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2009.02.28 (Sat)

モーレの定理

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今回は、モーレの定理というものを紹介します。とても、美しい定理です。皆さんも、一度は目にしたことがあるのではないでしょうか?

<<モーレの定理>>△ABCの三つの頂角の三等分線を引く。それらの交点を、下の図のようにD,E,Fとしたとき、△DEFは正三角形となるモーレ

さて、これを次回から証明していきましょう。

↓↓すごいですよ。↓↓

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18:45  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.02.27 (Fri)

Something There [Beauty and the Beast] について

ディズニー映画の『美女と野獣』の曲、「愛の芽生え (Something There)」は、もともと「人間に戻りたい (Human Again)」と差し替えられた曲だそうですね。

"Human Again" のスケールと比べると、"Something There" はとても落ち着いた曲になっていて、心が温まりますね。曲の長さもかなり短くなっています。

その後、ミュージカルで "Human Again" が使われることになって以来、IMAXシアター版や、スペシャル・リミテッド・エディションなどでは、新たにこの曲のシーンが加わりました。

どちらも、捨てがたい、いい曲なのです。

当たり前のことなのですが、映画で使われなかった曲は、その曲の完成度が高くないから、なんてことはありません。

映画の時間上の都合や、設定上の都合などによって、「名曲」が発表されないまま眠ってしまうことだってあるのです。

『アラジン』の"Proud of Your Boy" などもそうです。アラジンの母親の設定が映画の作成上削除されてしまったために、苦渋の決断で、この曲を使わないことにしたそうです。

この曲は、作曲アラン・メンケン、作詞ハワード・アシュマンというディズニーの黄金コンビの曲で、ハワード・アシュマンの遺作の一つです。

彼が亡くなってから、この曲は使われないことが決まったようです。



眠っている「名曲」探しの旅に出かけてみませんか?
18:17  |  音楽(リニューアル前)  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.02.26 (Thu)

関数方程式8

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そういえば、2008年の数学オリンピックには、次のような問題が出されていましたね。

数学オリンピックでは、「微積分」「確率統計」「行列」は範囲外とのことです。
チャレンジしてみては?

<<第18回(2008年)日本数学オリンピック本選第4問>>
実数に対して定義され,実数値をとる関数ƒであって,任意の実数x,yに対して,
ƒ(x+y)ƒ(ƒ(x)-y) = xƒ(x) - yƒ(y)
をみたすものをすべて求めよ.


<<第49回(2008年)国際数学オリンピックスペイン大会第4問>>
関数ƒ : (0,∞) → (0,∞) (正の実数に対して定義され,正の実数値をとる関数ƒ)であって,次の条件をみたすものをすべて求めよ.

条件 : wx = yz をみたす任意の正の実数w,x,y,zに対して,
(ƒ(w))2 + (ƒ(x))2
=
w2 + x2
ƒ(y2) + ƒ(z2)
y2 + z2

が成立する.


解いてみてください。
難易度としては、JMO(日本数学オリンピック)本選の方が、格段に難しいと思います。

「必要条件から攻めていく」ということを忘れないでください。

解答は・・・御希望ならお教えいたします。

それでは。

↓↓ハッキリ↓↓



18:44  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.02.25 (Wed)

Can you paint with all the colors of the wind?

["Colors of the Wind" ...from "Pocahontas"]
風の色・・・
素敵な表現です。

曲も、とてもいい曲です。

では。
21:14  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.02.24 (Tue)

緊急事態

オピックス第三エリアタウパリー地区において、大規模な森林火災発生。

三日前より発令された乾燥警報及び避難命令により、タウパリー地区一帯は立ち入り禁止になっていたため、死亡者・負傷者ともになし。

タピルト共和国大統領キリコソール・サルトは、タウパリー森林火災調査委員会を設置、この火災に至った経緯を詳しく調べている。
21:41  |  プラクト  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.02.23 (Mon)

関数方程式7

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さて、今回こそは解説ですね。
問題は、こちらでした。
「関数 ƒ:Z → Z (ただし、Zは整数全体の集合とする)
について、次の2つのことが成り立つ。

(i)任意の整数 x について、
|ƒ(x)| < ∞

(ii)任意の整数 k ,n について、
ƒ(k+n) + ƒ(k-n) = 2ƒ(k)ƒ(n)

このとき、条件を満たす ƒ をすべて求めなさい。」



まず、ƒ(0)は定義されているので、この値について調べてみましょう。

k = n = 0 のとき、(ii)より、

2ƒ(0) = 2{ƒ(0)}2

であることが分かるので、
「ƒ(0) = 0 または ƒ(0) = 1」
です。

1) ƒ(0) = 0 のとき、
(ii)に、n = 0 を代入して、
2ƒ(k) = 2ƒ(k)ƒ(0)
よって、任意の整数 k について、
ƒ(k) = 0
であることが分かります。(必要条件です)

