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2008.08.30 (Sat)

演繹法と帰納法

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

交流掲示板<http://penpenpensama.hp.infoseek.co.jp/Go.html>
疑問に思っていることなのですが、
「数学的帰納法」って、演繹の考えだと思いませんか?

ソクラテスの例が有名ですが、そうでない例を。

<演繹法>
一般的原理から論理的推論により結論として個々の事象を導く方法。

例:
ある芸人Aのネタはつまらない。
今見ているネタはAのネタだ。
よって、今見ているネタはつまらない。

<帰納法>
個々の事象から、事象間の本質的な結合関係(因果関係)を推論し、結論として一般的原理を導く方法。

例:
ある芸人Bのネタを一つ見てみたが、おもしろかった。
また別のひとつも見てみたが、これもおもしろかった。
よって、ある芸人Bのネタはおもしろい。


演繹法と帰納法は、一方の出発点が、もう一方の到達点となっており、逆の関係になっております。
一つ言えることは、帰納法で100%確実な結論を導くには、その対象のすべての場合について調べる必要があります。これが帰納法の弱点でもあります。

<数学的帰納法;>
有限回の議論で可算無限個の対象に対する命題を証明するための数学の論法です。
すべての自然数について、ある等式が成り立つことを証明するために、

例えば二つの整式P(n)とQ(n)について、
P(n)=Q(n) (n∈N)
を証明するために、

(i)n=1について等式が成り立つ
(ii)n=kについて等式が成り立つと仮定した時、n=k+1について等式が成り立つ

という二つの事柄が証明されれば、すべての自然数nについて、
P(n)=Q(n)
が成り立つ、ということが証明される、というものです。



(i)でn=1について等式が成り立つことが証明されているのですから、(ii)が証明された時点で、
n=1+1すなわちn=2についても等式が成り立つことが自然と証明され、そうすれば、n=3,n=4,n=5・・・のときも等式が成り立つことが証明される、ということです。


これ、明らかに演繹の考え方だと思いませんか?

先に全体の性質について証明してから、
「だから、個々の場合、n=1,n=2,n=3・・・についても成り立つ」
ということを証明しています。


それなのになぜ、「数学的帰納法」というのでしょうか?

甚だ疑問です。

↓↓そういえば疑問だなあ↓↓
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23:30  |  論理学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.08.29 (Fri)

挑戦状

(知っている方は知っていると思いますが)
この問題をお解きください。
私の作った問題です。
不正解でも、その時はヒントが表示されますので。
それでは。



↓↓果たし状↓↓
19:41  |  その他  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2008.08.28 (Thu)

日本で・・・2

日本で・・・
シリーズの第2回目です。

今回は・・・
日本で最後の・・・
を特集します。

「日本で最後の空襲(1945年8月14日~15日)があった場所は?」
A.東京都一帯B.愛知県名古屋市
C.秋田県秋田市D.兵庫県神戸市

どれも実際に空襲があった場所です。
さて、どれが答えでしょうか?

空襲は本当に恐ろしいものです。
数多くの死傷者も、空襲が一つの原因です。何の罪もない一般人までもが・・・
ということですが、このあたりで正解を。


正解は・・・



C. 秋田県秋田市


です。

土崎大空襲(つちざきだいくうしゅう)ですね。アメリカ軍による攻撃です。
これによる死者は250人以上とされています。

250人も・・・

恐ろしいです。


次の問題です。

「日本で最後の江戸時代(1603-1867)生まれの人の亡くなった年は?」
A.1986年B.1987年
C.1988年D.1989年


ちなみに、その江戸時代生まれの人とは、泉重千代(いずみ しげちよ)という方で、1865年8月20日(慶応元年6月29日)生まれです。(日付の違いは当時との暦の違いによる)
また、世界一長寿の方は、フランス人の女性ジャンヌ・カルマン(1875-1997)という方ですが、男性の長寿記録としては、泉氏が世界一です。

それでは、答えはというと…


A.1986年


です。
1986年2月21日没です。

非常に長生きです。
なんと120歳。どうでしょう、これ。




日本最後の野生のトキ・キンは、2003年10月10日に死亡し、日本最後の野生のコウノトリは、1971年5月25日に兵庫県豊岡市で保護された個体がこれにあたります。

悲しい現実です。

もう野生がいない、というのは本当に悲しい現実です。
その原因には、やはり、人間の手の及んでいる部分もあるでしょう。
しかし、今更どうしようもありません。
終わってしまったことはどうしようもないことです。
けれども、まだ終わっていないことは、手を打つことができます。
どうしようもない、なんてことはありません。何らかの手は打てるはずです。
最後まで諦めてはいけません。
諦めずに、最後まで。

地球に、愛の手を。


↓↓Please "Pochi" it.↓↓
21:31  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.08.27 (Wed)

素数

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

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さて、素数についてです。
次の問題をご覧ください。

2009は素数か?

さて、素数だと思っても、本当に素数なのか?素因数分解できないか?と思いますね。
以前紹介した、P≠NP予想でもあるように、今のところ(おそらく将来も発見されてはいないでしょうが)、素因数分解には便利な公式などがありませんから、地道に調べていくしかありません。
ん?なんだか下のやり方をしらなくてもすぐに答えが出せそうな・・・
今は何も考えずに、下をお読みください。

しかし、地道でも地道なりに、やり方はあります。

1~2009までの素数を調べる必要がありません。

2009が素因数分解できるとしたら、
それは2009=a×b(aは素数、bは整数)の形で表すことができます。
a≦bだとしても一般性を失わないません。すると、これは
「aは√2009以下」ということを表しています。
442<2009<452
であるので、
44<√2009<45
です。
よって、a≦45だということが分かります。
45以下の素数というと、
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43
ですので、これらの素数が2009の素因数であるかどうかを調べるだけでOKです。

すると、7で割ることができることがわかります。
2009=7・287
(ここでも何も考えずに下へ進む!)
287は17の二乗である289よりも小さいので、2~13の素数を調べればよいわけです。
すると、また7で割れ、
2009=7・7・41
41は素数であるので、これで終わりです。

2009=7・7・41であるので、2009は素数ではない。

(例題が悪かったですね。
お詫びにもう一題。
2003が素数であるのか、合成数であるのか、お考えください。)

このように、
ある整数nが素数であるのか合成数であるのかを判断するには、
√n以下の素数を、nが素因数に持つか否かで判断すればよい。

ということになります。

続いては、エラトステネスの篩(ふるい)です。
これは、
ある整数n以下の素数をすべて見つけ出すための方法です。
基本的に考え方は上と同じです。
nまでの整数をリストアップしていき、√n以下の素数の倍数(1倍したものは除く)リストから削除していきます。すると、そのリストに残っているものは、すべて素数です。
理由は言うまでもありませんね。上で言った事柄からすぐに分かります。

素数には、もっと面白い性質というものがたくさんあります。
一度、足を踏み入れてはいかがでしょうか。

↓↓素数ってすごいかも↓↓
21:51  |  整数-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.08.26 (Tue)

初等幾何学で必須の定理4

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そういえば、前回の記事で
「ゾウもキリンも入るけど、2体は一緒に入らないというその絶妙な大きさの冷蔵庫とは・・・」
とお思いになった方もいらっしゃるのでは?

