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2008.07.31 (Thu)

レンズの公式を図で考える

レンズの公式とは、
光源からレンズまでの距離を a 、レンズから像までの距離を b 、レンズの焦点距離を f としたとき、

1/a + 1/b = 1/f

が成り立つというものですね。

この公式において、焦点距離 f をグラフから読み取る、ということもできます。

つまり、計算を全くせずに、大体の値が分かる、と言うことです。

どのようなグラフを描けばよいのでしょうか?


今日は、これがテーマです。

これは、幾何学的に作図をすればよいのです。


「距離 a および b が与えられている。
このとき、この二つの距離を使って、焦点距離 f を作図しなさい。」



問題はいたってシンプルです。
つまりは、
1/a + 1/b = 1/f を満たすような f を作図せよ、ということです。
さて、いったいどうすればよいのでしょうか?
このような問題を出しておいて、どうかとは思うのですが、こんな出題のされ方はまずないでしょうね。

どのようにとっかかればいいのかもよくわからないと思うので。


ヒントのために、次の問題を出しましょう。

問.三角方程式、sin2θ=sinθを解け。ただし、0°<θ<180°とする。

これくらいでしょう。このθを利用してください。

それでは、作図の答え以降は追記部分に記述させていただきます。
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20:55  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.07.30 (Wed)

パラボラ

「パラボラ」とは、「放物線」「放物面」という意味です。

放物線の定義は、次のようなものです。
「ある直線と、その直線上にない一点からの距離が等しい点の軌跡」

ある直線を「準線」、そして、準線上にない一点を、「焦点」と言います。

実際に点を作図してプロットしていくと、放物線らしきものが浮かび上がります。


放物面とは、放物線を軸の周りに回転させてできた図形のことです。
このようにしてできた面が、放物面です。

パラボラアンテナの形は放物面なので、パラボラアンテナを、軸を通る平面で切断すると、その断面は放物線を描いている、ということです。


それでは、パラボラアンテナの仕組みとは?

放物線の焦点から光を全方向に放ちます。すると、最終的には、ばらばらの方向に放たれた光が、平行な光になります。

焦点から出た光が放物線に当たると、すべて軸に平行な向きに反射するのです。

また、逆に、軸に平行に入射した光は、すべて反射すると焦点に集まります。

これは、光に限ったことではありません。音などの波でも、反射するならばすべてそうです。

それが放物面であっても性質は同じです。

軸が地表に垂直になるように放物面を設置し、鉛直にボールを落下させると、放物面・ボールの変形などを考えなければ、理論的には焦点に向かって反射するのです。


パラボラアンテナは、その軸と平行に入射してくる電波を、焦点に集め、受信するのです。


科学館などに行けば、よく見ると思いますが、パラボラアンテナを使って、会話ができるようになっている装置もありますね。

焦点で、放物面に向かって話せば、音の波は反射され、軸と平行になります。そして、向い合せにおかれた放物面で再び反射し、そちらの放物面の焦点に集まり、そこで聞いている人の耳に入るのです。


また、次のような性質もあります。

円形の盥(たらい)などに、水を張ります。
これを、水平方向に回転させると、水面は放物面になります。


盥に水を張って、轆轤(ろくろ)の上に置き、轆轤を高速回転させ、日のあたる場所に置いておけば、焦点に可燃物があれば燃えるかもしれません。

そんなことはないと思いますけどね。


物理みたいな記事になってしまいましたね。

物理と数学にはとても近い部分がありますので。
それでは。

テーマ : 勉強 ジャンル : 学問・文化・芸術

13:59  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.07.29 (Tue)

7/28解答、7/29問題・解答

今日の問題は、慶応大学の論理パズルですよ。このブログの記念すべき1回目の記事を見ていたら簡単に解けるはずです。

昨日の問題は、
(1) 背理法とは何かを20字以上、100字以内で説明せよ。
(2) 3√2 が無理数であることを、背理法を用いて証明せよ。
[2002 東京理科大・理・数]

ということですが、やはり、大部分の人によって、いきなり入学試験で出題されたら本当に解けるかどうか自信を持てないような問題の一つでしょう。

それでは、解答です。
(解答)
(1)ちなみに、記号¬は、「~でない」を表します。

「命題p⇒qを証明するために、pかつ¬qと仮定すると、矛盾が生じることを示して、p⇒qをしんとする証明法」(51文字)
「与えられた命題が偽であると仮定して推論し、矛盾を導くことで、それは命題を偽としたことから矛盾が生じたのであり、もとの命題は真である、ということを証明する方法」(78文字)

などです。

(2)(証明)
3√2が有理数だと仮定すると、
3√2=n/m (m,nは互いに素である整数)
とおける。
両辺3乗して、
2=n3/m3
∴2m3=n3

2m3は偶数なので、n3も偶数でなければならない。
よって、整数n'を用いて、n=2n'とおける。
すると、
2m3=8n'3
となる。

よって、
m3=4n'3
4n'3は偶数なので、m3も偶数でなければならない。
よって、整数m'を用いて、m=2m'とおける。

以上より、n=2n',m=2m'とおけるが、これより、nとmは公約数に2を持つことになる。
これは、n,mが互いに素であることに矛盾。

以上より、3√2は無理数である。(Q.E.D.)

それでは、本日の問題です。
解答は、追記部分に書きます。

天使はつねに真実を述べ、悪魔はつねに嘘をつく。
A , B は悪魔か天使であることは分かっているが、どちらかはっきりしない。
A がこういった。
   「わたしが天使ならば、Bも天使です。」
この二人の正体は次のうちどれか。
1. A , B ともに天使
2. A は天使、B は悪魔
3. A は悪魔、B は天使
4. A , B ともに悪魔
[2004 慶應大・総合政策]


分からなかったら初回をご覧ください。
21:19  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.07.28 (Mon)

7/26解答、7/28問題

三角形の角の問題でいろいろとありましたが、その件につきましては、ここ(前回の記事のコメント欄)で発言し合うことにしましょう。
また、今回の問題はご期待ください。おそらく驚くような問題ですよ。

それでは、前回の問題です。

重さの異なる4個の玉が入っている袋から玉を1つ取り出し、元に戻さずにもう1つ取り出したところ,2番目の玉の方が重かった。2番目の玉が、4個の中で最も重い確率はどれか。
(1)1/4 (2)1/3 (3)1/2 (4)2/3 (5)どれでもない
[1986 防衛医大・1次]


小学生の方が簡単に解ける、と何度も言いましたが、まず、その解法から説明しましょう。

(解答1)
この問題は、要するに、今取り出した二つの玉の中に、一番重い玉があるかどうかが問題なのである。

つまり、取り出した玉を白丸、袋の中に残った玉を黒丸で表わすと、
○○ ●●

一番重い玉が左のグループにあるのと、右のグループにあるのとは対等であるから、
左のグループにある確率は、
(3) 1/2
である。


これこそ、「確率」ですね。
解答としても、これくらいの説明で十分です。
別に図を描く必要はありませんが。

しかし、これで納得できない、というのなら、次の解法をどうぞ。
(解答2)
4個の玉から、2個の玉を順番にとりだす事象は、
4P2=4×3=12
より、12通りある。

