれa,b,c,dとし、
2s=a+b+c+dとおくと、
四角形の面積は
(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)
である。

(Q.E.D.)

赤字の部分からが、最初に出した因数分解の問題の答えでもあります。

別に、難しいことではありません。

理解していただけたでしょうか?

三角形ABCの面積は、
(1/2)・ab・sinC
(1/2)・bc・sinA
(1/2)・ca・sinB
の3つのうちいずれかですね。



また月曜日にお会いしましょう。

それでは。
20:00  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(2)  |  EDIT  |  Top↑

2008.06.13 (Fri)

ラメデータの定理??デ、デタラメ・・・(祝!50回)

こんなものが存在するとは…
いいです。今回は内容は充実するわけがありませんが。
がんばって充実させます。

真に受けないでくださいね。こんな定理存在するわけないのですから。

<<ラメデータの定理の使い方>>
 模試において、ある問題で、結論はわかった、又はわかっているとき、ある程度まではできたが、そのあとどうしたらいいのかが分からなくなった。そのようなときに使えるのが、この「ラメデータの定理」。

たとえば、次のように使います。

「△ABCにおいて、・・・
・・・
・・・
・・・
よって、ラメデータの定理より、
○○は○○である。」

難しい問題もありますよね。また、そのような問題は、適当な数値を代入すれば、答えの予想はできる、というような問題もあります。

「大学入試至上最難問」と言われたとある年の東大(後期)の問題でも、答えの予想は簡単に立てられます。ただ、それの論証は並大抵ではありません。
この問題、いつか触れますが、大学の「グラフ理論」が関係してくる内容です。

答えの予想はたてられたが、論証ができない。そのようなときに、「ラメデータの定理より」の一言を使うのです。

ま、模試の採点はアルバイトであることが多いので。もしかしたら○がもらえるかもしれませんよ。
調べると、実際に、「高校で習わない範囲の定理は使わない方が無難です」との注意書きとともに○をもらえた人もいるらしいので。

私はやらないと思いますが、ま、勇気のある人は実践してみてください。
一切の責任はこちらにはありませんので、ご自分の責任でお願いします。

結局は、「デタラメ」→「デタラーメ」→「ラメデータ」なので。

今日で50回ですね。(実は51回更新したのですが、一回はもうすでに削除してあるので・・・)

スチュワートの定理や、ピックの定理は実用的かもしれませんね。
そういえば、放置していたものがあります。ブラマグプタの公式の証明と、六点円の証明です。
今回しましょうか・・・いや、煩雑になりそうなので、次回に回します。

-mouse->

50回記念だからと言って特にするような話はないのですが。

皆様のおかげです。ありがとうございます。これからも日々精進してまいりますので、よろしくお願いします。

それでは。
21:09  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.06.12 (Thu)

世界の変な法律

 イギリスでは、パブやバーのような認可を得ている場所で酔っ払ってはいけないようです。・・・ならば一体どんな目的でパブやバーに行くのでしょうか…?疑問です。
 
 フランスでは、ブタをナポレオンと名付けたり、呼んだりしてはならないそうですが、ま、それだけ偉大な存在なのでしょう。(ナポレオンが)

 アイルランドでは、「偽医者」と書いた看板を掲げれば誰でも医療を行えるそうです。さあ、あなたも医者になりましょう。客がこれば奇跡ですけど。

 アメリカの、アイダホ州ポカテロ市では、常に笑顔でいないと逮捕されるそうです。不機嫌な顔はだめだということだそうですが、逮捕されたら特別講習だとか受けないといけません。また、特設の笑顔のチェックする人もいるそうです。

 サウジアラビアでは、ポケットモンスターのカードを国内に持ち込むことは違法なので、サウジアラビアへの旅行の際は、ご注意ください。

 イタリアのトリノでは、飼い犬は毎日散歩に連れ出さなければ違法である。散歩していないと通報があれば飼い主を処罰するとのこと。犬とのコミュニケーションは大切に。

 またまたイギリス。郵便局員は犬と目を合わせないこと。番犬は恐ろしいのもいますからね・・・って、飼い主にどうにかさせることはできなかったのか…というのも気になりますが。

 ドイツ。飼い犬一匹につき、一日2時間はつきあうこと。犬を12匹飼っていたら悲惨なことになりそうです。13匹以上ならどうするのでしょう?