逆に、任意の整数 x について、
ƒ(x) = 0 のとき、
(i)および(ii)は成り立つので、

ƒ(x) = 0 は解の一つです。



2) ƒ(0) = 1 のとき、
(i)より、|ƒ(m)| が |ƒ(x)| (x は整数)の最大値となる整数 m が存在します。

(ii)において、 k = n = m とすると、
ƒ(2m) + ƒ(0) = 2{ƒ(m)}2

よって、
ƒ(2m) = 2{ƒ(m)}2 - 1

となります。

ここで、|ƒ(m)| > 1 のとき、

|2{ƒ(m)}2 - 1| - |ƒ(m)| > 0
より、

|ƒ(2m)| > |ƒ(m)|

となり、ƒ(m)の最大性に矛盾するので、

任意の整数 x に対して、
|ƒ(x)| ≦ 1 です。

|ƒ(m)| は最大値 1 をとります。

ƒ:Z → Z
より、
ƒ(x) の取り得る値は、-1,0,1のいずれかとなります。 ・・・(iii)

また、(ii)に k = 0 を代入して、
ƒ(n) + ƒ(-n) = 2ƒ(n)
より、任意の整数 n に対して
ƒ(-n) = ƒ(n)

よって、ƒ(x)は偶関数ですので、あとは x が自然数であるときのみを調べればよいわけです。

(iii)より、次の三つの場合を考えます。

a) ƒ(1) = -1 のとき
b) ƒ(1) = 0 のとき
c) ƒ(1) = 1 のとき


a)
ƒ(0) = 1, ƒ(1) = -1
なので、
(ii)のk,nに適当な数値を代入して、
ƒ(2) = 1 (k=n=1)
ƒ(3) = -1 (k=2,n=1)
ƒ(4) = 1 (k=3,n=1)

以上より、ƒ(i) = (-1)i (i = 1,2,3,・・・)
であることが予想され、これは数学的帰納法で示せます。

b)
ƒ(0) = 1,ƒ(1) = 0
なので、
ƒ(2) = -1 (k=n=1)
ƒ(3) = 0 (k=2,n=1)
ƒ(4) = 1 (k=3,n=1)
また、
ƒ(-1) = ƒ(1) = 0

以上より、
ƒ(2i) = (-1)i
ƒ(2i + 1) = 0
(i = 1,2,3,・・・)
であることが予想され、これは数学的帰納法で示せます。

c)
ƒ(0) = ƒ(1) = 1
なので、
(ii)のk,nに適当な数値を代入して、
ƒ(2) = 1 (k=n=1)
ƒ(3) = 1 (k=2,n=1)
ƒ(4) = 1 (k=3,n=1)

以上より、
ƒ(i) = 1 (i = 1,2,3,・・・)
であることが予想され、これは数学的帰納法で示せます。




以上 (i),(ii) より、
ƒ(x) = 0
または、
ƒ(x) = (-1)|x|
または、
ƒ(2x) = (-1)|x| かつ ƒ(2x+1) = 0
または、
ƒ(x) = 1

である。


どうでしたか?
それでは。

↓↓すごいですよ。↓↓

20:21  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.02.21 (Sat)

関数方程式6

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前回の問題の答えは次回です。

普通、関数方程式と言えば、微積分が絡んでくるような方程式を思い浮かべることが多いと思いますが、前回の問題のような方程式となると、これといった解法というものはありません。

まず、定義されたさまざまな値を代入して考えることが、第一でしょう。

0が定義域に含まれるのならば、ƒ(0) の値を考えてみたり、
また、ƒ(a) = 0 となるような a の値を考えてみたり・・・

等々、問題によって様々です。

パズルのようなものですね。

それでは。




↓↓明後日に期待↓↓

21:06  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.02.20 (Fri)

関数方程式5

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「関数」の概念を持たない小学生は遉(さすが)に無理でしょうが、中学生でも解けます。

問題です。
「関数 ƒ:Z → Z (ただし、Zは整数全体の集合とする)
について、次の2つのことが成り立つ。

(i)任意の整数 x について、
|ƒ(x)| < ∞

(ii)任意の整数 k ,n について、
ƒ(k+n) + ƒ(k-n) = 2ƒ(k)ƒ(n)

このとき、条件を満たす ƒ をすべて求めなさい。」



↓↓これこそ!!↓↓

21:19  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.02.19 (Thu)

関数方程式4

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「ƒ:R → R (Rは実数の集合)とし、
x,yを実数とする。
ƒ(x+y) = ƒ(x) + ƒ(y) ⇔ ƒ(x) = xƒ(1)」

