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2008.10.31 (Fri)

一筆書き

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
意外にも、一筆書きについては、このブログ、一度も触れていないのですね。


図形のある一つの頂点に着目して、その頂点につながっている辺の数が奇数本の場合、その頂点を奇点、偶数本の場合を偶点と呼ぶことにします。

すると、有名どころかもしれませんが、一筆書きができるための必要十分条件とは、

「『その図形の頂点はすべて偶点である』
又は、
『その図形の頂点のうち2点だけが奇点で、残りはすべて偶点である』」

です。


上の二つの事柄は、同時に成り立つことのないことなのですが、その二つの場合について、何か違いがあるのでしょうか?



結論から言います。
違いはあります。
奇点が0個の図形と、奇点が2個の図形は、どちらも一筆書きができますが、

奇点が0個の図形は、どこからでも書き始めることができ、書きはじめた場所と、書き終わる場所は、必ず一致します。

しかし、奇点が2個の図形は、奇点から書きはじめないと一筆書きはできず、もう一方の奇点で終わる、つまり、書きはじめた場所(起点)と、書き終わる場所(終点)は異なります。

分かりましたか?


それでは。



↓↓一筆書きでした↓↓

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17:59  |  グラフ理論-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.10.30 (Thu)

170!





どうってことありません。
それでは。
21:58  |  お知らせ  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.10.29 (Wed)

直感と違う??確率

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
今回は、直感でお答えください。(cf.常識と違う??確率

問題です。

「サイコロ(のようなもの、つまり立方体)があり、6面のうち3面には赤い丸が、2面には青い丸が、残りの1面には黄色い丸が書いてある。
このサイコロを2つ用意し、同時に投げた時、考えられる出る色の組み合わせのうち、最も出る確率の高い組み合わせを答えよ」



直感でお答えくださいね。



やはり、
「赤-赤」
ですか?







基本的なことですが、出る色の組み合わせは、
(赤-赤)
(赤-青)
(赤-黄)
(青-青)
(青-黄)
(黄-黄)
ですね。




確率で考えるので、2つのサイコロをA,Bとすると、
A-Bの順番で考えて、

(赤-赤)・・・赤-赤
(赤-青)・・・赤-青 青-赤
(赤-黄)・・・赤-黄 黄-赤
(青-青)・・・青-青
(青-黄)・・・青-黄 黄-青
(黄-黄)・・・黄-黄


を考えなければなりません。

それぞれの確率を考えると、

(赤-赤)
3/6 × 3/6 = 9/36

(赤-青)
3/6 × 2/6 × 2 = 12/36
(A-Bの組み合わせが入れ替わったものがあるので2倍します。以下、AとBが異なるものは同様です)

(赤-黄)
3/6 × 1/6 × 2 = 6/36

(青-青)
2/6 × 2/6 = 4/36

(青-黄)
2/6 × 1/6 × 2 = 4/36

(黄-黄)
1/6 × 1/6 = 1/36

となるので、
確率が高い順に並べると、

(赤-青) 1/3
(赤-赤) 1/4
(赤-黄) 1/6
(青-青)(青-黄) 1/9
(黄-黄) 1/36

となります。

意外でしたか?

それでは。


↓↓意外でした↓↓

18:23  |  確率・場合の数-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.10.28 (Tue)

立体の大きさ

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
お訊ねします。
「同じ長さと大きさを持つマッチ棒を使って、正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体を作った。ただし、多面体の辺を一辺作るのに、マッチ棒は必ず一本のみを使うものとする。このとき、これら五つの立体を、体積の大きい順に並べよ」


どうでしょう?
面の数が多けりゃ立体も大きいというわけにはいきませんよ。




答えです。

正四面体、正八面体、正六面体、正二十面体、正十二面体の順番です。


同じ順番で、それぞれを頂点の数で表すと、


正四頂体、正六頂体、正八頂体、正十二頂体、正二十頂体

となります。



平面図形では、辺の数と頂点の数は一致するので、どちらで呼んでも(たとえば四辺形、三角形など)数字は一致するのですが、
空間図形になると、こちらも同じく辺と頂点の数が一致するのはするのですが、面の数とは一致しないので、
その図形を面の数で呼ぶか、頂点の数で呼ぶかで随分とイメージが変わってしまいます。

ご自分で図形を作って、お確かめください。

それでは。

↓↓立体の大きさ?↓↓
22:11  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.10.27 (Mon)

位数の法則

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
今回も合同式です。
まず、これにおける位数というものから説明しましょう。

整数aと自然数pにおいて、

ae ≡ 1 (mod p )

となる最小の自然数eを、aの(mod p における)位数と呼びます。

例えば、mod 7 では、
2の位数は3,
3の位数は6
となります。


そして、次のような法則が成り立ちます。


~位数の法則~
mod p でのaの位数を e とする。
このとき、an ≡ 1 (mod p ) ならば、n は e の倍数
とくに、p - 1 は e の倍数

証明しましょう。

(証明)
e は ae ≡ 1 (mod p ) となる最小の自然数 ・・・(i)
また、
an ≡ 1 (mod p ) ・・・(ii)
とします。
ここで、n を e で割った商を m ,余りを r とします。
すると、
n = em + r (0 ≦ r ≦ e ) ・・・(iii)
と表せます。
(iii)を(ii)に代入して、
aem + r ≡ 1 (mod p )
つまり、
(ae)m ar ≡ 1 (mod p )

ここで、(i)より、
ar ≡ 1 (mod p )
でないといけません。

しかし、r は e より小さく、 (i)よりe は ae ≡ 1 (mod p ) となる最小の自然数であることから、
r = 0
しか可能性はありません。

すると、(iii)より、
n = em
となります。

とくに、フェルマーの小定理から、
ap - 1 ≡ 1 (mod p )
であるので、 n = p - 1
とおけば、
e は p - 1 を割り切ることがわかります。

以上より、位数の法則は示されました。
(証明終)