 アメリカ、ウエストバージニア州。玉ねぎの匂いのする口臭がある子供は学校に行ってはならない。長ネギはOK。可哀そうですね。

 そして、バーモント州では、キリンを電柱に繋いではならないということなんですが、そんな人いるんですか?

 インディアナ州、円周率は4。3の方がいいような・・・割り切ってますね。

 オハイオ州では、警察官は犬を静めるために噛み付く事を認めるということですが、そんな警察官を見てみたいです。

 カリフォルニア州。地域の指導者たちは子供がふざけて水溜まりを飛び越えようとするのを止めようとしてはいけない。この法律の目的は?

 ・・・すごいですね。
何のためにあるのかが分からない法律もありますね。また、もっと別の解決策はないのか?などなど。
世界の法律を集めてみましたが、日本にもおかしな法律はありますよ。

 まあ、「おかしい」とは言い難いかもしれませんが、いろいろと思うのが次の法律。
「参議院規則」
第140条の3
  押しボタン式投票を行う場合には、問題を可とする議員は投票機の賛成ボタンを、問題を否とする議員は投票機の反対ボタンを押すことによつて投票する。


間違える人はいるのでしょうか?わざわざ法律に規定する理由は?

気になります。ま、だれか国に直接聞いてみてください。聞いてくださったならば、その返答をご報告くださいね。お願いします。

今日はこれまでです。それでは。
21:05  |  法律  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2008.06.11 (Wed)

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCを使ったヘロンの公式の証明

題名の通りです。まずは、積と和の一致の記事をご覧ください。
次から出てくる記号、「π」は、円周率、「パイ」です。小文字の「エヌ」は使いません。
例の記事で、証明された事柄
α+β+γ=π,α≠π,β≠π,γ≠πのとき、
tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ

これを使います。

<ヘロンの公式>
 三角形の三辺をa,b,cとおき、2s=a+b+cとした時の三角形の面積Sは、
S=√s(s-a)(s-b)(s-c)


確認のためです。

それでは、この、「ヘロンの公式」を証明しましょう。図は証明の中ほどにあります。

(証明)
△ABCのA,B,Cの対辺をa,b,cとおき、2s=a+b+cと定義する。
また、△ABCの内接円の中心をIとし、半径r、内接円とBC,CA,ABとの接点をD,E,Fとする。
(青字のところは飛ばしてみてもらっても構いません)

△BIDと△BIFにおいて、BIは共通、ID=IF(=r)。
また、Iは内心なので、BIは∠Bの二等分線。よって、∠IBD=∠IBF。また、∠IDB=∠IFB(=90°)。よって、∠BID=∠BIF。
以上より、△BID≡△BIF(∵二辺夾角の合同)
∴BD=BF。
また、△CIDと△CIE,△AIEと△AIFにおいても同様にして、△CID≡△CIE,△AIE≡△AIF。
∴CD=CE,AE=AF。

2s=a+b+c=BD+DC+CE+EA+AF+FB。
BD=BF,CD=CE,AE=AFより、2s=2(BD+CE+AF)
∴s=BD+CE+AF
ここで、s-a=BD+CE+AF-a。CE=CDなので、s-a=BD+CD+AF-a=a+AF-a=AF
∴s-a=AF
s-b,s-cについても同様に、s-b=BD,s-c=CE。
ヘロン


