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2008.11.29 (Sat)

数学テストの問題

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

交流掲示板<http://penpenpensama.hp.infoseek.co.jp/Go.html>

問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
それでは、始めましょう。

分かる人には分かると思いますが、次の問題をご覧ください。


「2n = 3m + 2
を満たすような整数 m が存在するための、整数 n の必要十分条件を求めよ」



これは、「ある数学テスト」の問題を少し拡張して一般化した問題です。
基本的には、「ある数学テスト」と同じように考えればいいのですが、これを、合同式で解いてみましょう。

合同式
合同式2
合同式3
フェルマーの小定理
ウィルソンの定理
位数の法則

などで触れた、あの合同式です。


それでは、考えてみましょう。

まず、2n = 3m + 2 について、 n が負の整数のとき、左辺は整数になりませんが、右辺は m にどのような整数を代入しても整数となるので、等しくはなりません。
よって、 n は 0 以上の整数ということになります。
n = 0 のとき、(左辺) = 1となりますが、ここで、3m + 2 = 1となるような整数 m は存在しないので、これも不適です。

よって、 n は正の整数、つまり、自然数であるときに限られます。



ここで、注目すべきが、与えられた式を変形すると、
2n - 2 = 3m
より、
2(2n-1 - 1) = 3m
となります。
m は整数で、3 と 2 は互いに素であるので、m は 2 の倍数であり、また、左辺の (2n-1 - 1) は 3 の倍数である必要があります。

よって、
2n-1 - 1 が 3 の倍数となるような自然数 n が存在すればよいことになります。

ここで、合同式の登場です。
今の事柄を合同式で表すと、

2n-1 - 1 ≡ 0 (mod 3)
となるような自然数 n が存在すればよい、ということになります。


2n-1 - 1 ≡ 0 (mod 3)
となるような自然数 n が存在するとき、

上の式より
2n-1 ≡ 1 (mod 3)
です。

ここで、2x ≡ 1 (mod 3) となる最小の自然数 x を求めると、 x = 2 であることが分かります。

よって、位数の法則より、n - 1 は、 2 の倍数、ということが分かるわけです。

つまり、 n という数は、 2 の倍数に1を足したもので自然数なので、これはすなわち奇数、ということになります。


ゆえに、n は奇数である、ということが、2n-1 - 1 ≡ 0 (mod 3) となるような自然数 n が存在するための必要条件です。

n が奇数のとき、 n - 1 は偶数となり、kを整数として、
2n-1 = 22k = 4k
と表せます。
4 ≡ 1 (mod 3)
であるので、両辺を k 乗して、
4k ≡ 1k = 1 (mod 3)
です。

ゆえに、2n-1 ≡ 1 (mod 3)
つまり、2n-1 - 1 ≡ 0 (mod 3)
であるので、

n が奇数であることは、2n-1 - 1 ≡ 0 (mod 3) となるような自然数 n が存在するための十分条件でもあります。


よって、n が奇数であることが、2n-1 - 1 ≡ 0 (mod 3) となるような自然数 n が存在するための必要十分条件であることが分かりました。

最初に導いたとおり、2n-1 - 1 ≡ 0 (mod 3)となることと、2n = 3m + 2 を満たすような整数 m が存在することは同値であるので、

n が奇数であることが、2n = 3m + 2 を満たすような整数 m が存在するための必要十分条件となるのです。

分かりましたでしょうか?

それでは。

↓↓合同式の素晴らしさ↓↓
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19:17  |  整数-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.11.28 (Fri)

11/27解答

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
僕、今日、ちょっとグレる。

「A君は次のように考えた。
 『さいころを 6 回振ることにする。 m = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 のおのおのについて、 m 回目に 1 の目が出る確率は 1/6 である。
 したがって、 6 回のうちに少なくとも 1 回は 1 の目が出る確率は、
 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1
である。
 すなわち、さいころを 6 回ふれば少なくとも 1 回は 1 の目が出る。』

 A君の考えは正しいかどうかをいえ。もし正しくないならば、誤りの原因を、なるべく簡潔に指摘せよ。 」
[1980 京都大・文]


解答。


(解答)
そんなの、6回振って1~6までの目が1回ずつ出る方が奇跡じゃん。
この計算だとそうなるし。

バカだな、A君。

そもそも、6回サイコロを振って、それぞれの回に1が出るかどうかなんて事象、互いに排反でないんだから、足し合わせる意味なんて全くないじゃん。ゼロ。不要。


余事象って考え方、知ってるよね?


