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2008.09.30 (Tue)

いろんな公式

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ

ただ単にいろんな公式も説明もなしで羅列していくだけです。
あなたはいくつ、何のことか分かりますか?

E=mc2
F=ma
V=|(a↑×b↑)・c↑|
c2=a2+b2-2ab・cosC
PV=nRT
D=kT
(cosθ+i・sinθ)n=cos(nθ)+i・sin(nθ)
  (n∊N)
1/a + 1/b = 1/f
F=kx


そういいながらも疲れてきたので数は少ないのですがこれまでです。
さようなら。


↓↓日本に「相対性理論」の本が入ってきた際は、「相対する性の理論」と勘違いした人が多く、本は結構売れたらしい↓↓
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23:34  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.09.29 (Mon)

喧々囂々と侃々諤々

喧々囂々(けんけんごうごう)・・・発言が多くてやかましいさま。たくさんの人が口々にやかましくしやべる様子。
侃々諤々(かんかんがくがく)・・・何の遠慮もせず盛んに議論すること。


なので、
「司会者の失態が原因で、場は喧々囂々、収拾のつかない状態になってしまった」
「大学の教授たちは酒宴の席で、夜通し侃々諤々、自分の専門分野について議論していた」

などのような使い方です。


喧々囂々と侃々諤々は似通った言葉なので、二つは混同されてしまいがちで、その誤用から、
「喧々諤々(けんけんがくがく)」という言葉も生まれてしまいました。
どちらかといえば、喧々囂々と同じような意味です。

分かりましたか?
それでは。


↓↓犬犬ゴーゴー!!↓↓
23:19  |  国語  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.09.27 (Sat)

すみません。

今日はすみませんね。

というわけで、一言。

喧々囂々
侃々諤々

違いはなんでしょう?お答えください。(答えは月曜日)
23:29  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.09.26 (Fri)

9/25解答

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ

前回の記事をご覧ください。
どこが間違いか分かりますよね?

結局、例の証明で証明できていることは、

「自然数は無限に存在する」

ということでしかありません。


つまり、下の証明をしていたのです。

自然数が無限に存在することの証明

(証明)
背理法で証明する。
自然数は有限個しかないとすると、
最大の自然数Mが存在する。

ここで、明らかにM>1であるので、
M2>M
であり、
自然数は乗法について閉じているので、
M2は自然数である。

しかし、これはMが最大の自然数であることに反する。

故に、自然数は無限に存在する
(Q.E.D.)



どうでしょう。「1が最大の自然数」を、「自然数は無限に存在する」に言葉を置き換えたくらいです。
これならしっくりくるでしょう?


昨日の証明は、「自然数は有限個しかない」ということを大前提に証明していたのです。
自然数は、無限に存在するものですよね?このことを忘れてはいけないのです。


分かりましたか?

それでは。

↓↓はい。↓↓
22:01  |  論理学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.09.25 (Thu)

間違い探し ~すぐに見抜け!~

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
速攻で間違いを見抜いてくださいね。
お願いしますよ。
友達に情報提供してもらいました。

1が最大の自然数であることの証明

(証明)
背理法で証明する。
1が最大の自然数でないとすると、
1より大きい最大の自然数Mが存在する。

ここで、M>1であるので、
M2>M
であり、
自然数は乗法について閉じているので、
M2は自然数である。

しかし、これはMが最大の自然数であることに反する。

故に、1が最大の自然数である。
(Q.E.D.)


それでは、スタート!!(もう既に気付いているとは思いますが)


↓↓速攻!!↓↓
22:53  |  論理学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.09.24 (Wed)

鳩ノ巣原理を使う

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
「言ってみれば当たり前」の鳩ノ巣原理、意外と奥が深いですね~


次のような問題もあります。

「一辺が3mの正方形の形をした畑に、木を植える。
木一本一本の間隔を必ず1.5m以上に保つとき、
畑には最大で何本の木を植えることができるか?」


ここでも、鳩ノ巣原理が有効です。




まず、感覚的に9本は植えることができそうだということは分かりますね?
実際に、四隅に4本を植え、それぞれの辺の中点に4本、そして、真ん中(対角線の交点)に1本植えると、1.5m以上の間隔をあけることができますね。


それでは、一度この正方形の畑を一辺が1mの正方形のブロック9つに分割してみましょう。
すると、1つのブロックに1本ずつ、木が配置されていますね。

10本目を植えると、鳩ノ巣原理より、その10本目がどこに植えてあろうと、どこかのブロックには2本の木が植えてあることになります。

一つのブロックは、一辺が1mの正方形の形をしているので、一番距離のある対角線の端と端を見ても、距離は√2≒1.41421356
ほどしかなく、1.5mに満たないことがわかります。

つまり、10本目を条件に合うように植えることは不可能だということです。


分かりましたか?