ここで、∠BID=α,∠CIE=β,∠AIF=γとおくと、2(α+β+γ)=π。
∴α+β+γ=π。
また、α≠π/2,β≠π/2,γ≠π/2。

よって、
tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ
∴(BD/ID)+(CE/IE)+(AF/IF)=(BD/ID)(CE/IE)(AF/IF)
ID=IE=IF=r,BD=s-b,CE=s-c,AF=s-aなので、
(s-a/r)+(s-b/r)+(s-c/r)=(s-a/r)(s-b/r)(s-c/r)
両辺r3倍して、
r2{3s-(a+b+c)}=(s-a)(s-b)(s-c)
a+b+c=2sより、
r2s=(s-a)(s-b)(s-c)
∴r2=(s-a)(s-b)(s-c)/s
∴r =√(s-a)(s-b)(s-c)/s

S=r2sであるので、
r2s= s√(s-a)(s-b)(s-c)/s = √s(s-a)(s-b)(s-c)

以上より、
 三角形の三辺をa,b,cとおき、2s=a+b+cとした時の三角形の面積Sは、
S=√s(s-a)(s-b)(s-c)

(Q.E.D.)

どうでしたか?理解はできると思います。
s-a,s-b,s-c は、図形的には図の部分に当たるのです。
それぞれの意味が掴みやすい証明の仕方ですね。

他にも、ヘロンの公式にはいろいろな証明の仕方があります。自分のお気に入りの証明を一つ見つけてくださいね。

いろいろな証明といえば…「三平方の定理」もそうです。
これもすごいですね。いずれ触れるかもしれません。
今日はこれまでです。
それでは。
21:10  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.06.10 (Tue)

暗号解読

私のHP「自作部屋」のカウンターが2000を突破しました。皆様、ありがとうございます。2000を踏んだ方はぜひご連絡をお願いします。

今日は思いっきり基礎的な暗号解読からしていきたいと思います。

次の暗号を解読してください。

(1)85 74 71 32 41 21

もう一般常識化しているかもしれませんね。
一応読み方を示しておきます。
見て分かる通り、二桁の数字で1セットです。
2桁の数字の、左側の数字が仮名の行(あ、か、さ、た、な・・・,子音)、右側の数字が段(あ、い、う、え、お,母音)を表します。

ということで、85は「や」行の「お」段なので、「よ」・・・というように読んでいくと、

読めましたか

という文字列になります。

(2)暗号
「休暇紅茶早退網羅情趣割愛」
は、
「きゅうりょう」
と読む。
このとき、
「水菜講座描写後悔監査島根硬派晩生睡魔」
の作者は?


読んでくださいよ。
分かりましたか?



「休暇」の最初の文字が「きゅう」だということに着目しても、なにも解決しませんよ。
よく見ると、暗号文の方は、二字の熟語の連続になっています。
最初の「休暇紅茶早退網羅情趣割愛」は、
「休暇 紅茶 早退 網羅 情趣 割愛」
となり、「きゅうりょう」という文字数と一致します。
そう考えると、
休暇=き 紅茶=ゅ 早退=う 網羅=り 情趣=ょ 割愛=う
と考えることができます。
次に気づくのは、「早退」も「割愛」も「う」であること。
「早退」と「割愛」の共通点は・・・どちらも「い」で終わることです。
他の熟語の最後の文字を考えると、
休暇・・・か 紅茶・・・ゃ 早退・・・い 網羅・・・ら 情趣・・・ゅ 割愛・・・い
となり、これは、「きゅうりょう」を一文字上へずらしたものになっているのです。
よって、この暗号は、
「暗号を二字ずつ区切り、その熟語の読みの最後の文字を一つ下にずらす」
という解読法が見出せます。

すると、
「水菜講座描写後悔監査島根硬派晩生睡魔」
は、
「水菜 講座 描写 後悔 監査 島根 硬派 晩生 睡魔」
となり、最後の文字を並べると、
「な ざ ゃ い さ ね は て ま」
となり、一つずつ下にずらせば、
「に じ ゅ う し の ひ と み」
となります。
「二十四の瞳」と読めるので、これの作者は、
壺井栄
ということになります。