・・・ということを考えてやまない私です。

閑話休題、掲示板では、喧々囂々、それぞれの意見を話し合えたらいいな、と思っているわけです。
侃々諤々、というわけではないですが。


すみません、今のは本題ではありません。接続語の使い方を間違えてしまいましたね。

三角形の五心の「傍心」について話したいと思います。
他の「内心」「外心」「重心」「垂心」については、特徴を訊かれてもすぐに答えられるとは思いますが、念のため、挙げておきます。

「内心」・・・三角形の各頂角の二等分線の交点。内心は三辺からの距離が等しく、内接円の中心となる。
「外心」・・・三角形の各辺の垂直二等分線の交点。外心は三頂点からの距離が等しく、外接円の中心となる。
「重心」・・・三角形の三つの中線の交点。頂点から重心までの距離と、重心から中点までの距離は、2:1である。
「垂心」・・・三角形の各頂点から対辺に下ろした垂線の交点。


それでは、「傍心」について、です。
このような性質というものが、すぐに出てきますか?
なかなか傍心は見ることがありませんから、馴染みがないと思います。


傍心は、三角形のある一つの頂角の二等分線と、残り二つの外角の二等分線の交点です。
一つの三角形につき3つあります。
△ABCにおいては、IA,IB,ICなどと表記しますね。
傍心は、たとえば△ABCにおいて、∠A(内角)の二等分線上にある傍心IAで考えると、
辺BC、及び、辺AB,ACの延長と、IAの距離は等しく、傍接円が描けます。

また、ここから、IAを中心とする傍接円と、辺AB,ACの延長との交点をE,Fとすると、
AE=AFということも分かります。
そして、AEも、AFも、△ABCの周の長さの半分となります。
証明は分かりますよね?
掲示板のヘロンの公式の証明を載せるときに、同時に書きたいと思います。


また、三つの傍心を結んでできた三角形を「傍心三角形」といい、三角形の内心とその傍心三角形の垂心、 また、三角形のの外心とそ傍心三角形の9点円の中心はそれぞれ一致します。


分かりましたか?
それでは。

↓↓傍心の神秘!!↓↓
21:15  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.08.25 (Mon)

数学頭の落とし穴

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リプトンの某CMでの問題です。
類題は、アメリカの某有名一流企業M社(おそらくこの記事を見てくださっているほとんどの方がお世話になっていると思いますが)の面接試験のようです。
結構有名ですかね、これ。

その問題をはじめとする、次の4問をお考えください。

(1)ゾウを冷蔵庫に入れるにはどのようにすればよいか?

(2)キリンを冷蔵庫に入れるにはどのようにすればよいか?

(3)百獣の王ライオンが、人間を除く全ての動物を大草原に集めて会議を行ったが、一種類だけ集まらなかった動物がいる。その動物は一体何か?また、何故集まれなかったか?

(4)あなたは、人喰いワニが棲んでいるといわれる広い川を何も使わずに泳いで渡らなければならない。しかし、あなたは、特別なことを何もせずに、泳いで渡ることができた。それは何故か?



さて、分かりましたか?


いろいろとお考えください。



それでは、この問題の答えはあとにして、次の問題です。


三人の男A,B,Cが、決闘を行うこととなった。
三人とも同じ性能のピストルで、同じ弾が3発ずつ詰めてある。
Aは、敏腕であり、3発狙い撃ちすれば、狙った所に3発ともすべて当たる。
Bは、3発狙い撃ちしても、2発しか的中せず、残りは1発は外れてしまう。
Cは、銃に関してはまだまだ見習いで、3発狙い撃ちしても、1発しか的中せず、残りは外れてしまう。

これだけ銃の腕前に差があっては同じ条件で決闘をしても不公平であるので、まず、Cが3発初めに撃たせてもらえることになった。

Cは、できるだけ死は避けたいと思っている。
このとき、Cはどのように撃てばよいだろうか?ただし、Aを狙うのも、Bを狙うのも、自由である。
ただし、狙えるのは一人につき一人だけである。



確率で考えようとすると…

A・・・的中率3/3 つまり100%
B・・・的中率2/3
C・・・的中率1/3
であるから・・・

となりますが、考えてみてくださいね。
この記事の題名もしっかりと吟味してくださいよ。

この続き、追記部分に答えです。
21:20  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(2)  |  EDIT  |  Top↑

2008.08.23 (Sat)

問題を作る

問題を解くことは大変なことですが、作る側も大変ですね。
だから、大学受験では、過去問を使ってもよいということになりました。過去の良問をもう一度、ということですね。

皆さんも、所謂「良問」というものを作ってみてください。少なくとも、「難問」を作るほうが「良問」を作るよりも簡単だと思います。

「難問」「奇問」と言われながらも、それが「良問」である、というような問題はなおさらです。

数学の問題を作るには、すくなくともそれなりの知識がないといけません。
暗記科目などでは、知識がなくとも、教科書を穴抜きにして出題すれば、それなりの問題はできます。
しかし、数学では、知識がなければ、それなりの問題も作ることはままなりません。




そこで、皆さんも、問題を作ってみましょう。
最初のうちは、簡単で、所謂「駄作」のようなものでも十分です。
作ってみたら、交流掲示板<http://penpenpensama.hp.infoseek.co.jp/Go.html>に投稿してみる。

こうして、いい問題を発掘していきましょう!!


↓↓燃えてきたぜ!↓↓
21:13  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2008.08.22 (Fri)

賽子

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

交流掲示板<http://penpenpensama.hp.infoseek.co.jp/Go.html>


さいころは、

・向かい合う面の数の和が7
・左回り

の二つの法則にしたがっているのです。

さいころを
作る際、
まず真っ白な立方体で、1の面を決めます。自由に決めることができますね。
次に、その裏の6が確定します。

次は、残った側面の4つの面のうち、2の面を決めます。
実は、これは自由ではありません。側面の目に対する6の向きは決まっているのですが、ここではそのことは無視させてください。

自由に2の面を決めると、その裏の5も確定します。

最後に、3の面を決めるのですが、3の面を残り2面のうちどちらにするかによって、(目の向きを考えなければ)二通りのさいころができあがります。

1の面を上にして、2の面の右に3の面がある場合(左回り)と、
1の面を上にして、2の面の左に3の面がある場合(右回り)です。

さいころは、左回りと決まっています。

これが、左回りの法則なのです。


↓↓左回り!?↓↓
21:50  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.08.21 (Thu)

8/20解答、重要なお知らせ

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら
前回の問題です。
(1) A市に関する次の命題「すべての家庭にテレビがある」の否定命題を選べ。
  1. どの家庭にもテレビがない。
  2. テレビを持つ家庭とテレビを持たない家庭が少なくとも 1 軒ずつある。
  3. テレビのある家庭が少なくとも 1 軒ある。
  4. テレビのない家庭が少なくとも 1 軒ある。

(2) 命題「関数 f ( x ) はすべての x ≧ 0 で f ( x ) ≧ 0 をみたす」の否定命題を選べ。
  1. 関数 f ( x ) は、すべての x ≧ 0 で f ( x ) < 0 をみたす。
  2. 関数 f ( x ) は、すべての x < 0 で f ( x ) < 0 をみたす。
  3. 関数 f ( x ) は、ある x ≧ 0 で f ( x ) < 0 をみたす。
  4. 関数 f ( x ) は、ある x < 0 で f ( x ) ≧ 0 をみたす。
[2006 上智大・法]