6回サイコロ振って、6回も1が出ない事象。


1以外の目が出る確率は、それぞれの回で5/6なんだから、6回連続で1以外が出る事象は、
(5/6)6
で、これが余事象の確率ってことだから、1から引いたのが、求める確率でしょ。

求める確率は、
1 - (5/6)6

これって、明らかに1より小さいよね?

ってことは、さいころを 6 回振っても、必ずしも 1 が出るとは限らないわけ。
分かった?


じゃあね。

↓↓A君!↓↓
20:44  |  確率・場合の数-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2008.11.27 (Thu)

11/27問題

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
今回は、何だか面白い問題です。
理由が必要ないのならば、小学生でも直感で答えられますよ。絶対。

「A君は次のように考えた。
 『さいころを 6 回振ることにする。 m = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 のおのおのについて、 m 回目に 1 の目が出る確率は 1/6 である。
 したがって、 6 回のうちに少なくとも 1 回は 1 の目が出る確率は、
 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1
である。
 すなわち、さいころを 6 回ふれば少なくとも 1 回は 1 の目が出る。』

 A君の考えは正しいかどうかをいえ。もし正しくないならば、誤りの原因を、なるべく簡潔に指摘せよ。 」
[1980 京都大・文]


↓↓A君・・・↓↓
21:49  |  確率・場合の数-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2008.11.26 (Wed)

グラフで遊ぶ

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
いろいろなグラフを描いて遊んでみました。

r = ƒ(θ) は、極方程式を表します。


r = 3sin2θ
三葉


r = 1/cosθ + 2 (直線 x = 1 は漸近線)
螺獅線


x = 3sin2θ , y = 3sin3θ (θは媒介変数)
リサジュー


いろいろと楽しいものですね。


↓↓遊ぼう!!↓↓


17:45  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.11.25 (Tue)

芳賀の定理

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ


折り紙だけで、定木もコンパスも使わずに、辺を三等分してみましょう。

今から紹介する定理は、「芳賀の定理」と言われるものです。

まず、折り紙を横に二つ折します。そして、折り紙の上の端に、印をつけておきましょう。

次に、左下の角を、先ほどつけた上の折り目に合うように折ります。

下の辺が、右の辺と重なるところが、右の辺の三等分点となります。

下の図で言うと、点Gがそうです。
折り紙
なぜこうなるのか?

それはまたの機会に。

それでは。

↓↓折り紙↓↓

22:26  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.11.24 (Mon)

I ASK FOR NOTHING.

"I ask for nothing"
美しいと思いません?

『ノートルダムの鐘(The Hunchback of Notre Dame)』の中で、エスメラルダの歌う、『ゴッド・ヘルプ(God Help the Outcasts)』の歌詞の一部です。

15世紀のパリにおいて、差別や迫害を受ける運命を余地なくされたジプシー。
エスメラルダも、その様な運命を背負った一人です。

しかし、彼女はこう言いました。
「何も求めるものはない」と。
そして、この後にこう続けます。
"But I know so many
Less lucky than I
Please help my people
The poor and downtrod"
私より恵まれない人たちを助けてくれ、と。

本当に、心の清いお方だ。

それに対し、こちらは一般的な教区民。同じ曲で、このように歌います。

"I ask for wealth
I ask for fame
I ask for glory to shine on my name
I ask for love I can posess
I ask for God and His angels to bless me"

こちらが、今の日本人のふつうの感情でしょう。

しかし、この歌を聴くと、単なる慾の塊に見えてしまうのは、私だけでしょうか?

それでは。

↓↓私たちは神の子↓↓
18:51  |  音楽(リニューアル前)  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.11.22 (Sat)

11/20解答

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
それでは、解説です。
n , k は自然数で k ≦ n とする。穴のあいた 2k 個の白玉と 2n - 2k 個の黒玉にひもを通して輪を作る。このとき適当な2箇所でひもを切って n 個ずつの2組に分け、どちらの組も白玉 k 個、黒玉 n - k 個からなるようにできることを示せ。
[2006 京都大・文]


昨日のヒントの考え方を使いましょう。
太郎君と次郎君の考え方です。
「連続性」というものを考えてください。

それでは解答です。

(解答)
輪を作るひもに、等間隔で n 個の玉が並んでいるものとする。
ひもの2点P,Qで輪を切り、玉が n 個ずつの2組に分かれるようにする。つまり、直線PQが、輪の玉を n 個ずつの2組に分けるようにする。
このとき、(360/n)°ごとに玉が並んでいるので、この角度をθとする。

また、直線PQ上にない任意の点Aをとり、直線PQに対して点Aと反対側に、任意の点Bをとる。
(↑前回のヒントのように、PQに対してどちら側にあるのかを、点A,Bを表します。さすがに右、左という表現は使いづらいので。)

