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2008.12.31 (Wed)

2008年、戊子

2008年、戊子(つちのえね、ぼし)の年も、残り僅かとなってしまいました。

2009年は、己丑(つちのとうし、きちゅう)です。


干支とは、

<<十二支>>

子(ね)
丑(うし)
寅(とら)
卯(う)
辰(たつ)
巳(み)
午(うま)
未(ひつじ)
申(さる)
酉(とり)
戌(いぬ)
亥(い)



<<十干>>
甲(こう・きのえ)
乙(おつ・きのと)
丙(へい・ひのえ)
丁(てい・ひのと)
戊(ぼ・つちのえ)
己(き・つちのと)
庚(こう・かのえ)
辛(しん・かのと)
壬(じん・みずのえ)
癸(き・みずのと)


木(き)・火(ひ)・土(つち)・金(か)・水(みず)の五行と、陰陽の兄(え)・弟(と)を合わせて十干ですね。

干支を「えと」と読むのは、「兄弟」(えと)に由来するようですね。

それでは、よいお年を。


↓↓よいお年を!↓↓

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18:31  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.12.30 (Tue)

カルノーの定理

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

交流掲示板<http://penpenpensama.hp.infoseek.co.jp/Go.html>

今回は第一部です。

図は、またの日に掲載しますので、今回は定理だけでよろしくお願いします。


<<カルノーの定理>>
△A1A2A3とその外心Oがある。
Oから三辺A2A3,A3A1,A1A2それぞれに下ろした垂線の足を O1,O2,O3とする。
このとき、線分OOi (i = 1,2,3)の符号を次のように定める。

(I) 線分OOi が△A1A2A3の外部にあるとき、その符号を負とする。
(II) (I)以外のとき、その符号を正とする。

△A1A2A3の外接円の半径を R,内接円の半径を r とおいたとき、次のことが成り立つ。

OO1+ OO2+ OO3 = R + r    


いかがでしょうか?
美しいと思いませんか?

トレミーの定理から幾何学的に証明をすることもできますが、今回は三角法を用いた証明を行いたいと思います。

残念ですが今日はこれまで。

一度、ご自分で証明してみては?

それでは。

カルノーの定理2へ→

↓↓頑張ります↓↓

21:52  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.12.29 (Mon)

閏秒

<<平成21年(2009年)1月1日(木)
午前8時59分59秒と午前9時00分00秒の間に「8時59分60秒」を挿入します。>>

(http://www2.nict.go.jp/pub/whatsnew/press/h20/080912/080912-1.htmlより)
とありますね。

2009年の元日は閏秒が実施されます。
2008年は閏年でしたね。

増える一秒の楽しみ方を、今から考えてみてはいかがでしょうか?(笑)
それでは。
20:21  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.12.27 (Sat)

60°の問題

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

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それでは、今日は一題出題しようと思います。
久しぶりの幾何学です。

「∠A = 60°の△ABCがあり、∠B,∠Cの二等分線と△ABCの外接円との交点のうち、点B,Cでない方をそれぞれ点D,Eとする。このとき、BD = CE であることを示せ。」




どうでしょう?



それでは、少し下にヒントを書きます。

・・・

・・・

・・・

・・・

・・・

(ヒント)
線分BD及び線分CEの見込む角に注目してみてください。


それでは、授業を延長してもらえば、解答です。



↓↓分かりました!!↓↓

21:29  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.12.26 (Fri)

返答・144

144にありましたコメントへの返答です。

フィボナッチ数列の項以外についても考えてみると、


n進法表記において、


100は、

n2 (n≧2)

で表されるので、平方数です。



121は、

n2 + 2・n + 1

= (n + 1)2 (n≧3)

で表されるので、平方数です。


169も、10進法以上では平方数であることが分かります。


しかし、225は、6進法以上での記数法において、

2n2 + 2n + 5 (n≧6)

となり、これは平方数でありません。


256も、289も、324も、361も違います。

もちろん、5進法以上での記数法においては、400は平方数です。



このように、一概には言えないものなのです。

分かりましたか?
16:17  |  整数-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.12.25 (Thu)

Merry Christmas!