これが成り立つものとして、次の関数方程式を解け。


x,yを実数とする。
ƒ(x+y) = ƒ(x)ƒ(y)
を満たす定数関数でない関数ƒ(x)を求めよ。」



ということですが、

解いてみましょう。

(解答)
ƒ(x+y) = ƒ(x)ƒ(y) ・・・(i)
とする。
(i)にx=y=0を代入して、
ƒ(0) = ƒ(0)ƒ(0)

ゆえに、ƒ(0) = 1 または 0
しかし、ƒ(0) = 0 のとき、
ƒ(x) = ƒ(x)ƒ(0) = 0
となり、定数関数となるので不適。

よって、ƒ(0) = 1 である。

また、ある x≠0 について、ƒ(x) = 0 のとき、
ƒ(0) = ƒ(x)ƒ(-x) = 0
となり、ƒ(0) = 1 に反する。

よって、すべての実数xについて、ƒ(x)≠0

ここで、任意のxに関し、
ƒ(x) = ƒ(x/2)ƒ(x/2) = (ƒ(x/2))2
で、ƒ(x/2)の値は実数で、また、ƒ(x)≠0より、
ƒ(x) > 0
である。


よって、logƒ(x) = g(x) とおくと、
(i)の両辺の自然対数をとって、
g(x+y) = g(x) + g(y)
であるので、
g(x)=xg(1) となる。

g(1) = logƒ(1) = a
とおくと、

logƒ(x) = xa より、

ƒ(x) = exa

となる。


このように解くのです。
それでは。


↓↓パチパチパチ↓↓

20:39  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.02.18 (Wed)

関数方程式3

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ところで、
すべての実数 x,y について、
ƒ(x+y) = ƒ(x) + ƒ(y)

が成り立つ関数ƒ(x)が微分可能であるとした時、どうなるでしょうか?

関数方程式を解いてみましょう。

まず、
ƒ(x+y) = ƒ(x) + ƒ(y)
の両辺を y で微分すると、
ƒ'(x+y) = ƒ'(y)
となります。このとき、ƒ(x)は定数とみなされているので、微分すると0になります。

y = 0 を代入して、
ƒ'(x) = ƒ'(0)

つまり、ƒ'(x) は定数関数であるので、 ƒ(x) は一次関数となります。

ƒ(x) = ax + b (a≠0)
とおくと、
ƒ(x+y) = ƒ(x) + ƒ(y)
より、
a(x+y) + b = ax + b + ay + b = a(x+y) + 2b

これが、xとyについての恒等式となるので、
a = a
b = 2b
となり、b = 0 なので、結局、
ƒ(x) = ax
となります。

つまり、ƒ'(x) = a となるので、

ƒ(x) = xƒ'(x)

となります。

よって、
ƒ(x) = xƒ'(0)
です。

また、x=1 を代入して、
ƒ(1) = ƒ'(0)
なので、

ƒ(x) = xƒ(1)
ということになります。
( ƒ(x) = ax )


どうでしょうか?

続きがあります。

↓↓パチパチパチ↓↓
21:56  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.02.17 (Tue)

関数方程式2

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まだ「関数方程式」ではありませんね。

前回の問題です。

「関数ƒ及びすべての実数 x,y について、
ƒ(x+y) = ƒ(x) + ƒ(y)
が成り立つとき、すべての有理数 r について、
ƒ(r) = rƒ(1)
が成立することを示せ。」


(証明)
x=y=0 を代入して、
ƒ(0) = 2ƒ(0)
ゆえに、
ƒ(0) = 0 
これより、r = 0 のとき、、ƒ(r) = rƒ(1) は成立する。 ・・・※


(1) r が任意の自然数のとき、ƒ(r) = rƒ(1)が成立することを示す。
数学的帰納法で示す。

(i) r = 1 のとき
ƒ(1) = 1・ƒ(1)
ゆえに、ƒ(r) = rƒ(1)

(ii) r = k(kは自然数)のとき、ƒ(r) = rƒ(1)が成立すると仮定する。
このとき、
ƒ(k+1) = ƒ(k) + ƒ(1) = kƒ(1) + ƒ(1) = (k+1)ƒ(1)
よって、r = k+1 のときも、ƒ(r) = rƒ(1)は成立する。

以上より、r が自然数のときのƒ(r) = rƒ(1)の成立は示された。


(2) r が任意の整数のとき、ƒ(r) = rƒ(1)が成立することを示す。
※と(1)より、r が 0 以上の整数のときのƒ(r) = rƒ(1)の成立は示されているので、r が任意の負の整数のときについて考える。
このとき、r = -n (nは任意の自然数)とおくと、
ƒ(0) = ƒ(n+(-n)) = ƒ(n) + ƒ(-n) = 0
∴-ƒ(n) = ƒ(-n)
これと(1)を合わせて、
-nƒ(1) = ƒ(-n)
r = -n より、
rƒ(1) = ƒ(r)
ゆえに、r が負の整数のときにも、ƒ(r) = rƒ(1) は成り立つ。
よって、r が任意の整数のときのƒ(r) = rƒ(1)の成立は示された。