どうでしょう?
これは、とても便利な法則ですね。

今回はここまでです。

それでは。

↓↓China↓↓
21:03  |  整数-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.10.25 (Sat)

合同式3

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
それでは、今日は合同式を利用する練習をしてみましょう。

「問.82999 + 52999 を 13 で割った余りを求めよ。」
このような問題が簡単に解けるところが、合同式のいいところですね。解答です。

(解答)
8 ≡ -5 (mod 13)
であるので、両辺を2999乗して、
82999 ≡ (-5)2999 (mod 13)
ゆえに、
82999 ≡ -52999 (mod 13)
移項して、
82999 + 52999 ≡ 0 (mod 13)

以上より、82999 + 52999 を 13 で割った余りは0である。

上は、8 + 5 = 13 であること、また、どちらも指数が奇数であり、等しいことから、簡単に導くことができたのですが、それではそうではなかったらどうなるのでしょうか?
考えてみましょう。

まず、これから。
「問.82999 + 52999 を 7 で割った余りを求めよ。」
どうなるでしょうか?

8 ≡ 1 (mod 7)
であることから、
82999 ≡ 12999 (mod 7)
よって、
82999 ≡ 1 (mod 7)

また、
5 ≡ 5 (mod 7)
25 ≡ 4 (mod 7)
125 ≡ 4・5 ≡ 6 (mod 7)
625 ≡ 6・5 ≡ 2 (mod 7)
3125 ≡ 2・5 ≡ 3 (mod 7)
15625 ≡ 3・5 ≡ 1 (mod 7)
である。

15625 = 56であるので、
56 ≡ 1 (mod 7)

ゆえに、
(56)499 ≡ 1499 (mod 7)
つまり、
52994 ≡ 1 (mod 7)

両辺に 55 をかけて、
52999 ≡ 55 (mod 7)

55 = 3125 ≡ 3 (mod 7)
であるので、
52999 ≡ 3 (mod 7)

以上より、
82999 + 52999 ≡ 1 + 3 = 4 (mod 7)

よって、
82999 + 52999 を 7 で割った余りは4である。

この解法だと、別に指数が一致していなくても、解くことができますね。
1と合同になるものを探し出すわけです。それをもとに計算をする、ということなのです。

ここで、思いませんか?今回はmod 7で56が1と合同になりましたが、もしも、指数がもっと大きくなってしまった時は、どうするのでしょうか?

前回までの記事を思い出しましょう。

フェルマーの小定理です。

この場合だと、5 は 7 で割り切れないので、
57-1 ≡ 1 (mod 7)
ということがすぐに分かりますね。


まあ、この場合は素数でないといけませんが。


今回はここまでです。

それでは。


↓↓合同式は黄金↓↓
17:46  |  整数-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.10.24 (Fri)

ウィルソンの定理

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
今回は、「ウィルソンの定理」です。
内容は、次のようなものです。

「pが素数ならば、
(p - 1) ! ≡ -1 (mod p)
が成り立つ」


これもシンプルですね。これを証明する前に、次をご覧ください。

「a,bを整数とする。
1 ≦ a ≦ p - 1
の範囲の任意のaにおいて、
ab ≡ 1 (mod p)
となるbが必ず存在する」


これは、前回の基本定理からすぐに確認ができます。1 ≦ b ≦ p - 1 という条件を付け加えると、一つのaに対応するbはただ一つだけです。


例えば、p = 7 について考えると、

a
1
2
3
4
5
6
b
1
4
5
2
3
6


となります。ここで分かることは、1と6以外は、全て異なるaとbが対応しています。

一般的に、
a=bとなるとき、
a2 ≡ 1 (mod p)
より、
a2 - 1 ≡ 0 (mod p)
(a + 1)(a - 1) ≡ 0 (mod p)
ゆえに、a ≡ ±1 (mod p)のときに限ります。

よって、a = 1 , p - 1 のときは、a = b
それ以外の時は、a≠b で、a,bの組は、すべて異なります。二つの異なるaに、同じbが対応することはありません。


これを用いて、ウィルソンの定理を証明します。

(証明)
p=2のときは自明である。

p≧3のとき、
(p - 1) ! = (p - 1)(p - 2)(p - 3)・・・3×2×1

ここで、上に述べた事柄より、2から(p - 1)までの整数は、積が1とmod pで合同となる2整数の組同士に全てを組み替えることができるので、

(p - 1) ! ≡ (-1)×1×1×1×・・・×1 ≡ -1 (mod p)

よって、示された。
(Q.E.D.)



一応、例をあげておきましょう。

p=7のとき、

(7 - 1) ! = 6×5×4×3×2×1

= 6×1×(4×2)×(5×3)

≡ (-1)×1×1×1

≡ -1 (mod p)

ということですね。

分かりましたか?
それでは。



↓↓分かりました!↓↓
19:58  |  整数-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.10.23 (Thu)

フェルマーの小定理

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
まず、補足ですね。

a,bを整数、nを自然数、ƒ(x)を整数係数多項式とし、a ≡ b (mod n)のとき、
ƒ(a) ≡ ƒ(b) (mod n)


が成り立ちます。

それでは、今回は「フェルマーの小定理」を証明しましょう。

内容は、次の通りです。

「p を素数とする。
aがpの倍数でないならば、
ap-1 ≡ 1 (mod p)
が成り立つ。」


さて、どうでしょうか?

