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2009.04.30 (Thu)

思ったこと

中学入試算数、高校入試数学でも、面白い問題はいっぱいあります。
試してみては?
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22:43  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.04.29 (Wed)

コンパスの可能性4

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

交流掲示板<http://penpenpensama.hp.infoseek.co.jp/Go.html>

それでは実際に、与えられた任意の円Cの中心Oをコンパスだけで作図してみましょう。

(1)円Cの円周上に、任意の点Aをとる。
(2)点Aを中心として、任意の半径の円Γ を描き、この円と円Cとの交点をそれぞれP,Qとする。
(3)円Γ と同じ半径の円(半径AP = AQ)を描き、二円の交点のうちAでないほうをBとする。
(4)点Bを、円Γ に関して反転させた点が、求める中心Oである。

分かりましたでしょうか?

解析は、またの日に。
それでは。


↓↓フンッ↓↓
19:36  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.04.28 (Tue)

無限の彼方を利用する2

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

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「1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ・・・ = 2
などの和を用いて、素数が無限個あることを証明せよ。」
とのことですね。

証明してみましょう。

(証明)
少々イレギュラーですが、次の事柄は既知の事実として扱います。
このことは、また後日、詳しくお伝えしましょう。

1 + 1/n + 1/n2 + 1/n3 + 1/n4 + ・・・ = n/(n-1) ・・・※

です。

これを使います。


素数が
2,3,5,7,・・・,p
というように有限個だとすると、全ての自然数は、

2e2 3e3 5e5 7e7 ・・・ pep

というように因数分解されます。 ・・・☆

ただし、
e2,e3,e5,e7,・・・,ep は非負整数です。

ここで、

ζ = (1 + 1/2 + 1/22 + 1/23 + ・・・)(1 + 1/3 + 1/32 + 1/33 + ・・・)(1 + 1/5 + 1/52 + 1/53 + ・・・)・・・(1 + 1/p + 1/p2 + 1/p3 + ・・・)

という積を考えます。

ζの右辺を展開すると、☆より、この和はすべての自然数の逆数の和ということになり、

ζ = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ・・・

となります。

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ・・・

1 + 1/2 + (1/4 + 1/4) + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + ・・・) + ・・・
=
1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ・・・
=


よって、ζは無限大に発散します。


ところが、※より、

ζ = 2・(3/2)・(5/4)・・・・・(p/p-1)

となり、有限の確定値を持ちます。

よって、矛盾が示せたので、

素数は無限個あります。






それでは。


↓↓OH!↓↓

22:20  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.04.27 (Mon)

無限の彼方を利用する

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

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「1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ・・・ = 2
などの和を用いて、素数が無限個あることを証明せよ。」

↓↓Hi!↓↓
23:22  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.04.25 (Sat)

物を失くしてはいけません。

そう、定規を失っただけで、私の気力は半減する。

下敷きを使用するにも、下敷きは使用中。

芯のケースは不透明である故、使いづらい。また、短い。

そう、定規は必要なのだ。

真っ直ぐな線が引けないと、

どの教科でも、途中でモチベーションが下がってしまうのだ。
21:03  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.04.24 (Fri)

イレギュラーですが。

一応・・・

俳句創作部をよろしくお願いします。

俳句甲子園
22:55  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.04.23 (Thu)

コンパスの可能性3

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では中心Oの円C(半径 r )に関して点Pを反転させてみましょう。

点Pが円Cの外部にある場合
1.Pを中心として半径OPの円を描き、この円と円Cとの交点をそれぞれA,Bとする。
2.A,Bそれぞれを中心として、半径OA = OB = r の円を描く。
3.二つの円の交点のうち、Oでない点をQとする。このとき、Qが求める点である。

点Pが円Cの内部にある場合
1.OP = nOP' となるような点P'をとる。ただし、n は任意の数で、P'が円Cの外部にあるようにとる。
2.上の「点Pが円Cの外部にある場合」と同様にして、P'を反転させた点Q'を作図する。
3.OQ' = nOQ となるような点Qをとる。このとき、Qが求める点である。

解析はまたの日に。

それでは。


↓↓。。↓↓
22:18  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.04.22 (Wed)

コンパスの可能性2

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コンパスだけで円の中心を作図するには、まず次のことをご存じでないといけません。

中心O、半径 r の円Cがあり、外部に点P,内部に点Qがあり、

OP・OQ = r2

が成り立つとき、点Pと点Qは円Cに関して対称といいます。

そして、点Pに対して点Qを,又は点Qに対して点Pを対応させることを「反転」といいます。

さて、円Cの外部の点、内部の点それぞれを、円Cに関してコンパスのみで反転させてください。


↓↓考えてください。↓↓
22:08  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.04.21 (Tue)

コンパスの可能性

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まずは、知っている方もいらっしゃるとは思いますが、この問題です。

「任意の円Cが与えられたとき、コンパスのみで円Cの中心Oを作図せよ。」

それでは。

↓↓どうぞ。↓↓
19:31  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.04.20 (Mon)