それでは。

↓↓鳩ノ巣が好き↓↓
18:32  |  論理学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.09.23 (Tue)

おことわり

すみません。
このブログには私事は書かないつもりでしたが、最近内容の薄い記事があまりにも続いてしまったため、この場をお借りしてお詫び申し上げたいと思います。
文化祭の波が収まり次第、これまでのように更新を続けていきたいと思いますので、これからもどうぞよろしくお願いします。
23:29  |  お知らせ  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.09.22 (Mon)

綱引き

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ


足元に、摩擦力を。
摩擦力があればあるほど、勝利が近づきます。
それでは。

↓↓μmg,μ'mg↓↓
22:08  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.09.20 (Sat)

作図可能と代数5

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ

さて、今回解説するのは、前回導き出した方程式、

Xの三次方程式
X3-3X-2cos3θ=0
を解け

という問題ですね。


(解答)
3倍角の公式より、cos3θ=4cos3θ-3cosθ

∴X3-3X-2cos3θ=X3-3X-8cos3θ-6cosθ=0

このとき、
ƒ(X)=X3-3X-8cos3θ-6cosθ
とおくと、
ƒ(2cosθ)=0
となるので、
因数定理より、
X3-3X-8cos3θ-6cosθはX-2cosθを因数にもつ。

∴X3-3X-8cos3θ-6cosθ

=(X-2cosθ)(X2+2cosθ・X+4cos2θ-3)=0

2+2cosθ・X+4cos2θ-3=0のとき、解の公式より、

X=-cosθ±(√3)sinθ

三角関数(単振動)の合成をおこなうと、

X=2cos(120°±θ)



よって、方程式の解は
X=2cos(120°±θ),2cosθ



分かりましたか?
それでは。

↓↓分かりました↓↓
23:16  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.09.19 (Fri)

作図可能と代数4

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ


それでは、以前の問題を解決していきましょう。

以前紹介した方程式は、実は「角の三等分が作図でできる角」というものを求めていたのです。

まずは、下の図をご覧ください。

three

まず、3θ=∠AOBが与えられているものとします。

このとき、Oを中心として半円を描きます。このときの半円の半径を1とします。
そして、直線OB上に点Cをとり、直線ACを描きます。
ACと半円Oの円弧との交点のうちAでない方をDとします。
このとき、DC=1となるようにするものとします。

すると、OB=OD=DCとなります。

∠DCO=∠DOC=α
とします。

すると、∠ODA=∠DCO+∠DOC=2α
となります。

そして、OD=OAであるので、
∠ODA=∠OAD=2α
となります。

∠DOC+∠DOA+∠AOB=180°
であるので、
このことと△ODAに着目すると、

∠DOC+∠AOB=4α

であることが分かります。

∠DOC=α

であるので、

∠AOB=3α

です。

∠AOB=3θ

であるので、

3α=3θ

よって、

α=θ

∠AOB=3θ,∠DCO=θであるので、

∠DCOは∠AOBを三等分した角です。


まずは、このようにして角の三等分ができましたが、この図を見る限り、与えられた∠AOB=3θに応じた長さの線分OCが作図できれば、∠ACO=θになるということです。

よって、∠AOBの三等分が作図可能ということは、線分OCが作図可能であるということと同値です。


それでは、OC=Xとおきましょう。
また、DF=AF=Y,OG=aとおきます。
そして、図に示したように点E,F,Gをとります。

すると、
△CDE∽△COE∽△DAG
となります。

よって、

1:(X/2)=X:(1+Y)=(1+2Y):(X+a)

です。

これより、

X2/2=1+Y ・・・(i)
(1+Y)(1+2Y)=X(X+a) ・・・(ii)

ということが分かります。
(i)式より、

Y=(X2+2)/2

これを(ii)式に代入すると、

X3-3X-2a=0

という方程式が導き出されます。

aという線分の長さは、与えられる角3θに依存し、
a=cos3θであるので、

X3-3X-2cos3θ=0

という式が導かれ、これが以前出題した方程式です。



さあ、分かってきましたでしょうか?