(3)暗号
「Y qc xqffo.」
は、
「I am happy.」
と読む。
このとき、
「Jxu gkysa rhemd ven zkcfi eduh jxu bqpo tew.」
は何と読むか。


最悪、最初のヒントがなくても解けるのですが。それをすると解読に膨大な時間がかかってしまう(それでも有限時間ですが)可能性があるので、このような問題にしました。

ちょっと考えてみてください。

・・・
・・・
・・・

読めましたか?
「Y qc xqffo.」=「I am happy.」から、各文字が一対一対応なのはわかりますね。
表を作ってください。


正しい文字列ABCDEFGHIJKLMNOP QRSTUVWXYZ
暗号の文字列Q





XY


C

F







O

こんな表が出来上がると思いますが、下も下で、アルファベット順に並んでいませんか?そう思って当てはめてみると、

正しい文字列ABCDEFGHIJKLMNOP QRSTUVWXYZ
暗号の文字列QRSTUVWXYZABCDEFGHIJKLMNOP


こんな文字列になりますね。これをもとに、暗号「Jxu gkysa rhemd ven zkcfi eduh jxu bqpo tew.」 を解読します。
上の表で対応させると、この暗号は、
「The quick brown fox jumps over the lazy dog.」
ということになります。

「すばしっこい茶色の狐はのろまな犬を飛び越える」という意味ですが、この文章は、英語版の「いろは歌」のようなものです。どのアルファベットも最低一回用いられた、最短の文章です。

今回の暗号はどうだったでしょうか?そんなに難しくなかったと思います。

それでは。
20:00  |  その他  |  TB(0)  |  CM(2)  |  EDIT  |  Top↑

2008.06.09 (Mon)

初等幾何学で必須の定理3

三角形の相似・合同についておさらいしましょう。

まずは、三角形についてですが、ユークリッド幾何学では、内角の和は180°ですし、三辺をa,b,cとおくと、
a<b+c b<c+a c<a+b
が成り立ちますね。
それでは進みましょう。

相似とは、簡単に言うと、「縮尺の違いをのぞいて同じ形」ですね。
それに対して、合同は、「位置の違いをのぞいて同じ形」です。
相似である条件は、次の三つのうちいずれかですね。

(1)三辺の比の相当
(2)二辺の比とそのはさむ角の相当(二辺夾角の相当)
(3)二角の相当

これの証明は省きます。その代わりに、合同条件を証明してみましょう。
合同である条件は、次の三つのうちいずれかです。

(1)三辺の合同
(2)二辺とそのはさむ角の合同(二辺夾角の合同)
(3)二角とそのはさむ辺の合同(二角夾辺の合同)

証明してみてください。
意外と手こずるかも?

それでは、証明していきたいと思います。

(証明)
二つの三角形を△ABC,△DEFとする。

(2)から証明する。
AB=DE,AC=DF,∠A=∠Dとおく。∠Aと∠Dが重なるように移動させると,線分ABと線分DE,線分ACと線分DFが重なる。また,AB=DE,AC=DFより頂点Bと頂点D,頂点Cと頂点Fが重なることになる。よって△ABCと△DEFは合同である。

次に(3)を証明する。
BC=EF,∠B=∠E,∠C=∠Fとおく。線分BCと線分EFが重なり,かつ頂点Aと頂点Dが同じ側に来るように移動させる。すると,∠B=∠Eより線分BAと線分EDは重なり,∠C=∠Fより線分CAと線分FDは重なる。その結果,線分BAと線分CAの交点Aと,線分EDと線分FDの交点Dも重なることになる。よって、△ABCと△DEFは合同である。

最後に(1)を証明する。
まず「△PQRがPQ=PRの二等辺三角形なら∠Q=∠R」の証明をする。
∠Pの二等分線と線分QRとの交点をSとし,2つの三角形△PQS,△PRSを考えると,PQ=PR,∠QPS=∠RPS,PSは共通なので,(2)より△PQSと△PRSは合同となり,∠Q=∠Rである。
よって、△PQRがPQ=PRの二等辺三角形なら∠Q=∠Rである。

