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2009.01.31 (Sat)

1/30解答

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

交流掲示板<http://penpenpensama.hp.infoseek.co.jp/Go.html>
前回の問題は、
「a3 - b3 = 217 を満たす整数の組 ( a , b ) を求めよ。」
[2005 京都大・理]


です。
影さん、コメントありがとうございます。

一つ、不適と解答なさっている部分がありますが、実際は適しております。

それでは、解答です。

(解答)

a3 - b3

=(a-b)(a2+ab+b2)

であるので、

a - b = m ・・・(i)
a2+ab+b2 = n ・・・(ii)

とおく(m,n はともに整数)と、

(i)より
a = b + m
であるので、これを(ii)に代入して、

(b+m)2 + b(b+m) + b2 = n

∴3b2 + 3mb + m2 - n = 0 ・・・(iii)

b は整数であるので、この式を b についての二次方程式として考えた時、この方程式は解をもつ。
よって、判別式 D ≧ 0 である。

D = 9m2 - 12m2 + 12n ≧ 0

∴ 4n ≧ m2


また、mn = 217 = 7×31 であることと、m,n が共に整数であることを考えると、

(m,n) = (±1,±217),(±7,±31),(±31,±7),(±217,±1) (複合同順)

この中で、4n ≧ m2 を満たす組み合わせは、

(m,n) = (1,217),(7,31)

の二つしかない。

それぞれについて、


(I) (m,n) = (1,217) のとき、

これらの値を(iii)式に代入して、

3b2 + 3b - 216 = 0

∴(b-8)(b+9) = 0

ゆえに、b = -9,8であり、これらの値を(i)式に代入して、
(a,b) = (-8,-9),(9,8)
を得る。


(II) (m,n) = (7,31) のとき、

これらの値を(iii)式に代入して、

3b2 + 21b + 18 = 0

∴(b+1)(b+6) = 0

ゆえに、b = -1,-6であり、これらの値を(i)式に代入して、
(a,b) = (6,-1),(1,-6)
を得る。


以上(I)(II)より、
(a,b) = (-8,-9),(9,8),(6,-1),(1,-6)

である。


どうでしたか?
それでは。


↓↓次回は中国剰余定理↓↓
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17:07  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.01.30 (Fri)

1/30問題

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

交流掲示板<http://penpenpensama.hp.infoseek.co.jp/Go.html>
今日も問題です。
京大です。

a3 - b3 = 217 を満たす整数の組 ( a , b ) を求めよ。


[2005 京都大・理]


整数問題ですね。

それでは。


↓↓頑張ってください。↓↓
18:23  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2009.01.29 (Thu)

1/28解答

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

交流掲示板<http://penpenpensama.hp.infoseek.co.jp/Go.html>
(1) 次の等式 (A) を、数学的帰納法によって証明しなさい。

1 + 2 + 3 + ・・・ + n = n(n+1)/2  ・・・(A)
   
(2) 連続した自然数の組 ( 500 , 501 , 502 , 503 ) は、そこに並んだすべての数の総和が 2006 になるものである。
   500 + 501 + 502 + 503 = 2006
 このように 2 個以上の連続した自然数の組で、そこに並んだすべての数の総和が 2006 になるものをすべて求めなさい。
 ただし、必要ならば、次のように素因数分解できることを利用してよい。
   2006 = 2 × 17 × 59


[2006 慶應大・看護医療]


影さんが解答をくださいました。
ありがとうございます。

それでは、一通り解答を書きましょう。


(1)(証明)
数学的帰納法で証明する。
(I) n = 1 のとき
このとき、
1(1+1)/2 = 1
より、(A)式は成立する。

(II) n = k (kは任意の自然数)のとき、(A)式が成立すると仮定する。

n = k + 1 のとき、

1 + 2 + 3 + ・・・ + k + (k + 1)

= k(k+1)/2 + (k + 1)

= k(k+1)+2k+2/2

= k2+3k+2/2

= (k+1)(k+2)/2

ゆえに、
1 + 2 + 3 + ・・・ + k + (k + 1) = (k+1)(k+2)/2
となるので、
n = k + 1 のときも(A)式は成立する。

以上(I)(II)より、
等式(A)の成立は示された。

(Q.E.D.)