ちなみに、この方程式の解き方はまた後日。

それでは。



↓↓今日も終わりっ!↓↓
22:29  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.09.18 (Thu)

π

(http://www.kisaragiweb.jp/pi/himajin.htmより)
3.
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196
4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094
3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912
9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132
0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235
4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859
5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303
5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

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2008.09.17 (Wed)

算数の問題 解答

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
前回の問題ですね。ゾロ目の問題です。

次の条件を満たす□(1以上1000以下の整数とします)はいくつあるでしょう。


条件:□の倍数の中に『各位の数字がすべて同じ整数(例えば、33や777といったもの)』が存在しない


それでは、解答です。

(解答)
(□をXとおいて考えます)
条件より、Xは1以上1000以下の自然数

Xの倍数を kX (kは整数)とおく。


kXが「ゾロ目」(各桁の数がすべて同じ)であるとき、それは、1以上9以下の整数aを用いて、

kX=11・・・11a

と表すことができる。


ここで、11・・・11は1がm個(mは自然数)並んでいるものとする。

このとき、11・・・11は明らかに2の倍数でも5の倍数でもない。

よって、Xが2の倍数又は5の倍数であるとき、kXがゾロ目になるためには、aはkXと同じだけ2又は5を因数(素因数)に含まなければならない。

ここで、例えばX=23=8のとき、11・・・11aは8の倍数となり、これを満たすaはa=8ただ一つのみ存在するが、
X=24=16のとき、11・・・11aは16の倍数となりえない(∵aは1以上9以下の整数)

よって、Xが16の倍数のとき、Xの倍数kXはゾロ目にはなりえない。


同様に考えて、Xが25(=53)の倍数のとき、Xが10(=5・2)の倍数のときも、
Xの倍数kXはゾロ目にはなりえない。



ここで、Xが2の倍数、5の倍数のときは上で吟味したが、他の倍数の場合を考える。


次の数列を考える。(bは2の倍数でも5の倍数でもない自然数)

1,11,111,1111,11111,・・・,11・・・11(1がb+1個並ぶ)

上の数列は、全部でb+1個の項が並んでいる。

上のb+1個の数をそれぞれを b で割った余りを考えると、

鳩ノ巣原理より、少なくとも一組は b で割ったあまりが等しい二数の組が存在する。

例えば、
その二数を
11・・・11・・・11と11・・・11
であるとする。

このとき、この二数の差は必ず b で割りきることができる。

この二数の差は、

11・・・11・・・11 - 11・・・11 = 11・・・1100・・・00

となる。

11・・・1100・・・00 = 11・・・11×100・・・00

であるが、100・・・00と b は、互いに素である。
(∵bは2の倍数でも5の倍数でもない自然数)

よって、上の数が b で割り切れることより、11・・・11は b の倍数であることが分かる。

つまり、2の倍数でも5の倍数でもない自然数の倍数は、必ずその中にゾロ目であるものを含む。


以上より、
1以上1000以下の整数の集合をU
Uの部分集合で、
16の倍数である整数の集合をA
25の倍数である整数の集合をB
10の倍数である整数の集合をC
とすると、求めるものは

n(A∪B∪C)
=n(A) + n(B) + n(C) - { n(A∩B) + n(B∩C) + n(C∩A) } + n(A∩B∩C)

=170

となる。

よって、条件を満たすX(□)は、
170個



どうでしょう?分かりましたか?
それでは。


↓↓分かりました↓↓

23:12  |  整数-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.09.16 (Tue)

算数の問題

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
数学と言っても差し支えありませんが。
なので、数学の問題として扱います。

次の条件を満たす□(1以上1000以下の整数とします)はいくつあるでしょう。


条件:□の倍数の中に『各位の数字がすべて同じ整数(例えば、33や777といったもの)』が存在しない



1000以下の自然数nの倍数にゾロ目がないときのnは全部でいくつあるでしょう、とのことです。

それでは。

↓↓難問です↓↓
22:42  |  整数-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.09.15 (Mon)

作図可能と代数3

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ


前回問題提起だけで終わったこの問題、
「xの方程式
x3 - 3x - 2cos 3θ=0
(0°≦θ≦360°)
の解のうち、
xが無理数(二乗根)の範囲までの比(分数)であらわすことができる解を持つとき、
これを満たす整数の角度θの値を求めなさい」

というものですが、答えだけを簡単に示していきたいと思います。


まず、この方程式の解は、
x=2cosθ,2cos(120°±θ)
です。

例えば、θ=30°のとき、cosθ= √3 / 2 となるので、
x=√3
が一つの解となり、これは、問題文を満たすxの解であるので、θ=30°が題意を満たすθの一つということになります。