このうち、一番目に取り出した玉の方が重い事象と、二番目に取り出した玉の方が重い事象は、対等なので、12÷2=6
より、二番目に取り出した玉の方が重い事象は、6通りある。

よって、二番目に取り出した玉の方が重い確率は、6/12より、1/2である。

また、二番目に取り出した玉が4個の玉の中で一番重い確率は、1/4であるので、

求める確率は、
(1/4)/(1/2)
よって、
(3) 1/2
である。

解答1では、確率本来の思考が問われます。
解答2は、条件付き確率の考え方によるものですね。
どちらでもOKです。
解答1も理解できてもらえれば、それで十分です。

それでは、本日の問題です。
(1) 背理法とは何かを20字以上、100字以内で説明せよ。
(2) 3√2 が無理数であることを、背理法を用いて証明せよ。
[2002 東京理科大・理・数]


(2)は、「2の立方根」ですよ。
ちなみに、東大の問題にも「定義を答えさせる」というような問題はありましたね。
それでは。頑張ってください。そんなに難しい問題ではないと思うので。
21:08  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.07.26 (Sat)

7/25解答、7/26問題

昨日の問題はその前とうってかわって難しかったと思います。
今日は、その解説をした後は、小学生でも解ける(小学生の方が簡単?)な問題を一問出題します。
7/25の問題です。
3辺の長さが 5 , 12 , 13 である三角形において、長さが 12 , 13 である2辺によってはさまれる角の大きさをθとする。このとき n°< θ < ( n + 1 )°となる整数 n は   である。
[2007 早稲田大・教育]

これは難問ですね。
(解答)
この三角形は、
52+122=132
を満たす。
⇔この三角形は長さが5の辺と12の辺で挟まれた角が直角である直角三角形。

長さが 12 , 13 である2辺によってはさまれる角の大きさがθなので、
tanθ=5/12
となる。

ここで、tan 2θを計算する。
倍角の公式より、tanθ=5/12を代入して計算すると、
tan 2θ=120/119
である。
これは、1より大きいので、2θは45°より大きく、90°より小さいことが分かる。
よって、
2θ=(π/4)+α
(αは0より大きくπ/4より小さい角)
と表せる。

これを、tan 2θに代入すると、
tan 2θ=tan(π/4+α)
この値が120/119なので、
加法定理より、
(1+tanα) / (1-tanα) = 120/119

これを、tanαについて解くと、
tanα=1/239

tanαは、0<α<π/4の範囲では、
tanα>α
なので、
0<α<tanα=1/239
つまり、
αは弧度法で0より大きく1/239より小さい角である。
度数法で表わすと、
0°<α<(1/239 ・ 180/π)°<1°
なので、
αは1°未満の角である。

よって、
45°<2θ<46°
∴22.5°<θ<23°

よって、求める整数nは、
22
である。


それでは、本日の問題を出します。
誰でも十分解けるとは思いますが、小学生の方が簡単に解ける可能性が高いです。

重さの異なる4個の玉が入っている袋から玉を1つ取り出し、元に戻さずにもう1つ取り出したところ,2番目の玉の方が重かった。2番目の玉が、4個の中で最も重い確率はどれか。
(1)1/4 (2)1/3 (3)1/2 (4)2/3 (5)どれでもない
[1986 防衛医大・1次]
20:42  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(3)  |  EDIT  |  Top↑

2008.07.25 (Fri)

7/24解答、7/25問題

7/24の問題です。

鋭角三角形ABCの 3 つの内角をそれぞれ A , B , C で表し、 A ≦ B ≦ C とする。
(1) tan A のとる値の範囲を求めよ。
(2) tan C を tan A と tan B の式で表せ。
(3) tan A , tan B , tan C がすべて整数のとき、 tan A , tan B , tan C の値を求めよ。
[2004 名城大・理工]


これだけ誘導してくれたら簡単ですね。
解答を示しましょう。
(解答)

(1) A,B,Cは鋭角三角形の内角なので、
0°≦A≦90°,0°≦B≦90°,0°≦C≦90°,A+B+C=180°

また、条件A≦B≦Cより、3A≦A+B+C=180°
∴A≦60°
これと、0°≦A≦90°より、
0°≦A≦60°
これより、
0≦tan A≦√3

(2) C=180°-(A+B)
なので、
tan C = tan(180°-(A+B)) = -tan (A+B)
加法定理より、
tan C = (-tan A - tan B) / (1-tan A tan B)

(3) (1)より、この条件を満たすtan Aの値は、
tan A = 1
この値を (2) の結果に代入すると、
tan C = (-1 - tan B) / (1-tan B)
∴tan C -tan B tan C +tan B+1=0
∴-(tan B - 1)(tan C - 1)+2=0
∴(tan B - 1)(tan C - 1)=2

B≦C,0°≦B≦90°,0°≦C≦90°より、
0≦tan B ≦tan C

このことと、tan B,tan Cはそれぞれ整数であることを考慮すると、
(tan B - 1)(tan C - 1)=2
を満たす(tan B,tan C)の組は、(tan B,tan C)=(2,3)であることが分かる。

以上より、
(tan A,tan B,tan C)=(1,2,3)

それでは、本日の問題です。

3辺の長さが 5 , 12 , 13 である三角形において、長さが 12 , 13 である2辺によってはさまれる角の大きさをθとする。このとき n°< θ < ( n + 1 )°となる整数 n は   である。
[2007 早稲田大・教育]


下線部に当てはまる数字を答えてください。
勿論、説明と共に。

それでは。
19:15  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(2)  |  EDIT  |  Top↑

2008.07.24 (Thu)

7/23解答、7/24問題

昨日の京大の問題
「tan1°は有理数か」
なんですが、
「はい」とか「いいえ」とかで答える問題だと思いますか?

