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2009.03.31 (Tue)

3/30解答

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

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前回の問題です。
「∠A = 20°,AB = AC の二等辺三角形ABCにおいて、点DをBC = AD となるように辺AC上にとる。このとき、∠ADBの大きさを求めよ。」
QUIZ.jpg

それでは、解答です。

(解答)
BCを一辺とする正三角形EBCを△ABC内に描く。
ANSWER.jpg
∠ABC = ∠ACB = (180°- 20°)/2 = 80°
であり、
∠EBC = ∠ECB = 60°
であるので、
∠ABE = ∠ACE = 20°

△AEB と △BDA において、
AB = BA
BE = AD
∠ABE = ∠BAD (=20°)
より、二辺夾角の合同で、
△AEB ≡ △BDA

よって、∠ADB = ∠BEA

∠BEA = (360°- 60°)/2 = 150°
であるので、
∠ADB = 150°

補助線は大事ですね。
それでは。

↓↓GOAL↓↓


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22:21  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(3)  |  EDIT  |  Top↑

2009.03.30 (Mon)

3/30問題

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「∠A = 20°,AB = AC の二等辺三角形ABCにおいて、点DをBC = AD となるように辺AC上にとる。このとき、∠ADBの大きさを求めよ。」
QUIZ.jpg

頑張ってくださいね。

↓↓START↓↓


22:21  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.03.28 (Sat)

数学マジック脚注

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やはり、数式にも、厳しい「条件」というものが課せられるわけです。

理論づくしの世界ですね。

↓↓・・・↓↓

21:28  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.03.27 (Fri)

数学マジック

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次の公式は、実際に成り立つ有名な公式です。

1 + x + x2 + x3 + x4 + ・・・ = 1/(1-x)

また、

1 + 1/x + 1/x2 + 1/x3 + 1/x4 + ・・・ = x/(x-1)


それでは、一つ目の式を x 倍して、辺々を足し合わせてみましょう。

1 + x + 1/x + x2 + 1/x2 + x3 + 1/x3 + x4 + 1/x4 + ・・・

= x/(1-x) + x/(x-1)

= x/(1-x) - x/(1-x)

= 0

明らかに

(左辺)≠ 0

と思えますが、0 になるという計算。

ちなみに、最初の式に x = 2 を代入すると、

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ・・・ = -1

ということにもなります。

摩訶不思議。

↓↓不可思議。↓↓

18:00  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.03.26 (Thu)

eが無理数であることの証明2

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それでは、ネイピア数

e = ∑[n=0,∞](1/n!) = 1 + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!) + ・・・

と定義して、
eが無理数であることを証明します。

(証明)
背理法で証明する。
e = a/b (a,bはともに自然数)とする。(eが正の数であることは明らか)
ここで、b!eを考えると、
b!e = b!・a/b = (b-1)!a
よって、b!e は整数。
しかし、
b!e
= b!{1 + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!) + ・・・ + (1/b!)} + b![{1/(b+1)!} + {1/(b+2)!} + ・・・]

となり、
b!{1 + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!) + ・・・ + (1/b!)}
は約分されて整数となるが、

b![{1/(b+1)!} + {1/(b+2)!} + ・・・]
= 1/(b+1) + 1/(b+2)(b+1) + ・・・

となり、整数でないので、

b!e は整数でないが、これはb!e が整数であることに矛盾する。

よって、e は a/b の形で表せない、つまり、有理数でないので、e は無理数である。

(Q.E.D.)

それでは。


↓↓どうでしたか?↓↓


21:17  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.03.25 (Wed)

eが無理数であることの証明

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それでは、ネイピア数

e = ∑[n=0,∞](1/n!) = 1 + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!) + ・・・

と定義して、
eが無理数であることを証明してみましょう。

挑戦してみてください。

それでは。

↓↓挑戦、お待ちしております!!↓↓


22:38  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.03.24 (Tue)

3/23解答

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それでは京都大学の問題の解答です。
「(x100 + 1)100 + (x2 + 1)100+ 1 は、x2 + x + 1 で割り切れるか?」


(解答)
x3= 1の解のうち、1でない解の1つをωとおく。

このとき、
ω2+ ω + 1 = 0
ω3= 1

が成り立つ。
ƒ(x) = (x100 + 1)100 + (x2 + 1)100+ 1

として、

ƒ(ω) = (ω100 + 1)100 + (ω2 + 1)100+ 1

= (ω + 1)100 + (ω2 + 1)100 + 1

= (-ω2)100 + (-ω)100 + 1

= ω2 + ω + 1

= 0

また、

ƒ(ω2) = (ω200 + 1)100 + (ω4 + 1)100+ 1

= (ω2 + 1)100 + (ω + 1)100 + 1

= (-ω)100 + (-ω2)100 + 1

= ω + ω2 + 1

= 0

つまり、
ƒ(ω) = ƒ(ω2) = 0

であるので、

ƒ(x) は (x - ω)(x - ω2) = x2 + x + 1 で割り切れる。


まあ、できるようになりましょう。
↓↓YES!↓↓


21:30  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.03.23 (Mon)