AB=DE,BC=EF,CA=FDとおく。線分BCと線分EFが重なり,かつ頂点Aと頂点Dが反対側になるように移動させる。このとき頂点Bと頂点E,頂点Cと頂点Fは重なっているので,それぞれの頂点をBとCとする。
まずAB=DEより△BADは二等辺三角形になるので,∠BAD=∠BDとなる。
同様にCA=FDより△CADは二等辺三角形になるので,∠CAD=∠CDAとなる。
そして,∠A=∠BAD+∠CAD,∠D=∠BDA+∠CDAなので,上の結果より∠A=∠Dとなり,これとAB=DE,CA=FDから,(2)より△ABCと△DEFは合同となる。

以上より、示された。(Q.E.D.)

意外とややこしいですね。
まあ、今日はこのぐらいにしておきましょう。
遅い時間になりましたが、それでは。
23:10  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.06.07 (Sat)

いろいろとお尋ねいたします。

電話でよく言う「ちょっとお待ちください」の「ちょっと」の平均値は
26.6秒(朝日新聞より)
らしいですね。これは本当にちょっとなのでしょうか?かろうじて、30秒以内です。


私のHPで公開している曲のうち、自分自身で気に入っている曲は、次の通りです。

「プラクトサウンドトラック」
プラクト〔Prakt〕
ライバルとの決闘〔vs.Rival〕
エンディング〔Ending〕
エリアⅢ〔Area Ⅲ〕
タスピル〔Taspil〕
ルトゥーソルマーチ〔Rutusol March〕
タピルタン〔Tapiltan〕
破壊されたタピルタン〔Tapiltan(broken)〕
シーフ(マサキのテーマ)〔The Thief (Masaki's Theme)〕
マサキ〔Masaki〕
マサキの涙〔Masaki's tear〕
シーフの解散〔Dissolution of Thieves〕

「その他の曲」
wind(題名未決)
エンドレス
マーチ"グローリー"
メヌエット・木管三重奏バージョン
トランペット&ピアノ
バスクラリネット
オーボエコンチェルト


ご意見、お聞かせください。

また、「レバニラ炒め」か「ニラレバ炒め」か?どうなんでしょうか?

オーボエ吹きのブログ2nd!!にもあるのですが、

1.モーツァルト:オーボエコンチェルト
  
2.プーランク:オーボエソナタ
  
3.R.シュトラウス:オーボエコンチェルト

  
この3曲についてのご意見(なんでもいいので)お聞かせください。


このブログについてのご意見、ご感想もお聞かせください。

50回記念には何をしましょうか…?
リクエストがあれば、そちらも併せてお教えください。

また、いろいろなブログで話題になっていますが、
はたして、「ラスト・フ○ンズ」は来週で本当に最終回なのかどうか?←答えが分かりました(以下コメント参照)
よろしくお願いします。

今日はこれにてさようなら。
21:11  |  音楽(リニューアル前)  |  TB(0)  |  CM(3)  |  EDIT  |  Top↑

2008.06.06 (Fri)

補足 1=0.999・・・

はい。例の補足です。

1=0.999・・・
この証明は、いろいろとありますね。

(証明1)
1/3 = 0.333・・・
(1/3) ・ 3 = (0.333・・・) ・ 3
∴1 = 0.999・・・
(Q.E.D.)

これは理解してくださいよ。小学生でもこれはわかりますね。ただし、これを聞いても、納得はできないような気もしますが。

(証明2)
x = 0.999・・・
とおく。
このとき、
10x = 9.999・・・
よって、
10x - x = (9.999・・・) - (0.999・・・)
∴9x = 9
よって、
x = 1
x = 0.999・・・なので、
1 = 0.999・・・
(Q.E.D.)