それでは解答です。
(解答)
(1)
「すべての家庭にテレビがある」を否定すると、
「ある家庭にはテレビがない」(←「すべての家庭にテレビがあるわけではない」)
これと同値(同じことを言っている)のは、
4です。

(2)
「関数 ƒ(x) はすべての x ≧ 0 で ƒ(x) ≧ 0 をみたす」を否定すると、
「関数 ƒ(x) はすべての x ≧ 0 で ƒ(x) ≧ 0 というわけではない」
つまり、
「関数 ƒ(x) はある x ≧ 0 で ƒ(x) < 0 をみたす」
よって、
3です。

(1)(2)ともに、まずは
「ある」の否定が「すべて」、また、「すべて」の否定が「ある」ということがポイントですね。
また、否定するに当たっては、
命題「P⇒Q」において、
その否定命題は
「¬P⇒¬Q」(「Pでない⇒Qでない」)
です。
仮定部分のみ、結論部分のみを否定しただけでは不十分です。

それでは、重要なお知らせです。
このブログの交流掲示板ができあがりました。
交流掲示板<http://penpenpensama.hp.infoseek.co.jp/Go.html>
上をクリックすると、ジャンプページに飛びますが、自動的に掲示板にジャンプします。
活用方法などは、掲示板のほうに記載しておいたので、皆さん、どんどんご活用ください。

それでは。

みなさんのおかげで、ブログランキングで、執筆時点1位です。
ありがとうございます。

↓↓掲示板開設おめでとう↓↓
21:02  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2008.08.20 (Wed)

8/20問題

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら
簡単な問題です。

(1) A市に関する次の命題「すべての家庭にテレビがある」の否定命題を選べ。
  1. どの家庭にもテレビがない。
  2. テレビを持つ家庭とテレビを持たない家庭が少なくとも 1 軒ずつある。
  3. テレビのある家庭が少なくとも 1 軒ある。
  4. テレビのない家庭が少なくとも 1 軒ある。

(2) 命題「関数 f ( x ) はすべての x ≧ 0 で f ( x ) ≧ 0 をみたす」の否定命題を選べ。
  1. 関数 f ( x ) は、すべての x ≧ 0 で f ( x ) < 0 をみたす。
  2. 関数 f ( x ) は、すべての x < 0 で f ( x ) < 0 をみたす。
  3. 関数 f ( x ) は、ある x ≧ 0 で f ( x ) < 0 をみたす。
  4. 関数 f ( x ) は、ある x < 0 で f ( x ) ≧ 0 をみたす。
[2006 上智大・法]


↓↓解けた!!↓↓
22:16  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(2)  |  EDIT  |  Top↑

2008.08.19 (Tue)

特報8/19

1日目



2日目


俳句甲子園です。俳句甲子園HP

全国の高校生のための大会です。

「地方予選」
 全国を幾つかのブロックに分けて、予選を行います。
そして、それぞれのブロックの優勝校は、本選への出場権を獲得します。

「投句審査」
 全国から応募された俳句をもとに審査されます。
地方予選で優勝できなかったチームも参加できます。
優秀である句を応募した数チームが本選への出場権を獲得します。

「本選」
一日目
 先鋒・中堅・大将の3句で戦います。
先に2勝したチームがその戦いでの勝者となりますが、リーグ戦では、同率1位になったときのために、3句ともすべて披講し、他と同じく3分間のディベートを行い審査します。

「予選ブロック」
 抽選で決められた各ブロック3チームでリーグ戦を行います。
上位1チームが決勝トーナメントに出場します。

「決勝トーナメント」
 1回戦・準々決勝・準決勝・決勝からなります。
一日目には1回戦と準々決勝が行われます。

二日目
 敗者復活戦と、決勝トーナメントの後半が行われます。
決勝トーナメントは、先鋒・次鋒・中堅・副将・大将の5句で戦います。
先に3勝したチームがその戦いでの勝者となりますが、残った句も、参考に披講のみで審査されます。ディベートの時間は4分です。

「敗者復活戦」
 1回戦と決勝からなります。
一日目の予選リーグで負けたチームのうち、地方大会で優勝し、本選に出場したチームは決勝からの出場となり、それ以外のチームは1回戦からの出場となります。
 1回戦は、各チーム一句ずつ、その句のイメージの写真とともに披露されます。選手は30秒以内にその句の説明を行います。3チームが決勝に出場します。
 決勝は、各チーム一句ずつ披露されます。その後、1分間を審査員との質疑応答の時間とします。1チームのみが決勝トーナメント準決勝に出場します。

「決勝トーナメント」
 二日目には準決勝・決勝が行われます。


このようなものです。
試合は、
披講→ディベート(各句につき一定時間)→審査→審査員所見
の順ですね。

今回は出場しませんでしたが、とても見ていて良かったです。得るものはたくさんありました。

準決勝の兼題「入」、決勝の兼題「文」は、今年が第11回俳句甲子園であることから、
「イレブン」→「イレ ブン」→「入れ 文」→「入」「文」
ということは天晴れでした。

今回の記事はこれで終わりますが、下のパスワード付きの記事、特報8/19 号外をご覧いただければ、より詳しいことが掲載してあります。


↓↓熱い!!↓↓


21:40  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.08.19 (Tue)

特報8/19 号外

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2008.08.18 (Mon)

射撃3

←射撃2

 TTTTさんよりコメントをいただきました。ありがとうございます。

 さて、空気抵抗を考えない時、エアライフルの弾(初速160m/s)の最長到達距離ということですが、まず、水平方向から上方に何度傾けた状態で発射すればよいのかを考えると、それは45°です。(証明略)

 それでは、実際に最長到達距離を求めましょう。

 水平な地面に立ち、高さh[m]の地点より、水平方向から45°上方に傾けて初速160m/sで弾を発射します。また、重力加速度は9.8m/s2とし、弾が地面に落ちるまでの時間をt[s]とします。また、水平方向は、弾を発射する方向を正、また、鉛直方向は、上方向を正とします。(弾の質量は計算に影響を与えません)


初速を水平方向、鉛直方向の成分に分解すると、

水平方向:80√2[m/s]
鉛直方向:80√2[m/s]

ここで、
(80√2)t-(1/2)・9.8・t2=-h
∴4.9t2-(80√2)t+h=0

t≧0より、
t={40√2+√(3200-4.9h)}/4.9


水平方向の到達距離は、
80√2・{40√2+√(3200-4.9h)}/4.9
={6400+√(6400-9.8h)}/4.9[m]

でしょうか?

はたしてあっているのか???