今日はクリスマス。皆様、いかがお過ごしでしょうか?
やはり、街のムードには独特の雰囲気があり、これはこれで、楽しめることですね。日本人は、宗教に対して、形骸化しているような傾向があり、批判されているようなこともあるようですが、私は、このような日本が好きです。
楽しめる時には楽しまなきゃ。
それでは。
18:31  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.12.24 (Wed)

区間縮小法

ご存じでしょうか?区間縮小法を。
その名の通り、区間をだんだんと極限まで狭めていき、限りなく1つになるまでにする方法です。詳しいことはまたの日に。それでは。
18:26  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.12.23 (Tue)

えー

美女と野獣って、ノートルダムの鐘と共通したテーマを持ち合せていますね。
外見では分からないのです。
どうでしょうか?
見た目だけで人を判断してはいないでしょうか?
中身で人を判断出来る、そんな人間になりたいですね。
18:21  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.12.22 (Mon)

コーシー=シュワルツの不等式(数 I /数 B )

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

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今回紹介するのはこれ。

実数 x,y,a,b について、

( a2 + b2 )( x2 + y2 ) ≧ ( ax + by )2

ただし、等号成立は a : b = x : y のとき


というものです。

実はこれ、二つに限ったものではなく、


∑[ i = 1,n]を∑とただ表すことにすると、
実数列{xi},{yi}に対して、

( ∑xi2 )( ∑yi2 ) ≧ ( ∑xi yi )2

が成り立ちます。

↓↓へぇ~↓↓

18:00  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.12.20 (Sat)

サンタクロース

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

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フィンランド国営放送局はロシア国境近いラップランド東部にあるコルヴァトゥントゥリ(その形から耳の山と呼ばれている)をサンタクロースの正式な住居に定めました。


↓↓○へぇ~↓↓
22:29  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.12.19 (Fri)

12/18解答

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

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「平面ベクトル x↑ に対し、実数 ƒ(x↑) を対応させる写像 ƒ(x↑) が次の性質 (*) をもっている。

(*)任意の平面ベクトル a↑ , b↑ に対し、
ƒ(a↑+ b↑) = ƒ(a↑) + ƒ(b↑)
が成り立つ。

このとき、任意の平面ベクトル x↑ に対して、
ƒ(x↑/3) = (1/3)ƒ(x↑)
が成り立つことを証明せよ。」
[2004 京都大・理(後)]


まあ、懼れず立ち向かいましょう。


(解答)
ƒ(x↑)

= ƒ(x↑/3) + ƒ(2x↑/3)

= ƒ(x↑/3) + ƒ(x↑/3) + ƒ(x↑/3)

= 3ƒ(x↑/3)

以上より、

ƒ(x↑/3) = (1/3)ƒ(x↑/3)

であることが示された。

(Q.E.D.)

どうでしょう?
赤字で書いた部分は、証明する上では省いてはいけません。

与えられた条件は

ƒ(a↑+ b↑) = ƒ(a↑) + ƒ(b↑)

ですので、

ƒ(a↑+ b↑+ c↑) = ƒ(a↑) + ƒ(b↑+ c↑)

とは分解できても、一度に

ƒ(a↑+ b↑+ c↑) = ƒ(a↑) + ƒ(b↑) + ƒ(c↑)

と分解することはできません。

必ず

ƒ(a↑+ b↑+ c↑) = ƒ(a↑) + ƒ(b↑+ c↑)

の手順を踏んでから、

ƒ(a↑) + ƒ(b↑+ c↑) = ƒ(a↑) + ƒ(b↑) + ƒ(c↑)

と分解しましょう。

それでは。

↓↓できた!↓↓

17:22  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.12.18 (Thu)

12/18問題

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

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「平面ベクトル x↑ に対し、実数 ƒ(x↑) を対応させる写像 ƒ(x↑) が次の性質 (*) をもっている。