これも理解できますね。

(証明3)
異なる二数の間には、必ず別の数が存在する。
よって、1 ≠ 0.999・・・ならば、1と0.999・・・の二数の間にも、別の数が存在するはずである。
しかし、1と0.999・・・の二数の間には、別の数は存在しない。
よって、1 = 0.999・・・である。
(Q.E.D.)

コンパクトですね。1 - (0.999・・・) = 0 だということです。

9/10 + 9/102 + ・・・ 9/10n


∑9/10n
n=1


上のは気にしないでくださいね。(なんという中途半端)

1 = 0.999・・・
は理解していただけたでしょうか?

数は、別に1対1対応ではないのです。数直線上にて、一つの点を表わす記号が2つあってもなんら間違いではないのです。

すなわち、数直線上で、2点、0と2の中点は、1でもあり、0.999・・・でもあるのです。

0.999・・・は無限個の9が並んでいます。決して、終わりはありません。
だから、
1 - (0.999・・・) = 0.00・・・1
でもないのです。
左辺は、終わりがない、永遠に続くはずの数なのに、右側は、有限個の0が並んでいるだけです。

だから、これも、間違いなのです。

理解しにくいかもしれませんが、いつか、理解できる日も来るでしょう。

頑張ってください。
20:00  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(2)  |  EDIT  |  Top↑

2008.06.05 (Thu)

積と和の一致

昨日の記事の補足説明は次回行います。

積と和が一致するといったら、皆さんはどのようなものを考えますか?

まずは、
2+2=4
2×2=4


という、2つの2の組をあげると思います。

しかし、次のようなものもあるのです。

直角三角形でない三角形ABCにおいて、
tanA + tanB + tanC = tanA tanB tanC


どうでしょう?すごいと思いませんか?ちなみに、証明もやってみましょう。

三角形ですから、A+B+C=π(180°)ですよ。

まずは、ノーヒントで頑張ってみてください。

・・・

・・・

http://penpenpensama.web.fc2.com/oboeconcerto.mid

・・・

・・・

分かりましたか?
分からない方は、ヒント。加法定理を用いてください。

それではもう一度。分かっている人はご辛抱。

・・・

・・・

昨日はすいませんね。諸事情があったもので・・・

・・・

管理人である私の、根も葉もない噂が出回っているようですが、迷惑ですので、おやめください。

・・・

・・・

それでは、答えです。
「π」がn(エヌ)に見える方、カギカッコの中身は「パイ(円周率)」ですよ。

(証明)

tanC = tan(π- ( A + B ))

tan(π-θ) = -tanθなので、

tanC = -tan( A + B )

ここで、加法定理より、

tanC = -tan( A + B )
=-(tanA + tan B ) / (1- tanA tanB )


ここはまだ加法定理の公式に当てはめただけですよ。
分母を払って、

tanC (1- tanA tanB )=-(tanA + tan B )

tanC - tanA tanB tanC = -tanA - tan B

よって、
三角形ABCにおいて、
tanA + tanB + tanC = tanA tanB tanC


この事実を用いて、ヘロンの公式をまた違ったアプローチから証明できるのですが、それは後日。
上の事実は、別に三角形でなくとも、成り立ちます。
α≠π/2,β≠π/2,γ≠π/2,α+β+γ=π
これならば、成り立ちますね。

すごいと思いませんか。感動しますよ。感動の涙が流れそうですね。

もう一度、最後にまとめましょう。
α≠π/2,β≠π/2,γ≠π/2,α+β+γ=π
のとき、
tanα + tanβ + tanγ = tanα tanβ tanγ

です。

正接の積と和の一致、どうでしたか?
びっくりすると思います。
それではまた次回。
さようなら。
20:20  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.06.04 (Wed)

数学の神秘6

今日も有名どころで。
1=0.999・・・・
次回は面白いものを紹介しますよ。
20:45  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(2)  |  EDIT  |  Top↑

2008.06.03 (Tue)

人生で損をしないために

あなたなら、次の二つの選択肢があれば、どちらを選びます?