ほかに、45°60°90°120°135°150°180°210°225°240°270°300°315°330°360°(これは、x=2cosθの解を考えた時に、題意を満たすθ)
なども考えられます。


ここでお詫びです。

出題の時点でミスをしておりました。

まず、今回は訂正しましたが、θは整数の角度(度数法)です。
また、0°≦θ≦120°
で考えるべきでした・・・


なぜなら上の問題で求めたθの三倍の角度、3θは、
作図によって角の三等分ができる角
であるからなのです。

だから、上の問題では、θ=15°も題意を満たしますが、この三倍の角、3θ=45°は、作図によって三等分ができます。

他にも135°も三等分できることが分かります。他にもたくさん分かりますね。


では、何故この方程式を解けば、このように「作図可能」の問題と結び付けられるのでしょうか?


↓↓終わりっ!↓↓
21:54  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.09.13 (Sat)

作図可能と代数2

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ

以前、作図可能と代数で、
代数で、+,-,×,÷,√を使って表される数は、作図が可能
と言いました。

「二次方程式を繰り返しといていくことによって得られる範囲の数」ならば、定木とコンパスで作図が可能なのです。

つまり、二次方程式、又は、一次方程式のみの問題に帰結できるならば、それは作図可能です

・・・と、少々分かりにくい表現になってしまいましたが、これは頭の片隅にでも置いておいてください。





それでは兎に角、次の問題をお解きください。

「xの方程式
x3 - 3x - 2cos 3θ=0
(0°≦θ≦360°)
の解のうち、
xが無理数(二乗根)の範囲までの比(分数)であらわすことができる解を持つとき、
これを満たすθの値を求めなさい」


すみません、拙い文章で…

つまり、「x=1/√2」などのように表せる解をもてばよいわけです。


今日はこのように問題提起だけで終了させていただきます。


それでは。


↓↓え~!!↓↓
21:41  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.09.12 (Fri)

関数 6.逆関数

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
←「5.関数」へ

逆関数とは、基本的には、以前の「逆関数の考え方」で紹介したもの(逆写像)とは同じですが、すこしお復習いしましょう。


「逆写像」・・・ ƒ:X→Y に対して、 g:Y→X が存在すれば、これが逆写像です。
逆写像が存在するための必要十分条件は、
「上への1対1写像であること」です。

集合X,Yが共に数の集合であるとき、上の「写像」という言葉は、「関数」という言葉に置き換えられます。


つまり、逆関数が存在するための条件は、その関数が
「上への1対1対応であること」ですが、抑(そもそも)、関数といった時点で、「定義域」(xの範囲)に対し「値域」(yの範囲)が定められており、また、グラフを見てもわかるとおりに、「上への」という条件は満たしています。
あとは、「1対1」であれば、その関数には逆関数が存在します。


逆関数が存在するには、その関数が、定義域のすべてにおいて
「単調増加」又は「単調減少」である必要があります。

ですから、例えばƒ(x)=x2という関数があるとし、この定義域を、
「xは全ての実数」とすれば、関数全体として単調減少でも単調増加でもないので、逆関数は存在しません。

それに対し、定義域を「xは0以上」としたならば、この関数全体では単調増加になるので、逆関数が存在します。

逆関数は、
「y=ƒ(x)のxとyを入れ替え、もう一度y=g(x)の形に直す。この際、定義域と値域も入れ替える」
ということをします。
このとき、g(x)はƒ(x)の逆関数であり、g(x)のことを、ƒ-1(x)、読み方は、「エフ インバース エックス」といいます。

よって、ƒ(x)=x2(x≧0)の逆関数は、
y=x2とし、yとxを入れ替えて、x=y2とし、これを「y=」の形に直します。
このとき、もとの関数の定義域はx≧0、値域はy≧0なので、これを入れ替えて、逆関数の定義域はx≧0、値域はy≧0(そのままでしたね!)ということが分かります。
これより、x=y2は、
y=√x
ということが分かります。



また、逆関数は、
「直線y=xに関して対称」という性質があります。

今回はここまでです。

それでは。

「7.合成写像・合成関数」へ→

↓↓逆関数好き↓↓
22:23  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.09.11 (Thu)