(2)(解答)
自然数 a から b までの和が 2006 になるとする。
ただし、a > b である。

(a+b)(b-a+1)/2 = 2006

であるので、

(a+b)(b-a+1) = 4012 = 22 ・ 17 ・ 59

ここで、
a + b > b - a + 1 ≠ 1
で、a + b と b - a + 1 の偶奇は一致しないので、
a + b と b - a + 1 組み合わせは次のものが考えられる。

(a + b , b - a + 1)
= (1003,4),(236,17),(68,59)

(a + b , b - a + 1) = (1003,4)のとき、
(a,b) = (500,503)

(a + b , b - a + 1) = (236,17)のとき、
(a,b) = (110,126)

(a + b , b - a + 1) = (68,59)のとき、
(a,b) = (5,63)

ゆえに、求める自然数の組は、

(500,501,502,503)
(110,111,112,・・・,124,125,126)
(5,6,7,・・・,501,502,503)
の三組

である。

どうでしたか?
それでは。

↓↓できましたね。↓↓
20:11  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2009.01.28 (Wed)

1/28問題

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(1) 次の等式 (A) を、数学的帰納法によって証明しなさい。

1 + 2 + 3 + ・・・ + n = n(n+1)/2  ・・・(A)
   
(2) 連続した自然数の組 ( 500 , 501 , 502 , 503 ) は、そこに並んだすべての数の総和が 2006 になるものである。
   500 + 501 + 502 + 503 = 2006
 このように 2 個以上の連続した自然数の組で、そこに並んだすべての数の総和が 2006 になるものをすべて求めなさい。
 ただし、必要ならば、次のように素因数分解できることを利用してよい。
   2006 = 2 × 17 × 59


[2006 慶應大・看護医療]



↓↓ノータッチ↓↓
21:49  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(2)  |  EDIT  |  Top↑

2009.01.27 (Tue)

1/26解答

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

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それでは、解答です。
「正の整数の下2桁とは、100の位以上を無視した数を言う。たとえば2000、12345の下2桁はそれぞれ0、45である。 m が正の整数全体を動くとき、 5m4 の下2桁として現れる数をすべて求めよ」
[2007 東京大・文]

それでは。

(解答)
5(x + 10)4

= 5(x4 + 4・10x3 + 6・100x2 + 4・1000x + 10000)

= 5x4 + 200x3 + 3000x2 + 20000x + 10000

よって、
5x4 の下2桁と、5(x + 10)4 の下2桁は変わらない。

(以下、x = 1~10 のときを調べてもよいのですが、もう少し候補を絞ってみましょう)

ここで、n,kを整数として、

5(10n ± k)4

= 100N + k4

(Nは整数)

ということですので、10を基準にして、そこから1引いた数を m に代入しても、逆に1足した数を m に代入しても、どちらも下2桁はそれぞれ等しくなります。

よって、調べるべきなのは、

m = 1,2,3,4,5,10

のときのみです。

それぞれ、

m=1 5m4 = 5
m=2 5m4 = 40
m=3 5m4 = 405
m=4 5m4 =1280
m=5 5m4 = 3125
m=10 5m4 = 50000

ですので、答えは、

0,5,25,80

です。





どうでしたか?

それでは。


↓↓バイバイ↓↓
21:19  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.01.26 (Mon)

1/26問題

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今回も、問題です。
「正の整数の下2桁とは、100の位以上を無視した数を言う。たとえば2000、12345の下2桁はそれぞれ0、45である。 m が正の整数全体を動くとき、 5m4 の下2桁として現れる数をすべて求めよ」
[2007 東京大・文]

それでは。

↓↓バイバイ↓↓
22:07  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.01.24 (Sat)

コーシー=シュワルツの不等式3 (証明)

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それでは、コーシー=シュワルツの不等式、
「項が全て正数である数列{an},{bn}と、任意の自然数mにおいて、
(∑[m,i=1]ai2)(∑[m,i=1]bi2) ≧ (∑[m,i=1]aibi)2
(ただし、等号成立は a1:b1 = a2:b2 = a3:b3 = ・・・ = am:bm のとき)」

を証明しましょう。

(証明)
この証明では、「∑[m,i=1]」を単に「∑」と表します。

xの多項式、

P(x) =∑(ai・x - bi2

について考えます。

ここで、すべての実数 x において、 P(x) は二乗の和となりますので、P(x)≧0 であることが分かります。

ここで、P(x)の右辺を展開します。

P(x)