(*)任意の平面ベクトル a↑ , b↑ に対し、
ƒ(a↑+ b↑) = ƒ(a↑) + ƒ(b↑)
が成り立つ。

このとき、任意の平面ベクトル x↑ に対して、
ƒ(x↑/3) = (1/3)ƒ(x↑)
が成り立つことを証明せよ。」
[2004 京都大・理(後)]


見た目に圧倒されてはいけません。解けます。

それでは。

↓↓解いてみせる!↓↓
21:41  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.12.17 (Wed)

144

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

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144は、素晴らしい数字だと思います。

まず、144はフィボナッチ数列に登場します。

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,・・・

そして、この144は平方数であり、フィボナッチ数で唯一の平方数でもあるのです。

そして、素晴らしいのがこれ。

144はどのような記数法においても平方数である


144(10)では、言うまでもなく平方数です。

しかし、n進法で、
144(n)でも、これは平方数であるのです。
ことわっておきますが、nは5以上です。(4という数字を使用しているため)

証明しましょう。

(証明)
144(n)は、10進法で表すと、

1・n2 + 4・n + 4

と表せます。

そして、これは

(n + 2)2

となり、めでたく平方数であることが証明されました。

(Q.E.D.)

素晴らしいですね。

それでは。

↓↓スゲェー↓↓
17:52  |  整数-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2008.12.16 (Tue)

国際科学オリンピック

国際科学オリンピックというものを御存知ですか?

国際科学オリンピックでは、次の大会が毎年開催されています。

国際数学オリンピック(IMO、1959年~、但し1980年は開催せず)
国際物理オリンピック(IPhO、1967年~、但し1973年、1978年、1980年は開催せず)
国際化学オリンピック(IChO、1968年~、但し、1971年は開催せず)
国際情報オリンピック(IOI、1989年~)
国際生物学オリンピック(IBO、1990年~)
(Wikipediaより)

数学オリンピックは、与えられた問題を解くだけ、というシンプルな説明にとどめておきましょう。

情報オリンピックでは、
「競技は個人選で、1日5時間で3問を解くことを計2日行ないます。与えられた問題を解くためにアルゴリズムを考え、それに基づいてプログラムを書き、実際にコンピュータ上で実行させて出力した結果の正しさを競います。使用メモリ量および実行時間に厳しい制限があり、思いつくままに書いたプログラムでは時間内に答が出ないような問題がほとんどであり、良いアルゴリズムを設計するための高い数理的能力がプログラミング技能以上に求められています。使用できるプログラミング言語は C/C++ と Pascal だけです」
http://www.ioi-jp.org/ioi/index.htmlより引用)
とのことです。

それに対し、物理・化学・生物学オリンピックでは、
筆記と実技のようなものに分かれるようです。

なんだか楽しそうですね。
傍から見れば。

おそらく、参加者本人たちは、かなり真剣なのでしょうが。

でもやっぱり楽しんでいるんじゃないですかね?

参加してみないと分かりませんが。

だからといって、簡単に参加できるようなものでもありませんが。


どうでしょう?

他にも、関連した大会に、

国際哲学オリンピック(IPO、1993年~)
国際天文学オリンピック(IAO、1996年~)
国際地理オリンピック(IGO、1996年~、2年に1回)
国際言語学オリンピック(ILO、2003年~)
(Wikipediaより)

などがあります。


興味を持っていただけたでしょうか?

それでは。
19:28  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.12.15 (Mon)

1~10を4つの2でつくる

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
コーシー=プニャコフスキー=シュワルツの不等式
何て名前は今はどうでもいいんですけどね。

本題に移りましょう。
2を4つすべてと、四則計算+、-、×、÷、()と、累乗(22 など)のみをつかって、1~10を作ってみましょう。

すると、ある一つの数字だけ、作れない数字が存在します。

さて、どの数字でしょう?


・・・


ということですが、もう答えを言ってしまってもいいですか?