それでは。



↓↓合っているよ!!or間違っているよ!!↓↓
16:38  |  その他  |  TB(0)  |  CM(2)  |  EDIT  |  Top↑

2008.08.16 (Sat)

8/15解答

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら
円周率が3.05より大きいことを証明せよ。
[2003 東京大・理]

という問題ですね。

アルキメデスの円周率の近似値を求める方法も、これと同じようなものです。

まずは、円周率の定義から考えましょうね。

(証明)
円周率をπとおく。
円周率とは、直径が1の円における、円周と直径の比の値であるので、半径が1、つまり、直径が2の円の円周は2πである。

半径1の円に内接する正八角形を考える。

円の中心から各頂点に線分を引くと、正八角形は8つの二等辺三角形となり、その内角は、45°,67.5°,67.5°である。また、等しい二辺の長さは1である。

 この二等辺三角形を一つとりだし、45°の頂角の二等分線を引く。この直線は底辺と垂直に交わり、二等辺三角形を二等分する。
 この二等辺三角形の半分の大きさの三角形を考えると、内角は、22.5°,90°,67.5°である。

 よって、二等辺三角形の底辺の長さは、
2sin22.5°
である。
 これより、正八角形の周の長さは、16sin22.5°である。

正八角形の周の長さは、その外接円の円周よりも短いので、
16sin22.5°<2π
である。
∴8sin22.5°<π
ここで、sin22.5°=√(2-√2)/2である。(半角の公式より導き出せる)

ここで、
√2<1.415
であるので、
2-√2>0.585

0.7632=0.582169であるので、
0.7632<0.585

∴2-√2>0.585>0.7632
∴√(2-√2)>0.763>0.7625=3.05/4
∴8sin22.5°=8・√(2-√2)/2>3.05

ゆえに、
π>8sin22.5°>3.05

よって、円周率が3.05より大きいことが示された。
(Q.E.D.)

ここでは、正八角形を円に内接させ、円周に着目して証明しましたが、正八角形でなくとも、これ以上くらいなら正十二角形でも、証明できますし、また、面積に着目して証明する方法もあります。
さらに、余弦定理からも証明できます。
余力があったらやってみてください。

それでは。

↓↓アルキメデスは天才!!↓↓
18:00  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.08.15 (Fri)

8/12解答、8/15問題

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら
8/12の問題です。

nを自然数,P(x)をn次の多項式とする。P(0),P(1),・・・・・,P(n)が整数ならば,すべての整数kに対し、P(k)は整数であることを証明せよ。
[1993 東工大]


 ちなみにこの問題は、実際に試験に出題された時は、あまりにも正答率が低く、30点満点で平均点がほぼ0点の状態でした。

 しかし、採点者は「平均点がほぼ0点であった」という報告をするわけにもいかず、「nについての数学的帰納法で証明する」と書いてあるだけで、3分の1の10点を与えよう、ということになったといいます。

 「nを見たら『nについての数学的帰納法で証明する』」と書きましょう。


(証明)

nについての数学的帰納法で証明する。

(i) n=1のとき

このとき、P(x)は1次の多項式である。
よって、P(x)=ax+bと書ける。
仮定より、P(0),P(1)が整数であるので、
P(0)=b
P(1)=a+b
がそれぞれ整数である。

よって、a,bともに整数である。

ゆえに、P(x)=ax+bにおいて、すべての整数kに対し、P(k)=ak+bは整数となる。

(ii) n=mのとき、題意が成り立つと仮定する。このとき、n=m+1の場合を考える。

つまり、P(x)が(m+1)次の多項式で、P(0),P(1),・・・・・,P(m+1)が整数であるとき、すべての整数kに対し、P(k)は整数であることを示す。

ここで、
Q(x)=P(x+1)-P(x)
とおく。
すると、P(x+1)もP(x)もどちらも(m+1)次式であり、最高次のxの係数は同じなので、Q(x)は高々m次式となる。
よって、仮定より、Q(1)~Q(m)までがすべて整数であるとき、すべての整数kに対し、Q(k)は整数である。

ここで、
Q(1)=P(2)-P(1)
Q(2)=P(3)-P(2)
・・・
Q(m)=P(m+1)-P(m)
であり、これらはすべて整数である。

すべての整数kに対し、Q(k)は整数であり、P(0)が整数であることを考えると、
・・・,P(-2),P(-1),P(0),P(1),P(2),P(3),P(4),・・・
がすべて整数であることが分かる。
よって、すべての整数kに対し、P(k)は整数である。


以上(i)(ii)より、P(0),P(1),・・・・・,P(n)が整数ならば,すべての整数kに対し、P(k)は整数である。(Q.E.D.)


それでは、本日の問題です。

円周率が3.05より大きいことを証明せよ。
[2003 東京大・理]


証明してください。

↓↓アルキメデスになれたら↓↓
18:00  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2008.08.14 (Thu)

射撃2

←射撃

 それでは、射撃の難しさを考えてみましょう。

 ここでは、エアライフルを考えます。

 エアライフルは、弾の初速がマッハ0.5ほど、つまり、秒速160mほどであるので、この数値を使います。

 空気抵抗などが一切ない状況を考えます。

 重力加速度を9.8m/s2とします。

 エアライフルを使うオリンピック競技は男女10mエアライフル立射であるので、的までの距離は10mです。

 ちなみに、本射(予選)では、男子は60発(600点満点)、女子は40発(400点満点)です。

 
 ここで、弾を水平に発射した時、的に当たるまでの時間t[s]は、
t= 10/160 = 1/16[s]
です。

 この間に、弾が発射された位置よりx[m]下に下がったとすると、

x=(1/2)・9.8・t2=4.9・(1/256)=0.019140625≒0.019[m]
です。これは、1.9cmの誤差ということになります。

 小さな誤差と思われるかもしれませんが、エアライフルの標的の直径は45.5mm、そして10点圏の大きさは0.5mmですので、水平に狙うのならば、10点の黒い点の1.9cm上方から撃たなければなりません。空気抵抗などは今は無視していますが、実際にはもっと誤差は大きくなるはずです。

 ここで、ライフル(発射口)の標準の位置、角度というのを(勝手に)定義します。

 標準の角度とは、水平、つまり地面とのなす角が0°、そして、標準の位置とは、標的の中心と同じ位置から1.9cm鉛直上方と定義します。

 
 標準の角度を保ったままで、標準の位置からL[cm]ある方向に動かしたとすると、弾が標的に当たる位置も、中心からそのある方向にL[cm]動いたところになります。

 ここで標準の位置から撃つことにし、標準の角度を1°ずらしてみましょう。

 まず、左右方向に1°ずらすと、弾の当たる位置が10tan1°[m]左右にずれることはすぐに分かります。
 三角比の表より、tan1°≒0.017であるので、0.17m、つまり、17cm中心から左右にずれます

 標的の半径は2.275cmしかないので、この時点でもう的には当たりません

 
 次に、鉛直上方向に1°ずらしてみましょう。

 初速度を分解します。水平方向は、160cos1°[m/s]、鉛直上方向は160sin1°[m/s]です。
三角比の表から、cos1°、sin1°の値を求め、代入すると、
水平方向は160[m/s]、鉛直上方向は2.72[m/s]です。

 よって、弾を発射してから標的に当たるまでが1/16秒であるので、この間に、鉛直方向の変位は、鉛直上方向を正として、
 2.72・(1/16)-(1/2)・9.8・(1/256)=0.17-0.019140625=0.150859375≒0.020[m]です。

 1°上にずれるだけで、弾は2cmも中心から上にずれるのです。


 最後に、鉛直下方向に1°ずらしてみましょう。

 同じように初速度を分解すると、水平方向は、160cos1°[m/s]、鉛直下方向は160sin1°[m/s]です。
三角比の表から、cos1°、sin1°の値を求め、代入すると、
水平方向は160[m/s]、鉛直下方向は2.72[m/s]です。
 