関数 5.関数

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
←「4.写像 上への写像、中への写像」へ

それでは、「関数」です。
数学の定義では、写像ƒ:X→Yにおいて、集合X,Yがともに数の集合のとき、これを特に「関数」と呼んでいます。

例えば、ブラックボックスの左側にある自然数を入れると、右側からは、左側に入れられた自然数に1加えたものがでてくるとします。

1→■→2
2→■→3
3→■→4
4→■→5
・・・
といった具合です。

このとき、左側に入れるものも、右側から出てくるものも数です。このとき、もちろんこれは写像なのですが、特に「関数」というのです。

今の例の場合、左側から入力する数字を x 、右側から出力される数字を y とすると、
y=x+1
と表せます。

この例の場合は、常に、yはxに1を加えた自然数である、ということが成り立ちます。
それでは、ブラックボックスの働きはどう説明すればよいでしょうか?
「左側から入力された自然数に1加え、右側から出力する」
という作業をしているのが、このブラックボックスです。

つまり、「左側から x という自然数が入力された時、右側から x+1 を出力する」ということです。
この作業を式であらわすと、

ƒ(x)=x+1

と表せます。

ƒというブラックボックスの中に、x という数を入れる←ƒ(x)と、
右側からは x+1 が出てくる、ということを表しているのです。

よって、
ƒ(1)=1+1=2
ƒ(2)=2+1=3
ƒ(3)=3+1=4
・・・
ということになるのです。



「6.逆関数」へ→



↓↓関数好き↓↓
22:40  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.09.10 (Wed)

連絡

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ


今日はすいません。

連絡事項だけでお願いします。


交流掲示板<http://penpenpensama.hp.infoseek.co.jp/Go.html>の存在をよろしくお願いしますね。

それでは。

↓↓ブーイング↓↓

22:37  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.09.09 (Tue)

関数 4.写像 上への写像、中への写像

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
←「3.写像 1対1写像」へ

今回は上への写像と中への写像です。

onto写像とinto写像ともいいます。


まずは中への写像から。

たとえば、ブラックボックスに左から、「ある学校の1年A組の生徒の名前」を入れます。すると、右側からは、その人の出席番号である「自然数」がでてきます。

愛内海人→■→1
赤木博→■→2

といったような感じです。

左側の、「ある学校の1年A組の生徒の名前」は、明らかに有限ですね。無限の人数のいるクラスなどはありえませんから。
それに対して、右側の、「自然数」は無限です。

しかし、左側に、その要素(生徒の名前)の何を入れても、右側からは、必ず、一つだけ対応する自然数が出てきます。
だから、これは写像であるのです。

左側の「ある学校の1年A組の生徒の名前」という集合をX、
右側の「自然数」という集合をY
とします。

Xという集合があり、その右横にYという集合があると考えてください。

左側から、Xに光を当てると、影がちょうどYの内部の一部にできると考えてください。この状況が、「中への写像」なのです。

つまり、Yの要素の中には、Xの要素と対応していないものがある、という状況が、「中への写像」です。


次は、上への写像です。

今度は、Xに左側から光を当てると、影がちょうどYと一致すればよいのです。

つまり、Yの要素すべてが、Xの要素と対応している状況です。

日本の都道府県名に、その都道府県庁所在地を対応させるのももちろん上への写像ですが、日本の都道府県名に、その属する地方(小学校で習う「地方」の区分です!)を対応させるのも、上への写像です。

1対1対応ではありませんが、Xの要素すべてにYが一つずつ対応し、また、Yの要素すべてに、Xの要素が一つ以上対応しています。


写像は、

「上への写像」であるのか、「中への写像」であるのか

「1対1写像」であるのか、そうでないのか

などによっても分けることができます。


そして、逆写像(以前、『逆関数』としてお話したことです)が作れるのは、このうち
「上への1対1写像」であるものだけです。


次回からは、数を扱う、「関数」へと進んでいきましょう。

それでは。


「5.関数」へ→

↓↓写像好き↓↓
22:38  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.09.08 (Mon)

9/6別解・平成教育学院

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
問題:1~90の数字が書いてあるのくじが各1枚ずつ、全部で90枚あり、その中から5枚取り出す。それらを数字の小さい順に並べるとき、連続した数が出ないのは何通りか?

という問題の別解ですね。
一つ目の解答はこちらです。

それでは早速解きましょう。
(解答)
85枚の白いカードを並べる。
このとき、両端を含み、間は全部で86個ある。
この86個の間から、5個の間を選び、黄色いカードをそこに置く。

左から順番に1~90までの数字をカードに書いていく。
すると、黄色いカードに書いてある数字は、必ず連続した数字にはならない。

よって、答えは、86個の間から5個の間を選ぶので、

86C5(通り)
=34826302(通り)

となる。
黄色いカードであることには必然性はありませんが。
つまり、問題文をこう読みかえるわけです。
85枚の白いカードと、5枚の黄色いカードが一列に並んでいる。
それらのカードに、左側から順番に1~90の番号を書いていくとき、黄色いカードに連続した数字が書かれないのは何通りか?