(3) r が任意の既約分数のとき
r = 1/m (mは0でない任意の整数)とおける。
ƒ(1) = ƒ(m・1/m)
= ƒ((m-1)・1/m) + ƒ(1/m)
= ・・・
= mƒ(1/m)

ゆえに、ƒ(1) = mƒ(1/m)なので、
(1/m)ƒ(1) = ƒ(1/m)
r = 1/m より、
ƒ(r) = rƒ(1)

よって、r が任意の既約分数のときのƒ(r) = rƒ(1)の成立は示された。


(4) r が任意の有理数の分数のとき
(3)より既約分数のときのƒ(r) = rƒ(1)の成立は示されているので、
r = q/p (p,q は互いに素な任意の整数)
であるときのƒ(r) = rƒ(1)の成立を示せばよい。
ƒ(q/p) = ƒ(q・(1/p)) = qƒ(1/p)
ここで、(3)より、
ƒ(q/p) = qƒ(1/p) = q・(1/p)ƒ(1) = (q/p)ƒ(1)
r = q/p より、
ƒ(r) = rƒ(1)

よって、 r が任意の有理数の分数のときのƒ(r) = rƒ(1)の成立は示された。

以上(1)(2)(3)(4)より、r が任意の有理数のときの
ƒ(r) = rƒ(1)
の成立は示された。
(Q.E.D.)

本当に順番が大事な証明です。
是非、マスターしておきましょう。

それでは。




↓↓証明する順番が大事でした↓↓
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2009.02.16 (Mon)

関数方程式

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関数方程式の第一回目です。
いきなり問題です。

「関数方程式」ではありませんが。

「関数ƒ及びすべての実数 x,y について、
ƒ(x+y) = ƒ(x) + ƒ(y)
が成り立つとき、すべての有理数 r について、
ƒ(r) = rƒ(1)
が成立することを示せ。」


↓↓証明する順番が大事↓↓
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2009.02.14 (Sat)

2/13解答

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前回の問題です。

「座標平面上の3点 A(1,0),B(-1,0),C (0,-1) に対し、
   ∠APC = ∠BPC
をみたす点Pの軌跡を求めよ。ただしP≠A,B,C とする。」
[2008 東京大・文]


それでは、解答です。

(解答)
確実な解答は、こちらを見てもらえれば、分かると思いますが、幾何学的に、簡単に説明します。

まず、確認しておきますが、
△ABCは、CA=CBの二等辺三角形です。

∠APC = ∠BPC

となるとき、まず、対称性からも十分分かると思いますが、線分ABの垂直二等分線上に点Pがあるとき、このPは条件を満たします。ただし、P≠Cでないといけません。

また、点Pが線分ABを除く直線AB上にあるときも、∠APCと∠BPCは一致するので、条件を満たします。


最後に、△ABCの外接円の一部である、Cを含まない側の弧AB上(点A,B除く)に点Pがあるときも、∠APCと∠BPCは、二本の弦CA=CBより、同じ長さの弦に立つ角で、尚且つ弦、中心、角の位置関係が同じであるので、条件を満たすことになります。


では。



↓↓ポチッ↓↓
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2009.02.13 (Fri)

2/13問題

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今回の問題は、昨年の、東京大学の入試問題ですので、御存知の方も多いとは思います。

「座標平面上の3点 A(1,0),B(-1,0),C (0,-1) に対し、
   ∠APC = ∠ BPC
をみたす点Pの軌跡を求めよ。ただしP≠A,B,C とする。」
[2008 東京大・文]


↓↓知っています!!↓↓
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2009.02.12 (Thu)

カルノーの定理6

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解答です。
カルノーの定理を使っての問題ですね。

「円に内接する n 角形がある。
この n 角形の頂点のうち、任意の 1 点を選び、そこから n-3 本の対角線を引く。
このようにしてできた n-2 個の三角形の内接円の半径を、
r1,r2,r3,・・・,rn-2
とする。
このとき、どの頂点を選んでも、
∑[i=1,n-2] ri
は一定であることを示せ。」


(証明)
円Cに内接する n 角形の頂点のうち 1 つを選び、そこから引いた n-3 本の対角線によって分けられた n-2 個の三角形を、それぞれ順番に T1,T2,T3,・・・,Tn-2 とする。
また、三角形 Tk の内接円の半径を rk とする。