ご自身で、紙と鉛筆(もちろんパソコンのワードでもメモ帳でも構いませんが)考えてみましょう。

・・・


・・・


どうでしょう?

分かりましたでしょうか?


実は、答えは、なのです。

7だけが、どうしてもできないのです。

しかし、数字は2を4つという条件だけで、四則計算のみという条件を取り払ったら、なんとかして作れます。


例えば、

(2 + 2) !! + 2 ÷ 2

2 + 2 + 2 + [√2]

2H2 + 2 + 2

2H2 + 2 + 2

などがありますね。

授業を延長してもらうと、上の解説と、1~10他の数字についての一例をご覧いただけます。

↓↓みたい!!↓↓
19:23  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.12.13 (Sat)

12/13解答

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
誘導タイプの問題ですね。
「a , b , c を実数とするとき、次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのような場合か。
(1) a2 + b2 + c2 ≧ ab + bc + ca
(2) a4 + b4 + c4 ≧ abc ( a + b + c )」
[1997 東北学院大]

それでは解答です。

(証明)
王道の解き方をいたしましょう。
(1)
(左辺)-(右辺)
= a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca
= (1/2)(a2 - 2ab + b2 + b2 - 2bc + c2 + c2 - 2ca + a2)
= (1/2){(a-b)2 + (b-c)2 + (c-a)2
≧0
(∵実数の二乗の和は0以上)

よって、a2 + b2 + c2 ≧ ab + bc + ca
ただし、等号成立は、a - b = b - c = c - a = 0 つまり、a = b = c のとき。


(2)
(1)の結果のa,b,c にそれぞれ a2,b2,c2 を代入すると、
(a2)2 + (b2)2 + (c2)2 ≧ (ab)2 + (bc)2 + (ca)2

また、(1)の結果のa,b,c にそれぞれ ab,bc,ca を代入すると、
(ab)2 + (bc)2 + (ca)2 ≧ abc ( a + b + c )

これら二つの不等式を合わせて、

(a2)2 + (b2)2 + (c2)2 ≧ (ab)2 + (bc)2 + (ca)2 ≧ abc ( a + b + c )

ゆえに、
(a2)2 + (b2)2 + (c2)2 ≧ abc ( a + b + c )

ただし、等号成立は、a = b = cのとき。


どうでしょうか?
それでは。



↓↓いいですね。↓↓
14:58  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.12.12 (Fri)

12/12問題

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
「a , b , c を実数とするとき、次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのような場合か。
(1) a2 + b2 + c2 ≧ ab + bc + ca
(2) a4 + b4 + c4 ≧ abc ( a + b + c )」
[1997 東北学院大]


↓↓今回はフツーです。↓↓
17:31  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.12.11 (Thu)

セバスチャン

ジーニーが、いきなりセバスチャンを取り出して、バックミュージックにも、一瞬「アンダー・ザ・シー」が流れます。
少し、感動でした。
20:56  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.12.10 (Wed)

お詫び

残念ながら前回の問題の答え、見つけたらすごいです。
それでは。
22:15  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.12.09 (Tue)

問題11/09

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
nを整数とし、n2 + 1 が素数となるものは有限個あるか、それとも無限個あるか。
有限個で、具体的な個数が求まる場合は、それも答えよ。



↓↓解けたらご連絡を↓↓
21:19  |  整数-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.12.08 (Mon)

略語

AI・・・Artificial Intelligence
Ai・・・Autopsy Imaging
DVD・・・Digital Versatile Disc
E.T.・・・The Extra Terrestrial
20:58  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.12.06 (Sat)