以下、4点P,Q,A,Bは同時に動くものとする。

はじめ、直線PQに対し、点A側には、白玉が S0 個、 点B側には、白玉が T0 個あるものとする。

4点がθだけ反時計まわりに動くと、点A側の白玉の数は、1つ減るか、変わらないか、1つ増えるかのいずれかであり、このとき、点B側の白玉の数は、1つ増えるか、変わらないか、1つ減るかである。

このことから、
mを自然数として、mθだけ4点が反時計まわりに動くと、点A側には、白玉が Sm 個、点B側には、白玉が Tm 個あるものとすると、
Sm - Tm の値は、
Sm-1 - Tm-1 の値から、
2増加するか、変わらないか、2減少することが分かる。

ここで、Sm - Tmの値は、必ず偶数である。

なぜなら、白玉はもともと 2k 個あり、偶数個であるので、白玉の数 Sm + Tm は偶数である。ゆえに、Sm と Tm の偶奇は一致し、この二数の差は、必ず偶数となる。


ここで、mθ=180°となるときの m の値を M とすると、
SM = T0 , TM = S0
となる。

ゆえに、S0 - T0 と SM - TM の正負は逆となる。
そして、どちらも偶数であり、Sm - Tm から Sm+1 - Tm+1 への変化量は±2又は0であるので、必ず Sm - Tm = 0 となる m が存在する。
つまり、 Sm = Tm となる m が存在するので、このとき、Sm + Tm = 2k となり、 Sm = Tm = k
つまり、
直線PQに対して、点A側にも点B側にも白玉は k 個
となる。
このとき、直線PQに対して、点A側にも点B側にも黒玉は n - k 個となる。

以上より、題意は示された。

(Q.E.D.)

あんまり頭回っていません・・・なので、文章にあまりまとまりがなかったかもしれません。すみません。

それでは。

↓↓大丈夫だよ。↓↓
21:44  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.11.21 (Fri)

11/20問題・ヒント

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
例えば、次の命題を考えてみてください。

「面積 2S で、周の長さが 2L の池がある。どのような形の池であっても、その池の面積と周の長さを同時に半分に分ける直線が必ず存在する」

例えば、太郎君と次郎君が、一本のロープをぴんと(まっすぐになるように)張り、周の長さを L 同士に分ける場所に立ちます。

太郎君から見て、右側の面積を T とおくと、左側の面積は (2S-T) です。 T ≧ (2S-T) とします。


次に、太郎君と次郎君は、そのロープをぴんと張ったまま、同じ速さで同じだけ、同じ向きに回ります。

すると、太郎君の位置と、次郎君の位置が入れ替わるときが必ず訪れます。

このとき、太郎君から見て、右側の面積は (2S-T) ,左側の面積は T となり、最初の状態と逆になります。

そして、当たり前のことですが、太郎君から見て右側の面積は、T から (2S-T) に移り変わっていきます。面積の移り変わりをグラフに表すと、どのような形になるにせよ、絶対に一本の曲線となり、途中で途切れることはありません。

つまり、 T から (2S-T) に移りゆく過程で、必ず、T = (2S-T) となる時が訪れます。
T = S
となるときです。

よって、上の命題は確かにそうなることが確認できるのです。


これを考慮したうえで、昨日の問題をお解きください。
それでは。

↓↓分かりました。↓↓
21:44  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.11.20 (Thu)

11/20問題

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
n , k は自然数で k ≦ n とする。穴のあいた 2k 個の白玉と 2n - 2k 個の黒玉にひもを通して輪を作る。このとき適当な2箇所でひもを切って n 個ずつの2組に分け、どちらの組も白玉 k 個、黒玉 n - k 個からなるようにできることを示せ。
[2006 京都大・文]


↓↓京都のとある大学↓↓
21:44  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.11.19 (Wed)

The Hunchback of Notre Dame

ディズニーの映画、
「The Hunchback of Notre Dame」
(日本では、「ノートルダムの鐘/The Bells of Notre Dame」として公開)
についてです。

原作は、ヴィクトル・ユーゴーの小説、「ノートルダム・ド・パリ(Notre-Dame de Paris)」です。


「The Bells of Notre Dame」(ノートルダムの鐘)という曲から物語は始まります。
この曲は、一種のイントロダクションのような役割を果たしています。