このとき、三角形 Tk の外接円の中心Oから各辺に下ろした垂線の足を O1[k],O2[k],O3[k]とする。

このとき、カルノーの定理より、三角形 Tkにおいて、外接円の半径を R とすると、
OO1[k] + OO2[k] + OO3[k] = R + rk
∴rk = OO1[k] + OO2[k] + OO3[k] + R

ここで、どの三角形 Tk においても、外接円は同じ円Cであるので、R の値も一定である。また、 O も定点であるので、
(以下、∑[i=1,n-2] を単に∑と表す)

∑ri = (n-2)R + ∑OO1[i] + OO2[i] + OO3[i]

ゆえに、
∑OO1[i] + OO2[i] + OO3[i]
の値が、最初に選ぶ頂点によらず一定であることを示せばよい。


ある三角形 Tm においての線分OO1[m]が、それと隣接した三角形 Tm+1 においての線分OO1[m+1]と一致するとすると、この線分は、Tm においては、三角形の外部にあるが、Tm+1 においては、三角形の内部にあるので、これらの正負は異なる。
よって、これらの値を足し合わせると、打ち消されて 0 になる。

このことは、円Cの中心Oから、 n 角形の n 本の辺に下ろした垂線以外の垂線全てに言えることであるので、結局、

∑OO1[i] + OO2[i] + OO3[i]

の値は、円Cの中心Oから、 n 角形の n 本の辺に下ろした垂線の長さの和に等しい。

ゆえに、この値は最初の頂点の選び方によらず一定である。


以上より、∑ri はどの頂点を選んでも常に一定となる。

(Q.E.D.)

どうでしたか?

それでは。

↓↓カルノーの定理最高↓↓
22:25  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.02.11 (Wed)

カルノーの定理5

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それでは、カルノーの定理を実際に使ってみましょう。

「円に内接する n 角形がある。
この n 角形の頂点のうち、任意の 1 点を選び、そこから n-3 本の対角線を引く。
このようにしてできた n-2 個の三角形の内接円の半径を、
r1,r2,r3,・・・,rn-2
とする。
このとき、どの頂点を選んでも、
∑[i=1,n-2] ri
は一定であることを示せ。」


それでは、どうぞ。

↓↓カルノーの定理最高↓↓
21:24  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.02.10 (Tue)

カルノーの定理4

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←カルノーの定理3

今回で最後ですね。
ちなみに、
cotα = 1/tanα = cosα/sinα = cscαcosα
ですので。

カルノーの定理は、
「△A1A2A3とその外心Oがある。
Oから三辺A2A3,A3A1,A1A2それぞれに下ろした垂線の足を O1,O2,O3とする。
このとき、線分OOi (i = 1,2,3)の符号を次のように定める。

(I) 線分OOi が△A1A2A3の外部にあるとき、その符号を負とする。
(II) (I)以外のとき、その符号を正とする。

△A1A2A3の外接円の半径を R,内接円の半径を r とおいたとき、次のことが成り立つ。

OO1+ OO2+ OO3 = R + r  」

というものです。
それでは前回の証明の続きをいたしましょう。

(証明)<続き>
第三部では、
4Rsin(A1/2)sin(A2/2)sin(A3/2) = r
であることを示し、結論を導きます。


ここで、△A1A2A3 を、 △ABC とします。

karuno-.jpg
BC = a,CA = b,AB = c とおく。

辺BCと内接円との接点をDとすると、
BD = r cot(B/2),CD = r cot(C/2)
BD + CD = a であるので、
r{cot(B/2) + cot(C/2)} = a

ゆえに、
r = a/{cot(B/2) + cot(C/2)}

ここで、
cot(B/2) + cot(C/2) = {cos(B/2)/sin(B/2)}+{cos(C/2)/sin(C/2)}
= {cos(B/2)sin(C/2)+sin(B/2)cos(C/2)}/sin(B/2)sin(C/2)
正弦の加法定理より、
cot(B/2) + cot(C/2) = sin(B/2 + C/2) / sin(B/2)sin(C/2)

よって、
r = a/{cot(B/2) + cot(C/2)}
= a sin(B/2)sin(C/2) / sin{(B+C)/2} ・・・※

ここで、
(B+C)/2 = π/2 - A/2
であるので、
sin{(B+C)/2} = cos(A/2)

また、正弦定理より、a/sinA = 2R で、倍角の公式を用いて、
a = 2R sinA = 4R sin(A/2)cos(A/2)

これらを※式に代入して、
r = 4R sin(A/2)cos(A/2)sin(B/2)sin(C/2) / cos(A/2)

よって、
r = 4Rsin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)


ここで、△ABC を △A1A2A3 に戻す。
これを、
OO1 + OO2 + OO3 = R + 4Rsin(A1/2)sin(A2/2)sin(A3/2)
に代入して、
OO1 + OO2 + OO3 = R + r

(Q.E.D.)