= ∑(ai2x2 - 2aibix + bi2

= (∑ai2)x2 - 2(∑aibi)x + (∑bi2

ここで、二次方程式 P(x) = 0 の判別式Dについて考えます。


すべての実数 x について、 P(x) ≧ 0 なので、二次方程式 P(x) は、重解をもつか、実数解をもたないかのどちらかです。
ゆえに、D≦0 となります。

D/4 = (∑aibi2 - (∑ai2)(∑bi2) ≦ 0

ゆえに、
(∑ai2)(∑bi2) ≧ (∑aibi2

となります。

また、この不等式の等号が成立するためには、
D/4 = 0 であればよく、このとき、P(x) = 0 は重解をもちます。
ただ、任意の実数 x について、P(x) ≧ 0 ですから、P(x) = 0 が重解をもつときは、 P(x) = 0 が実数解をもつときに限られます。

ここで、P(x) = 0 となるとき、これは、
a1:b1 = a2:b2 = a3:b3 = ・・・ = am:bmかつ x = bi/ai = (確定値) のとき に限られます。

よって、等号成立は、a1:b1 = a2:b2 = a3:b3 = ・・・ = am:bm
のときです。

以上より、示されました。
(Q.E.D.)

どうだったでしょうか?

それでは。

↓↓うん。↓↓
19:39  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.01.23 (Fri)

美女と野獣が・・・

美女と野獣のDVDを求めてレンタルショップへ向かえば、レンタル中。
その時は諦め、日が経ってから出向くと、またもやレンタル中。
くる日もくる日もレンタル中で、今度こそはとレンタルショップへ出向くと、なんと取扱いすらされなくなっているではありませんか。
一体、DVDに何があったのでしょうか?
謎のままですが、非常に無念です。
誰か、「美女と野獣 スペシャル・リミテッド・エディション」をご存じありませんか?
00:27  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.01.22 (Thu)

コーシー=シュワルツの不等式2 (問題)

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次の、コーシー=シュワルツの不等式を証明しなさい。

項が全て正数である数列{an},{bn}と、任意の自然数mにおいて、
(∑[m,i=1]ai2)(∑[m,i=1]bi2) ≧ (∑[m,i=1]aibi)2


(ただし、等号成立は a1:b1 = a2:b2 = a3:b3 = ・・・ = am:bm のとき)


つまり、

(a12 + a22 + a32 + ・・・ + am2)(b12 + b22 + b32 + ・・・ + bm2)

(a1b1 + a2b2 + a3b3 + ・・・ + ambm)2

ということです。



↓↓素晴らしいのです。↓↓
18:53  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2009.01.21 (Wed)

美女と野獣

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ディズニーに音楽からのめりこんでしまいましたね。
本当にいい曲です。

Disney's Magical Melody ~The Best of Alan Menken~Disney's Magical Melody ~The Best of Alan Menken~
(2008/03/05)
ディズニーRobin Williams

商品詳細を見る


このCDがすべての始まりです。
(このCDの存在は、「魔法にかけられて サウンド・トラック」を買った時に、中に入っていたチラシで知りました)