その5枚の黄色いカードを、最初の問題での「取り出す5枚」と考えればいいわけです。

ということは、結局は、この問題はこういうことなのです。

85枚の白いカードと、5枚の黄色いカードを一列に並べる。
このとき、5枚の黄色いカードが隣り合わないのは何通りか?


なんだか表現が簡単になりましたね。
これならだれでも解けますね。

こういうことなのです。






8/7放送の平成教育学院において、下のような問題が出題されましたね。

「桃色のゴムが5本、黒色のゴムが2本、黄色のゴムが8本、袋の中に入っている。
この中から、無作為にゴムを取り出すとき、必ず同じ色のゴムが2本以上含まれるには、少なくとも何本のゴムを取り出せばよいか?」


これの考え方こそが、
鳩ノ巣原理
ですね。(上記リンク参照)

ゴムの色の数を「鳩小屋の数」、取り出すゴムの数を「鳩の数」と考えれば、

「今、鳩小屋が全部で3つ存在する。鳩小屋の1つは最高で5羽、また別の1つは最高で2羽、残る1つは最高で8羽まで鳩は中に入ることができる。2羽以上の鳩が入っている鳩小屋が必ず一つ以上存在するには、全部で少なくとも何羽の鳩がいればよいか。ただし、ここに存在する鳩は全ていずれかの鳩小屋の中に入る。」

というように考えられますね。

このとき、鳩ノ巣原理の考え方を用いると、答えは「4本(4羽)」である、ということはすぐに答えられますね。



すぐに答えられなかった方は、鳩ノ巣原理の考え方をもっと身につけましょう。
即答できた方は、もう鳩ノ巣原理の考え方は身についているはずです。自信を持ってください。


考えてみれば簡単な問題なのですが、頭を捻ってしまった方もいらっしゃるかもしれません。

当たり前のことでも、いざ問題にされると、思わぬ難問になるかもしれませんね。

それでは。

次回からは、また「関数」の話に戻ろうと思います。


↓↓別に鳩ノ巣でなくてもいいと思ったら↓↓
21:29  |  論理学-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2008.09.06 (Sat)

質問への回答 To:Adamさん

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
問題:1~90の数字が書いてあるのくじが各1枚ずつ、全部で90枚あり、その中から5枚取り出す。それらを数字の小さい順に並べるとき、連続した数が出ないのは何通りか?
(解答)
小さい順に(a,b,c,d,e)と並ぶ5つの整数がある。
このとき、取り出したくじに書いてある数字が、小さい順に(a,b+1,c+2,d+3,e+4)であるならば、これらは連続した数ではない。

なぜなら、

たとえば(a,b,c,d,e)が連続した5整数であったとき、
(b+1)-a=2
(c+2)-(b+1)=2
(d+3)-(c+2)=2
(e+4)-(d+3)=2
であるので、(a,b+1,c+2,d+3,e+4)は連続した数ではない。

つまり、一般的に、(a,b,c,d,e)がどのような5整数の組であっても、
(b+1)-a≧2
(c+2)-(b+1)≧2
(d+3)-(c+2)≧2
(e+4)-(d+3)≧2
が成り立つのである。

よって、(a,b+1,c+2,d+3,e+4)が、左から小さい順に並んだ1~90の整数となる5つの整数の組(a,b,c,d,e)の総数を調べればよい。

a<b+1<c+2<d+3<e+4≦90

であるので、

a<b<c<d<e≦86

よって、5つの整数の組(a,b,c,d,e)の総数は、

86C5(通り)

=34826302(通り)

となる。



分かりましたか?
それでは。

↓↓分かった!↓↓
22:39  |  確率・場合の数-math  |  TB(0)  |  CM(3)  |  EDIT  |  Top↑

2008.09.05 (Fri)

誤差

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
誤差といったら、
(真の値)-(計測値)
という式で与えられます。

特に物理の実験には、多くの誤差が付き物です。

しかし、「真の値」とは一体何なのでしょうか?

物理での「真の値」とは、やはり、地球上の実験では、地球上での空気、重力、光度など様々な要因を考慮しての計算結果ですが、本当にその計算結果が「真の値」であるといえるのでしょうか?

実際の計測値こそが「真の値」と言った方がいいのでは?地球上の現象は、机上で議論できるようなものではありません。実際にやってみてこそ、「真の値」なのではないのでしょうか?