第一部では、幾何学的に、
第二部では、計算を、
第三部では、もう一度幾何学的に、
という証明でしたね。

面白い証明でした。

それでは。


↓↓証明終↓↓


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2009.02.09 (Mon)

カルノーの定理3

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←カルノーの定理2

今回も述べておきますが、
カルノーの定理は、
「△A1A2A3とその外心Oがある。
Oから三辺A2A3,A3A1,A1A2それぞれに下ろした垂線の足を O1,O2,O3とする。
このとき、線分OOi (i = 1,2,3)の符号を次のように定める。

(I) 線分OOi が△A1A2A3の外部にあるとき、その符号を負とする。
(II) (I)以外のとき、その符号を正とする。

△A1A2A3の外接円の半径を R,内接円の半径を r とおいたとき、次のことが成り立つ。

OO1+ OO2+ OO3 = R + r  」

というものです。

それでは前回の証明の続きをいたしましょう。

(証明)<続き>
第二部では、
OO1 + OO2 + OO3 = R + 4Rsin(A1/2)sin(A2/2)sin(A3/2)
と表せることを証明します。
(OO1,OO2,OO3) = (R cosA1,R cosA2,R cosA3)より、
OO1 + OO2 + OO3 = R (cosA1 + cosA2 + cosA3)

ここで、A1,A2,A3は△A1A2A3の内角なので、
A1 + A2 + A3 = π

∴ (A1 + A2 + A3)/2 = π/2

ゆえに、これと、
公式cos(π/2 - α) = sinα,sin(-α) = -sinα
及び、
和積公式
を利用して、

cosA1+cosA2+cosA3

= sin(π/2 - A1) + sin(π/2 - A2) + sin(π/2 - A3)

= sin((-A1+A2+A3)/2) + sin((A1-A2+A3)/2) + sin((A1+A2-A3)/2) + 1 - 1

= 1 - sin((A1+A2+A3)/2) + sin((-A1+A2+A3)/2) + sin((A1-A2+A3)/2)+sin((A1+A2-A3)/2)

= 1 + {sin((-A1-A2-A3)/2) - sin((-A1-A2+A3)/2)} + {sin((A1-A2+A3)/2) - sin((-A1+A2+A3)/2)}

= 1 + 2{cos((-A1-A2)/2)sin(-A3/2) + cos((A1-A2)/2)sin(A3/2)}

= 1 + 2{cos((A1-A2)/2) - cos((A1+A2)/2)}sin(A3/2)

= 1 - 4sin(A1/2)sin(-A2/2)sin(A3/2)

= 1 + 4sin(A1/2)sin(A2/2)sin(A3/2)

ゆえに、

cosA1+cosA2+cosA3

= 1 + 4sin(A1/2)sin(A2/2)sin(A3/2)

よって、

OO1 + OO2 + OO3 = R + 4Rsin(A1/2)sin(A2/2)sin(A3/2)



カルノーの定理4へ→

↓↓明日で最後!!↓↓


18:42  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.02.07 (Sat)

カルノーの定理2

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←カルノーの定理

カルノーの定理は、
「△A1A2A3とその外心Oがある。
Oから三辺A2A3,A3A1,A1A2それぞれに下ろした垂線の足を O1,O2,O3とする。
このとき、線分OOi (i = 1,2,3)の符号を次のように定める。

(I) 線分OOi が△A1A2A3の外部にあるとき、その符号を負とする。
(II) (I)以外のとき、その符号を正とする。

△A1A2A3の外接円の半径を R,内接円の半径を r とおいたとき、次のことが成り立つ。

OO1+ OO2+ OO3 = R + r  」

です。

それでは、証明第一部をお見せしましょう。




(証明)
第一部では、
(OO1,OO2,OO3) = (R cosA1,R cosA2,R cosA3
とおけることを証明します。


OO1 = R cos∠A3OO1 である。
また、∠A3OO1 = (1/2)∠A3OA2である。

OO1のどの部分も△A1A2A3の内部にないとき、∠A3A1A2 = π - (1/2)∠A3OA2となるので、
cos∠A3OO1 = - cosA1

OO1の一部または全部が△A1A2A3の内部にあるとき、∠A1 = (1/2)∠A3OA2となるので、
cos∠A3OO1 = cosA1


ゆえに、線分OO1が(I)の状態のとき、
OO1 = - R cosA1
(II)の状態のとき、
OO1 = R cosA1
となる。

線分OO2,OO3についても同様のことが言え、(I)(II)のように符号が設定されるので、

(OO1,OO2,OO3) = (R cosA1,R cosA2,R cosA3
とおける。


カルノーの定理3へ→

↓↓明日も期待!↓↓

16:47  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.02.06 (Fri)

複素平面で三角形!