このCDを買って、案の定いい曲ばかりで・・・

最初、このCDの曲の中での一番のお目当ては、
Belle (朝の風景) [Beauty and the Beast]
でした。

CDが実際に手に入って、聞いていると、どの曲もよくて、そこから映画を観たいという気になったのです。

まず最初に観たのが
「The Hunchback of Notre Dame (ノートルダムの鐘)」
です。

このことについては、今回は触れませんが、このようにして、ディズニーの世界へと、旅立ったのです。



ちなみに、僕が見ている映画というものは、すべて、
「アラン・メンケンが音楽を手掛けたもの」であるのです。

続きは、追記部分に書かせていただきます。

美女と野獣バトン

Q1 ディズニーの「美女と野獣(Beauty and the Beast)」、観たことは?
A1 勿論あります。
Q2 (観た人)それは映画?ミュージカル?感想は?/(観ていない人)観たい?
A2 映画のみです。ミュージカルも観たい!やはり、物心がつく前と後では、ぜんぜん違った映画のように思えますね。
Q3 「美女と野獣」を初めて知ったのはいつ?
A3 いつでしょうか?物心がついた時にはとっくに知っておりました。公開は生まれる前ですからね・・・
Q4 登場するキャラクターで知っているのは?
A4 勿論全部知ってますよ。列挙するのはやめておきましょう。
Q5 登場するキャラクターで一番好きなのは?
A5 Lumiereや、LeFouですかね。そういえば、LeFouは、スネ夫のような存在かもしれませんね。
Q6 登場するキャラクターで一番歌が上手いと思うのは?
A6 みんな上手いですけど・・・ここは何となくGastonにしておきましょう。
Q7 登場するキャラクターで一番声が好きなのは?
A7 Lumiereの歌声は気に入っています。Beastの歌声も・・・Mrs.Pottsは包容感があるように思います。
Q8 美女と野獣で知っている曲は?
A8 全部です。歌だと、Belle・Be Our Guest・Gaston・Something There・The Mob Song・Beaty and the Beast・Human Again などです
Q9 美女と野獣で一番好きな曲は?
A9 一番はTransformation ですね。最後のコーラスに至るまで全てが。勿論Beauty and the Beast,Human Again,Belle,Belle(Reprise)もですが。
Q10 自分はガストン派?野獣派?
A10 野獣派。
Q11 「美女と野獣」の原作を読んだことは?
A11 まだなのです。
Q12 (読んだ人)ディズニー版とどっちが好み?/(読んでいない人)読みたい?
A12 とても読みたいのです。
Q13 もし、自分が「変わり者」だと言われていたら?
A13 気にしない。
Q14 野獣の状態の王子と、魔法が解けた後の王子、どっちが好み?
A14 個人的には野獣の状態の方が好きなのです。
Q15 アラン・メンケン&ハワード・アシュマンについて知っている?
A15 勿論。別記させていただきます。
Q16 ベルと野獣の今後について、どうなると思う?
A16 幸せな結婚生活を送るでしょうね。ただ、どうしても崖の底へと転落していったGastonが・・・
Q17 そもそも、「Belle」ってどういう意味?
A17 フランス語で「美しい」とかという意味だそうですね。ベルの本名は一体・・・?
Q18 自分を「美女と野獣」のキャラクターにたとえるなら?
A18 こういう質問苦手なんですよね。Mauriceあたりにしておきましょう。
Q19 それは何故?
A19 なんとなくなんですけどね・・・映画をご覧ください。
Q20 外見と内面、人を選ぶならどっち?
A20 内面
Q21 本当に?
A21 はい
Q22 本音を言うと…
A22 8割程・・・そんなことを言わせないでください!
Q23 野獣のように、人を愛し、信じることはできる?(ex.ベルを城から解放)
A23 やってみないと分かりませんが、できたらいいですね。
Q24 ルミエール(蝋燭)と、コグスワース(時計)の二人、仲がいいと思う?
A24 腐れ縁のようで、実は仲が良さそうです。「喧嘩するほど仲がいい」ともいいますし。
Q25 自分の父親が、モーリスのような「(変わり者の)発明家」だったら?
A25 程度にもよりますし、家庭での父親の態度にもよりますが、あまり気にはしないでしょうね。
Q26 美女と野獣に関連するものを、何か持っている?
A26 サウンドトラック。
Q27 あなたは 美女「ベル」 または 「野獣」 です。それに対して「野獣」または「美女」といえば誰?
A27 意外と直球質問ですね。
Q28 愛の力は何よりも強いと思う?
A28 思いますね。
Q29 「真実の愛」は存在すると思う?
A29 あるんじゃないですか?映画「魔法にかけられて」でもそうですし。
Q30 そしてあなたは、それを夢見ている。
A30 「♪~ I've been dreaming of a true love's kiss…」ですか。あ、これは「真実の愛のキス」ですね。「魔法にかけられて」です。まあ、片隅には・・・?
Q31 自分には「真実の愛」はやって来そう?
A31 さあ、どうでしょう?
Q32 「美女と野獣」の曲で、歌える曲はある?(日本語・英語どちらでも可)
A32 歌詞(英語詞)を見ながらならば、すべて歌えると思いますね。とはいっても、The Mob Song は結構難しいですね。まずは、歌詞に追いつかないといけません。
Q33 城に迷い込むと、家財道具たちがお出迎え。どうする?
A33 ポルターガイスト?かなり焦ります。自分が正気なのかどうかを疑ってしまいそうです。
Q34 ポット夫人のような母親、いてほしい?
A34 包容感ありますしね・・・
Q35 美女と野獣、いままで観た映画の中で何位?または、今、どのくらい観たい?
A35 今のところトップ5には入るでしょうね。ちなみに1位は「The Hunchback of Notre Dame」です。
15:45  |  音楽(リニューアル前)  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.01.20 (Tue)

1/19解答

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さてさて、前回の問題ですね。
「1335 + 1105 + 845 + 275 = n5
を満たす自然数 n の値を求めよ」