「あなたは、優秀な人材として、A社にスカウトされました。
ときどき出社し、知恵を貸すだけで、年報は400万円です。
その上、毎年の昇給もあります。
昇給のプランは二つあり、あなたはどちらか好きな方を選べます。
プランA・・・1年に1回、3万円ずつ昇給。年報は年末に一括して受け取る。
プランB・・・半年に1回、1万円ずつ昇給。年報は半年に半分ずつを分割して受け取る。


あなたなら、どちらのプランを選びますか?」

普通の感覚で選んでくださいよ。つまり、より多くお金を受け取れる方です。
もしも、そうでない方選んでしまえば、自分が得をできないだけでなく、会社に失望されてしまうかもしれません。これは、あなたをの実力を本当に試すためのものかもしれないのです。もし、会社に失望されてしまえば、あなたは採用されないかもしれませんね。

さあ、どうしますか?

実は、これは、安直な判断で考えてはいけません。見た目に騙されてはいけないのです。

「見た目に騙される」とは?

こういうことです。
プランAは、1年に3万円ずつの昇給、プランBは実質1年に2万円ずつの昇給だから、プランAのほうが得である

こう書いたら答えはもうわかったと思いますが、このように考えた人、いませんでしたか?

皆さんももうお分かりの通り、プランBを選ぶほうが賢明だということになりますが、それでも「なぜ?」と思われる方はいらっしゃると思います。

整理して考えたらすぐに分かります。例として5年目までを考えてみましょう。

(プランA)
1年目・・・400万円
2年目・・・403万円
3年目・・・406万円
4年目・・・409万円
5年目・・・412万円

5年間の合計・・・2030万円

(プランB)
1年目・・・(前半)200万円 (後半)201万円 (合計)401万円
2年目・・・(前半)202万円 (後半)203万円 (合計)405万円
3年目・・・(前半)204万円 (後半)205万円 (合計)409万円
4年目・・・(前半)206万円 (後半)207万円 (合計)413万円
5年目・・・(前半)208万円 (後半)209万円 (合計)417万円

5年間の合計・・・2045万円

このように、整理してみると、一目瞭然なのです。
プランAは1年に3万円の昇給ですが、プランBは、なんと、実質1年に4万円の昇給となっているのです。

見た目とは裏腹の結果ですね。このように考えて、プランBを選ぶ人のほうが、会社にも重宝する存在となるでしょう。

何事も、安直に判断せず、きっちりと検証していくことが必要なのです。

勘で何事も済ませようとしてしまう方、気を付けてください。また、いつも近道ばかりを考えている人も、注意してください。こんな失敗、してしまうかもしれませんよ。

安直な判断で、結果的に損をしてしまう、とは、非常にもったいないものだと思いませんか?
もっとよく考えればよかった・・・こんな後悔、したくありませんよね。

それならば、しっかりと考える必要があるのです。自分が、直感的に思ったことは、本当に正しいのかどうか、しっかりと検証していく必要があるのです。

「そんなの面倒だ」という人もいるかもしれません。しかし、そのような「面倒なこと」をしない人こそ、損をしてしまうのです。そのことを、よく心得てください。人生、求められていないところで損をすることは、やりたくないことですよね。そんなところで自分が損をして、ほかの人が得をすることなんてないのですから。

あくまで、「求められていないところで」ですよ。他人の損害を顧みず、自分の利益ばかりを考えて行動するような人も、また問題です。自分の利益を後回しにして、他人の利益を優先する、本来、こうあるべきです。

しかし、これは、とても勇気のいることであり、難しいことです。なかなかできないことですよね。何事も、努力が必要です。そして、その努力を制した者が、「真の人間」となれるのです。

皆さんも、「真の人間」となれるように、がんばってください。

世界がより住みよい世界になるように!