有理数なら有理数でその証明を、そして、無理数でも然り、ですよ。

それでは、解答です。

ちなみに、一週間ほど、このスタイルを続けていこうと思います。
(解答)
tan1°が有理数だと仮定する。
すると、tan2°は、tan(1°+1°)なので、加法定理より、

tan2°=tan(1°+1°)
=(tan2 1°)/ (1-2tan 1°)

tan1°は有理数なので、tan2 1°/ 1-2tan 1°も有理数。
よって、tan2°は有理数。

また、tan4°はtan(2°+2°)なので、上と同様、加法定理より、有理数であることが分かる。

このようにしていくと、tan1°が有理数だと仮定すると、
2°,4°,8°,16°,32°・・・
の正接の値も有理数であることが分かる。

ここで、tan30°= 1 / √3 なので、無理数である。

また、tan30°=tan(32°-2°)なので、加法定理より、
tan30°=tan(32°-2°)
= (tan32°-tan2°) / (1+tan32°tan2°)

tan32°,tan2°は有理数なので、(tan32°-tan2°) / (1+tan32°tan2°)も有理数である。
よって、tan30°は有理数となるが、tan30°は無理数であるので、矛盾。

よって、tan1°は無理数である。

最低でもこのくらいの解答は必要だと思います。

それでは、今日の問題。

鋭角三角形ABCの 3 つの内角をそれぞれ A , B , C で表し、 A ≦ B ≦ C とする。
(1) tan A のとる値の範囲を求めよ。
(2) tan C を tan A と tan B の式で表せ。
(3) tan A , tan B , tan C がすべて整数のとき、 tan A , tan B , tan C の値を求めよ。
[2004 名城大・理工]


三角比の問題というわけではありません。
整数問題です。
20:50  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.07.23 (Wed)

おそらく入試問題で最も短いもの

tan1°は有理数か。
(2006 京大・理系/後期)
21:26  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(2)  |  EDIT  |  Top↑

2008.07.22 (Tue)

対数関数

対数とは、蓋を開けてみれば簡単なことなんですが、その蓋がなかなか開かない。
そんなところでしょうか。

対数は、
logay=x(対数関数)
の形をとりますね。

これは、
ax=y(指数関数)
と同値です。つまり、同じことを表しています。

指数関数では、aをx乗するとyになる、ということですね。そのくらいなら、誰でも分かるでしょう。

対数関数も、同じことを意味しているといえばそうなのですが、このように考えてみましょう。

logayとは、aを何乗すればyになるか、ということです。

つまり、yはaの何乗であるのか、ということです。

だから、最初に示した対数関数の意味は、
aを何乗かすればyになる。それは、x乗すればよい
程度のことを示しているのです。

そして、決まり事がありますね。
上の対数関数において、aを底、yを真数と言いますが、まず、どちらも正でなければなりません。

何故だかわかりますね。

もとの形、すなわち、指数関数を思い出してください。
ax=y
です。
ここでは、aが負のときは定義されません。関数になりませんから。
そして、aは正なので、xが何であろうと、yは正になります。
つまり、aもyも正であるのです。

このことを踏まえると、対数関数においての「底と真数は正」という条件は飲み込めます。

問題は次です。

「a≠1」という条件がありますね。

いや、今日学校で教科書を見たばかりなのですが、その時少し考えたらすぐに分かりましたね。

y÷0=x

というものと同じようなものだ
、と自分の中で結論付けました。


まあ、そう言われても、分かりづらいとは思います。

説明します。

まず、上の割り算ですが、y÷0=xという式において、

これは、y=0xというように変形できますね。

ここで、yの値でxの値を考えると、

y=0のとき、xはすべての数
y≠0のとき、これを満たすxはない

ということになり、yが0であろうとなかろうと、xはyの関数ではありません。


それでは、次に、logay=xの底が1のとき、すなわちa=1なので、

log1y=x

について考えてみましょう。

これは、「1を何乗かするとyという数になるが、それは、x乗したものである」という意味ですね。

ここで、yの値でxの値を考えてみましょう。

y=1のとき、xはすべての数です。1のi乗も1ですよ。
y≠1のとき、これを満たすxはありません。

1を何乗しても、必ず1になりますからね。どんなに頑張っても、1以外にはなりませんね。
畢竟するに、これも、yが1であろうとなかろうと、xはyの関数ではありません。


・・・ということを咄嗟に考え付いたのですが、まあ、正しいことは明日分かるでしょう。


また、
alogan=n
というのは、分かりやすいですね。

loganというのは、aを何乗したらnになるか、という数を表しますね。仮に、この数をbとおくと、
ab=n
ということになります。

logan=bなので、

alogan=ab
となるので、結局、

alogan=n

ということになりますね。

まあ、ほかにもいろいろありますが、まあ、今日はこのぐらいで終わりにしてください。

後は、指数関数と対数関数は逆関数の関係にあるということぐらいですかね。

それでは。

ちなみに、対数で、eという文字もでてきますね~
20:36  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(3)  |  EDIT  |  Top↑

2008.07.21 (Mon)

極形式の割り算・方程式の解法

極座標
複素数の表し方
極形式の練習
複素数(極形式)の掛け算
の続きです。

今までのものは、すべて、方程式を解くためにやってきたことですね。
(この記事では i は虚数単位とします。)

最後に、極形式の割り算です。
・・・だと言っても、目新しいことはありません。
掛け算の際は、「絶対値は掛け算」「偏角は足し算」ということでしたね。
同じように考えればいいのです。
割り算の際は、「絶対値は割り算」「偏角は引き算」ということでOKです。

Z1=r1(cosθ1+i・sinθ1)
Z2=r2(cosθ2+i・sinθ2)


のとき、

Z1/Z2=(r1/r2){cos(θ12)+i・sin(θ12)}

ということです。

もう、これで十分ですね。
極形式からも、ド・モアブルの定理は理解できますね。

数学的帰納法を用いた証明は、
ド・モアブルの定理の数学的帰納法を用いた証明
をご覧ください。

それでは、極形式について、一通りのことはできるようになりました。
これにより、ド・モアブルの定理も理解はできたということになります。

そして、このド・モアブルの定理を用いると、実数係数でない方程式も簡単に解くことができるのです。

二次方程式
x2=1+(√3)i
を解け


このくらいの問題だったら、xも複素数であることは容易に分かるので、x=a+biとでも置いて計算しても解けないことはないのですが、ここでは極形式を用いて解いてみます。

(解答)
1+(√3)iの絶対値は2、偏角はπ/3なので、
1+(√3)i = 2(cosπ/3 + i・sinπ/3)
となる。

よって、
x2= 2(cosπ/3 + i・sinπ/3)

また、x=r(cosθ+i・sinθ)
とおくと、
x2=r2(cosθ+i・sinθ)2
ド・モアブルの定理より、
x2=r2(cos2θ+i・sin2θ)

よって、
x2= 2(cosπ/3 + i・sinπ/3)=r2(cos2θ+i・sin2θ)

ここで、絶対値と偏角について考えると、
r2=2、2θ=π/3
よって、
r=±√2、θ=π/6

これより、
x=±√2 (cosπ/6 + i・sinπ/6)

よって、
x=±(√6 / 2 + √2・i / 2)

ということですね。


まあ、厳密にいえば2θ=π/3 + 2nπ (nは自然数)
と一般角表示が必要です。


今回はこれで終わります。
後日、練習問題でもしましょう。

それでは。
18:57  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2008.07.19 (Sat)

ド・モアブルの定理の数学的帰納法を用いた証明

(i は虚数単位とします)

ド・モアブルの定理
「任意の整数nについて、
(cosθ+i・sinθ)n=cos(nθ)+i・sin(nθ)
が成り立つことを示せ」
(証明)