3/23問題

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京都大学の問題です。
「(x100 + 1)100 + (x2 + 1)100+ 1 は、x2 + x + 1 で割り切れるか?」

それでは。

↓↓解けます↓↓


17:23  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.03.21 (Sat)

もうすぐ2009年度


年度末、いかがお過ごしでしょうか。
22:45  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.03.20 (Fri)

シュタイナー・レームスの定理3

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では、二つ目の証明です。
「任意の三角形において、2つの内角の2等分線の長さが等しければ、その三角形
は、二等辺三角形であることを証明せよ。」



(証明)
△ABCにおいて、辺AC上に点D,辺AB上に点Eを、BD,CEがそれぞれ∠B,∠Cの2等分線となるようにとる。
このとき、 BD = CE であるとする。
背理法で示す。

(図は前回のものを使用しています)
シュタイナー


∠B >∠C と仮定する。
このとき、∠Bも∠Cも鋭角である。鈍角のとき、明らかにBD = CEは成り立たない。
∠B = 2β,∠C = 2γとし、BC = a,CA = b,AB = c とする。
このとき、
△ABC = △BAD + △BCD = c sinβ + a sinβ
△ABC = △CAE + △CBE = b sinγ + a sinγ
よって、c sinβ + a sinβ = b sinγ + a sinγ

ここで、90°>β>γ>0°より、sinβ>sinγであるので、
a sinβ> a sinγ

よって、c sinβ< b sinγ
また、cosβ< cosγであるので、
c sinβcosβ< b sinγcosβ
両辺2倍して、
2c sinβcosβ< 2b sinγcosβ
倍角の定理より、
c sin2β< b sin2γ
つまり、
c sinB < b sinC

しかし、
2△ABC = ac sinB = ab sinC
より、
c sinB = b sinC
であるので、矛盾。


∠B < ∠C のときも同様にして矛盾が示せる。

この矛盾を回避できるのは、∠B = ∠C のときのみであるので、
この三角形は、AB = AC の二等辺三角形となる。

ゆえに、題意は示された。
(Q.E.D.)


おもしろかったですね。
それでは。

↓↓再脱帽↓↓



18:28  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.03.19 (Thu)

シュタイナー・レームスの定理 ヒント2

次回は、シュタイナー・レームスの定理に別証を与えたいと思います。
三角比を使ってみましょう。それでは。
00:31  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.03.18 (Wed)

シュタイナー・レームスの定理2

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では、証明です。
「任意の三角形において、2つの内角の2等分線の長さが等しければ、その三角形
は、二等辺三角形であることを証明せよ。」



(証明)
△ABCにおいて、辺AC上に点D,辺AB上に点Eを、BD,CEがそれぞれ∠B,∠Cの2等分線となるようにとる。
「BD = CE ⇒ ∠B = ∠C」 が成り立つことを示せばよい。
シュタイナー

∠B >∠C のとき、
∠FBD = ∠ACE となるような点Fが線分AD上にとれる。
また、BF = CG となる点Gを辺AC上にとり、GH//FBとなる点Hを線分CE上にとる。

△BFDと△CGHにおいて、
∠FBD = ∠GCH
BF = CG
∠BFD = ∠CGH (∵平行線による同位角)

以上より、二角とその夾辺が合同であるので、
△BFD ≡ △CGH

よって、
BD = CH

CHは線分CE上の点で、点C,Eとは異なる点であるので、
BD < CE

以上より、
∠B > ∠C ⇒ BD < CE ・・・(i)
また、同様にして(対称性より)
∠B < ∠C ⇒ BD > CE ・・・(ii)
また、∠B = ∠C のとき、対称性より、
∠B = ∠C ⇒ BD = CE ・・・(iii)

(i)(ii)(iii)の仮定はすべての場合を尽くしており、結論は互いに排反な事象であるので、それぞれの命題の逆も成り立つ。
(↑転換法

ゆえに、
BD = CE ⇒ ∠B = ∠C
が成り立つことが示された。

よって、題意は示された。

(Q.E.D.)