舞台は、15世紀のパリ。冷酷な判事フロローを筆頭にジプシーたちの差別はすすんでおります。

そして、ある日、4人のジプシーが、セーヌ河岸に静かに降り立ちました。
しかし、そこにはフロローの姿が。
4人のうち3人は捕まりましたが、赤ん坊を抱えた1人の女性は、そのまま逃げだし、ノートルダム大聖堂へと逃れようとしました。しかし、フロローに追い付かれ、抱えていた赤ん坊を無理やり取り上げられます。そのときの反動で、女性は倒れ、頭を打って死んでしまいます。
フロローは、その赤ん坊の顔を見て言いました。"A baby? A monster!"
そして、その赤ん坊をも井戸の中へ捨てようとしました。
するとそこに大聖堂の司祭が現れ、フロローを止めます。そしてフロローに、その赤ん坊を育てるようにと言ったのです。
フロローは、その赤ん坊が人目につかないよう、大聖堂の鐘楼に住まわすことにします。

この赤ん坊は、フロローによって、「出来そこない」という意味の、「カジモド」と名づけられます。

このカジモドが主人公です。このようにして、物語は始まるのですが、この曲における語り手、クロパンは最後に言います。

Who is the monster and who is the man?

「誰がモンスターで、誰が心ある人間であるのか」

フロローは、自分の為政を、正義だと信じ切っています。ジプシーは排除すべきだ、というその信条が間違っていることには気づこうともしません。
カジモドは、醜悪な姿に育ってしまいました。フロローは、カジモドには自分のことを「命の恩人だ」と教え、外には絶対に出てはならない、と命じます。
祭りの日、カジモドは、「ご主人さま」との誓いを破り、外の世界へ足へ踏み入れるのです。


あまり詳しくは語りませんが、最初はこのようなストーリーです。


このように育てられて、カジモドの心の中には何も溜まっていかないのでしょうか、とは思われますが、"Out There"という曲では、その気持ちを高らかに歌い上げていますね。
前半はフロローによる指導、後半は外の世界への憧れです。僕の好きな曲です。

そして、祭りでは"Topsy Turvy"ですね。面白い曲です。

ジプシーの美しき女性、エスメラルダが、大聖堂に半ば監禁された形になった状態で、神に対して語りかける"God Help the Outcasts"はいい曲です。

フロローは、ジプシーであるエスメラルダに恋をしてしまいます。"Hellfire"では、その苦悩が、エスメラルダへの憎悪へと変わっていきます。その前に、違う曲(Hellfireとつながっていきますが)では、カジモドが歌っていますが。

ユーゴー ・ヴィクトル・ラヴァーンの3人(3体)が歌う、"A Guy Like You"は、カジモドを元気づけています。カジモドはその後、失恋してしまいますが。

他にもいろいろと曲はありますが、このくらいで。

最後に、"The Bells of Notre Dame"のリフレインで、
What makes a monster and what makes a man?
というフレーズがあります。
一体何が、それぞれを作り上げるのか。

 見た目はモンスターでも、心はとても優しいカジモド。一体何が、カジモドの心をこのように豊かにしたのでしょうか。そして、一体何が、フロローを、あれほど冷酷にしてしまったのでしょうか。


テーマは、考えてみれば深いものです。

みなさんも、考えてみませんか?

↓↓Quasi !!↓↓
17:47  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.11.18 (Tue)

複素平面に関する問題

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
極座標
複素数の表し方
極形式の練習
複素数(極形式)の掛け算
極形式の割り算・方程式の解法
常用対数(補足)、複素数(補足)
複素平面上で考える
複素表面とベクトル
の続きです。

それでは、今度こそ解いていきましょう。

「z1,z2を相異なる複素数とし、

z3 = |z1|2 z2 + z1 |z2|2 + z12 z2 + z1 z22 + z1

とするとき、

複素平面上において、z3 と (2z1 + z2) と z1 が同一直線上にあることを示せ。」


そこまで難しい問題ではありません。
同一直線上にあることを示すには、三点のうち二点を通る直線の方程式を導き出し、その直線上にもう一点が存在することを示す方法もありますが、
「複素数とベクトル」の関係を考えると、kを実数として、
z3 - z1 = k{(2z1 + z2) - z1
と表せることを示す方がよいでしょう。
AB↑ = kAC↑ (kは実数)
のとき、三点A,B,Cは同一直線上にある、ということです。

それでは解答です。

(解答)
複素平面上において、z3 と (2z1 + z2) と z1 が同一直線上にあるとき、k を実数として、

z3 - z1 = k{(2z1 + z2) - z1

つまり、

|z1|2 z2 + z1 |z2|2 + z12 z2 + z1 z22 = k (z1 + z2)

と表せる。

ゆえに、

k = (|z1|2 z2 + z1 |z2|2 + z12 z2 + z1 z22) / (z1 + z2)