また、地球上には「世界一正確な時計」というのがあります。

その前に、現在の1秒の定義は「セシウム133(133Cs)の原子の基底状態の2つの超微細準位の間の遷移に対応する放射の周期の91億9263万1770倍に等しい時間」とのことです。

そして、その定義にも用いる原理を使ったセシウム原子時計というのも存在します。

しかし、もっと正確な時計があって、それが世界一正確な時計、次世代型光格子時計ですが、これにもまだ誤差があり、それは30億年に1秒という誤差です。

今現在世界で、いちばん精密な原子時計の精度は3000万年に1秒ですが、このくらいの誤差でも十分正確だと思います。これ以上の精密さを求めたところで、実生活には何の影響もないとも言えます。

しかし、この誤差は何との誤差なのでしょうか?世界一正確な時計でも、それに誤差があるならば、それは完璧な時計との誤差と考えるのが妥当なのでしょうが、完璧な時計があるならば、それが世界一正確な時計なのであり、完璧な時計のことを世界一正確な時計と呼んでいない限りは、完璧な時計などこの世に存在しないのでしょう。

う~ん、謎です。


↓↓時間に囚われない生き方をしたい↓↓
22:44  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(3)  |  EDIT  |  Top↑

2008.09.04 (Thu)

関数 3.写像 1対1写像

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
←「2.逆関数の考え方」へ

それでは、数学での定義で考えましょう。

今まで話していたことは、数学では「写像」といいます。
例のブラックボックスがそうです。あれが「写像」です。
よって、今まで「関数」として話してきたことを、そのまま「写像」という言葉に置き換えればよいわけです。

二つの集合X,Yがあります。

ある写像ƒを考えます。ブラックボックスのことだと考えてください。

Xの中の要素を一つ、ƒというブラックボックスの中に入れると、必ずYの中の要素の一つだけが出てきます。

このようなものでないと、写像とはいいませんね。

そして、これを、記号で

ƒ:X→Y

と表します。

ƒというブラックボックスの中にXの中の要素を入れるとYの中の要素が出てくる、というような意味です。

これまで何度も登場した、都道府県名に、都道府県庁所在地名を対応させる写像も、

ƒ:都道府県名→都道府県庁所在地名

このように表せるということです。


そして、写像には次の用語があります。


「中への写像」(onto写像)
「上への写像」(into写像)
「1対1写像」(One-to-One 写像)


1対1写像は分かりやすいですね。名前の通りです。
Xの要素とそれに対応するYの要素が1対1の関係にある、ということです。

1対1写像でない例をあげます。
前回の、「都道府県名にその地方名を対応させる」という写像です。(何度も言いますが、地方名とは、小学校で学習する地方の分け方です)

ƒ:都道府県名→地方名

です。

これは、Xの要素に対しては、Yの要素も一つしか対応しません(これが写像の定義です)が、Yのほうを見ると、一つの要素に対し、Xの多くの要素が対応してしまっています。

これは、1対1写像とは言いません。

ただし、Yの要素すべてがXの要素に対応している必要はありません。
少なくとも、Xの要素に対応するYの要素がかぶらなければ、それでよいのです。

このようなものは、1対1写像です。

X={a,b,c,d,e}
Y={25全てのアルファベットの小文字}

そして、ƒという写像を、「次のアルファベット」というように定義します。

つまり、左側からaを入力すると、右側からbが出てきます。

このとき、写像

ƒ:X→Y

は、1対1写像です。

「4.写像 上への写像、中への写像」→へ

↓↓写像もブラックボックス!↓↓



22:07  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.09.03 (Wed)

関数 2.逆関数の考え方

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
←「1.関数とは」へ
たとえば、次のブラックボックスを考えてみましょう。

京都府→■→近畿地方
宮城県→■→東北地方
熊本県→■→九州地方
香川県→■→四国地方


お分かりですね?
左側から入れられた都道府県が属する地方が右側から出てきます。
地方と言っても、北陸とか、信越とかという分け方は考えないことにします。
あくまで、小学校の時に習った、「あの」地方の分け方ですよ。
・・・曖昧ですみませんが、ご了承ください。

一つの都道府県に対し、一つの地方名しか対応しませんよね?

大阪府→■→近畿地方
青森県→■→東北地方
宮崎県→■→九州地方
愛媛県→■→四国地方


という具合ですね。

しかし、逆はどうでしょう?