これを証明する前に、次の定理を確認しておきましょう。

1次合同方程式の基本定理

「p を素数、 a は p の倍数ではないとする。このとき、以下のことが成り立つ。

(1)
{a,2a,3a,・・・,(p - 2)a,(p - 1)a}
は、 mod p で、全体として、
{1,2,3,・・・,(p - 2),(p - 1)}
と合同になる。

(2)
xについての合同方程式
ax + b ≡ 0 (mod p)
は一意的に解ける。ただし、bは整数とする。」


(1)は、集合A
A = {a,2a,3a,・・・,(p - 2)a,(p - 1)a}
としたとき、Aの中のどの2つも mod p では合同とはならない、ということです。

(証明)
(1)から証明する。
集合A
A = {a,2a,3a,・・・,(p - 2)a,(p - 1)a}
とする。

もしも、
ia ≡ ja (mod p)
となる、0 ≦ i ≦ j ≦ p - 1 があると仮定すれば、移行して整理すると、
(i - j)a ≡ 0 (mod p)
となる。
aはpの倍数ではないので、i - jがpの倍数となる。
ここで、
0 ≦ i - j ≦ p - 1
より、
i - j がpの倍数となるためには、
i - j = 0
でないといけない。
すなわち、
i = j

すなわち、Aのどの2つも合同でない。
ゆえに、Aは全体として、{1,2,3,・・・,(p - 2),(p - 1)}を並び替えたものとmod p で合同となる。(これは、aとpが互いに素であるという条件があれば、pが素数でなくとも成り立ちます。証明は同じ)

次に、(2)を証明する。
(1)より、Aの中には、mod p で1と合同になるものが、必ずただ1つのみ存在するので、条件を満たすどのようなaに対しても、
ac ≡ 1 (mod p)
となるような整数cが存在する。

よって、
ax + b ≡ 0 (mod p)
は、bを移項し、cをかけて、
acx ≡ -bc (mod p)
1x ≡ -bc (mod p)
x ≡ -bc (mod p)
と、一意的に解ける。

(Q.E.D.)

すぐに分かると思いますが、
ac ≡ 1となるようなcは、
0 ≦ c ≦ p-1
の範囲では、ただ1つしか存在しません。

それでは、本題へ参りましょう。
上の基本定理を踏まえての、フェルマーの小定理の証明です。



(証明)
{a,2a,3a,・・・,(p - 2)a,(p - 1)a}と{1,2,3,・・・,(p - 2),(p - 1)}はmod pで全体として合同であるので、それぞれの集合の要素を掛け合わせて、

a(2a)(3a)・・・(p-2)a(p-1)a ≡ 1×2×3×・・・×(p-2)(p-1) (mod p)
である。

ゆえに、
ap-1(p - 1) ! ≡ (p - 1) ! (mod p)

両辺から(p - 1) ! を引いて、

(ap-1 - 1)(p - 1) ! ≡ 0 (mod p)

ここで、pは素数であるので、pを素因数に含まない(p - 1) ! は、pで割りきれない。
つまり、(p - 1) ! と、pは互いに素である。 よって、両辺を(p - 1) ! で割って、


ap-1 - 1 ≡ 0 (mod p)

両辺に1を足して、

ap-1 ≡ 1 (mod p)

以上より、フェルマーの小定理は示された。
(Q.E.D.)

このように、証明できました。
分かりましたか?

意外と簡単ですね。

次回は、ウィルソンの定理です。

それでは。



↓↓フェルマーは天才!?↓↓



21:46  |  整数-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.10.22 (Wed)

合同式2

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
 前回の続きといきましょう。

最後に残る証明を済ましてしまいましょう。(以下全て複合同順)

a,b,c,d,kを整数、nを自然数とし、a ≡ b (mod n) かつ、 c ≡ d (mod n) のとき、
・ a ± c ≡ b ± d (mod n)
・ ac ≡ bd (mod n)
・ kとnが互いに素の時、 ka ≡ kb (mod n) ⇔ a ≡ b (mod n)

(証明)
まず、a ± c ≡ b ± d (mod n) を証明する。
a ± c - b ± d = (a - b) ± (c - d)

a ≡ b (mod n) かつ c ≡ d (mod n) であるので、
a - b も c - d も n の倍数である。
よって、(a - b) ± (c - d) は n の倍数となる。

ゆえに、a ± c ≡ b ± d (mod n)


次に、ac ≡ bd (mod n) を証明する。
a ≡ b (mod n) かつ c ≡ d (mod n) より、整数 j,k,l,m を用いて、
a = jn
b = kn
c = ln
d = mn
とおける。
ゆえに、
ac - bd = jln2 - kmn2 = n2( jl - km )
以上より、ac - bd は n の倍数であるので、
ac ≡ bd (mod n)


最後に、 kとnが互いに素の時に、 ka ≡ kb (mod n) ⇔ a ≡ b (mod n) であることを証明する。
a ≡ b (mod n) ⇒ ka ≡ kb (mod n) は、既に証明されている。(前回の記事参照)

kとnが互いに素の時、ka ≡ kb (mod n) ⇒ a ≡ b (mod n) であることを証明する。

ka ≡ kb (mod n) であるので、整数l,mを用いて、
ka = ln
kb = mn
とおける。

ここで、kとnは互いに素であるので、aはnの倍数、また、bはnの倍数となる。

ゆえに、kとnが互いに素の時、ka ≡ kb (mod n) ⇒ a ≡ b (mod n)

以上より示された。
(Q.E.D.)

どうでしたか?
ちなみに、最後の命題において、「kとnが互いに素」という条件がなければ、ka ≡ kb (mod n) ⇒ a ≡ b (mod n) は偽ですね。
aとbがnの倍数でなくとも、kがnの倍数であれば、kaもkbもnの倍数になりますから。

分かりましたか?