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三角形の五心のうち、外心が存在することを、複素平面で証明してみましょう。

以前にも紹介した、「直線の方程式」を利用しましょう。

(証明)
複素平面上で、
異なる3点
A(α),B(β),C(γ)をとる。

また、線分ABの垂直二等分線と、線分BCの垂直二等分線の交点を O(o) とおく。

このとき、Oは線分ABの垂直二等分線上にあるので、

<< | o - α| = | o - β| (基本形)
基本形の両辺を二乗して、絶対値を外すと、

( o - α) ( o - α ) = ( o - β) ( o - β )

( o - α) ( o - α ) = ( o - β) ( o - β )

oo - oα - oα - αα = oo - oβ - oβ - ββ

( α - β ) o + ( α - β ) o + αα - ββ = 0

よって、>>


( α - β ) o + ( α - β ) o + |α|2 - |β|2 = 0  ・・・(i)

また、Oは線分BCの垂直二等分線上にもあるので、

( γ - β ) o + ( γ - β ) o + |γ|2 - |β|2 = 0 ・・・(ii)

(i) - (ii) より、

( α - γ ) o + ( α - γ ) o + |α|2 - |γ|2 = 0

よって、Oは、線分CAの垂直二等分線上にもある。

ゆえに、線分AB,BC,CAそれぞれの垂直二等分線は、一点Oで交わり、また、

| o -α| = | o -β| =| o -γ|

であるので、点Oは三点A,B,Cから等距離にあるので、

点Oは△ABCの外接円の中心となる。
(Q.E.D.)

どうでしたか?それでは。


↓↓簡単ですね↓↓
15:46  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.02.05 (Thu)

中国剰余定理4

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中国剰余定理実践問題解答篇ですね。
「どの数も素数の二乗を因数にもつような、1000000個の連続した整数は存在するか」
ということですが、あっさりとした解答です。
気持ちいいですね。

(解答)
p1,p2,p3,・・・,p1000000
を相異なる1000000個の素数とする。
このとき、
p21,p22,p23,・・・,p21000000
は、すべて互いに素である。

よって、中国剰余定理より、
x ≡ -k (mod p2k )
となる xは存在する。

ゆえに、
x + k ≡ 0 (mod p2k )
となるので、どの数も素数の二乗を因数にもつような、1000000個の連続した整数は存在し、

連続した整数の列、

x + 1 , x + 2 , x + 3 ,・・・, x + 106

が求める1000000個の連続した整数である。

簡単ですね。
それでは。


↓↓中国剰余定理万歳↓↓

21:14  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.02.04 (Wed)

中国剰余定理3

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それでは、問題です。
「どの数も素数の二乗を因数にもつような、1000000個の連続した整数は存在するか」

では。

↓↓勿論「はい」か「いいえ」だけで答えないように↓↓

21:15  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.02.03 (Tue)

中国剰余定理2

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中国剰余定理の証明ですね。

今回は、数学的帰納法で証明したいと思います。


この数学的帰納法、面白いことに、「最小のとき」を証明する方が難しいのです。


どういうことかというと、たとえば、数学的帰納法では、
[I] n=1 のとき
[II] n=k のときに題意が成り立つと仮定したとき、n=k+1
という二段階を踏んで証明しますよね?

普通は、[I]のときの証明はそれほど難しくなく、この証明で一番頭を使うところと言えば、おそらく[II]の方でしょう。

しかし、今回の証明は、[I]の方が難しいのです。

まずは、中国剰余定理です。
「p1,p2,p3,・・・,pkを、どの二つも互いに素である整数とする。
a1,a2,a3,・・・,akを整数とするとき、
x ≡ ai (mod pi) ( i = 1,2,3,・・・,k )
を満たす整数 x が存在する」


証明しましょう。

(証明)
数学的帰納法で証明する。
(今回議論すべきは、i が 2 以上の整数のときです。 i が 1 のときというのは、この定理の意味がありませんから)

[I] k = 2 のとき
a1 = a,a2 = b
とおき、
p1 = m,p2 = n
とおく。

このとき、
x ≡ a (mod m) かつ x ≡ b (mod n) を満たす整数 x が存在することを示せばよい。

ここで、
a,a+m,a+2m,a+3m,・・・,a+(n-1)m
という n 個の整数について考えると、これらはすべて m を法として a と合同である。
また、これらの整数はすべて、 n を法として合同でない。

なぜなら、整数 h,j を用いて、(0≦h<j<n)
a+hm ≡ a+jm (mod n)
と表せるとすると、移行して、
(j-h)m ≡ 0 (mod n)
m,n は互いに素であるので、j-h が n で割り切れなければならないが、0≦h<j<n であることから、j-h が n で割り切れることはないので、
a+hm ≡ a+jm (mod n)
となることもないからである。