10.対角線論法

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
←「9.濃度」へ

それでは、予告通り「濃度の等しくない集合」についてお話したいと思います。

次の集合をご覧ください。

N を自然数の集合とし、
I = { x| x は 0 < x < 1 を満たす実数 }
とします。
もちろん、これらは無限集合です。

結論から言うと、実は、この二つの集合には、

card N < card I

が成り立ちます。

濃度が等しくない上に、実は自然数全体の集合よりも、0から1の区間という一見狭く見える区間内にあるすべての実数の集合の方が、濃度が高いというのです。

今から、これを証明しましょう。

前回の記事より、このことは、

N から I への全単射は存在せず、単射しか存在しない、ということを表しているので、このことを証明します。

N から I への写像では、単射しか存在しないことを示せば、card N < card I が成り立つことが示せる、というわけです。

(証明)
N から I への写像では、単射しか存在しないことを示す。

背理法で証明する。

N から I への全単射が存在すると仮定する。
この写像を ƒ とおく。

以下、位取り記法で表す。
(例えば、a=2 , b=3 とおいたとき、ab という数字は、 2 × 3 = 6 という数字を表すのではなく、単純に 23 という数を表します。)

ƒ(1)
=
0.
a1
a2
a3
a4
a5
a6
・・・
ƒ(2)
=
0.
b1
b2
b3
b4
b5
b6
・・・
ƒ(3)
=
0.
c1
c2
c3
c4
c5
c6
・・・
ƒ(4)
=
0.
d1
d2
d3
d4
d5
d6
・・・
ƒ(5)
=
0.
e1
e2
e3
e4
e5
e6
・・・
ƒ(6)
=
0.
f1
f2
f3
f4
f5
f6
・・・
・・・

となるとします。ただし、それぞれの数列{an},{bn},{cn},{dn},{en},{fn},・・・の項が、すべて0 や 9 になることはなく、項はすべて一桁の自然数であるものとします。
(0.999・・・ = 1 , 0.000・・・ = 0 となり、これは集合 N から I への写像とはならないからです)

ここで、次のような小数を作ります。

α = 0.a1b2c3d4e5f6・・・

です。
この小数αは、
「小数第m位の数は、ƒ(m)の小数第m位の数と等しい」
という小数です。ただし、m は自然数とします。

そして、
a1 とは異なり、0でも9でもない一桁の整数を a
b2 とは異なり、0でも9でもない一桁の整数を b
c3 とは異なり、0でも9でもない一桁の整数を c
d4 とは異なり、0でも9でもない一桁の整数を d
e5 とは異なり、0でも9でもない一桁の整数を e
f6 とは異なり、0でも9でもない一桁の整数を f
・・・
として、

β = 0.abcdef・・・

という小数を作ります。
この小数βは、任意の自然数mにおいて、αの小数第m位とは、一致しません。

そして、βの作り方より、明らかに βは I の要素です。


N から I への全単射ƒが存在すると仮定しているので、
Nのある要素 n について、
ƒ(n) = β
となるような n は必ず存在するはずです。

しかし、βの作り方により、
ƒ(n) の小数第 n 位と、βの小数第 n 位は、絶対に一致することはありません。




ゆえに、βは、写像ƒでは表すことができず、ƒは単射ではありますが、全単射ではありません。
これは、全単射ƒが存在するという仮定に矛盾します。

ゆえに、
card N < card I
であるのです。
(Q.E.D.)



これは、カントールの突飛な頭脳が考え出した証明です。
素晴らしいと思いませんか?

この論法を、対角線論法と言います。

αを作る際に、

ƒ(1)
=
0.
a1
a2
a3
a4
a5
a6
・・・
ƒ(2)
=
0.
b1
b2
b3
b4
b5
b6
・・・
ƒ(3)
=
0.
c1
c2
c3
c4
c5
c6
・・・
ƒ(4)
=
0.
d1
d2
d3
d4
d5
d6
・・・
ƒ(5)
=
0.
e1
e2
e3
e4
e5
e6
・・・
ƒ(6)
=
0.
f1
f2
f3
f4
f5
f6
・・・
・・・

という生成方法を用いたことから、こう名付けられたようです。

どうでしょう?