今度は、「フェルマーの小定理」と、「ウィルソンの定理」を紹介しようと思います。

それでは。

↓↓剰余類↓↓
21:17  |  整数-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.10.21 (Tue)

合同式

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
 次回からの準備として、今回は合同式の基本を書いておきます。

次の式をご覧ください。

a ≡ b (mod n)
(a,bを整数、nを自然数とする)


nを法にして、aとbは合同、ということを表しています。

a - b が n で割り切れる、という意味ですが、

「a と b は、 n で割った余りが等しい」

と考えた方が分かりやすいと思います。


例えば、
1 ≡ 3 (mod 2)
81 ≡ 0 (mod 9)
7 ≡ -1 (mod 8)
です。


合同式においては、次の事柄が成り立ちます。 (ここより以下は、全て複号同順です)


・ a ≡ a (mod n)
・ a ≡ b (mod n) ⇔ b ≡ a (mod n)
・ a ≡ b (mod n) かつ b ≡ c (mod n) ならば、 a ≡ c (mod n)

a ≡ b (mod n) かつ、kは整数、mは自然数のとき、
・ a ± k ≡ b ± k (mod n)
・ ka ≡ kb (mod n)
・ am ≡ bm (mod n)

c,dを整数とし、a ≡ b (mod n) かつ、 c ≡ d (mod n) のとき、
・ a ± c ≡ b ± d (mod n)
・ ac ≡ bd (mod n)
kとnが互いに素の時、 ka ≡ kb (mod n) ⇔ a ≡ b (mod n)



それぞれ証明していきましょうか。上から二つ目までは自明(その下も自明かとは思いますが)なので、省きます。

「a ≡ b (mod n) かつ b ≡ c (mod n) ならば、 a ≡ c (mod n)」
(証明)
a ≡ b (mod n)
より、
b - a = kn ( k は整数)とおける。

また、
b ≡ c (mod n)
より、
c - b = ln ( l は整数)とおける。

これらより、
c - a = (c - b) + (b - a) = ln + kn = (l + k)n
ゆえに、
c - aはnの倍数であるので、
a ≡ c (mod n)
である。
(Q.E.D.)

「a ≡ b (mod n) かつ、kは整数、mは自然数のとき、
・ a ± k ≡ b ± k (mod n)
・ ka ≡ kb (mod n)
・ am ≡ bm (mod n)」

(証明)
まず、与えられた条件のもとで、a ± k ≡ b ± k (mod n)を証明する。
(a ± k) - (b ± k) = a - b
a ≡ b (mod n)より、a - bはnで割り切れる。
ゆえに、(a ± k) - (b ± k)もnで割り切れるので、a ± k ≡ b ± k (mod n)である。

次に、ka ≡ kb (mod n)を証明する。
ka - kb = k(a - b)
a - bはnで割り切れるので、k(a - b)もnで割り切れる。
ゆえに、ka ≡ kb (mod n)である。

最後に、am ≡ bm (mod n)を証明する。
am - bm = (a - b)(am-1 + am-2b +・・・+ abm-2 + bm-1)
であるので、 am - bmはnの倍数。
ゆえに、am ≡ bm (mod n)
(Q.E.D.)

今日はここらへんでご勘弁願います。
それでは。

↓↓剰余類↓↓
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2008.10.20 (Mon)

数学オリンピックの問題・解答

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
「自然数から自然数への写像ƒで、
ƒ(ƒ(n)) = n + 1987
を満たすものは存在しないことを示せ。」

(1987年 キューバ大会)

解答です。ちょっと・・・鍛えずにこの問題をいきなり解けというのは酷ですね。

(証明)
背理法で証明する。
自然数から自然数への写像ƒで、
ƒ(ƒ(n)) = n + 1987
を満たす写像ƒが存在すると仮定する。


まずƒが単射であることを証明する。
自然数m,nについて、
ƒ(m) = ƒ(n)
のとき、

ƒ(ƒ(m)) = ƒ(ƒ(n))
ゆえに、
m + 1987 = n + 1987
よって、
m = n

これより、ƒは単射である。

次に、1から1987までの自然数の集合をAとし、その要素を a とする。
このとき、pを自然数として、
a = ƒ(p)
となるような p が存在するかどうかでAを二つの集合に分ける。

Aの要素のうち、ƒの像となることのできる数(上の式で表せる a )の集合をA1,それ以外(上の式で表せない a )の集合をA2とする。

ここで、A2の要素を a2 とし、それらのƒによる像ƒ(a2)を考える。

ƒは自然数から自然数への写像であるので、ƒ(a2)>0である。

ここで、A2のすべての要素 a2に対し、
ƒ(a2)≦1987
であることをここで証明する。

背理法で証明する。
ƒ(a2)>1987
を満たすa2が存在すると仮定する。

すると、a2は、自然数pを用いて、
ƒ(a2) = p + 1987
と表せる。

p + 1987 = ƒ(ƒ(p))
であるので、

ƒ(a2) = ƒ(ƒ(p))

ƒは単射であるので、

a2 = ƒ(p)

しかしこれは、a2がƒの像であることになり、a2がƒの像でないということに矛盾。

ゆえに、
A2のすべての要素 a2に対し、
ƒ(a2)≦1987
である。

これより、ƒ(a2)は1987以下の自然数であるので、ƒ(a2)はAへの写像であり、また、Aの要素のうち、ƒの像となり得る要素の集合への写像でもあるので、、ƒ(a2)はA1への写像である。

以上より、ƒは、A2からA1への単射である。

ここで、ƒが、A2からA1への全単射であることを証明する。
背理法で証明する。
A1の要素をa1とし、a1=ƒ(p)となる、A2に属さない自然数pが存在するとする。
このとき、pは、1987より大きい自然数か、A1の要素であるかのいずれかなので、
p = ƒ(p')
とおける。
このとき、
a1 = ƒ(p) = ƒ(ƒ(p')) = p' + 1987 > 1987
となり、これは、a1が1987以下の自然数であることに矛盾。

よって、pはA2の要素であり、ƒは、A2からA1への単射であることから、、ƒは、A2からA1への全単射であることが示された。

以上より、A1の要素の数と、A2の要素の数が等しいことが分かる。
つまり、

#A1 = #A2
(#A1とは、集合A1の要素の個数を表す)

#A = #A1 + #A2

であるので、これらより、

#A=2 × #A1

#A = 1987
であるので、
1987 = 2 × #A1

#A1は自然数であるから、2 × #A1は偶数。
よって、1987が偶数であることになり、矛盾。

以上より、ƒ(ƒ(n)) = n + 1987を満たすようなƒの存在は否定された。

(Q.E.D.)