(i)n=0のとき
(cosθ+i・sinθ)0=1
cos(0・θ)+i・sin(0・θ)=cos0+i・sin0=1

よって、(cosθ+i・sinθ)n=cos(nθ)+i・sin(nθ)

(ii)n=kのとき、
(cosθ+i・sinθ)n=cos(nθ)+i・sin(nθ)が成り立つと仮定する。
つまり、(cosθ+i・sinθ)k=cos(kθ)+i・sin(kθ)

n=k+1のときについて考えると、
(cosθ+i・sinθ)k+1
=(cosθ+i・sinθ)
=(cosθ+i・sinθ)k (cosθ+i・sinθ)
={cos(kθ)+i・sin(kθ)}(cosθ+i・sinθ)
=cos(kθ)cosθ-sin(kθ)sinθ+i・{cos(kθ)sinθ+sin(kθ)cosθ}
(加法定理より、)
=cos(kθ+θ)+i・sin(kθ+θ)
=cos( (k+1)θ)+i・sin( (k+1)θ)

となり、n=kのときに等式(cosθ+i・sinθ)n=cos(nθ)+i・sin(nθ)が成り立つのならば、
n=k+1のときにも、等式(cosθ+i・sinθ)n=cos(nθ)+i・sin(nθ)は成り立つ。

以上(i)(ii)より、nが0以上の整数のときに
等式(cosθ+i・sinθ)n=cos(nθ)+i・sin(nθ)が成り立つことが示された。

(iii)n<0のとき、n=-mを満たす整数mについて考える。
n<0,n=-mで、mは整数なので、mは自然数。

なので、n=mのとき、等式(cosθ+i・sinθ)n=cos(nθ)+i・sin(nθ)は成り立つ。

n=-mのとき、

(cosθ+i・sinθ)-m
=1/(cosθ+i・sinθ)m
=1/{cos(mθ)+i・sin(mθ)}
={cos(mθ)-i・sin(mθ)} / {cos(mθ)+i・sin(mθ)}{cos(mθ)-i・sin(mθ)}
={cos(mθ)-i・sin(mθ)} / cos2(mθ)+sin2(mθ)
={cos(mθ)-i・sin(mθ)} / 1
=cos(mθ)-i・sin(mθ)

(cos(-α)=cosα,sin(-α)=-sinαなので、)

=cos(-mθ)+i・sin(-mθ)

よって、nが負の数のときにも、等式(cosθ+i・sinθ)n=cos(nθ)+i・sin(nθ)は成り立つ。

以上(i)(ii)(iii)より、
任意の整数nについて、
(cosθ+i・sinθ)n=cos(nθ)+i・sin(nθ)
が成り立つ。

(Q.E.D.)

ま、これはこれでよろしいかと。

それでは。
21:38  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(2)  |  EDIT  |  Top↑

2008.07.18 (Fri)

複素数(極形式)の掛け算

極座標
複素数の表し方
極形式の練習
の続きです。

さて、今度は、複素数同士の掛け算です。

まったく、難しい式にはならないのです。むしろ、美しい。

結論から言いましょう。

二つの複素数、

Z1=2{cos(π/4)+i・sin(π/4)}
Z2=3{cos(π/3)+i・sin(π/3)}

をかけ合わせてみましょう。

Z1Z2=2・3{cos(π/4 + π/3) + i・sin(π/4 + π/3)}
となり、

Z1Z2=6{cos(7π/12) + i・sin(7π/12)}

となるのです。

つまり、

Z1=r1(cosθ1+i・sinθ1)
Z2=r2(cosθ2+i・sinθ2)


のとき、

Z1Z2=r1r2{cos(θ12)+i・sin(θ12)}

となるのです。

rはその複素数の絶対値、θは偏角を表しているので、複素数同士の掛け算をする場合は、
絶対値は掛け算、偏角は足し算になるのです。

なぜそうなるかは、加法定理からすぐに分かります。

α、βを使い、掛け合わせてみましょう。

絶対値が掛け算になるのは見たらわかるので、偏角についてです。

(cosα+i・sinα)(cosβ+i・sinβ)
=cosαcosβ-sinαsinβ+i・cosαsinβ+i・sinαcosβ
よって、加法定理を使って、
(cosα+i・sinα)(cosβ+i・sinβ)
=cos(α+β)+i・sin(α+β)


となるのです。

素晴らしいですね。

極形式は、このように掛け算では恐ろしいほど威力を発揮するのです。

これで、もう
ド・モアブルの定理(一度は公式と書きましたが)
もすぐに理解できますね。
まあ、ここまでで分かるのは、nが0以上の整数のときですが。

(cosθ+i・sinθ)n=cos(nθ)+i・sin(nθ)

そのまんまですね。今の話から考えれば、とても簡単な定理ですね。

明日は、極形式を使わずに、このド・モアブルの定理を証明してみますね。

それでは。
21:32  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.07.17 (Thu)

チェバ・メネラウスの定理の歴史

チェバの定理・メネラウスの定理が双子の定理だ、というような記述をよく見ることがあると思います。

確かに、中身はよく似ています。

チェバとメネラウスは、それぞれ別の人物です。そのくらい、誰だってわかりますよね。

そして、それぞれ、チェバは16cの人であるのに対し、メネラウスは1cくらいの人であるのです。

チェバの定理は、1670年のことです。
日本では江戸時代真っ只中です。

それに対し、メネラウスの定理は1世紀。

ヘロンもこのころの人物です。
キリスト教が起こってまだ間もないころですね。

なんと、二つの定理は、1400~1500年ほども離れているのです。

それも、メネラウスの定理の方が先に発見されているのです。

数学の参考書等では、ほとんどがチェバの定理を先に紹介し、そのあとにメネラウスの定理が紹介されています。
また、こんかいの記事の題名もそうですが、「チェバの定理・メネラウスの定理」のような順番で並べて書くことがほとんどですね。

しかし、実際には、逆である、というのです。

なんと、チェバの定理を使って解く問題というのは、すべてメネラウスの定理のみで解くことができます。

メネラウスの定理を二回ほど使えばいいのです。


このことを考えても、チェバの定理よりも、メネラウスの定理の方が基本的なものなのだ、と言わざるを得ません。

ここで、チェバの定理の逆の話ですが、多くの参考書は誤ったものを載せています

よくあるチェバの定理の逆は、これです。

(誤)
「3点D,E,F をそれぞれ△ABC の3 辺BC,CA,AB の内分点または外分点とする。
D,E,Fのすべてが辺BC,CA,AB上にあるか、D,E,Fのうち1点が辺上にあり、あとの2点が辺の延長上にあり、
BD/DC ・ CE/EA ・ AF/FB = 1
が成り立つならば,3 直線AD,BE,CF は一点で交わる。」


何が間違いだか分かりますか?
あなたの習ったことも、これかもしれませんね。(おそらくそうです)

実は、一点で交わらないことがあるのです。

この式を満たしておきながら、3直線が平行であることがあるのです。

反例は、自分で作り上げてください。その気があれば、反例の図でも載せようと思いますが。

それでは、正しい「チェバの定理の逆」は?