と表せるので、

(|z1|2 z2 + z1 |z2|2 + z12 z2 + z1 z22) / (z1 + z2)

が実数であることを示せばよい。

ここで、複素数が実数であること(虚部が0であること)を示すためには、例えば、z = z を示すといったようなことが思い浮かばれるかもしれませんが、そのようなことは考える必要はありません。式変形を少しするだけで、すぐに実数であることが示せます。

|z|2 = z z であることを考慮して、

(|z1|2 z2 + z1 |z2|2 + z12 z2 + z1 z22) / (z1 + z2)

= z1 z2 + z1 z2

これで殆ど示せましたね。
z1 z2z1 z2は共役な複素数です。
z1 z2 の上にバーでも引いて考えてみてください。


z1 z2 + z1 z2 は実数であるので、

(|z1|2 z2 + z1 |z2|2 + z12 z2 + z1 z22) / (z1 + z2)

は実数である。

ゆえに、実数 k を用いて、
z3 - z1 = k{(2z1 + z2) - z1
と表すことができるので、複素平面上において、z3 と (2z1 + z2) と z1 は同一直線上にある。
(Q.E.D.)

分かりましたか?

それほど難しくはなかったはずです。

それでは。

↓↓面白いと思います。↓↓
21:25  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.11.17 (Mon)

複素表面とベクトル

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
極座標
複素数の表し方
極形式の練習
複素数(極形式)の掛け算
極形式の割り算・方程式の解法
常用対数(補足)、複素数(補足)
複素平面上で考える
の続きです。



さてさて、次の問題を解いてみましょうか。

「z1,z2を相異なる複素数とし、

z3 = |z1|2 z2 + z1 |z2|2 + z12 z2 + z1 z22 + z1

とするとき、

複素平面上において、z3 と (2z1 + z2) と z1 が同一直線上にあることを示せ。」




これを考える前に、一点。

複素数の足し算・引き算は、複素平面上では、どのように考えればよいのでしょうか?


掛け算・割り算に関しては、複素数(極形式)の掛け算、及び、極形式の割り算・方程式の解法をご覧いただきましょう。


例えば、二つの複素数α,βがあります。
複素数αが複素平面上で表す点をA(α)
複素数βが複素平面上で表す点をB(β)
とし、原点をOとします。

そして、ベクトルOA↑とOB↑を考えます。

結論から言いますと、γ=α+βとし、複素数γが複素平面上で表す点をC(γ)とすると、
OC↑ = OA↑ + OB↑
となるのです。

引き算でも同様です。
γ=α-β
において、
OC↑ = OA↑ - OB↑
が成り立ちます。
つまり、OC↑ = BA↑
となる、ということです。

よって、複素数の足し算、引き算に関しては、複素数をベクトルのように扱えばよい、ということになるのです。

例えば、△ABCにおいて、
A(α),B(β),C(γ)としたとき(ただし、α,β,γは相違なる複素数)、
△ABCの重心Gの座標は、
(α+β+γ)/3
となります。

位置ベクトルと同じように考えればよいのですね。


さあ、わかってきましたか?

例えば、4点A(α),B(β),C(γ),D(δ)があるとき、
AB//CD
のための条件は、
k(α-β) = γ-δ  (ただし、kは実数)
とおけるのです。

分かりましたか?

それでは、次回、最初の問題を解いていきましょう。


↓↓Complex Number!!↓↓
19:14  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.11.15 (Sat)

偏差値の求め方

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
今回は、偏差値について、お話しましょう。

偏差値は、「自分の学力位置」を確かめるための、いわゆる「物差し」です。
この物差しは、テストの難易にも、テストの参加人数にも左右されないものであるのです。
平均点が、偏差値50という一つの基準でもあります。

早速ですが、その偏差値の求め方を見てみましょう。


偏差値の求め方は、


{10 ・ (得点 - 平均点)}/(標準偏差)  +  50

です。


ここで、「標準偏差」というものは、次のようなものです。



受験生n人の得点を、それぞれ
A1,A2,A3,・・・,An (点)
とすると、平均点は
(A1 + A2 + A3 + ・・・ + An) / n
ですね?
この平均点を Eとします。

ここで、
(E - A1)2 + (E - A2)2 + (E - A3)2 + ・・・ + (E - An)2
つまり、平均点と各受験生の差の平方の総和を考えます。
これを参加人数で割った値、つまり、