分かりましたか?それでは。

ちなみに、前回の○○○○○は、
五輪 = オリンピック
ですよ。

↓↓Olympics↓↓

21:51  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.10.18 (Sat)

○○○○○

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
「自然数から自然数への写像ƒで、
ƒ(ƒ(n)) = n + 1987
を満たすものは存在しないことを示せ。」


有名な"アレ"で、1987年に出題された問題です。

解答は次回です。
それでは。




↓↓○○○○○↓↓

18:36  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.10.17 (Fri)

ひとりぼっちの晩餐会

何の曲か分かりますよね?
それでは。
19:59  |  音楽(リニューアル前)  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.10.16 (Thu)

ω

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
 次の問題をご覧ください。

x5 + x + 1 を因数分解せよ。

さて、解答です。

(解答)
x3 = 1 の1でない複素数解の一つをωとおく。

すると、次の事柄が成り立つ。

ω + ω2 + 1 = 0
ω = ω2
ω3 = 1


ここで、
ƒ(x) = x5 + x + 1
とおくと、

ƒ(ω) = ω5 + ω + 1 = ω2 + ω + 1 = 0
ƒ(ω2) = ω10 + ω2 + 1 = ω + ω2 + 1 = 0

よって、因数定理より、ƒ(x) は、( x - ω ) ,及び ( x - ω2 ) で割り切れる。

∴ƒ(x)は、 ( x - ω )( x - ω2 ) を因数にもつ。

( x - ω )( x - ω2 ) = x2 + x + 1 であるので、

ƒ(x) = ( x2 + x + 1 )( x3 + x2 - 1 )

である。

分かりましたか?
それでは。

↓↓ω↓↓

20:38  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.10.15 (Wed)

Prime Number

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
 素数が無限にあるということは、既知の事実であると思います。
 一応証明してみましょう。この証明は、後で述べる事柄と関連しておりますので、ご注意を。

<素数が無限個あることの証明>

背理法で証明する。
素数が有限個しかないと仮定すると、最大の素数Pというものが存在する。
ここで、
P!=1×2×3×・・・×Pであるので、
P!は全ての素数を因数に持つ。
ここで、
Q=P!+1となる数Qを考えると、Qは、どの素数で割っても1余る数である。
つまり、Qは、どの素数も約数に持たない。よって、Qの約数は1とQのみ。
したがって、
Qは素数である。
明らかに
Q>P
であるので、
これはPが最大の素数であることに矛盾

よって、素数は無限個ある。
(Q.E.D.)

さて、それではこの証明を踏まえて、次のことを考えてみましょう。

素数は、無限に存在するということは、今、上で証明されました。
しかし、その分布というものは、数が小さい間は密ですが、数が大きくなっていくにつれ、疎ら(まばら)になっていきます。
素数でない自然数は、「合成数」と言いますが、ある自然数からある自然数までの間は、素数は全く現れない、どの数も合成数である、という区間が存在します。
例えば、
90,91,92,93,94,95,96
という連続した7数は、全て合成数です。(89及び97は素数です)

90 = 2×32×5
91 = 7×13
92 = 22×23
93 = 3×31
94 = 2×47
95 = 5×19
96 = 25×3

といった具合に素因数分解ができます。

このように、合成数ばかりが続くような区間を、
「素数砂漠」と呼ぶことにします。

さて、ここで、次のことを考えます。

素数砂漠は、いくらでも長いものを作ることが可能です。(無限ではありません!

問題です。

「いくらでも長い素数砂漠が存在することを示せ」
この場合の「いくらでも長い」とは、「無限とまではいかないが、有限の範囲内でとてつもなく長い」といったようなニュアンスで考えてください。
先ほどの証明の考え方と基本的には同じです。

(証明)
ある自然数をNとする。
N!という数は、
2~Nまでの自然数1,2,3,4,・・・,N
で割りきることができる、合成数である。

ここで、
N!+2において、

N!は2の倍数
2は2の倍数

であるので、

N!+2は2で割りきることができる合成数である。

次にN!+3は、同様に考えると、3で割りきることができる合成数である。

N!+4は、4で割りきることができ、

N!+5は、5で割りきることができる。



このように考えていくと、

N!+2,N!+3,N!+4,・・・,N!+(N-1),N!+N

は、すべて合成数である。


これは、長さN-1の素数砂漠を表している。

すなわち、Nを有限の範囲で大きくすれば大きくするほど、素数砂漠の長さはいくらでも大きくなっていく。

よって、

いくらでも長い素数砂漠が存在する。


ということは、
例えばN=1億とでもすると、9999万9999個の合成数が連続した素数砂漠が存在することがすぐに確認できるわけです。

「素数は無限にある」ということと、「いくらでも長い素数砂漠が存在する」、一見同時に存在できないような命題のようですが、どちらも、同時に成り立っているのです。

「無限」と「有限」の世界は、このように奥が深いのです。

そして、「素数」の世界も、奥が深いのです。

それでは。


↓↓素数P↓↓
21:10  |  整数-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.10.14 (Tue)

とっても簡単な問題

ある四桁の整数について、

各桁の数の和に、その整数を足すと1014になった。

このとき、この四桁の整数を求めなさい。
21:30  |  算数-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.10.13 (Mon)

円の方程式(複素平面)

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
 複素平面上において、複素数αの表す点をA(α)とおく。
このとき、Aを中心として、半径がrの円の方程式を求めよ。
 求める円周上の任意の点をP(z)とおく。
すると、円の定義より
| α - z | = r (基本形)
が成り立つ。

基本形の両辺を二乗して、

| α - z |2 = r2

∴ ( α - z )( α - z ) = r2

∴ ( α - z )( α - z ) = r2

∴ α α - α z - α z + z z = r2

| α |2 - α z - α z + | z |2 - r2 = 0

ここで、| α |2 - r2 = c とおく。
∴ | α |2 - c = r2 > 0
また、-α = β
とおくと、

| z |2 + β z + β z + c = 0 (一般形)