整数を n で割った時の剰余は、全部で n 通りあり、
a,a+m,a+2m,a+3m,・・・,a+(n-1)m は、どの 2 つも n を法として合同ではない n 個の整数であることから、
a,a+m,a+2m,a+3m,・・・,a+(n-1)m を n で割った時の剰余は、0 から n-1 の全ての場合を尽くす。

よって、任意の整数 b に対して、
a + lm ≡ b (mod n)
となるような整数 l が存在するので、
x = a + lm
としたとき、これが、
x ≡ a (mod m) かつ x ≡ b (mod n) を満たす整数 x である。

よって、k = 2 のとき、中国剰余定理は成り立つことが示された。


[II] k = u (u は2以上の自然数)のとき、中国剰余定理は成立すると仮定する。
このとき、帰納法の仮定より、
x ≡ ai (mod pi) ( i = 1,2,3,・・・,u )
となる整数 x が存在するので、これを c とする。
また、p1p2p3・・・pu = d
とおく。

このとき、d と pu+1 は互いに素であるので、
x ≡ c (mod d)
x ≡ au+1 (mod pu+1)
となる整数 x は、[I] より存在する。

よって、k = u+1 のときも中国剰余定理は成立する。


以上 [I] [II] より、中国剰余定理の成立は示された。
(Q.E.D.)

とても素晴らしい、見事な証明だと思いませんか?

それでは。

↓↓素晴らしい!!↓↓

22:28  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.02.02 (Mon)

中国剰余定理

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中国剰余定理です。
「剰余の定理」とは違う定理です。
ちなみに、「剰余の定理」とは、
「整式P(x)を x-a で割った余りは、P(a) の値に等しい」
というものです。
ここから、「因数定理」にも発展しますね。

今回は、中国剰余定理です。
まずは、下をご覧ください。


『孫子算経』の一節です。

「今有物、不知其数。三・三数之、剰二。五・五数之、剰三。七・七数之、剰二。問物幾何?
答曰:二十三。
術曰:『三・三数之、剰二』、置一百四十。『五・五数之、剰三』、置六十三。『七・七数之、剰二』、置三十。并之、得二百三十三。以二百一十減之、即得。凡、三・三数之、剰一、則置七十。五・五数之、剰一、則置二十一。七・七数之、剰一、則置十五。一百六以上、以一百五減之、即得。」


つまり、
「3で割ると2余り、5で割ると3余り、7で割ると2余る数は?」
という問題と、その答え、及び解説です。

日本の和算では、江戸時代に日本にこの問題が伝えられ、「百五減算」と言われていました。


ここから、「中国」という名前がついたようです。

それでは、定理の内容について見ていきましょう。

たとえば、次の表をご覧ください。



2で割った余り
3で割った余り
5で割った余り
1
1
1
1
2
0
2
2
3
1
0
3
4
0
1
4
5
1
2
0
6
0
0
1
7
1
1
2
8
0
2
3
9
1
0
4
10
0
1
0
11
1
2
1
12
0
0
2
13
1
1
3
14
0
2
4
15
1
0
0
16
0
1
1
17
1
2
2
18
0
0
3
19
1
1
4
20
0
2
0
21
1
0
1
22
0
1
2
23
1
2
3
24
0
0
4
25
1
1
0
26
0
2
1
27
1
0
2
28
0
1
3
29
1
2
4
30
0
0
0


1~30 までの整数を、2,3,5それぞれで割った時の剰余を表にしてみました。

何か、気付くことはありませんか?

そうです。全ての「余りの組み合わせ」が一つずつ登場しているのです。

例えば、ƒ(x,y,z) という関数を、
「2で割ると x 余り、3で割ると y 余り、5で割ると z 余る整数で、1以上30以下のもの」というように定義すると、
(ただし、x=0,1 y=0,1,2 z=0,1,2,3,4)
ƒ(0,0,0) = 30
ƒ(1,0,4) = 9
ƒ(1,2,4) = 29
というように、すべて一意に定まります。

このようなことを述べた定理が、中国剰余定理です。



<<中国剰余定理>>
「p1,p2,p3,・・・,pkを、どの二つも互いに素である整数とする。
a1,a2,a3,・・・,akを整数とするとき、
x ≡ ai (mod pi) ( i = 1,2,3,・・・,k )
を満たす整数 x が存在する」


つまり、ある整数を、
p1で割った余り、p2で割った余り、p3で割った余り、・・・
の組が、どんな組であろうと、それを満たすある整数 x というものは存在する、という定理です。


それでは、これを証明してみてください。

それでは。

↓↓次回は証明↓↓


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