「写像」の世界も、なかなかに広いものなのです。


↓↓mol/L,%↓↓
21:41  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.12.05 (Fri)

9.濃度

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
←「8.一対一対応」へ
前回の内容をまとめておきます。

有限集合 AB において、要素の個数を #A , #B と表す時、

集合 A から B への単射が存在すれば、
#A ≦ #B

集合 A から B への全射が存在すれば、
#A ≧ #B

集合 A から B への全単射が存在すれば、
#A = #B

である。


上で、不等式にはイコールがついていますが、この等号が成立するのは、結局全単射が存在するときです。

なので、

集合 A から B への単射のみが存在するとき、
#A < #B

集合 A から B への全射のみが存在するとき、
#A > #B

です。


つまり、写像の有無を調べれば、自ずと有限集合の要素の個数の大小関係が見えてくるわけです。


さて、この考え方を用いて、「無限集合」の大きさなるものを比べることはできまいか?

そのように、偉大なる数学者、カントールは考えたわけです。(カントールについてはご自身で御調べください)


そして、次のように表すことにしたのです。

「無限集合 AB において、集合 A から B への全単射が存在するとき、 AB は濃度が等しいといい、
card A = card B
と表す」



有限集合の要素の個数のときと同じように、

集合 A から B への単射が存在すれば、
card A ≦ card B

集合 A から B への全射が存在すれば、
card A ≧ card B

ということが言えます。

また、特に、自然数の濃度を、ℵ0 (アレフゼロ) と言い、また、実数の濃度を、ℵ (アレフ) と言います。


以上のことから、たとえば、N を自然数の集合とし、

E = {2,4,6,8,10,12,14,16,・・・}

とおくと、

例えば、 N から E への写像で、ƒ(x) = 2x という写像を考えると、これは全単射となります。

N から E への全単射が存在しているので、

card N = card E
つまり、
0 = card E

ということが言えるわけです。


今回はここまでです。

次は、濃度の違う集合を見てみましょう。

「10.対角線論法」へ→


↓↓楽しい!!↓↓
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2008.12.04 (Thu)

8.一対一対応

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ

I = {x | 0<x<1}とするとき、

20 = card I


ですね。
アレフ、って言う記号、なんだかいい感じですね。(←気にしないでください。)

←「7.合成写像・合成関数」へ

要素の数が有限である集合の場合、
例えば、
A = {x | xは偶数,100<x≦200}
B = {x | xは奇数,1≦x≦100}
とします。
集合 A の要素の個数を #Aと書くことにすると、この場合、

#A = #B

ですね?

また、
C = {1,2,3}
D = {1,2,3,4,5,6}
とすると、明らかに、

#C > #D

が成り立ちます。

これらのことはすぐに理解できると思います。

一対一写像のことを、単射、上への写像のことを、全射といいます。

こちらの方が、分かりやすく語弊を招きにくい言葉でもありますので、こちらを用いることにします。


例えば、上で定義した集合 A および B について考えると、

集合A を集合 B へと移す写像というものを考えます。

つまり、ƒ:AB
という写像です。

このような写像を探すと、定義域を A として、

ƒ(x) = x - 101

というような写像を見つけることができます。

また、この逆関数 ƒ-1 (x) = x + 101
というのが存在して、
この写像は、集合 B を集合 A へと移す写像であり、また、

ƒ(n) = ƒ(m)
となるような n∊A ,m∊Aという二つの数について考えると、
ƒ(n) = ƒ(m)
より、
n - 101 = m - 101
よって、
n = m
であるので、ƒは単射であるので、先ほどのことより、全単射であることが分かります。

それに対し、
CD について考えます。
C から D への単射というものは存在しますから、(例えばƒ(x) = xという恒等写像)
#C ≦ #D
ということが分かります。

単射の性質を考えれば、明瞭なことです。
C のどの要素からも、 Dの中の要素に、重なることなく対応するような写像が「単射」ということですから、D の中の要素には、C の中の要素と対応しないものがあっても問題ありません。
ゆえに、D には、余りが出る可能性があるので、#C ≦ #Dであるのです。