なお、 | α |2 - c = r2 > 0 と -α = β より、
| β |2 - c = r2 > 0
である。


おわかりいただけたでしょうか?
複素平面上でαという複素数は、ベクトルOA↑と対応しているので、これを a↑とし、また、OP↑を p↑とすると、
円の方程式は
| a↑ - p↑ | = r
ですので、基本形と同じような式ですね。というよりは、全く同じことを表しています。

ちなみに、前回の

γ z + γ z + C = 0

という方程式は、

結局は Q(γ)という点をとると、

ベクトルOQ↑に垂直な直線を表しているということになります。

ベクトルと複素数は密接な関係があります。

複素数αとβで考えると、

α+β

という複素数は、

複素平面でαの表すベクトルを a↑、βの表すベクトルを b↑とすると、

a↑+ b↑

というベクトルを表します。

よって、α+β=γ

とすると、点C(γ)を考えた時、

OC↑= a↑ + b↑

ということになります。

引き算も、同じように考えられます。

分かりましたか?

それでは。


↓↓円!↓↓

17:51  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.10.11 (Sat)

直線の方程式(複素平面)

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
 複素平面上において、二つの複素数α,βのあらわす点をそれぞれA(α),B(β)とおく。
このとき、直線ABの中点を通り、直線ABに垂直な直線の方程式を求めよ。

 求める直線上の任意の点をP(z)とおく。
求める直線は直線ABの垂直二等分線なので、AP=BPが常に成り立つ。
| z - α| = | z - β| (基本形)
基本形の両辺を二乗して、絶対値を外すと、

( z - α) ( z - α ) = ( z - β) ( z - β )

( z - α) ( z - α ) = ( z - β) ( z - β )

zz - zα - zα - αα = zz - zβ - zβ - ββ

( α - β ) z + ( α - β ) z + αα - ββ = 0

( α - β ) z + ( α - β ) z + |α|2 - |β|2 = 0

α - β = γ
|α|2 - |β|2 = C (Cは実数)

とおくと、

γ z + γ z + C = 0 (一般形)



分かりましたか?

それでは。



↓↓直線!↓↓
21:53  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.10.10 (Fri)

AMラジオ

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
δ(x)=∞ (x=0)
δ(x)=0 (x≠0)
∫[∞,-∞]δ(x)dx=1

こんなデタラメな定義にもかかわらず、このデルタ関数は、理論物理学で役立っているのです。



上の話はさておいて、AMラジオは、どのようにして情報を運ぶのでしょうか?

AMラジオというのは、各局ごとに周波数が決まっています。

周波数が決まっているということは、一つの音しか伝えられないのでは?
一体、どのようにして、さまざまな情報を電波に乗せているのでしょう?


AMラジオの電波の式は、次のようにあらわされます。

y = {A + m(t) } sin2πƒt


上の式の、ƒはラジオの周波数を表します。Aは定数です。tは時刻を表します。つまり、独立変数です。

m(t)に番組の情報を含ませ、Asin2πƒtがその情報を運ぶ、搬送波といわれる波です。

m(t)は、「変調信号」と呼ばれます。これが、波を”ゆさぶる”のです。

-A≦m(t)≦A

です。

これで、準備は完了です。

実際に考えてみましょう。

下の青いグラフは、

A=1,m(t)=0.5 sin t,ƒ=3

とおき、また、文字tをxに置き換えて描いたグラフです。

つまり、式は

y=(1+0.5sinx) sin6πx

です。
AM

上のような図形になります。このとき、破線のグラフの方程式は、

y=1+0.5sinx

です。

つまり、

y = {A + m(t) } sin2πƒt

というグラフの、

y = {A + m(t)}

という波(包括線)がグラフの波線部分になり、これは、各AMラジオ局の周波数に関係なく、自由に変えることができます。

受信する側は、届いてきた電波信号から、y = {A + m(t)}という信号を読み取れば、それが情報である、ということです。


電波は、青線のような形で届いてくるのですが、読み取る側は、破線部分の形を読み取るのです。
これは、時間ごとに自由に変化させることができるので、単調な波にならずに済むのです。

分かりましたか?

AMというのは、「amplitude modulation(振幅変調)」の略です。

ちなみに、FMは、「frequency modulation(周波数変調)」の略で、例えば、sintのtの部分を変えて、

y = sin{t+3sin(t/10)}

のようにします。

こちらの方が、技術的にも難しく、後から発展しました。

それでは。

↓↓複素数で幾何学↓↓


20:17  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.10.09 (Thu)

正五角形の作図 ~複素数~

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
さて、長さ1が与えられた時、コンパスと定木だけで正五角形を作図するためには、何が分かればよいのでしょうか?

もちろん、一辺の長さです。

一辺の長ささえ分かれば、あとは円を使って、正六角形の作図と同じ要領で作図することができます。

それでは、一辺の長さはどうやって求めましょう?

ここでは、複素数を使って求めてみようと思います。

なお、Re(z)といったら、複素数zの実部、Im(z)といったら、複素数zの虚部を表します。

複素平面上に単位円を描く。

1を頂点の一つとして、その単位円に内接する正五角形を描く。

すると、その五つの頂点は、X5=1の五解となる(証明は省きます)。

1のすぐ左上の頂点をzとおくと、残り四点は反時計まわりに

z2,z3,z4

とおける。(このとき、1=z5

このとき、正五角形の一辺は、

|z-1|

である。この値が分かればよい。


|z-1|2=(z-1)(z-1)

=(z-1)(z-1)

= z・z - ( z + z ) +1


z・z = | z |2 = 1

である。

また、これより z = 1/z

z・z = 1を先ほどの式に代入すると、

| z - 1 |2 = 2 - ( z + z )


ここで、z + z の値を求める。

z5 - 1 = 0

である。因数分解して、

( z - 1 ) ( z4 + z3 + z2 + z + 1 ) = 0

zは1ではないので、

z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0

zは0でもないので、両辺を z2 で割って、

( z2 + 1/z2 ) + ( z + 1/z ) + 1 = 0

∴ ( z + 1/z )2 + ( z + 1/z ) - 1 = 0

よって、( z + 1/z ) についてこの方程式を解くと、

z + 1/z = ( 1 ± √5 ) / 2

z + 1/z = z + z = 2Re(z) > 0

であるので、

z + 1/z = ( 1 + √5 ) / 2

よって、これを先ほどの式に代入すると、

| z - 1 |2 = 2 - ( 1 + √5 ) / 2

∴| z - 1 |2 = ( 3 - √5 ) / 2

| z - 1 | > 0 なので、

| z - 1 | = √{ (3 - √5) / 2 }




これで分かりましたね?