19:50  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2008.06.02 (Mon)

テストで使える 「数学α1問題集 16ページ」 エレガントな解法

こんな問題がありますね。やっぱり中3生かな?高1は復習のつもりで。

【例題】(余りを求める)
整式P(x)をx-1で割ると -1 余り,x2-2x+5で割ると 6x-11余る.
この整式を(x-1)(x2-2x+5)で割ったときの余りを求めよ.


まずは、問題集通りの解答を、より丁寧に、解説していきます。

≪問題集通りの解答≫
P(x)を(x-1)(x2-2x+5)で割ったときの余りを、整式Q(x)と置く。
(x-1)(x2-2x+5)は3次式であるから、余りは高々2次式の整式である。
よって、余りをax2+bx+cとおくと、
P(x)=(x-1)(x2-2x+5)Q(x)+ax2+bx+c ・・・(i)

となる。条件より、P(x)をx-1で割った余りは-1なので、P(1)=-1となる。

なぜなら、「P(x)をx-1で割った余りは-1」ということから、
P(x)=(x-1)・(商)+(-1)
であり、x=1を代入すれば、
P(1)=0・(商)-1=-1となる。

よって、P(1)=a+b+c=-1 ・・・(ii)

また、(i)の式を変形すると、
P(x)=(x-1)(x2-2x+5)Q(x)+ax2+bx+c
   =(x-1)(x2-2x+5)Q(x)+a(x2-2x+5)+2ax-5a+bx+c
   =(x2-2x+5){(x-a)Q(x)+a}+(2a+b)x-5a+c
となる。
ここで、(x2-2x+5){(x-a)Q(x)+a}は(x2-2x+5)で割り切れるので、P(x)を(x2-2x+5)で割った余りは(2a+b)x-5a+cである(一次以下の式)。

よって、条件より、P(x)を(x2-2x+5)で割った余りは6x-11なので、

6x-11=(2a+b)x-5a+c
係数を比較して、
6=2a+b ・・・(iii)
-11=-5a+c ・・・(iv)

(ii)(iii)(iv)より、連立方程式を解いて、a=1,b=4,c=-6

求める余りはax2+bx+cなので、上の値を代入して、x2+4x-6

したがって、上より、
整式P(x)を(x-1)(x2-2x+5)で割ったときの余りはx2+4x-6

途中の式変形も厄介ですし、何といっても連立方程式では間違える率が高く、そのような意味では「難しい」問題でしょう。もっと簡単な方法はないのでしょうか?
・・・そう思っていたら、ありました。ご覧ください。明らかに、簡単で、時間も節約できます。

≪elegant!≫
P(x)を(x2-2x+5)で割ったときの余りは6x-11なので、P(x)は、整式Q(x)を用いて、
P(x)=(x2-2x+5)Q(x)+6x-11 ・・・(i)

とおける。
また、Q(x)をx-1で割った商をQ'(x),余りをkとおくと、
Q(x)=(x-1)Q'(x)+k
なので、これを(i)に代入して、

P(x)=(x2-2x+5)(x-1)Q'(x)+k(x2-2x+5)+6x-11

となる。これは、
P(x)を(x-1)(x2-2x+5)で割ったときの商がQ'(x),余りがk(x2-2x+5)+6x-11であることを示している。

ここで、条件より、P(x)をx-1で割った余りは-1なので、P(1)=-1となる。
よって、
P(1)=4k-5=-1
よって、k=1

これを、k(x2-2x+5)+6x-11に代入して、
x2+4x-6


したがって、上より、
整式P(x)を(x-1)(x2-2x+5)で割ったときの余りはx2+4x-6

どうですか?どちらの方が簡単ですか?下の解き方は、連立方程式を使っておりません。また、最初の解法のように、複雑な式変形も行っておりません。
下のほうが、速く、かつ、正確に、そして簡単に解くことができると思います。
ぜひ、マスターしてみてください。
どちらのやり方でも、できるように。

それでは。

下に、前回の解答です。
18:31  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(2)  |  EDIT  |  Top↑
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