 よって、弾を発射してから標的に当たるまでが1/16秒であるので、この間に、鉛直方向の変位は、鉛直下方向を正として、
 2.72・(1/16)+(1/2)・9.8・(1/256)=0.17+0.019140625=0.189140625≒0.19[m]
です。

1°下にずれるだけで、弾は19cmも中心から下にずれてしまいました。
論外です。


このように、たったの1°が命取りになることが分かりました。


 空気抵抗を考えると、もっと誤差が生じてしまうでしょう。射撃は、百発百中が大前提ですから、素人から見れば、それだけでもすごいことです。

 そんな中で、満点の10点(ファイナルでは満点は10.9点)を、しかも大きなプレッシャーの中でマークするのは、やはり、それなりの訓練が必要なのですね。

→射撃3

↓↓射撃に興味を持ったら↓↓
22:08  |  その他  |  TB(0)  |  CM(3)  |  EDIT  |  Top↑

2008.08.13 (Wed)

射撃

(前回の問題の答えは後日)

 今、オリンピックが盛り上がっています。それにより、高校野球が少し陰に隠れ気味で、かわいそうな気もしますが、それはそれでしょうがないことでしょう。
 
 それよりも、クレー射撃トラップ女子で日本人が4位なのが非常に残念。点数だと、銅メダリストとの点差は0点でした。「最後のクレーに当たればメダル!」というのを外してしまいました。相当なプレッシャーだったと思いますよ。

オリンピックでは、射撃といえば、ライフル射撃とクレー射撃に分かれます。

射撃(北京オリンピック)
ライフル射撃
ライフル種目(男女)
男子
50mライフル三姿勢
50mライフル伏射
10mエアライフル立射
女子
50mライフル三姿勢
10mエアライフル立射
ピストル種目(男女)
男子
50mピストル
ラピッドファイアピストル
10mエアピストル
女子
25mピストル
10mエアピストル
クレー射撃
トラップ種目(男女)
スキート種目(男女)
ダブルトラップ種目(男子)



 日本でこれらの競技に参加してみたいと思っても、銃刀法に厳しいこの国では気軽に始められるようなものでなく、それが、この競技のあまり普及しない要因となっています。
 しかし、日本でも、手軽に始められる射撃があります。ビームライフルです。
 これは、資格もなにもいらないので、基本的には老若男女、誰でも参加することができます。10mエアライフルに準じたルールで行われます。

 ここで、エアライフルやエアピストルは、よく耳にする「エアーガン」とは威力が違い、これらを所持するには資格が必要です。なんといってもこれらは実銃ですから。ライフルやピストルは火薬を用いて実弾を発射しますが、エアライフルやエアピストルは、空気を圧縮して実弾を発射します。

 ライフル射撃においては、本射(予選)では10点満点、ファイナル(決勝)では10.9点満点で算出されます。
 
 エアピストルの決勝や、ピストルの予選を少しテレビで観戦しましたが、何よりも服装がラフですね。他の、「アスリート」というような雰囲気ではありません。しかし、独特の空気が漂っていますね。
 
 射撃は、体力よりも、特に精神力を必要とする競技です。

 ファイナルで2、3発撃つと、10.9点を狙い撃ちする人もいますね。7点台の人もいますが。

 エアピストルでは、10点圏が直径11.5mmの円ですから、満点を獲得というのは、相当なことであることが分かります。

 エアライフルの10点圏は直径0.5mmのもはや点ですが、これは距離が10mです。50m離れて撃つエアピストルの10点圏の方が、小さく見えます。

 ちなみに、ライフル三姿勢とは、「立射」「伏射」「膝射」です。



 ここで、クレー射撃です。発射される「トラップ」と言われる標的を、ライフルで撃ち落とします。

 「トラップ」は、銃を構えた選手のコールにより、自動的に3つの発射台のうちのいずれかから1つのクレーが方向不定で飛び出します。
 唯一、一つのトラップにつき2発発射でき、2発以内で撃ち落とせば、1発目でも2発目でも1点が入ります。

 「スキート」は、銃を構えていない状態でコールをし、クレーが飛び出してから銃を構えます。射台により、何枚のクレーが飛び出すかは決まっており、クレーが1枚又は2枚飛び出します。

 「ダブルトラップ」は、トラップと同じようですが、ここでは2枚のクレーが同時に発射されます。一発外したら、もう一回同じクレーを狙うことはできず、違うクレーを狙います。
 一枚一発です。

→射撃2

↓↓オリンピック見たよ!!↓↓
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2008.08.12 (Tue)

8/11解答、8/12問題

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら
まずは、前回の問題です。

放物線y=x2上に異なる2点A(a,a2),B(b,b2) (a>b)がある。∠ACB=90°をみたすCが,この放物線上に存在するための,a,bの条件を求めよ。
[1984 近畿大・商]


できたと思って油断してませんか?

それでは解答です。
(解答)
点C(t,t2)とおく。
ここで、点Cと点A,Bは異なる点であるから、t≠a,t≠bである。
よって、t-a≠0,t-b≠0であるので、
直線ACの傾きは、
(t2-a2)/(t-a)
=(t-a)(t+a)/(t-a)
=t+a

直線BCの傾きは、
(t2-b2)/(t-b)
=(t-b)(t+b)/(t-b)
=t+b

∠ACB=∠Rとなる条件は、
(直線ACの傾き)×(直線BCの傾き)=-1
であるので、
(t+a)(t+b)=-1

よって、
t2+(a+b)t+ab+1=0 ・・・

これを満たすt (t≠a,t≠b)が存在するための条件は、
tについての二次式
t2+(a+b)t+ab+1=0
の判別式Dが、
D≧0を満たすことである。

D=(a+b)2-4(ab+1)
=a2-2ab+b2-4
=(a-b)2-4≧0
つまり、
(a-b)2≧4
∴a-b≦-2,a-b≧2

条件より、a>bなので、a-b>0
∴a-b≧2
↑ここで解答を終えていませんか?これだけでは不十分です。これは、必要条件であり、必要十分条件ではありません。

ここで、不適の場合(i)(ii)(iii)を考える。

(i)tについての二次式※が異なる2解を持ち、それがaとbであるとき

2解の積はabである。
また、解と係数の関係より、異なる2解の積はab+1である。
しかし、ab≠ab+1であるので、tの異なる2解がaとbであることはありえない。

(ii)tについての二次式※が重解をもち、それがaであるとき

D=0であるので、a-b=2
また、
解の公式より、
t={-(a+b)±√D}/2
=-(a+b)/2
これが重解 a であるので、
-(a+b)/2=a

よって、連立方程式
-(a+b)/2= a
a-b=2
を解くと、
(a,b)=(1/2,-3/2)

(iii)tについての二次式※が重解をもち、それがbであるとき

D=0であるので、a-b=2
また、
解の公式より、
t={-(a+b)±√D}/2
=-(a+b)/2
これが重解 b であるので、
-(a+b)/2=b

よって、連立方程式
-(a+b)/2= b
a-b=2
を解くと、
(a,b)=(3/2,-1/2)

以上より、
∠ACB=90°をみたすCが,この放物線上に存在するための,a,bの条件は、
a-b≧2
かつ、
(a,b)≠(1/2,-3/2),(3/2,-1/2)