解答です。

(解答)
まず、
1335 + 1105 + 845 + 275 ≡ 15 + 05 + 05 + 15 ≡ 2 ≡ 0 (mod 2)
1335 + 1105 + 845 + 275 ≡ 15 + 25 + 05 + 05 ≡ 1 + (-1)5 ≡ 0 (mod 3)
1335 + 1105 + 845 + 275 ≡ 35 + 05 + 45 + 25 ≡ (-2)5 + 05 + (-1)5 + 25 ≡ -1 ≡ 4 (mod 5)

つまり、
n5は、
2の倍数かつ3の倍数、すなわち6の倍数
かつ
5で割って4余る
自然数

である。

ここで、任意の整数 k について、一般に
k5 ≡ k (mod 5)
k5 ≡ k (mod 3)
k5 ≡ k (mod 2)
が成り立つ(証明は後ほど)ので、

n は、
2の倍数かつ3の倍数、すなわち6の倍数
かつ
5で割って4余る
自然数
 ・・・※
である。

ここで、
1335 + 1105 + 845 + 275 = n5
より、
n > 133
であることが必要条件である。

※及び n>133 を満たす n を求めると、
n = 144,174,204・・・

ここで、n = 174 とすると、



n5 = 1745

= 1335 ・ (174/133)5

> 1335 ・ 1.35

>1335 ・ 3

= 1335 + 1335 + 1335

>1335 + 1105 + (84 + 27)5

>1335 + 1105 + 845 + 275

より、

n5 >1335 + 1105 + 845 + 275

であり、この不等式は n が174より大きければ常に成り立つので、

n < 174

先ほどの候補の中で、この範囲を満たす n は、
144
のみである。

どうでしょうか?

※の証明は、授業を延長してご覧ください。

↓↓ エクセレント!↓↓
21:58  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.01.19 (Mon)

1/19問題 ~方程式~

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さて、問題です。
「1335 + 1105 + 845 + 275 = n5
を満たす自然数 n の値を求めよ」


方程式です。
そのまま計算しても、解けないことはないと思いますが、「五乗根を頑張って求めましょう」という問題ではありませんね。
五次方程式には、解の公式はあるようですが、とても手軽に使えるようなものではありません。

工夫して解きましょう。電卓なんて卑怯なマネはここではよしてください。

ヒントは、「消去法」です。そのために、n の候補をあげましょう。


↓↓ "n" ってどんな自然数?↓↓
11:59  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2009.01.17 (Sat)

1/16解答

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三つ子素数の解答ですね。
「n を自然数とする。n , n + 2 , n + 4 がすべて素数であるのは n = 3 の場合だけであることを示せ。」
[2004 早稲田大・政経]


まずは考察してみましょう。
nが偶数であると、明らかに n + 2 と n + 4 は2を因数にもってしまうので、n が奇数であることはすぐに分かります。
n = 3 のとき、3,5,7 となって、確かに成り立ちます。
n = 5 のとき、5,7,9
n = 7 のとき、7,9,11
n = 9 のとき、9,11,13
n = 11 のとき、11,13,15
・・・
n = 101 のとき、101,103,105
・・・

と、勝手に選んで書いてみましたが、こう考えていくうちに、気づきます。
「3の倍数がミソになるのではないか」
これで、解答が書ける筈です。

(証明)
n,n + 1,n + 2 は連続する三整数であり、どれか一つは必ず 3 の倍数である。
また、 n + 1 ≡ n + 4 (mod 3)
より、
n,n + 2,n + 4 のうち、どれか一つは必ず 3 の倍数である。
素数でかつ 3 の倍数であるものは、3 しかないので、
(n,n + 2,n + 4) = (1,3,5),(3,5,7)
の 2 通りのみが考えられる。
しかし、 1 は素数ではないので、(n,n + 2,n + 4) ≠ (1,3,5)
(n,n + 2,n + 4) = (3,5,7)
のとき、これはすべて素数なので、これらのことより、
n を自然数としたとき、n,n + 2,n + 4 がすべて素数であるのは n = 3 の場合だけである。

(Q.E.D.)