簡単です。
こういえばいいのです。

(正1)
「3点D,E,F をそれぞれ△ABC の3 辺BC,CA,AB の内分点または外分点とする。
D,E,Fのすべてが辺BC,CA,AB上にあるか、D,E,Fのうち1点が辺上にあり、あとの2点が辺の延長上にあるとき、
BD/DC ・ CE/EA ・ AF/FB = 1
が成り立つならば,3 直線AD,BE,CF は一点で交わるか、平行である。」


もしくは、
(正2)
「3点D,E,F をそれぞれ△ABC の3 辺BC,CA,AB の内分点または外分点とする。
D,E,Fのすべてが辺BC,CA,AB上にあるか、D,E,Fのうち1点が辺上にあり、あとの2点が辺の延長上にあるとき、BEとCFが一点で交わり、
BD/DC ・ CE/EA ・ AF/FB = 1
が成り立つならば,3 直線AD,BE,CF は一点で交わる。」


こういうことなのです。

さあ、自分の見ている参考書を見てみてください。

間違っていませんか?

この、正しい知識をちゃんと身につけましょう。

それでは。
21:52  |  数学史-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2008.07.16 (Wed)

極形式の練習

極座標
複素数の表し方
の続きです。

さて、前やりました通り、
1+(√3)i
は、
2{cos(π/3)+i・sin(π/3)}
と表すことができました。

複素数 a+bi は、
r(cosθ+i・sinθ)
と表せましたね。

この r は、複素数 a+bi の絶対値ですね。

そして、θは、ここでは偏角といいます。
(ご参考までに、θ= arctan(b/a)です。arctanは正接の逆関数です。)

1+(√3)i の偏角はπ/3という表し方をします。

ある複素数Zの偏角は、arg Zということもあります。

そして、複素数の絶対値と偏角を用いた表し方を、極形式というのです。

さて、次の複素数を極形式で表してみましょう。
極座標で表せればいいのですよ。
何度も断っておきますが、 i は虚数単位です。

(1) (7√3) + 7i

(2) 2+(√3) + i

(3) 3 + 3i

(4) -5 + (5√3)i

これだけです。


理解できればどうってことはないのですが。

それでは、やっていきましょう。

まず、(7√3)+7iですね。

絶対値を求めましょう。

計算式は省きます。

14ですね。

あとは、cosθ=(7√3)/14,sinθ=7/14
となるθを求めましょう。

すると、θ=π/6

ですね。

よって、

(7√3) + 7i = 14{cos(π/3)+i・sin(π/3)}

です。

あとは、これと同様なので、答えだけを示しておきましょう。
間違っていたらすみません。

答え
(1)14{cos(π/3)+i・sin(π/3)}

(2)(2+√3){cos(5π/12)+i・sin(5π/12)}

(3)(3√2){cos(π/4)+i・sin(π/4)}

(4)10{cos(2π/3)+i・sin(2π/3)}


どうでしょう?

cosとかsinとか、どこまでも付きまとってきますね~

それでは、今回はここまで。

次回からは、複素数を掛け合わせてみましょう。

では、さようなら。
21:11  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.07.15 (Tue)

二人零和有限確定完全情報ゲーム

予告通り、「二人零和有限確定完全情報ゲーム」という名で更新いたしました。

いつの予告?などと思われるかもしれませんね。

必勝法!の回で予告しております。
続きのようなものですね。

それでは、今日もよろしくお願いします。

それにしても長い名前ですね。

「二人零和有限確定完全情報ゲーム」

「トゲアリトゲナシトゲトゲ」・・・

なんでもないです。

こういうことです。



<二人>
プレイヤーが二人のゲーム。
常に二人のゲームでないといけません。
人生ゲームなどは、二人ですることもできますが、必ず二人ということではないので、この限りではありません。

また逆に、本来2人で行うゲームを、3人以上でする、例えば、将棋を二人づつのチームに分かれ、相談しながら指す場合も、各々のチームの意思は最終的に一つに決定されるので、「二人」のゲームに分類されます。機械相手でもOKです。

コンピュータによる先読みの行いやすいパターンです。

<零和>

プレーするすべてのプレーヤーの利得の合計が一定値になるゲームです。
例えば、二人で行うオセロなら、勝ちを+1、引き分けを±0、負けを-1とすると、片方が勝てば片方は必ず負けるので、(+1)+(-1)=0です。引き分けのときは、0+0=0となり、常にプレーヤーの利得の合計は0となります。

カジノなどで行うようなゲーム、例えばルーレットなどは、ディーラーとプレーヤーの利得の合計は常に決まった値にはなりませんね。これは、この限りではありません。

<有限>

これは分かりやすいですね。
無限に続かなければいいのです。

将棋やチェスは、同じ局面が何度も繰り返されれば無限ですが、ルールにより(無限にならないよう)規定されているので、指し直しを考えなければ有限です。

囲碁も、ルールの設定の仕方によっては有限です。

<確定>

プレーヤーの着手以外に偶然の要素が入り込まないゲーム。

麻雀や、双六などのゲームや、ポーカーなどのカードゲームのようなゲームは、ゲームの途中に偶然の要素(ランダムに混ぜられた牌をとる、さいころを振る、ランダムにおかれた山からカードを引く)が入り込んでいるので、これは不確定ゲームです。

<完全情報>

自分と、それ以外のプレーヤーの行ったこれまでの意思決定が、すべて知ることができるゲーム。

将棋やチェスは、これまでの局面をすべて把握することができますね。

しかし、カードゲームの多くは、カードが伏せられていることが多く、すべてを完全に把握することができません。このようなゲームは、不完全情報ゲームです。

分かりましたか?

これらすべてに当てはまるゲームが、
「二人零和有限確定完全情報ゲーム」
です。

将棋・チェス・囲碁・オセロ・連珠など、いろいろとあります。

このようなゲームは、コンピュータが得意とするゲームです。

理論的には、必勝法が存在するゲームです。

分かりましたか?

また、このことについて続きを書きたいと思います。

今回はこれまでです。

それでは。
20:53  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.07.14 (Mon)

日本で・・・

日本で・・・

シリーズです。

今回は記念すべき第一回です。「日本で最初の・・・」を特集します。

まず、これ。

「日本で最初のホームページ」とはいつ出来上がった(配信された)のでしょうか?

A.1989年1月8日
B.1991年5月24日
C.1992年9月30日
D.1995年11月3日

どれでしょう?

正解を発表します。

正解は

C.1992年9月30日

です。

これが、日本で最初のホームページです。

ご参考までにどうぞ。

次の問題です。

「日本初の自治体直営オーケストラ」はどれ?