どうでしょう?完全解答できましたか?
本当にいい問題だと思います。

それでは、本日の問題です。
今度は、難しいかもしれません。
でも問題の意味くらいは理解してくださいね。

nを自然数,P(x)をn次の多項式とする。P(0),P(1),・・・・・,P(n)が整数ならば,すべての整数kに対し、P(k)は整数であることを証明せよ。
[1993 東工大]


↓↓やっぱり完全解答できていなかったら↓↓
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2008.08.11 (Mon)

8/11問題

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら
今回の問題は、本当にいい問題だと思います。
100回記念には良問を!ということですかね。

そんなに難しい問題ではありません。
手順をしっかりと踏んでいけば、解法で手詰まりが・・・ということはないでしょう。

しかし、できたと思って安心してはいけません。

これが、ヒントのようなものですね。

それでは、問題です。

放物線y=x2上に異なる2点A(a,a2),B(b,b2) (a>b)がある。∠ACB=90°をみたすCが,この放物線上に存在するための,a,bの条件を求めよ。
[1984 近畿大・商]


完全解答目指して、がんばってください。

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2008.08.09 (Sat)

偶関数と奇関数(入門篇)

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら
また、もしも&#131;と表示されている箇所がございましたら、それは、関数の記号 f のことです。
今日は、偶関数と奇関数について、軽く触れてみましょう。
この意味を深く考察する必要があるのは、もっと後のことであると思いますので、またいずれ、その時が来たら、触れるかもしれません。

ƒ(-x)=ƒ(x)
となるような関数ƒ(x)を偶関数
偶関数
ƒ(-x)=-ƒ(x)
となるような関数ƒ(x)を
奇関数
といいます。

例えば、
二次関数
ƒ(x)=x2
を考えます。
すると、
ƒ(-x)=(-x)2=x2
となるので、
ƒ(x)=ƒ(-x)
です。
よって、
ƒ(x)=x2
という関数は、
偶関数です。


次に、一次関数
ƒ(x)=x
を考えると、
ƒ(-x)=-x
です。
これは、-x=-ƒ(x)
であるので、
ƒ(-x)=-ƒ(x)
となります。
よって、
ƒ(x)=x
という関数は
奇関数ということになります。


ほかに、
正弦関数ƒ(x)=sin x や、正接関数ƒ(x)=tan xは奇関数として、
余弦関数ƒ(x)=cos xは偶関数としての代表例です。


つまり、これまでのことで分かるように、
偶関数ƒ(x)のグラフy=ƒ(x)はy軸に関して対称
奇関数ƒ(x)のグラフy=ƒ(x)は原点に関して対称

です。


よって、y=ƒ(x)のグラフが原点を通ることは、ƒ(x)が奇関数であることの必要条件です。

また、
他に、
偶関数同士を足し合わせた関数は、偶関数
奇関数同士を足し合わせた関数は、奇関数
です。

そして、
奇関数と偶関数を足し合わせた関数は、奇関数でも偶関数でもありません。

奇関数同士の積、偶関数同士の積は、どちらも偶関数になります。
そして、偶関数と奇関数の積は奇関数です。


ƒ(x)が偶関数、又は奇関数であるとき、
|ƒ(x)| は偶関数です。

一般に、
正弦関数・正接関数の他にも、
ƒ(x)=(xの偶数乗)
も偶関数です。
また、
余弦関数の他にも、
ƒ(x)=(xの奇数乗)
も奇関数です。

指数の正負が変わっても、偶関数、奇関数に変わりはありません。

また、任意の関数ƒ(x)に対して、
ƒ(x)+ƒ(-x)は偶関数であり、
ƒ(x)-ƒ(-x)は奇関数です。


微分のときにも特徴が出るのですが・・・
それはまたのときで。

それでは。

↓↓偶数・奇数と似ているなと思ったら↓↓
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2008.08.08 (Fri)

常用対数(補足)、複素数(補足)

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

今回は、二つの記事を並べます。

まず、前回の記事常用対数の利便性をご覧ください。

簡単な補足です。

一般に、

M>0,N>0,a>0,a≠1としたとき、

loga(M・N) = logaM + logaN

が成り立ちます。


それでは常用対数で昨日の乗法の近似を説明しましょう。


MNを求めたい。このとき、

logMNの値が求まれば、MNの値も一つに定まる。

よって、logMNを求める。

logMN=logM+logN
であるので、
logMとlogNの値が分かれば、logMNの値は簡単に求まる。

ここで、常用対数表よりlogMとlogNを調べればよい。

・・・とまあ、こんな感じなのですが、それでは、このようなときはあなたはどう計算しますか?



7.23×6.79の近似値を常用対数表を用いて求めよ(有効数字3桁)

(解法)
log(7.23×6.79)=log7.23+log6.79
である。
常用対数表より、
log7.23≒0.8591
log6.79≒0.8319
であるので、

log7.23+log6.79≒1.691
↑ここで、log(7.23×6.79)の値は、1より大きくなってしまいました。常用対数表の近似値はすべて1未満の数ですので、この後はこのようにします。
1.691=1+0.691
である。

常用対数表より、
log4.90≒0.6902
log4.91≒0.6911
であるので、
log4.90<<0.691<log4.91

∴1+log4.90<<1+0.691<1+log4.91

ここで、
1=log10
である。
よって、
log10+log4.90<<1+0.691<log10+log4.91

M>0かつN>0のとき、
logMN=logM+logN
が成り立つので、


log49.0<<1.691<log49.1

よって、
7.23×6.79≒49.1
である。


ちなみに、7.23×6.79=49.0917ですので、ここでもよい近似を与えています。

このように、1~10までの常用対数の値が分かれば、工夫をして、どのような掛け算の値でも、難しい計算は足し算のみで近似値が求められます。


(ここで、記号"<<"と"<"を使い分けましたが、どちらの数値により近いかをわかりやすくするためです)


極座標
複素数の表し方
極形式の練習
複素数(極形式)の掛け算
極形式の割り算・方程式の解法
の続きです。

重要なことを言い忘れていました。
もっと最初に言っておくべきだったのですが・・・

複素数Zがあります。

これは極形式で、

Z=r(cosθ+i・sinθ)

というように表すことができました。

ここで、
rは絶対値、θは偏角である、と言いましたが、これは記号で、
r =|Z|
θ=argZ

というように表します。

ここで、掛け算の説明のときにもわかったように、
複素数には下のような性質が成り立ちます。

二つの複素数α,βにおいて、


|αβ| = |α| |β|
(αβの絶対値は、αとβそれぞれの絶対値を掛け合わせた値に等しい)

arg(αβ) = argα+argβ
(αβの偏角は、αとβそれぞれの偏角を足し合わせた値に等しい)

ということになります。

また、同じように、

|α/β| = |α| / |β|

arg(α/β) = argα-argβ

ということです。

これは、とても重要な性質です。
幾何学の証明も、複素平面上で、この性質を用いて証明することができます。

また、複素平面の原点の座標をOとし、
線分Oαと、線分Oβのなす角について考えます。

線分Oαとx軸の正の方向がなす角は、argα に等しい
線分Oβとx軸の正の方向がなす角は、argβ に等しい

この二つの線分がなす角は、| argα- argβ| に等しい
よって、先ほど挙げた性質より、
| argα- argβ| = | arg(α/β) |
となるので、

線分Oαと、線分Oβのなす角は、| arg(α/β) | に等しいということになります。

一般に、複素数γも存在するとき、

線分γαと線分γβのなす角は、
|arg {(α-γ) / (β-γ)} |
に等しい


という性質があります。


分かりましたか?