それに対し、D から C への全射というものが存在します。例えば、g(x) = [x/2]
( [ ]はガウス記号です。 →あなたの誕生日は何曜日?華麗なる節約術など参照)です。

よって、
#D ≧ #C
ということは、こちらからも分かります。(こちらはご自身でお考えください)

一般に、二つの有限集合 ABについて、
A から B への単射が存在するとき、
#A ≦ #B

A から B への全射が存在するとき、
#A ≧ #B

そして、
A から B への全単射が存在するとき、
#A = #B

というようになっております。

しかし、これらは、あくまで「有限集合」での話です。
それでは、無限集合だとどうなるのか?

それが、冒頭で書いたことであるのです。

「9.濃度」へ→

↓↓単射・全射↓
22:01  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.12.03 (Wed)

初等幾何学の面白さ

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ
ベクトルや、座標幾何、解析幾何などで、図形の問題を考えていると、時たま「初等幾何」が恋しくなることがあります。

文明が進むにつれて、先進国は、料理の手段を、どんどんと近代化させていきます。

 ガスコンロを使い始めた時点で、もはや、料理法としては、殆どを尽くしているのですが、それでも「利便」というものを求め続け、「電磁誘導加熱器」なるものや、(所謂「IHクッキングヒーター」)までをも開発してしまいました(これについては、一長一短で、ガスコンロと同等かもしれませんが)。
 それよりも、やはり、「電子レンジ」という、超万能調理機器が存在しているのです。今やオーブンとも同化し、「温める」ことだけでなく、「焼く」こともできるようになり、それ以上のこともできるようになっているようです。
 嘗て、電子レンジで茹で卵を作ることはできませんでした。今となっては有名なことですが、爆発してしまいますね。
 茹で卵は、水を張った鍋をコンロの火にかけ、生卵を茹でる、というのが常識であり、電子レンジで作ろうとする、ずぼらな考えは、邪道でした。
 しかし、今や、電子レンジで、茹で卵を作る器具まで開発されてしまいました。
 そこまでして、電子レンジで茹で卵を作る必要はあったのでしょうか?と思います。
 家から、車の通れない道を通って、徒歩2分で行ける駅に、5分ほどかけてでも、車で行く必要はあるのでしょうか?
 歩けばいいじゃないですか。
 それと同じです。態々電子レンジを使おうとせずに、「ガスコンロの火で茹でる」という王道を堂々と通ればいい訳です。


 ・・・と少々脱線気味なようですが、結局、「便利なやり方が本当に便利なのか」ということです。
 全く頭を使わず、ただ機械的に計算をするだけで、ベクトルや、座標幾何、解析幾何では問題が解けるかも知れません。
 しかし、少し頭を捻って、初等幾何的な解法を編み出せれば、そちらの方が簡単にできるかも知れませんし、こちらの方が、数学的な力はつきそうな気がします。



 矢印も大事ですし、インテグラルも大事です。xy平面だって、大事です。
 しかし、やはり、「初等幾何」も、大事なのではないのでしょうか?


↓↓三垂線の定理・・・??↓↓
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2008.12.02 (Tue)

オイラーの関数

φ(n) はオイラーの関数といわれ、n より小さい自然数のうち、nと互いに素なもの
の個数を表します。
22:09  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2008.12.01 (Mon)

連分数展開

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問題1.船長様の命令です
問題2.二つのダイイング・メッセージ

π = 1+1222324252・・・
3+5+7+9+11

何故、こんなにもπの連分数展開式は美しいのでしょうか?
1 + 1/(3+4/(5+9/(7+16/(9+25/(11+・・・))))
という式になりますね、と言っても、伝わりにくいのでは?
兎に角、分母にまた分数、という状況が何度も何度も繰り返されている、と思ってください。実際そうですから。


√2 = 1+11111・・・
2+2+2+2+2


ちなみに言っておきますが、

1+1+1+1+1+1・・・
22222


とは違う式ですので。

それでは。



↓↓繁分数式とは違うよ。↓↓



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