■と全く逆の働きをするブラックボックスを□とします。
つまり、左側から地方名を入れると、右側からその地方に属する都道府県名が出力されます。

近畿地方→□→京都府、大阪府、三重県、和歌山県、奈良県、滋賀県、兵庫県
四国地方→□→香川県、愛媛県、徳島県、高知県

と、こんな具合に左側からは一つしか入力していないのに、右側から多くのものが出力されてしまいます。

もちろん、
北海道地方→□→北海道
と、一つしか出力されないものもありますが、これでは、必ずしも一つの入力に対し、一つの出力という関係が成り立ちません。

このような場合は、関数とは言えません。



それでは、次は左側から入力された都道府県名の都道府県庁所在地を右側に出力するブラックボックスを■とします。

北海道→■→札幌市
沖縄県→■→那覇市
滋賀県→■→大津市

このような具合です。
それでは、■の逆の働きをするブラックボックス□を考えます。
つまり、□は、左側から入力された都道府県庁所在地の属する都道府県を右側に出力するブラックボックスです。
すると、

札幌市→□→北海道
那覇市→□→沖縄県
大津市→□→滋賀県

というように、こちらも一対一対応になっております。
また、全ての都道府県庁所在地一つ一つに対して、必ず一つ一つの都道府県名が対応することも、明らかです。

つまり、■という関数の逆の働きをする□も、また関数であるのです。


このようなとき、□は■の逆関数であるといいます(数学的にはこの場合は逆写像ですが、このことは次回説明します)。

つまり、逆関数が存在するための条件は、
「一対一対応である」
「逆向きの対応を考えた時に、全ての要素に対して、対応するものがある」
ということがここまでのことで分かりました。

次回は、もうちょっと詳しくやりましょう。

それでは。

「3.写像 1対1写像」へ→

↓↓函数はおもしろい↓↓
22:36  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.09.02 (Tue)

関数 1.関数とは

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ

関数とは、いったいどのようなものでしょうか?
数学では、写像の一種ということです。
写像のうちで、特に数の集合に値をとるものが、関数だということですが、コンピュータの世界などでは、どれもひっくるめて「関数」と言われるようですね。
今回は、この広い意味での「関数」を説明します。

関数は、もともとは「函数」と表記されていました。
その名の通り、「函(箱)」なのです。

関数とは、ブラックボックスのようなものです。

ある材料を左側からブラックボックスの中に入れます。すると、右側から、その材料に応じた製品が出てきます。


たとえば、次のブラックボックスはどのような作業を表しているかお答えください。


(1)
京都府→■→京都市
埼玉県→■→さいたま市
愛媛県→■→松山市

(2)
午後3時→■→15時
午前9時→■→9時
午後8時→■→20時



分かりますね。

(1)は、左側から入力された都道府県名の都道府県庁所在地を右側に出力しています。
(2)は、左側から入力された12時間制の時間表示を24時間制に改めたものを右側に出力しています。

つまり、
(1)の■は、都道府県名を都道府県庁所在地名にする
(2)の■は、12時間制表示を24時間制表示にする
という作業をしています。


そして、この作業というものが、「関数」です。

左に材料を入れると、それに対応して、一つだけ右側から出てきます。

だから、「料理する」という作業は関数ではありません。


次のブラックボックスに材料を入れると、右側から料理されたものがでてきます。

すると、

卵をブラックボックスに入れると・・・

卵→■→目玉焼き、玉子焼き、スクランブルエッグ、ゆで玉子、etc.

などと多くのものが右側から出てしまい、これは関数とは言いません。

右側からは、ひとつしか出てきてはいけないのです。




数学では、このような作業は写像といい、左側から入れるものも、右側から出てくるものも共に数字であるときだけ、「関数」と呼ばれます。



今回はこれで終わりますが、また続けていきたいと思います。

このブラックボックスの喩えは、まだまだ続きます。それでは。

「2.逆関数の考え方」へ→


↓↓函数はブラックボックス!↓↓
20:57  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.09.01 (Mon)

挑戦状2

まさかいきなりドラマが打ち切られるとまでは思っておりませんでした。
世の中予想できないことばかりですね。
驚きです。
ytvは長い間コマーシャルを放送してましたが。

それでは、今回の挑戦状は
この問題です。
前の問題もご覧ください。

間違った解答をされた場合は、ヒントが表示されます。
何も分からない場合でも、何も書かないままで解答の送信ボタンを押せば、ヒントは表示されます。


正解率が0%や1%などでは話にならないので、どなたか、もっと正解してください。

本当にお願いします。


それでは。





↓↓お願いします。↓↓
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