それでは。


↓↓早速複素平面を描きたいと思ったら↓↓
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2008.08.07 (Thu)

常用対数の利便性

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら


常用対数は、計算機のない時代の人たちにとっては、とても便利なものでありました。

誰かが常用対数表を作っておけば、これほど便利なものはありません。

常用対数は、掛け算を簡単にするのが主な目的です。
これを使えば、掛け算を足し算として計算できます。

たとえば、次の計算をしてみます。

5.43×1.57

これは、まともに計算をすると掛け算(九九)を九回と三つの数の足し算を行わなければなりませんが、対数を用いると、常用対数表より、
log5.43≒0.7348
log1.57≒0.1959
なので、

log(5.43×1.57)=log5.43+log1.57≒0.9307

となります。
ここで、0.9307に近い対数をもう一度常用対数表を用いると、
log8.52≒0.9304
log8.53≒0.9309
なので、これより、
8.52<5.43×1.57<8.53
ちなみに、5.43×1.57=8.5251です。
である、と分かります。(8.52<<5.43×1.57<8.53です)

これなら、足し算を一回行うだけで大丈夫です。
後は先人が常用対数表を作っていてくれていれば問題ありません。

計算ひとつぐらいなら、筆算をやってもいいのですが、とくに天文学者は、このような計算を、膨大な数行わなければなりません。
天文学の測定値は、せいぜい有効数字3桁かそのくらいなので、このぐらいの近似で十分です。

もう少し精度が必要な場合は、それに応じた常用対数表をつかえばよいでしょう。



これと同じ要領で、

2.34×3.79

を計算してみましょう。

log(2.34×3.79)=log2.34+log3.79≒0.3692+0.5786=0.9478

log8.86<<0.9478<log8.87

より、

2.34×3.79≒8.87

ここで、2.34×3.79=8.8686なので、これで十分でしょう。

このように、常用対数は、計算を簡単にする、という重要な役割を持っていたのです。


↓↓常用対数表が好きになったら↓↓
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2008.08.06 (Wed)

昔の暗号

次の漢詩をご覧ください。
(七言律詩・横書き)

元宵 朱海洪
東風拂面催桃
鷂鷹舒翅展
玉盤照海熱涙
遊子登思故國
休負生報國志
有我勝萬金
起直追振華夏
且待神洲遍地春


 これは、アメリカにいた中国人留学生、朱海洪氏の作です。

 普通に読むと、これは、春の訪れを待つ愛国的な留学生の気持ちが伝わってくるような詩ですが、こんなことが問題なのではありません。

 右上から斜めに読んでいく、つまり、赤字の部分を拾って読んでいくと、
「李鵬下臺平民憤」
と読めます。

 現代語訳すると、「李鵬が辞めれば一般民衆の怒りが収まる」というような意味です。
 明らかに批判ですね。


 このような「暗号」というようなものは、多くあります。

ここで、「折り句」を見てみましょう。

これはご存じですね?

「唐衣 きつつなれにし つましあれば はるばるきぬる 旅をしぞ思ふ」

これは、伊勢物語に出てきますね。在原業平の詠んだ歌です。
掛詞(ex.「妻」と「褄」)の話は、ここでは無視します。

これが代表例ですね。

五・七・五・七・七のそれぞれの頭文字をとると、
「か」「き」「つ」「は」「た」
となります。

この歌は、「かきつばた」という五文字をそれぞれの句の頭に添えよ、という条件付きで詠まれた句です。とっさにこんな歌を思いつくのも、やはりすごいことですね。

しかし、これよりもっとすごいものがあります。
折句の、沓冠(くつかむり)と言われるものですね。

二人のやり取りです。

「よもすずし ねざめのかりほ たまくらも まそでの秋に へだて無きかぜ (兼好)」

「よるもうし ねたくわがせこ はては来ず なほざりにだに しばしとひませ (頓阿)」


()内は、詠者の名前です。

まず、先ほどと同じ要領で、吉田兼好の詠んだ歌の頭文字をとっていくと、
「よ」「ね」「た」「ま」「へ」
となります。
そして、次はそれぞれの末尾の文字を下からかえって読むと、
「ぜ」「に」「も」「ほ」「し」
となります。
「よねたまへ ぜにもほし」
つまり、
「米たまへ 銭も欲し」
ということです。

それに対して、頓阿の歌は、
頭文字をとると、
「よ」「ね」「は」「な」「し」
末尾は、
「せ」「に」「ず」「こ」「し」
濁点などはそこまで厳密ではないので、意味が通るようにすると、
「こめはなし ぜにすこし」
つまり、
「米はなし 銭少し」
ということになります。


「米が欲しい、お金もない」と言われて、「米はない、金も少ししかもっていない」と返す、というだけのことなのかもしれませんが、これは恐ろしいですね。こんなやり取りが…

そういえば、もう有名だとは思いますが、「いろは歌」ですね。

いろはにほへと
ちりぬるを
わかよたれそ
つねならむ
うゐのおくやま
けふこえて
あさきゆめみし
ゑひもせす

ですが、これを七文字ずつで区切り直すと、


となり、赤字の部分をたどって読むと、
「とかなくてしす」
つまり、
「咎無くて死す」(とがなくてしす)
ということになります。

これは、「無罪の罪で死んでいく」という意味にとることができます。

無実であるにもかかわらず冤罪で殺されるのです。

そう考えると、かなり意味深ですね。

また、この並び順で、それぞれの五文字目(「す」除く)を読むと、

「ほをつのこめ」
つまり、
「本を津の小女」
と読むことができます。

「咎無くて死す 本を津の小女」
と読めば、
「私は無実の罪で殺される。この本を津の妻へ届けてくれ」という解釈もできます。


いろは歌は、弘法大師が作ったという説がありますが、その可能性は低い、ということです。

「諸行無常、是生滅法、生滅滅已、寂滅為楽」という意味である、ともいわれます。

謎が多い歌なのです。


いろいろとこのようなものを探してみても面白いでしょう。

それでは。


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2008.08.05 (Tue)

作図可能と代数

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

今日は幾何学の視点から、題名の話題について述べましょう。

代数で、+,-,×,÷,√を使って表される数は、作図が可能です。


a+b,a-b
まず、+と-ですが、これは二つの線分(長さ)が与えられていたらすぐにできますね。
これは問題ないでしょう。

ab.png
長さa,b,1が与えられていたときのabの作図です。
別に、CD⊥AB,BE⊥ABである必要はありません。
CD//BEであれば大丈夫です。
なぜBEが長さabを与えるかは、相似比に着目すればわかるでしょう。

div.png
こちらはa/bの作図です。
先ほどの乗法の場合と同じ考え方ですね。
点の名前の使い方に一貫性がないのはご了承ください。
断わっておきますが、CE//BDです。

div2.png
赤い円は、半径a、青い円は、半径1で、どちらも中心は原点Oです。
AB,CD,EFは、それぞれ、いずれかの円の接線となっています。
図から確認してください。
このとき、
線分CDがb/a
線分EFがa/b
を与えています。

これも、先ほどと同じように、相似から明らかでしょう。

実は、これは、自分で思いついた作図法です。

tan(90°-θ)=1/tanθ

という公式をヒントに思いつきました。

分かりますよね?

root.png
最後に、√aの作図です。
これは、前回の記事をご覧ください。
CDが1とaの相乗平均(幾何平均)を与えていると考えてください。このようになります。


このように、代数で、+,-,×,÷,√を使って表される数は、作図が可能なのです。

ということは、どんなに複雑な図形でも、それによって作られる方程式の解が作図可能なら、その図形も作図可能、というようにも考えられます。

どうでしょう?