{(E - A1)2 + (E - A2)2 + (E - A3)2 + ・・・ + (E - An)2} / n

の値を、Vとおきます。
このとき、
√V
が、標準偏差というものになります。


例えば、

A,B,C,D,Eの五人がテストを受けて、それぞれ
A ・・・ 78点
B ・・・ 65点
C ・・・ 82点
D ・・・ 57点
E ・・・ 31点
であったとします。

このとき、平均点は、
(78 + 65 + 82 + 57 + 31) / 5 = 62.6 (点)
です。

また、標準偏差はというと、

{(78 - 62.6)2 + (65 - 62.6)2 + (82 - 62.6)2 + (57 - 62.6)2 + (31 - 62.6)2} / 5

の平方根となり、この値は、有効数字4桁で、
18.16
となります。


よって、
Aの偏差値は、58.5
Bの偏差値は、51.3
Cの偏差値は、60.7
Dの偏差値は、46.9
Eの偏差値は、32.6
となります。

99点以上取れば、偏差値70を超えます。
・・・とはいえ、誰かが99点以上を取れば、平均点も変わり、勿論標準偏差も変わりますから、こんな簡単には言えないのですが。

合っているのでしょうか?おそらく大丈夫だとは思います。

今日はこれまでです。

それでは。

↓↓偏差値教育↓↓
18:58  |  統計学-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2008.11.14 (Fri)

アルキメデス 『私の円を乱すな』

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
アルキメデスは、第二次ポエニ戦争(シラクス陥落時)において、何かしらの幾何の問題を解いていて、道に円を描いていると、ローマ兵がその図形を踏もうとした時に、「私の円を乱すな」と叫んだといわれています。
この後、これに逆上したローマ兵は、アルキメデスをその場で殺してしまったそうです。

アルキメデスは、偉大な数学者でした。
彼は死ぬ直前まで、どのような問題を解こうとしていたのでしょうか?

残念ながら、このことは現在に伝わっておりません。

一説によると、太陽の大きさを測ろうとしていた、というものがあります。
それに必要な道具を、彼は持ち歩いていたようです。

しかし、これが正しいのかどうかも、今となっては何も分かりません。

彼が頭を悩ませ続けた難題。

気になるところですね。

↓↓気になる人はクリック↓↓
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2008.11.13 (Thu)

階乗

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
(1/2) ! = (√π)/2
ですって。ガンマ関数を用いて、
(1/2)! = Γ(3/2) = ∫[ ∞,0 ] (√t)e -t dt
で、計算すると、(√π)/2
となります。

↓↓小数の階乗!!↓↓

20:49  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.11.12 (Wed)

バビロニア

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
等比数列、等差数列は、メソポタミア文明のバビロニア人によって発見されたと言われています。
また、彼らは古代エジプト人と同様、10進法も用いておりましたが、そのほかに60進法も使っていたようです。
一年が365日、一周360度などというのも、ここからきているようです。
また、円周をその円の半径で区切っていくと、6回で一周することも確かめています。正六角形の作図です。

数列における、

<<等差数列>>
公差 d , 第 k 項が ak である等差数列の、第 m 項から第 n 項までの和は、

(n-m+1)(am + an) / 2

特に、初項から第 n 項 までの和は、

n(a1 + an) / 2 = n{2a1 + d(n-1)} / 2


<<等比数列>>
公比 r , 第 k 項が ak である等比数列の、第 m 項から第 n 項までの和は、

am(rn-m+1 - 1) / (r - 1)

特に、初項から第 n 項 までの和は、

a1(rn - 1) / (r - 1)



というようなことも、この時代に発見されたと言われています。

順番が前後しますが、何故60進法が、これほど重宝されたか。今の、「時間」や「角度」というものは、60に関係するものばかりです。
理由は、60には多くの約数が存在する、というものが考えられるでしょう。

A = {x | x は60の約数}
だとすると、
A = {±1,±2,±3,±4,±5,±6,±10,±12,±15,±20,±30,±60}
です。ちなみに、
B = {x | x は正の数}
とすると、
AB = {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}
ですね。

まあ、そんな感じです。

今回はこれくらいで。

それでは。

↓↓バビロニア↓↓

21:29  |  数学史-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.11.11 (Tue)

またまた二項係数の問題

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
∑[ n,k=1 ] knCk
の値を求めよ。


つまり、
nC1 + 2nC2 + 3nC3 + ・・・ + nnCn
の値を求めろということですが、どうしますか?