A.東京佼成ウインドオーケストラ
B.京都市交響楽団
C.北海道交響楽団
D.名古屋フィルハーモニー交響楽団

簡単ですね。なぜかって?すぐに分かります。

答えは、

B.京都市交響楽団

です。

本当に簡単ですね。
京響は、日本で唯一の自治体直営オーケストラですから。

次の問題。
「日本で最初の、1話30分の国産テレビアニメ」は?

A.鉄腕アトム
B.ジャングル大帝
C.ドラえもん
D.ヤッターマン

どれだか分かりましたか?

答えは・・・

A.鉄腕アトム

です。

1963年のことですね。

ちなみに、Bのジャングル大帝は、「日本で最初の国産カラーテレビアニメ」です。
1965年のことです。

「日本初の高速道路サービスエリア」は?

A.伊賀サービスエリア
B.姨捨サービスエリア
C.吹田サービスエリア
D.大津サービスエリア

どれでしょう?

ちなみに、それは、1963年10月1日にオープンされました。

それでは、答えです。

答えは・・・

D.大津サービスエリア

です。

へぇ~

それでは、最後です。
「日本初の一般電車開業」はどこ?

A.徳島市
B.京都市
C.松山市
D.旭川市

さて、どれでしょう・・・

1895年2月1日に開業されました。

さて、正解は・・・

B.京都市

です。

京都電気鉄道です。後の、京都市電です。(東洞院塩小路下ル~伏見下油掛)

どうでしょうか?

それでは、今回はこのぐらいで。

さようなら。
20:39  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.07.12 (Sat)

複素数の表し方

極座標の回の続きです。

ある点の座標が、原点からその点までの距離rと、x軸と成す角θで表せることが分かりました。

それでは、次は複素平面というものを考えましょう。

ガウス平面とも言います。

xy平面というのがありますね。そのx軸を実軸、y軸を虚軸とします。

純虚数の数直線と実数の数直線を垂直に組み合わせたイメージです。

これにより、複素数を表すことができます。

例えば、xy平面での(3,2)の位置にある点は、
3+2i
という数を表します。断わっておきますが、i は虚数単位です。

この平面を使って、複素数を違う表し方で表してみましょう。

例えば、
1+(√3)i
という複素数を考えます。

複素平面で1+(√3)i という点は、原点から2の距離にありますね。(ここでは複素数の絶対値での表し方を知っているものとしています)

すると、1+(√3)i という点は、原点を中心とした半径2の円周上にあることになります。

よって、1+(√3)i=2[(1/2)+{(√3)/2}i]

です。

あとは、角度を指定すればいいわけですが、x座標が複素数の実部、y座標が複素数の虚部となります。ここでは、1/2が実部、(√3)/2が虚部です。

よって、cosθ=1/2,sinθ=(√3)/2
です。
これより、θ=π/3ということが分かり、

1+(√3)i=2{cos(π/3)+i・sin(π/3)}
ということが分かります。

このように、複素数a+bi は、
a+bi = r(cosθ+i・sinθ)
と表すことができるのです。

分かりましたか?

今日はここまでです。

それでは。
21:19  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2008.07.11 (Fri)

お詫びと訂正・カルシウムパラドックス

昨日配布した問題の解答ですが、昨日の時点で間違いが見つけられましたので、訂正版を配布いたします。

昨日の記事からでもDLできますが、改めてここにDL用URLを貼らせてもらいます。

解答(Windows Vista)

解答

これですね。
よろしくお願いします。




カルシウムが不足すると、体中(脳内や血中など)のカルシウムはどのようになると思いますか?

なんと、正常値よりも増してしまうのです。

これが、カルシウム・パラドックスです。

もちろん、骨のカルシウムは減り、骨粗鬆症になります。

どうでしょう?

言い換えると、骨粗鬆症の人は、体中のいたるところのカルシウム濃度が健康な人よりも高いということになるのです。



これは、恐ろしいことです。

脳にカルシウムが入り込んできて、いいことなどありません。

働きは鈍ります。アルツハイマー病にだってなるかもしれません。

また、筋肉にもカルシウムが入り込んできます。こちらも、筋肉が弱まってしまいます。

軟骨にカルシウムが入ってきても、同じです。腰や膝が痛む原因ともなるのです。


なぜ、このようなことが起こるのでしょうか?

まず、食生活が原因で、カルシウムが欠乏します。

すると、体の中で、次のようなことが起こります。

「まずい、カルシウムが足りない!血中のカルシウム濃度を保たなければ!」

そう思い、カルシウムの宝庫、骨に、カルシウムを提供してもらいます。

それでもなかなか濃度は元に戻りません。

体の中では、なんとかして元に戻そうと、カルシウムをどんどんと血中に溶け出させます。

そうしているうちに、必要以上にカルシウムを溶け出させてしまい、血中はカルシウムが多すぎる状態になり、普段カルシウムの不要な所にまでカルシウムを提供してしまいます。

その半面、骨は必要以上にカルシウムを提供させられたのですから、当然、中身はスカスカになり、骨粗鬆症になるのです。


分かりましたか?

詳しいことは、ご自分でお調べください。

それでは。
16:44  |  演習-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.07.10 (Thu)

演習問題(予定変更)

ブログのタイトルが改良されましたね。
よろしくお願いします。

本日は、複素平面(ガウス平面)についての続きを語ろうと思ったのですが、その予定を変更して、演習問題を配布したいと思います。

問題(Windows Vista)

問題

上のどちらかをクリックしてダウンロードしてください。

ファイルはワードのファイルです。

Windows Vistaと書いてある方は、「.docx」のファイルなので、Word 2007 でないと開くことができません。Vistaユーザー、またはWord 2007をお使いの方は、こちらの方を選んでください。
明らかに、docxファイルを開けた方が、綺麗な数式を見ることができますが。

そうでない方は、下の方(「.doc」ファイル)を選んでください。

一応書いておきますが、

1番の問題は、数Ⅰの三角比

2番の問題は、式変形だけでできます(おそらく中学課程)

3番の問題は、数Ⅲの無理方程式

4番の問題は、数Ⅱの三角関数

です。

ま、こんな分類にとらわれず、一度問題を見てみてください。




また、解答はこちらです。

解答(Windows Vista)

解答

結構がんばりました。

17:40  |  演習-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2008.07.09 (Wed)

できるだけ長い題名にしようとしたら、このように読者の方々の迷惑となります。このようなことは今回だけにいたしますので、他の方たちは、このようなことはしないように、よろしくお願いします。また、今回見てくださっている皆さん、ここに、お詫び申し上げます。

さてと、ガウス平面の話は置いておいて(あ、言っちゃった・・・って、皆さんも前回の記事がそのような内容であることは分かっていたと思いますが)、いろいろと零参捌さんと話したことがあったので、それについて今回は更新させてもらいます。


「2分のルート3足す1」

と言われたら、どのような数字を思いつきますか?