作図の面白さ、伝わってきましたか?


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2008.08.04 (Mon)

図形で考える代数(平均)

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら
(相加平均)≧(相乗平均)
というのはご存じですね?
(a+b)/2 ≧ √(ab)
(等号成立はa=bのとき)
というものですが、下の図(半円、中心C)から一目瞭然です。(a+bは直径です)
相加・相乗
三角不等式より、
(a+b)/2 ≧ √(ab)
(等号成立はa=bのとき)
というのはすぐわかりますね。

一応、長さの確認だけはしておきましょうか。
図の半円の直径はa+bであることから、半径は(a+b)/2
CPは半径であるから、
CP=(a+b)/2
ここで、CH = (a+b)/2 - a = (-a+b)/2
三平方の定理より、
HP2=CP2-CH2

=(a+b)2/4 - (-a+b)2/4

=4ab / 4

=ab

HP>0,a>0,b>0より、

HP=√(ab)
これでいいですね。
a=bであったら、点Hと中心Cが一致することになるので、PH=PCとなります。

それでは次です。
(相加平均)≧(調和平均)
をご覧ください。(→調和平均
これも一目瞭然ですね。

相加・調和
 任意の長さの線分ACを描き、AB⊥AC,AB=aとなるような点Bと、CD⊥AC,CD=bとなるような点Dを、どちらもACに関して同じ側にとる。ACの中点をMとし、Mを通り線分ACに垂直な直線を描き、その直線と線分BDの交点をNとする。線分MNの長さが、aとbの相加平均(a+b)/2である。
 また、線分BCと線分ADの交点をGとし、Gから線分ACに下ろした垂線の足をEとする。また、直線EGと線分BDの交点をFとする。線分EFの長さが、aとbの調和平均(2ab)/(a+b)である。

 調和平均のもともとは
2/{(1/a)+(1/b)}
ですが、式変形して
2ab/(a+b)
なので、こちらで書き表します。
MNがなぜ相加平均を与えるかはすぐにわかると思いますので、こちらの方は省かせてもらいます。

<<EFが調和平均を与える理由>>
△ABG∽△DCG(∵二角相当)より、
BG : CG = AG : DG = AB : DC = a : b ・・・※
である。

ここで、
△CGE∽△CBAであり、※より、相似比はb : (a+b)であることが分かる。
また、AB=aであるので、EG=ab/(a+b)

また、
△BGF∽△BCDであり、※より、相似比はa : (a+b)であることが分かる。
CD=bであるので、FG=ab/(a+b)

よって、EF=EG+FG=2ab/(a+b)

以上より、EFがaとbの調和平均を与える。

a=bのときは、EFとMNが一致するので、(相加平均)=(調和平均)となるのもすぐわかりますね。
今日紹介した図は、作図も簡単にできるようなものです。

代数で用いられるような公式が、このように、幾何的に、そしてそれは視覚的に理解できるのです。
面白いと思いませんか?

今度、「作図可能」と「代数」について述べたいと思います。お楽しみに。


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2008.08.02 (Sat)

注意事項

 これまで様々な記事を更新してきましたが、いちいち断り書きを書いているのもあまり能率的ではないので、このように、このブログ内での決まりを作ることにしました。
 そうはいっても、特別な記号や、このブログだけでしか通用しないような表現は使いません。一般的に使われるようなものです。
 
 基本的に、下に挙げた事柄は、今後の記事で断り書きがなければ、この場の定義で使用している、ということです。違う定義をする場合は、その時に断り書きをします。


 尚、この記事は適宜更新されます。

  • + : プラス(加法の記号)
  • - : マイナス(減法の記号)
  • ・ : 乗法の記号、ベクトルの内積
  • × : 乗法の記号、ベクトルの外積
  • / : 除法の記号
  • ∽ : 相似
  • ∠R : 直角
  • i : 虚数単位
  • π: 円周率
  • e : ネピア数
  • Σ[ k=1,n]ak : 数列の項a1からanまでの和
  • Π[ k=1,n]ak : 数列の項a1からanまでの積
  • ↑: ベクトル
  • lim[n→∞] : 極限
  • ∫[a,b] : 区間[a,b]における定積分






また、このブログではカテゴリ分けをしていますが、大雑把なものですので、このことに関してはあまり参考になさらないほうがよろしいかと思います。

なお、ブログの特性上、それぞれの記事は適宜改訂がされることがありますので、ご了承ください。

21:16  |  お知らせ  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.08.01 (Fri)

「よく起きること」は全然起きない

 現代を生きる日本人は、現代の日本語について、他のどの言語を母語にもつ人々よりも、日本語のプロフェッショナルであるはずです。そうでなければいけません。欧米諸国の言語学者に、日本人よりも日本語をよく知っている人がいては、こちらの顔が立ちません。
 しかし、プロフェッショナルでも、間違うことはよくあることです。弘法も筆の誤り、河童の川流れ、猿も木から落ちる、などと言いますが、まさにその通りです。
 そして、私たちは、「よくある間違い」「珍しい間違い」というようなものに分類してしまいますが、果たして、それは正しいものなのでしょうか。
 ここでは、「言い間違う」ということを例にみていきましょう。
 まず、一般的に「よくある間違い」と言われるような事柄を見ていきましょう。夜に朝の挨拶をする、といったような時間的錯誤による間違いや、カタカナ語を言い間違う、など、「噛む」という行為などが挙げられます。
 そして、「珍しい間違い」ですが、たとえば、「二つの言葉が混ざってしまう」や、「イメージだけで、もととは全く違う言葉を放ってしまう」などというようなものがあります。
 しかし、これらの分類は本当に正しいのでしょうか?
 つまり、本当に夜に「おはようございます」と言ってしまうことがよくあることであり、「チンピラをキンする」(←金平をチンする)と言ってしまうというようなことは、本当に、稀なことなのでしょうか?
 そう考えると、疑わしいことですね。一般に、「よくある」と言われていることは、あまりないような気がします。そして、後者のような間違いの方が、聞くことが多いのではないのではないでしょうか?
 
・・・といろいろと書きましたが、本当にそう思います。
それにしても、日本語って、難しいことも多いですね。

「富がヘンザイする」

と言われても、意味は掴めません。

富が、「あちこちに遍く(あまねく)存在している」(「遍在」)ということなのか、
富が、「偏って存在している」(「偏在」)ということなのかは、理解しかねます。

後者の方が、よく言われるかな、というくらいで、本当にどちらの意味なのかは、わかりません。

「偏在」と「遍在」、漢字もよく似ており、発音は全く同じ。しかし、意味は殆ど逆。本当にややこしいですね。


「人見知り」と「顔見知り」というのも、逆のような意味ですね。
「人見知りの犯行」と言われても、すぐに違和感を感じることができないかもしれません。
これ、どんな犯行ですか?


日本語って、やっぱり複雑ですね。



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