それでは解答です。

ここでは、こちらこちらを既知の事実として扱います。

一般項
knCk = nn-1Ck-1
であるので、
∑[ n,k=1 ] knCk

= ∑[ n,k=1 ] nn-1Ck-1

= n・∑[ n,k=1 ] n-1Ck-1

= n・∑[ n-1,m=0 ] n-1Cm

∑[ n-1,m=0 ] n-1Cm = 2n-1
であるので、

n・∑[ n-1,m=0 ] n-1Cm

= n・2n-1

よって、
∑[ n,k=1 ] knCk

= 2n-1n


はい、こういうことです。

それでは。

↓↓バイバイ↓↓

22:07  |  確率・場合の数-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.11.10 (Mon)

11/8解答

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
前回提示した問題です。
「初項が 1 で公差が自然数dである等差数列の初項から第 n 項までの和を Sn とする。 n ≧ 3 のとき、次の問に答えよ。
(1) Sn = 94 となる n と d がちょうど一組ある。その n と d を求めよ。
(2) Sn = 98 となる n と d の組はない。その理由を述べよ。」
[2004 神戸大・文]

数列絡みの整数問題です。
発想もそれほど難しくはないと思います。
あとは、ケアレスミスをしないように、ただそれだけのことです。

(解答)
(1)
Sn = (項数)×{(初項)+(末項)}÷ 2
であり、(末項) = (初項)+(公差)×{(項数)-1}
であるので、
Sn = n{1+1+d(n-1)}/2 = n(2+dn-d)/2
ここで、Sn = 94 となるとき、
n(2+dn-d) = 188
188 = 22×47
であり、n,dはともに自然数であるので、
nと(2+dn-d)の組み合わせは、n ≧ 3 も考慮に入れて、
(n,2+dn-d) = (4,47),(47,4),(94,2),(198,1)
の4通りが考えられる。また、dは自然数なので、d ≧ 1 である。
ゆえに、2+dn-d ≧ 2+n-1 = 1+n > n
であるので、これを満たす(n,2+dn-d)の組は
(n,2+dn-d) = (4,47)
のみである。
このとき、
2+4d-d = 47
となり、
このとき、(n,d) = (4,15)
となり、これは条件に適合する。
以上より、
n=4,d=15

(2)(証明)
Sn = 98
のとき、
n(2+dn-d) = 196
となる、
196 = 22×72
であり、n,dはともに自然数であるので、
nと(2+dn-d)の組み合わせは、n ≧ 3 も考慮に入れて、
(n,2+dn-d) = (4,49),(14,14),(28,7),(49,4),(98,2),(196,1)
の6通りが考えられる。
d ≧ 1より 2+dn-d ≧ n であるので、
(n,2+dn-d) = (4,49),(14,14)
の2通りのみが考えられる。

(i) (n,2+dn-d) = (4,49) のとき
2+4d-d = 49
より、
3d = 47
ゆえに、d = 47/3 であるが、dは自然数であるので、これは不適。

(ii) (n,2+dn-d) = (14,14) のとき
2+14d-d = 14
より、
13d = 12
ゆえに、d = 12/13 であるが、dは自然数であるので、これは不適。

以上より、Sn = 98 となる n と d の組は存在しない。
(Q.E.D.)

とことん系の問題ですね。
それでは。


↓↓とことん or ひらめき?↓↓

21:10  |  整数-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.11.08 (Sat)

11/8問題

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
初項が 1 で公差が自然数dである等差数列の初項から第 n 項までの和を Sn とする。 n ≧ 3 のとき、次の問に答えよ。
(1) Sn = 94 となる n と d がちょうど一組ある。その n と d を求めよ。
(2) Sn = 98 となる n と d の組はない。その理由を述べよ。
[2004 神戸大・文]


↓↓シンキング・タイム スタート!↓↓

18:06  |  整数-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2008.11.07 (Fri)

二項定理の続き

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
あと、次のようなこともなんだか面白いですね。

k・nCk = n・n-1Ck-1

証明しましょう。

k・nCk = k・ n!/k!(n-k)! = n・(n-1)!/(k-1)!(n-k)! = n・(n-1)!/(k-1)!{(n-1)-(k-1)}

= n・n-1Ck-1

以上より、k・nCk = n・n-1Ck-1が示された。
(Q.E.D.)

ところで、話は変わりますが、
{(∑[ n,k=1 ] k)2 - ∑[ n,k=1 ] k2} / 2
は何の式を表すでしょう?

計算式がこうなる問題を作ってください。
来週くらいに模範解答を発表しようと思います。

それでは。

↓↓?↓↓

20:09  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.11.06 (Thu)

二項定理の美しき式

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
美しいと思いませんか?