計算が間違っていませんように・・・

ここまで求められれば十分だとは思います。

今日はここまでです。

また今度、作図方法を述べたいと思います。

それでは。


↓↓複素数で幾何学↓↓


20:39  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.10.08 (Wed)

フェルマー数

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
フェルマー数は、昔、フェルマーによって、それは素数であると予想されましたが、オイラーによってあっさりとその予想は間違っていることが示されてしまいました。

フェルマー数とは、次のように表せます。

Fn= 22n + 1


フェルマーは、{Fn}のすべての項は素数であると予想しました。
実際に計算してみると、

F0= 220+1= 21+1= 3
F1= 221+1= 22+1= 5
F2= 222+1= 24+1= 17
F3= 223+1= 28+1= 257
F4= 224+1= 216+1= 65537


となります。

ここまでは、全て素数です。
P≠NP予想の回にも述べましたが、素因数分解には公式など存在しません。
それ故、数字が大きくなると、それが素数であるのか合成数であるのかの判別も難しくなります。
それでは、次をご覧ください。

F5= 225+1= 232+1= 4294967297

4294967297が素数であるのかどうか?判別が難しい。
結論から言うと、これは合成数です。

4294967297を素因数分解すると、
4294967297= 641×6700417
となります。

ご覧のとおり、素因数自体が大きな数であり、この素因数を見つけることも一苦労です。

調べる素因数の範囲を限定しようとしても、

√4294967297<65536

ですので、結局「65536以下の素数を調べればよい」ということしかわからず、気の遠くなるような作業を続けなければなりません。

フェルマーがF5を素数だと思ったのも無理はないわけです。


実は、フェルマー数Fnで、nが5以上の整数のとき、素数であるフェルマー数はまだ見つかっていません。今のところは、フェルマー数でそれが素数であるものは、n=1,2,3,4のときのみです。これらの素数を、フェルマー素数と言います。


このように、実は大きな誤りだったフェルマーのこの予想。しかし、このフェルマー数には大きな意味がありました。

それは、
正多角形の作図
です。

正n角形がコンパスと定木のみを使って作図可能であるときのnの条件は、nが次の条件を満たすときです。

n = 2m × p1p2・・・pq(mは0以上の整数,p1・・・qは互いに異なるフェルマー素数または1)
かつ
n ≠ 1


よって、正三角形、正五角形、正十七角形、正二百五十七角形、正六万五千五百三十七角形は作図可能であることはすぐに分かります。つまり、角の数がフェルマー素数である正多角形は作図可能だということです。

また、角の数が異なるフェルマー素数の積である正多角形も作図可能です。
例えば、正十五角形、正五十一角形なども作図可能です。

上の数字に2を何回か掛けても作図可能です。
例えば、正六角形、正十二角形、正二十四角形、正三十四角形なども作図可能です。

あとは、角の数が2を何乗かしたものである正多角形も作図可能だということになります。
正方形、正八角形、正十六角形などが作図可能です。


分かりましたか?それでは。





↓↓フェルマー!↓↓
22:44  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.10.07 (Tue)

三平方の定理を証明してください。

題名の通りです。
何通り思いつきますか?
それでは。
22:30  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.10.06 (Mon)

複素平面上で考える

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
極座標
複素数の表し方
極形式の練習
複素数(極形式)の掛け算
極形式の割り算・方程式の解法
常用対数(補足)、複素数(補足)
の続きです。


さて、複素平面上では、

Xn=1(nは自然数)
の解はどのように表れるのでしょうか?


結論を言いましょう。


1を一つの頂点とする、正n角形の頂点が、上の方程式の解となるのです。


確認しましょう。

1を極形式であらわすと、

cos 2mπ + i・sin 2mπ

となります。mは整数です。


これがXnと一致するので、ド・モアブルの定理より、

X=cos (2mπ/n) + i・sin (2mπ/n)

となります。

mがnで割り切れるとき、これは1と一致します。

正弦関数・余弦関数はともに周期が2πなので、

角を0から2πまでの間の大きさで考えると、

Xの偏角は、

2mπ/n,4mπ/n,6mπ/n,8mπ/n,・・・(2n-1)mπ/n,2mπ

となります。


解の一つ

cos (2mπ/n) + i・sin (2mπ/n)=Z

とおくと、

Xの解は

Z,Z2,Z3,・・・,Zn=1

と表すことができます。

どれもn乗したら1になりますよね?

偏角を見ても、ド・モアブルの定理より明らかです。


そして、これらXのn個の解をすべて足し合わせます。

Z+Z2+Z3+・・・+Zn

です。

等比級数(公比は1でない)の和の公式は、

(初項)×(1-公比項の数)/(1-公比)

となります。

上は、初項=1,公比=Z,項の数=nであるので、これを代入して、

1×(1-Zn)/(1-Z)

Zn=1であるので、

この値は0となります。

よって、Xn=1のn個の解の和は、0となるのです。

分かりましたか?