{√(3)/2}+1
{√(3)+1}/2
{√(3+1)}/2


どれですか?
読み上げると、すべて、
「2分のルート3足す1」
ですね。

口で言う時に、あまり「かっこ」という言葉は使いませんから、区別がつかなくなってしまいます。

それでは、次の問題を考えてみてください。

「式『3 エックス の 2乗 足す 5 エックス 引く 7』が0のとき、この方程式の解をすべて求めよ」

こんな問題は実際には存在しませんがね。
存在したらどうでしょう?

ここで、但し書きです。

「かっこ」がもしその式にあっても、それを読み上げてはいません。
例えば、
「5 エックス 足す 3」というのは、
5(x+3)も表しますし、5x+3も表す、ということです。

それでは、先ほどの『3 エックス の 2乗 足す 5 エックス 引く 7』=0が表す考えうるすべての式を考え、それぞれについて解を求めてみましょう。


<「かっこ」が0個>
3x2+5x-7=0
の一つだけですね。
解の公式から、
x=(-5±√109)/6
ですか。

<「かっこ」が1個>
(3x)2+5x-7=0
3(x2+5x-7)=0
3(x2+5x)-7=0
3(x2+5)x-7=0
3x2+5(x-7)=0

くらいですかね。
これを解くのですか。大変なので、読者の皆様に任せましょう。

<「かっこ」が2個>
(3x)2+5(x-7)=0
{(3x)2+5}x-7=0
3(x2+5)(x-7)=0
(3x2+5)(x-7)=0
3(x2+5x)(-7)=0
(3x2+5x)(-7)=0
・・・

何種類あるんでしょうか、これ。
なんだか意味のないことを延々と繰り返している気が・・・

まだまだカッコは増やせるのでね・・・

そんなことどうでもいいのですが。


相加平均と相乗平均の関係が使えることがわかっただけで、ずいぶんと問題のレベルが下がったような気になりますね。

嬉しいです。

・・・ということで、上のようなことをやっていると疲れました。

やはり、この場が式の記述にも向いていないのでしょう。

それも理由の一つです。

図形描写がもっと楽にできたらいいんですが。

今のままだと、今の時点で使用頻度の高い二次曲線(円は描けますが)が上手く描けませんね。

どうしましょう。

まあ、頑張ることとします。

それでは、明日にはまたまた複素平面(名前変わった?)の話に戻しましょう。

それでは。
21:21  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.07.08 (Tue)

極座標

(cosθ+i・sinθ)n=cos(nθ)+i・sin(nθ)

さてさて、これを証明しようと思っても、もう高校課程にはないということですね・・・(数学的帰納法での証明なら高校課程でもできますが)
残念ですね。

でも、これ、結構面白いですよね。

まあ、この話は置いておきます。
名前は「ド・モアブルの公式」です。
頭の片隅にでも置いておいてください。

・・・というより、
cosθとi・sinθの項、よく見ませんか?

eθi=cosθ+i・sinθ

もそうでしたよね。


考えてみましょう。
座標平面上で、ある点の座標を表す時、どのように表しますか?
その点のx座標、y座標を調べて、
(x,y)
と表しますよね?

しかし、ほかにも表し方はありませんか?
考えてみてください。

・・・


・・・


・・・


・・・


分かりましたか?

例えば、座標平面上に、点を一つ取りました。
この点の名前をPとでもおきましょう。

原点OとPの距離が分かりますね。

この距離をrとでも置きましょう。

すると、点Pとは、
「原点Oからの距離が r の点」
となりますね。

しかし、これでは点が確定しません。

原点Oを中心とした半径 r の円周上の点すべてをさすことになります。

それでは、どのようにすればいいのでしょうか?

それは、角度を決めればよいのです。

三角関数の単位円と同じような感覚で、角度を設定しましょう。


すると、点Pは、
「原点Oからの距離が r で、角度がθの点」
となり、確定されます。

よって、点Pは、
(原点Oからの距離,角度)
というようにあらわし、

(r,θ)

と表すことができます。

このとき、点Pのx座標、y座標について、
x = rcosθ
y = rsinθ
とおけるのがお分かりでしょうか?


さあ、この通りにやってみましょう。

これを理解していただけないと、次に進めません。

しかし、今日は次には進みません。

それでは!
15:32  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.07.07 (Mon)

田園の運命に合掌!

さてさてさて、次の曲の組み合わせ1と2に共通する事柄と言えば何でしょう?
すべて、ベートーヴェンです。

1.交響曲第5番(運命) 第3楽章;第4楽章
2.交響曲第6番「田園」 第3楽章;第4楽章;第5楽章

はい。簡単ですね。
答えは、「続けて演奏される」です。
何も知らずに、ただ曲だけを聞かされたら、おそらく一曲だと思ってしまうでしょうね。

しかも、交響曲第5番(運命)の第3楽章のメロディが第4楽章でリフレインもされますからね。
余計分かりませんよ。

・・・と、批判に思えるかもしれませんが、全くそのような気はありません。

第5番・第6番の中で僕が一番好きなのは、
Hirtengesang. Frohe und dankbare Gefühle nach dem Sturm.
です。数名はこれで分かるかもしれません。

まあ、これの意味が分からなくても、こんな題名が付いている時点で、
第5交響曲か第6交響曲かの区別はつくでしょう。
こんな副題が各楽章につけられているのは、ベートーヴェンの交響曲の中でも唯一第6番だけです。

後は何楽章かの判別ですが、
"Sturm"
とありますよね?
英語では、
"Storm"
です。「嵐」です。
なら4楽章?とか安直な判断をする人もいるかもしれませんが、
第4楽章の副題は、
"Gewitter. Sturm."
「雷雨」と「嵐」
です。こんな短くはありません。

正解は第5楽章です。
「嵐の後」なので。
第5楽章の副題を日本語に訳すと、
「牧人の歌 嵐の後の喜ばしく感謝に満ちた気分」
とまあこのような題になります。

出だしのクラリネット、それに続くホルンソロ、そして、引き継いでヴァイオリンが最初の主題を奏でだす・・・

とても優雅な曲です。6/8拍子というのもまたいいですね。
とても解き放たれた気分になります。

ちなみに、次に気に入っているのは
交響曲第5番の第4楽章。
第3楽章から、一気に解き放たれた華やかな出だし。
そして、闇から光へと抜けだす心地よさ…

感動しますよ。

ただ、その「心地よさ」といったら、自分の中では
交響曲第9番(合唱) 第4楽章
の方が上ですね。

冒頭では第1・第2・第3楽章のリフレイン。
しかし、それもすぐにかき消されます。
そのような苦悩から、見つけ出した一つの光・・・
それが、かの有名なメロディ。
最初にそのメロディが楽器だけで奏でられてから、大分あとにあの有名な合唱の部分となります。
しかし、僕が好きなのは、そのあと。
いろいろとそのメロディも崩されたりしますが、やはり、聞き終わると、心の中が希望で満たされますね。
感動です。