∑[ k=0,n ] nCk = 2n

この式のことを。

nC0 + nC1 + nC2 + ・・・ + nCn = 2n

とは、はたまた素晴らしい式です。
有名ですね。二項定理の醍醐味とでもいえる公式かもしれません。

一応証明をしておきましょう。

∑[ k=0,n ] nCk = 2nの証明
(証明)
(a + b)n = nC0 an b0 + nC1 an-1 b1 + nC2 an-2 b2 + ・・・ + nCn a0 bn
であるので、
(a + b)n = ∑[ k=0,n ] ( nCk an-k bk )

ここで、a = b = 1 とすると、
(a + b)n = (1 + 1)n = 2n = ∑[ k=0,n ] ( nCk1n-k 1k ) = ∑[ k=0,n ] nCk

以上より、
∑[ k=0,n ] nCk = 2n
が示された。
(Q.E.D.)

何度見ても美しいですね。

そういえば、
nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr
の式も美しい式ですね。

これも証明しておきます。

nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr の証明

n-1Cr-1 + n-1Cr = (n-1)! / (r-1)!(n-r)! + (n-1)! / r!(n-1-r)!

= (n-1)!r / r!(n-r)! + (n-1)!(n-r) / r!(n-r)!

= (n-1)!n / r!(n-r)!

= n! / r!(n-r)!

= nCr

以上より、
nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr
が示された。
(Q.E.D.)

これから、パスカルの三角形と二項係数の関係が分かるのですね。
なんとも素晴らしいと思います。
貴方も、そう思いはしませんか?

それでは。

↓↓美しい!↓↓

21:42  |  確率・場合の数-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.11.05 (Wed)

ギリシャ文字

ΑΒΓΔΕΖΗΘΙΚΛΜΝΞΟΠΡ∑ΤΥΦΧΨΩ
αβγδεζηθικλμνξοπρστυφχψω
22:11  |  その他  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2008.11.04 (Tue)

11/3解答

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
(解答)
上からk枚目のカードが、一回のシャッフルによって、上から ƒ(k) 枚目に移動するとする。

ここで、ƒをm回合成して、
ƒ○ƒ○ƒ○・・・○ƒ(k) = k
となるとき、このmが2nであることを示せばよい。

ƒ(k) ≡ 2k (mod (2n + 1) )
であるので、
ƒ○ƒ○ƒ○・・・○ƒ(k) ≡ 2m k (mod (2n + 1) )

ここで、m = 2n
とすると、2m - 1 = (2n - 1)(2n + 1)
より、
2m - 1 ≡ 0 (mod (2n + 1) )
ゆえに、
2m ≡ 1 (mod (2n + 1) )
したがって、
ƒ○ƒ○ƒ○・・・○ƒ(k) ≡ 2m k ≡ k (mod (2n + 1) )

ゆえに、
ƒ○ƒ○ƒ○・・・○ƒ(k) ≡ k (mod (2n + 1) )
となる、mが存在し、m=2nのとき、上式が成り立つことから、
示された。
(Q.E.D.)

↓↓WWWwwwI↓↓

21:34  |  整数-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.11.03 (Mon)

トランプのシャッフル

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
パラパラ・・・とトランプをシャッフルすることがありますよね?リフルシャッフルです。

あのシャッフルを、たとえば次のようにしましょう。
nは自然数です。

1. 2n枚のカードを、上からn枚のところで2つの山に分ける
2. 2つの山に分けられたカードを、それぞれの山の上のカードから順に重ね合わせる


このようなことです。


このとき、次の問題です。

「2n 枚のカードを 2n シャッフルすると、元の順番に戻ることを示せ」

それでは。

↓↓ヒンズー・リフル↓↓

22:11  |  整数-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.11.01 (Sat)

ブログを閉鎖するということ(このブログは閉鎖いたしません)

ブログを閉鎖するとき、それまでの記事は一体どのようにするのでしょうか?

おそらく、各々の性格・そしてブログの内容によるでしょうね。

なんだか一般的な意見ですね。

私の場合であったら、おそらく「閉鎖」などという形はとらないと思います。「更新終了」ということにして、そのまま置いておくと思います。これだけの更新には、かなりの手間がかかっておりますから。一種の宝庫のようなものです。

そうでなくとも、例えば、ただ単にその日の気分による雑記という形式のブログであっても、人によっては、それが宝庫のようなものであるかもしれません。自分の軌跡を表しているものですから。

一体私は何が話したいのでしょうか?


畢竟するに、私は、ブログを閉鎖する、とか、閉店する、などという言葉には非常に敏感なのです。これまでの記事や商品はどうするのか、と思ってしまうわけです。

もったいないな、と。


ま、こういうわけで、あまりよく分からなかったと思いますが、さようなら。

↓↓同意↓↓

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