正n角形の重心から各頂点へのベクトルの和は、0↑です。

今日はここらへんで。

それでは。





↓↓正n角形↓↓
21:35  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.10.04 (Sat)

まずは曲

『百句物語』
音楽です。
こちら

楽譜はこちら
22:27  |  音楽(リニューアル前)  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.10.04 (Sat)

関数 7.合成写像・合成関数

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
←「6.逆関数」へ

ここまで来たら合成しちゃいましょう。


g○ƒ

というのが合成写像です。

g○ƒ(x)

といったら、まずƒ(x)という関数を考えます。

そして、その値を、

g(x)のxの部分に代入するだけです。


ƒ(x)→g(x)

の順番に作業を行います。

つまり、(x)に近い関数から順番に考えていけば良いわけです。



これを書き換えると、
g○ƒ(x) ⇔ g(ƒ(x))

だということなのです。



例えば、
ƒ(x)=x+1
g(x)=x2
という二つの関数について考えます。


g○ƒ(x) = g(ƒ(x)) = g(x+1) = (x+1)2 = x2+2x+1

ƒ○g(x) = ƒ(g(x)) = ƒ(x2) = x2+1

となります。

これより、

ƒ○g

g○ƒ

は必ずしも等しくないことが分かります。


しかし、
g = ƒ-1
のときは、
ƒ○g=g○ƒ
が成り立ちます。


単純に考えて、ある二つの集合AとBにおいて、
ƒ:A→B
のとき、
ƒ:B→A
というのはすぐに理解できますね。

よって、集合について考えると、
ƒ-1○ƒ
という写像は、
まず
A→B
という作業をしてから、
次は
B→A
と逆戻りをするだけです。
行って帰ってという作業をするだけなので、
集合については何も変わりません。

要素についても同じです。
ƒ:a↦b
だとすると、
ƒ-1:b↦a
です。
集合と同じように考えると、
これも行って帰ってという作業をするだけなので、
要素についても何も変わりません。

ƒ○ƒ-1
についても同じように考えられます。
ƒ=(ƒ-1)-1
つまり、ƒはƒ-1の逆写像だということなので、上と同じように考えることができるわけです。
そして、上のƒ(x)で考えると、
結局集合・要素ともに最初と全く同じです。

つまり、ƒ○ƒ-1もƒ-1○ƒも、結局は何も変わらない写像、つまり、恒等写像です。

よって、二つの写像は同じである。

ということです。


h○g○ƒ(x)

は、

h(g(ƒ(x)))

と同じ意味です。

分かりましたか?


「8.一対一対応」へ→

↓↓合成好き↓↓
21:15  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.10.03 (Fri)

複素数の世界

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ

今回は複素平面とは離れましょう。

複素数まで世界を広げた時、どんな利点があるのでしょうか?

例えば、次をご覧ください。

α,β,aは実数です。

「xの二次式ƒ(x)について、
ƒ(x)=0の二解がx=α,βである

ƒ(x)=a(x-α)(x-β)

(aは定数)

分かりますね。
多項式を因数分解するということは、方程式を解くことと根本的な部分は同じなのです。

また、定数aの存在を考えなければ、
ƒ(x)=0の解が決定したとき、ƒ(x)は一意に定まる
ということも分かります。


ところで、次の二式をご覧ください。

ƒ(x)=(x-1)(x+1)
g(x)=(x2+1)(x-1)(x+1)

見るからに異なる式ですね。
ƒ(x)はxの二次式、
g(x)はxの四次式であるということは一目瞭然です。


ところが、実数の範囲で
ƒ(x)=0とg(x)=0の解を考えると、
どちらもx=±1
でしかなく、
F(x)=0の解が決定したとき、F(x)は一意に定まる
という考え方に基づくと、
ƒ(x)とg(x)は同じ関数である、ということになってしまいます。


しかし、これでは都合が悪い。
F(x)=0の解が決定したとき、F(x)は一意に定まる
とは、F(x)がxのn次式の時、xが実数の範囲でn個の解を持つときにしか成り立たないのでしょうか?


これでは、ややこしい。
「F(x)がxのn次式の時、xが実数の範囲でn個の解を持つ」
という条件をなんとか外せやしないだろうか。


そこで、世界を実数から複素数まで広げてみると、これはうまくいくのです。

ƒ(x)=0
の解は複素数の範囲でも相変わらずx=±1ですが、
g(x)=0
の解は、複素数の範囲だと、
x=±1,±i
となり、これでƒ(x)とg(x)の区別がつきました。


このように、複素数の範囲で考えると、実数の範囲ではうまくいかなかったことも、うまくいくようになるのです。



そして、次のような定理も成り立ちます。


代数学の基本定理
複素数の係数を持つn次方程式は必ず複素数の解を持つ

また、これは複素数の範囲で必ずn個の解(k重解はk個として数える)を持つことも分かっています。


 四次方程式までは「解の公式」が存在しますが、五次以上の方程式には解の公式が存在しないことも証明されています。



つまり、これらのことから、
「複素数係数のn次方程式には必ずn個の解が存在するが、必ずしもその解が何であるかは分からない」
ということが分かります。


どうです?おもしろいでしょう?

今日はここらへんで。

それでは。

↓↓x+yi↓↓

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2008.10.02 (Thu)

文化祭前日

明日から少し楽になります…今日は御勘弁を…
23:53  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.10.01 (Wed)

90°回転

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ

あなたは、90°回転と聞いたら、何を、または、どんな式を想像しますか?

お考えください。






さて、どうでしょう?




例えば、次のようなものがありますね。


ƒ(x)をxの実数係数の一次式としたとき、
グラフ y=ƒ(x) を
グラフ y=ƒ(-x) に写す


ƒ(x)をxの実数係数の二次式としたとき、
グラフ x=ƒ(y) の軸を
グラフ y=ƒ(x) の軸に写す


複素平面において、
0でない複素数zにiをかける


2×2行列
 0 
 -1 
 1 
 0 



どうでしょう?
他にも見つけたものがあれば、ご自由に書き込んでください。


さようなら。


↓↓π/2回転!↓↓
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