それでは。





↓↓三つ子↓↓
22:54  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2009.01.16 (Fri)

1/16問題

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今回は、三つ子素数の問題です。
「n を自然数とする。n , n + 2 , n + 4 がすべて素数であるのは n = 3 の場合だけであることを示せ。」
[2004 早稲田大・政経]


実験、推測、論証の、基本スタイルを貫徹してください。

↓↓トリオ↓↓
18:47  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.01.15 (Thu)

1/14解答

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前回の問題です。
「ある銀河系にはn個の惑星が存在しており、どの2つの惑星間の距離も異なっている。
それぞれの惑星には、天文学者がおり、天文学者は自分のいる惑星との距離が一番近い惑星一つのみを観測する。
nが奇数ならば、どの惑星からも観測されない惑星が必ず存在することを示せ。」


鉄則の「アレ」です。
それでは解答です。

(証明)
数学的帰納法で証明する

(I) n = 1 のとき

明らかに成り立つ。


(II) n = k (kは奇数)のとき、題意が成り立つものとする。
このとき、n = k + 2 とすると、(k + 2) 個の惑星の中に、2惑星間の距離が他のどの2惑星間の距離よりも短い惑星の組が存在する。
この2惑星は、互いに観測し合っているので、この2惑星を除くと、残る惑星はk個であり、仮定より、n = k のときは題意が成り立つので、このとき、題意は成り立っている。
ここに、先ほど除いた2惑星を戻して考えても、題意は成り立つ。


以上 (I) (II) より、題意が成り立つことが示された。
(Q.E.D.)

数学的帰納法は素晴らしいものですね。
これを考えた人を尊敬します。

それでは。

↓↓数学的帰納法!↓↓
18:42  |  論理学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.01.14 (Wed)

1/14問題

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さて、問題ですね。
問題はこちらです。
「ある銀河系にはn個の惑星が存在しており、どの2つの惑星間の距離も異なっている。
それぞれの惑星には、天文学者がおり、天文学者は自分のいる惑星との距離が一番近い惑星一つのみを観測する。
nが奇数ならば、どの惑星からも観測されない惑星が必ず存在することを示せ。」


それでは。

nを見たら、「あの」証明方法ですよ。


↓↓やっていることは演繹法じゃないのか?↓↓
21:08  |  論理学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.01.13 (Tue)

Japan

「日本」のことを、古来中国では
「ジッポン」
と呼んでおり、

マルコ・ポーロが
「ジパング」
と聞きとり、

それが
「ジャパン」
となり、

今に
至っているようです。
21:21  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.01.12 (Mon)

1/10解答

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前回の問題です。
「p を 3 以上の素数とする。 4 個の整数 a , b , c , d が次の3条件
   a + b + c + d = 0 , ad - bc + p = 0 , a ≧ b ≧ c ≧ d
を満たすとき、 a , b , c , d を p を用いて表せ。」
[2007 京都大・文理甲乙]


それでは解いていきましょう。

(解答)
条件より、

a + b + c + d = 0 ・・・(i)
ad - bc + p = 0 ・・・(ii)
a ≧ b ≧ c ≧ d ・・・(iii)
a,b,c,d は整数 ・・・(iv)
p は3以上の素数 ・・・(v)

である。

(i)式より、
d = - a - b - c
であるので、これを、(ii)式を変形した式、p = - ad + bc に代入して、
a(a + b + c) + bc = p
すなわち、
a2 + ab + ac + bc = p
∴a(a + b) + c(a + b) = p
∴(a + b)(a + c) = p

ここで、条件(iii)より、
a + b ≧ a + c

また、(i)式より、a + b = -(c + d)
また、(ii)式より、a + b ≧ c + d
であるから、a + b ≧ 0

以上より、
(a + b,a + c) = (p,1)

これと(i)式より、
b = p - a
c = 1 - a
d = -(a + b + c) = a - 1 - p
・・・(vi)

これを条件(iii)に代入して、
a ≧ p - a ≧ 1 - a ≧ a - 1 - p

a ≧ p - a より、
2a ≧ p

また、1 - a ≧ a - 1 - p より、
2a ≦ 2 + p

以上より、
p ≦ 2a ≦ 2 + p
(iv)より2aは整数で、これと(v)より、2a = 1 + p である。
ゆえに、a = (1 + p)/2

これと(vi)より、
a = (p + 1)/2
b = (p - 1)/2
c = (- p + 1)/2
d = (- p - 1)/2

である。

どうでしたか?
それでは。


※影さん、ご指摘ありがとうございました。

↓↓ふぅ~↓↓

21:10  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2009.01.10 (Sat)

1/10問題

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「p を 3 以上の素数とする。 4 個の整数 a , b , c , d が次の3条件
   a + b + c + d = 0 , ad - bc + p = 0 , a ≧ b ≧ c ≧ d
を満たすとき、 a , b , c , d を p を用いて表せ。」
[2007 京都大・文理甲乙]