ふうん、なかなかエレガントですね。

それでは。


↓↓脱帽↓↓

22:34  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.03.17 (Tue)

もうすぐ年度末

やり残したことは、ありませんか?
22:40  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.03.16 (Mon)

シュタイナー・レームスの定理 ヒント

さて、今回は初等幾何学的に証明してみましょう。

「転換法」がポイントです。

それでは、明日証明です。 

それでは。
22:38  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.03.14 (Sat)

シュタイナー・レームスの定理

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いきなり問題です。
「任意の三角形において、2つの内角の2等分線の長さが等しければ、その三角形
は、二等辺三角形であることを証明せよ。」


この定理は、シュタイナー・レームスの定理と呼ばれています。

一見簡単そうですが、難しい問題です。

挑戦してみてください。

↓↓挑戦!↓↓

22:19  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.03.13 (Fri)

リクエスト、受付中

どしどしリクエストしてください。
22:31  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.03.12 (Thu)

モーレの定理6

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モーレの定理5の証明の続きをいたしましょう。
モーレの定理は、こちら

(証明)[続き]
モーレ
ここで、BX=BY',CX=CZ'となる点Y',Z'をそれぞれ辺AB,AC上にとる。

このとき、△BY'Z ≡ △BXZ,△CXY ≡ △CZ'Y (∵二辺夾角の合同)であり、△XYZは正三角形であるから、
Y'Z = ZY = YZ' ・・・(i)

また、△UZYはUZ=UYの二等辺三角形であるから、
∠UZY = ∠UYZ
で、∠ZUY = ∠BUC = π - 2β - 2γ
ゆえに、
∠UYZ + ∠UZY = 2β + 2γ
よって、
∠UYZ = ∠UZY = β + γ

ここで、
3α + 3β + 3γ = π
であるので、
α + β + γ = π/3
よって、
β + γ = π/3 - α

ゆえに、
∠UZX = ∠UYX = 2π/3 - α

である。

∠BZY' = ∠BZX,∠CYZ' = ∠CYX であるから、
∠UZY' = ∠UZX = 2π/3 - α
∠UYZ' = ∠UYX = 2π/3 - α

ゆえに、∠Y'ZY = ∠ZYZ' = π - 2α

また、0<α<π/3 であるので、
∠Y'ZY = ∠ZYZ' > 60°・・・(ii)

(i) (ii) とナラニエンガーの定理より、
Y',Z,Y,Z'は同一円周上にあり、また、∠Y'AZ'= 3α なので、
Aも同じ円周上にある。

よって、(i)と円周角の定理より、

∠Y'AZ = ∠ZAY = ∠YAZ' = α

ゆえに、△ABCにおいて、線分AY,AZは∠Aの三等分線、線分BZ,BXは∠Bの三等分線、線分CX,CYは∠Cの三等分線となり、△XYZは正三角形となるので、モーレの定理(モルリーの定理)は示された。

(Q.E.D.)


どうでしたでしょうか?

それでは。

↓↓完成!↓↓

21:14  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.03.11 (Wed)

明日、モーレの定理証明終了!

今日はすみませんね。
明日、必ず定理を証明いたします。
ご期待ください。
Coming Soon...
19:58  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.03.10 (Tue)

タピルト共和国新大統領

タピルト共和国大統領にアレイン氏就任
 一〇日午前九時ごろ、キリコソール・サルト氏はアプレオ・アレイン氏に大統領を引き継いだ。
18:24  |  プラクト  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.03.09 (Mon)

モーレの定理5

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モーレの定理3の証明の続きをいたしましょう。
モーレの定理は、こちら

(証明)[続き]

モーレ

△ABCにおいて、
∠A = 3α
∠B = 3β
∠C = 3γ
とおく。

図のように∠Bと∠Cの三等分線の交点をU,Xとする。

すると、△UBCにおいて、BXとCXはそれぞれ∠B,∠Cの二等分線であるから、点Xは△UBCの内心である。

ゆえに、線分UXは∠BUCを二等分する。

ここで、∠UXZ = ∠UXY = 30°
となるように点Z,Yをそれぞれ線分BU,CU上にとる。

すると、△UXZと△UXYにおいて、
UXは共通
∠UXZ = ∠UXY = 30°
∠ZUX = ∠YUX
なので、二角と夾辺の合同より、
△UXZ ≡ △UXYなので、

XZ = XY

さらに、∠ZXY = 60°なので、△XYZは正三角形となる。


本日はここまでです。
次回は、この正三角形を見ていきましょう。

それでは。

モーレの定理6へ→

↓↓応援してください↓↓

19:46  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.03.07 (Sat)

モーレの定理4

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すいません、今日はヒントだけで。

モーレの定理3で、ナラニエンガーの定理は証明されました。

これをモーレの定理の証明には使うのですが、最後です。
それまでは、使いません。

まず、△ABCの∠Bと∠Cの三等分線を引いてください。そして、自分で、正三角形を作ってみます。s前半では、この作り方がポイントなのですが、それは次回。

正三角形を作れば、後半では、その正三角形は∠Aに対しても条件を満たしていることを示します。

どうでしょうか?