パラボラとは、放物面とか、放物線とかいう意味ですよ。
ただし、正しい表記は
抛物線
です。

それが何かって?
それは、またのお楽しみです。

それでは!!
21:14  |  音楽(リニューアル前)  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.07.05 (Sat)

加法定理の図形的確認

かなり、幾何学的な証明(略証)となります。
しかし、かなり面白い証明でもありますので、ご覧ください。

ここで、幾何学的だ、ということは、視覚的に理解ができるということです。

面白いですよ~

それでは、下の図を参考にしながらどうぞ。
加法定理

∠C=90°、AB=1の直角三角形ABCの、内角Bを大きさαとβに分ける直線を引く。
また、∠Aから、Cに関してBと反対側に大きさαの角を作る直線を引き、先ほどの直線との交点をDとおく。
Dから、線分ACのと、線分BCの延長上に垂線を下し、その足をそれぞれE,Fとおく。
(図の通りです。)


ここで、AB=1なので、
DF= (DB/AB)× (DF/DB)
である。
DB/AB = cosβ, DF/DB = sinα
なので、
DF=cosβsinα
また、
DF=EC
なので、
EC= sinαcosβ・・・(i)

ここで、△ABCにおいて、
∠ACB=180°-(α+β+∠BAC)
また、△DABにおいて、
∠ADB=180°-(α+∠BAC+β)
よって、
∠ACB=∠ADB
∠ACB=90°なので、
∠ADB=90°

また、ここでもAB=1より、
AE= (AD/AB)× (AE/AD)
∠ADB=90°なので、
AD/AB = sinβ
また、AE/AD = cosα
よって、
AE = cosαsinβ・・・(ii)


ここで、AC= (AC/AB)   (∵AB=1)
AC/AB = sin(α+β)
なので、
AC= sin(α+β)・・・(iii)

また、AC=AE+ECなので、
これに以上(i)(ii)(iii)を代入して、

sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ


また、上と同様に考えて、
BF=cosβcosα
CF=ED=sinβsinα
また、
BC=cos(α+β)

BC=BF-CF
なので、

以上より、
cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ

(略証終)

これが、図形的に、しかも、一つの図から正弦・余弦の加法定理どちらもを同時に確認することができるのです。

すごいと思いませんか?

ちなみに、正弦の加法定理は、
△ABCを描き、∠Aをαとβに分ける線分を描いて、面積について等式を作れば、確認することができます。

やり方わかりますよね?

ご自分で、確かめてみてください。

それでは。
21:32  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.07.04 (Fri)

待ち合わせの確率

あ、もう授業終わりですか。
うーん、どうしても今日中にやってしまいたい!
休憩時間なくなるけど、いい?
18:08  |  確率・場合の数-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2008.07.03 (Thu)

またまた変な法律ですか。

アメリカマサチューセッツ州。
「きちんと入浴せずに寝てはならない」
法律にまで規定しちゃうんですね。

でも、サンフランシスコ(都市ですが)では、こんな法律も。
「『醜い』と分類された人間はいかなる通りも歩いてはいけない」
誰の価値判断!?

「両親が金持ちであるふりをするのは犯罪」なのはワシントン州。
いろいろと事情がある人だっているのに。

イギリスではこんなことが。
「妊婦は好きなところで、たとえ警官のヘルメット帽の中であっても用を足してもよい」
ま、大変ですしね。

日本に戻りましょう。
ただいま!


「日本国とアメリカ合衆国との間の相互協力及び安全保障条約第六条に基づく施設及び区域並びに日本国における合衆国軍隊の地位に関する協定の実施に伴う刑事特別法」
第9条 (制服を不当に着用する罪)
 「正当な理由がないのに、合衆国軍隊の構成員の制服又はこれに似せて作つた衣服を着用した者は、拘留又は科料に処する。」


コスプレ好きの人がいたら、注意してあげましょうね。
「アメリカの軍服は着ない方がいいよ」

「印紙犯罪処罰法」
第3条
  「帝国政府ノ発行スル印紙其ノ他印紙金額ヲ表彰スヘキ証票ヲ再ヒ使用シタル者ハ五十円以下ノ罰金又ハ科料ニ処ス」


怪しいのは「帝国政府」なんですけど。この法律は今も有効なようです。もちろん、帝国政府は日本国の政府のこと。せめて改正ぐらいしましょうよ。


そういえば、日本にももともと陪審員制度があったようで。

「陪審法ノ停止ニ関スル法律」
「陪審法ハ其ノ施行ヲ停止ス」


まず、これが日本一短い条文なんですが、これから、もう陪審員制度があったことが分かりますね。

ちなみに、この法律の付則にこんなものが。
付則

 「陪審法ハ今次ノ戦争終了後再施行スルモノトシ其ノ期日ハ各条ニ付勅令ヲ以テ之ヲ定ム」


廃止じゃなくてあくまで停止なので。結局復活はしませんでしたが。
裁判員制度が施行されるので、今後も復活することはないでしょう。

ちなみに、
「陪審法」 大正12年4月18日
もあるので、興味があればご自分で。


ここで、あなたは、裁判員制度に
賛成?
反対?

2択を設置する気はあまりありませんので、ここで聞いてしまいましょう。

今回はボリュームが足りないような・・・

これまでの更新、
世界の変な法律
法律の雑学!!なぜ4月2日生まれが一番最初?
でも見て、楽しんでください。

それでは。
21:07  |  法律  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2008.07.02 (Wed)

ごめんなさい。

考えてみてくださいよ。
1+2=3
4+5+6=7+8
9+10+11+12=13+14+15
にすごいなんて驚いていても、とっても簡単なことじゃないですか。


16+17+18+19+20=21+22+23+24
・・・
ってできますし。


22:52  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.07.01 (Tue)

犯人当てのヒント・答え

問題はこちら――→犯人は誰?
昨日の問題ですね。
こちらの答えは、追記部分に書きます。


犯人当て小説のことを、英語で
"whodunit"(フーダニット)とも言いますね。
"Who done it? "からできた言葉です。

あと、これは、
叙述トリック
の一種ですね。

まあ、犯人当ての問題にするぐらいなのですから、そう私が言う前から感づいていた人もいらっしゃるとも思いますが、大ヒントですね、これ。

「叙述トリック」とは、
作者が読者に対して仕掛けるトリックです。

これは、読者の、偏見を利用します。
思い込みのせいで、解けない、そんなトリックです。

しかし、作者は必ず事実を書いています。
嘘は書いていないのです。

読者が、勝手に思い込んでしまっているだけなのです。

「needless requirements」

です。


今回は、問題にしているぐらいなので、ちゃんと読めば、「思い込み」はなくなりますよ。そういう記述もちゃんとしています。

さあ、これで、分かりましたか?

それでは、追記部分に答えです!!
21:42  |  その他  |  TB(0)  |  CM(3)  |  EDIT  |  Top↑
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