↓↓それでは!↓↓


22:09  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.01.09 (Fri)

中間値の定理の考え方

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「ある人は、ある6kmの区間を18分かけて走った。
このとき、この区間のうちで、3分で走った1kmの区間が必ず存在すること示せ。」


直感で考えると、ありそうな、なさそうな・・・というような問題です。

この人が、常に一定の速さで走っていたのならばこのことは自明ですが、実際問題、そんな人はまずいないでしょう。

最初の1kmは15分で走って、残りの5kmを3分で駆け抜けた可能性もあります。恐らく世界に通用するレベルのお方ではないかとは思いますが。


どんな走り方であっても、どこか1kmの区間は、ちょうど3分で駆け抜けているのです。


一応正解を述べておきましょう。

(証明)
スタート地点より x(km) (0≦x≦5)の地点から、x+1(km) の地点を走り抜けるまでにかかった時間を
ƒ(x) (分) とおきます。

すると、
ƒ(0) + ƒ(1) + ƒ(2) + ƒ(3) + ƒ(4) + ƒ(5) = 18

です。

よって、ƒ(0)からƒ(5)まででは、どれかは3以上で、また、どれかは3以下であるはずです。

つまり、0≦a≦5 , 0≦b≦5 ,a<b を満たす実数a,bにおいて、
ƒ(a) ≦ 3
ƒ(b) ≧ 3
となる実数a,bが存在します。
ただし、ƒ(a) < ƒ(b)
です。

また、関数ƒ(x)は、区間 a≦x≦bにおいて連続で、

ƒ(a) ≦ 3 ≦ ƒ(b)

ですので、中間値の定理より、

3 = ƒ(c)となるような実数c (a≦c≦b)が必ず存在します。

以上より、題意は示せました。(Q.E.D.)

中間値の定理です。

簡単に言えば、

「a≦x≦bにおいて定義され、連続する関数ƒ(x)において、

ƒ(a) < ƒ(b)

のとき、

ƒ(a) ≦ y ≦ ƒ(b)

となる y において、

y = ƒ(c)

となる a≦c≦b の範囲内の実数 c が存在する」


というものです。

分かりやすく直感的に説明いたしましょう。

下の図をご覧ください。



chukan.jpg

区間[a,b]における関数ƒ(x)の図です。

点Aから点Bまでこの関数は、途切れることなく、続いています。

そうすると、「?」の部分がどんな形になろうと、この関数は、y座標がƒ(c)となるところを、必ず横切らなければなりません。

分かりますよね?

こういうことです。

厳密な証明は、数III にまかせましょう。

それでは。


↓↓それでは。↓↓


18:57  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.01.08 (Thu)

否定

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ま、ド・モルガンの定理の話になるんでしょうが。
ド・モアブルではありませんよ。以前紹介しましたが。


「P∧Q」の否定は、「¬P∨¬Q」 
「P∨Q」の否定は、「¬P∧¬Q」

ということですね。

「または」は「かつ」、「かつ」は「または」になります。


慣れたら簡単ですが、慣れないうちは意外と戸惑うかもしれません。


「僕は、パンでない朝ごはんは食べないか、お米を昼ごはんに食べる」

の否定はどうでしょうか?




「P∨Q」(または)の形式ですので、この否定は「¬P∧¬Q」です。

今回は、主語の部分は考える必要はありませんね。述部のみです。


P:パンでない朝ごはんは食べない
Q:お米を昼ごはんに食べる

だとすると、

¬P:パンでない朝ごはんは食べる
¬Q:お米を昼ごはんに食べない

であり、これを「かつ」で結べばよいので、

「僕は、朝ごはんにパン以外は食べ、昼ごはんにはお米を食べない」

ということになります。一応、「かつ」でつながれています。しっかり書けば、
「僕は、パンでない朝ごはんは食べ、お米を昼ごはんに食べない」
ですけど。

↓↓ですけど。↓↓



14:22  |  論理学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.01.07 (Wed)

さあ、答えは?