すみませんね。

それでは。

↓↓あ~あ↓↓




21:07  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.03.06 (Fri)

速報

キリコソール・サルト大統領辞意表明
 タピルト共和国大統領、キリコソール・サルトは六日午前一〇時頃、突然辞意を表明した。
 サルト家は一〇〇年前にアレイン家との派閥争いで勝ってから、今に至るまで大統領を務めてきた家系で、今回のキリコソール大統領の辞任を受け、アレイン家が次期大統領選に参加する意思を固めている。
 アレイン家は、タピルト共和国創立当時から大統領を務めていた家系であり、今は次期大統領としてアレイン家の方が優勢である。
21:40  |  プラクト  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.03.05 (Thu)

モーレの定理3

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それでは、モーレの定理を証明しましょう。
まず今回は、ナラニエンガーの定理を証明しておきます。

(証明)
まず、次の定理を証明する。

ナラニエンガーの定理

4点A,B,C,Dが次の条件、
(i) AB = BC = CD
(ii) ∠ABC = ∠BCD = 180°- 2α> 60°
を満たすとき、4点A,B,C,Dは同一円周上にあり、さらに、点EがADに関してOと同じ側にあり、∠AED = 3α を満たすとき、点Eも他の4点と同じ円周上にある。


∠ABC,∠BCDそれぞれの二等分線を引き、その交点をOとする。
ナラニエンガー
このとき、∠OCB = ∠OBC = 60°-αとなるので、△OBCは二等辺三角形である。

また、△ODCと△OCBにおいて、
∠OCD = ∠OCB
OCは共通
DC = CB
であるので、二辺とその夾角の合同より、
△ODC ≡ △OCB

また△OCBと△OBAについても同様に、
△OCB ≡ △OBA
であることが分かるので、以上より、
OA = OB = OC = OD

よって、4点A,B,C,Dは点Oを中心とする同一円周上にある。


また、ここで、
∠DOC = ∠COB = ∠BOA = 2α
であるので、
∠DOA = 6α

ゆえに、∠AOD = 2∠AED
よって、円周角の定理の逆より、点Eも4点A,B,C,Dと同じ円周上にある。


(ナラニエンガーの定理 証明終)

モーレの定理5へ→


今日はここまでです。

それでは。

↓↓次回もやります。↓↓





21:35  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.03.04 (Wed)

演繹定理

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モーレの定理の証明はもう少しお待ちを。

今日は演繹定理です。

ここに入る前に、まずはこれを。

三段論法というものはご存知ですよね?

PならばQである。
Pである。
よって、Qである。

というような証明法です。

これを記号で表すと、次のようになります。(環境によっては正しく表示されない可能性がございます)

((P→Q)∧P) ⊢ Q

ここで、
「→」は、「ならば」という「含意」
「∧」は、「かつ」という「論理積」
「 ⊢ 」は、「証明可能」
ということを表しています。

演繹定理とは、次のようなものです。
「P ⊢ Q」 → 「 ⊢ P → Q 」

つまり、 Pという論理式からQという論理式が証明可能であるのならば、仮定なしに「PならばQ」は証明可能である、ということです。


難しいですか?

これも証明をやらねば。

では。

↓↓がんばります!↓↓


21:49  |  論理学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.03.03 (Tue)

Part Of Your World

リトル・マーメイドより、
「Part Of Your World」(パート・オブ・ユア・ワールド)
「Part Of Your World (Reprise)」(パート・オブ・ユア・ワールド (リプライズ))
です。

リプライズ、曲だけで泣ける程の曲です。(それほどいい曲なのです!)

「Part Of Your World」では、アリエルが自分の欲しいものについて語ります。
そこでは、自分の欲望しか語られていません。
歌詞にも、「Part of your world」というフレーズはでてきません。すべて、「Part of that world」です。

しかし、リプライズでは、違います。
エリックという人がいるのです。
「Part of your world」というフレーズが歌われます。

どうでしょうか?
21:42  |  音楽(リニューアル前)  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.03.02 (Mon)

モーレの定理2

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モーレの定理の証明、ということですが、今回は、特別な知識の少なくて済む、初等幾何学での証明を行いたいと思います。
ただし、結構ややこしいので、何回かに分けていきましょう。

今回の証明には、次の定理を使います。

<<ナラニエンガーの定理>>
「4点A,B,C,Dが次の条件、
(i) AB = BC = CD
(ii) ∠ABC = ∠BCD = 180°- 2α> 60°
を満たすとき、4点A,B,C,Dは同一円周上にあり、さらに、点EがADに関してOと同じ側にあり∠AED = 3α を満たすとき、点Eも他の4点と同じ円周上にある。」


次回からは、まず、これを示すことから始めましょう。

↓↓次回、本格始動↓↓


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