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1の倍数でも2の倍数でもない自然数nが存在するとき、
n5 - m4 = 6 (ただし、mは自然数)
を満たす(n,m)の組をすべて求めよ。


さて、どうでしょう?この問題。

「?」ですよね。


実は、この答はなんでもいいのです。

「P⇒Q」と「¬P∨Q」は同値関係にある、ということは、初回でお話しいたしました。

意味として、「PならばQである」と、「Pでない、または、Qである」は同じだ、ということです。

上の問題は、

「『1の倍数でも2の倍数でもない自然数nが存在する

n5 - m4 = 6 (ただし、mは自然数)を満たす(n,m)の組が存在する』
この命題が真のとき、その(n,m)の組をすべて求めよ」


というように言いかえられます。

「1の倍数でも2の倍数でもない自然数nが存在する

n5 - m4 = 6 (ただし、mは自然数)を満たす(n,m)の組が存在する」
という命題が真という状況は、同値関係で言い換えると、

「1の倍数でも2の倍数でもない自然数nが存在しない
または
n5 - m4 = 6 (ただし、mは自然数)を満たす(n,m)の組が存在する」

という状況です。


ここから判断できるように、1の倍数でも2の倍数でもない自然数nは存在しないので、上の命題は真ということになります。

よって、P⇒QのPの部分が偽であるので、Qの部分はどうであってもいいのです。

(n,m)の組が、(1億,-3兆)であろうと、解なしであろうと、なんでもこの問題は正解です。

どうでしょうか?

そして、これも数学の答えなのです。

それでは。





↓↓解なし↓↓

21:06  |  論理学-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2009.01.06 (Tue)

抛物線とy軸

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放物線(抛物線)
y = x2
上の二点、
A(a,a2)及びB(-b,b2
について考えます。ただし、a,bは非負整数です。

線分ABとy軸との交点の座標は、一体いくらでしょうか?



考えてみましょう。


線分ABとy軸との交点をPとします。

三点A,B,Pをx軸上に正射影した点を、それぞれAx ,Bx ,Px とします。

Ax Px : Px Bx = a : b

ですので、

AP : PB = a : b

よって、三点A,B,Pをy軸上に正射影した点を、それぞれAy ,By ,Py とすると、

Ay Py : Py By = a : b

ということになります。

つまり、点Pは、

点(0,a2)と(0,b2)を a : b に内分する点ですので、

点Pのy座標は、

a2・b/(a+b) + b2・a/(a+b)

= ab(a+b)/(a+b)

= ab

となります。よって、

P(0,ab)

です。


すなわち、

掛け算a×bの答えが現れるのです。

どうでしょうか?

今回はこれまでです。

それでは。

↓↓驚きました↓↓

21:12  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.01.05 (Mon)

↓↓

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↓↓
↓↓ポチッとな↓↓

20:41  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(3)  |  EDIT  |  Top↑

2009.01.03 (Sat)

本日は…

土曜日です。

曜日感覚を失ってしまった人へのお知らせでした。
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2009.01.02 (Fri)

Out There

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外の世界に
憧れます。

↓↓同感ならポチッ!↓↓

22:36  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.01.01 (Thu)

2009

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あけましておめでとうございます。

2009年ですね。


2009という数字に着目すると、

(9002 - 2009) / 9 = 777

となります。

スリーセブンですね。今年はいい年になりそうです。



一般に、

10n-1a1 + 10n-2a2 + 10n-3a3 + ・・・ + an

という n桁 の数と、これをひっくり返した数

10n-1an + 10n-2an-1 + 10n-3an-2 + ・・・ + a1

との差は、9で割りきることができます。

確かめてみましょう。



10n-1a1 + 10n-2a2 + 10n-3a3 + ・・・ + an



10n-1an + 10n-2an-1 + 10n-3an-2 + ・・・ + a1

の差は、

10n-1(a1 - an) + 10n-2(a2 - an-1) + 10n-3(a3 - an-2) + ・・・ + (an - a1)

であり、二つの数 ak と am について、

ak - am = - (am - ak)

ですので、先ほどの差は、

(10n-1 - 1)(a1 - an) + (10n-2 - 101)(a2 - an-1) + (10n-3 - 102)(a3 - an-2) + ・・・  (有限和)

となります。


ここで、

10 ≡ 1 (mod 9)

であり、自然数 N について、

10N ≡ 1N = 1 (mod 9)

であるので、

10k - 10m ≡ 1 - 1 = 0 (mod 9)

となります。結局、10の冪乗から10の冪乗を引いたものは、9で割り切れるということです。

よって、

(10n-1 - 1)(a1 - an) + (10n-2 - 101)(a2 - an-1) + (10n-3 - 102)(a3 - an-2) + ・・・  (有限和)

という数は、9で割りきることができます。




ただ、9で割った値が777になるかどうかは別問題です。

2009年は、特別な年です。

それでは。

↓↓世界陸上!↓↓

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