4/18解答

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「i = √(-1) と定義する。このとき、
i i は実数か。」

ということでしたね。

解答です。

(解答)
i = cos(π/2) + i ・sin(π/2) = e(π/2) i
とおけるので、

i i
= e{ (π/2) i } i

= e(π/2) i ・i

= e-(π/2)

e , -(π/2) はどちらも実数であるので、

e-(π/2)

は実数の実数乗となる。

よって、e-(π/2) は実数であるので、

i i は実数である。

面白いですね。
それでは。


↓↓ね。↓↓
22:28  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.04.18 (Sat)

4/18問題

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「i = √(-1) と定義する。このとき、
i i は実数か。」

奥深い。


↓↓奥深し↓↓
21:56  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.04.17 (Fri)

4/16解答

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さて、今日は問題の解答です。
「72009 を 41 で割った余りを求めよ.」

72009 = (750)40・79
ここで、41は素数であり、750 は 41 の倍数でないので、
フェルマーの小定理
より、
(750)40 ≡ 1 (mod 41)
が成り立ちます。
よって、
72009 ≡ 79 (mod 41)
です。
79
= 7・494
≡ 7・84 (mod 41)
≡ 7・642 (mod 41)
≡ 7・232 (mod 41)

7・232
= 161・23
≡ -3・23 (mod 41)
≡ -69 (mod 41)
≡ 13 (mod 41)

ゆえに、
72009 を 41 で割った余りは、
13です。

懐かしいですね。フェルマーの小定理。
さあ、思い出しましょうね。

それでは。


↓↓数学は面白い↓↓
19:01  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.04.16 (Thu)

4/16問題

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さて、今日も問題です。
「72009 を 41 で割った余りを求めよ.」

↓↓考えてください↓↓
21:07  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.04.15 (Wed)

さて、ツェラーの形式を思い出しましょう

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「13日の金曜日はどの年にも少なくとも1日は存在することを証明せよ。」

証明をしましょう。

使う公式は、あなたの誕生日は何曜日?華麗なる節約術で紹介しました、ツェラーの公式です。


ツェラーの公式です。

a百b年c月d日の曜日を求める。
(aは西暦の上2桁、bは西暦の下2桁。1月・2月の場合は前の年の13月・14月として計算する。よって、2008年1月は2007年13月として計算する。)

そのとき、
W=[a/4]-2a+[b/4]+b+[13(c+1)/5]+d
とし、
Wを7で割った余り(Wが負の数の時は、Wに7の倍数を足して正の数にする。例えばW=-1なら、Wに7の倍数の7を足して、6にする)が0の時は土曜日、1の時は月曜日、2の時は火曜日、・・・6の時は金曜日となる。(下図)
余り0123456
曜日


(証明)
a,b,d を固定し、c が3から14までの値をとるとき、 [13(c+1)/5] と {0,1,2,3,4,5,6} が mod 7 で合同となればよい。
(つまり、[13(c+1)/5] を7で割った余りが、0から6までのすべての値をとればよい)

c に対する [13(c+1)/5] の値と、それを 7 で割った余りを表に表すと、下図のようになる。

c
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
mod 7
3
6
1
4
6
2
5
0
3
5
1
4


[13(c+1)/5] と {0,1,2,3,4,5,6} が mod 7 で合同となるので、示された。
(Q.E.D.)

ちなみに、これを見る限り、3月から10月の間に少なくとも一回、13日の金曜日が存在することも分かり、1日から28日は、毎年、すべての曜日に当たっている、ということが分かります。

それでは。



↓↓終了↓↓

22:07  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.04.14 (Tue)

さて、復習問題

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「13日の金曜日はどの年にも少なくとも1日は存在することを証明せよ。」

使う公式は?

↓↓既に公式は紹介しましたよ↓↓

22:35  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.04.13 (Mon)

フェルマーの最終定理を考える4

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昨日紹介した問題ですね。
 「ある世界的組織は6カ国のメンバーから構成される。組織のメンバーリストには1978人が登録し、各人が1,2,・・・,1978番と番号付けられている。このとき次のようなメンバーが少なくとも一人はいることを証明せよ。
『その人の番号は同じ国の2人の人の番号の和であるか、あるいは同じ国のある人の番号のちょうど2倍である』」


証明をここでしてしまうのは、さすがにやめた方が良いと思います。
証明を聞きたい方は、直接お話しするしか方法はありません。


ただし、題意は考えておきましょう。

例えば、1,2,3,4,5という5つの数字をすべて、重複がないように、2つの集合A, Bに分けます。

ただし、A ≠ φ,B ≠ φ です。(AもBも空集合でない)

このとき、
どちらかの集合の中では、
「ある要素は、他の2つの要素の和になっているか、あるいは他の数字のいずれかのちょうど2倍である」
というようなことが起きないように振り分けられるでしょうか?

例えば、
A に 1 という数字を入れましょう。
すると、2 は B に入れなければなりません。

ここで、3 を A に入れると、 4 は B に入ることになりますが、4 は、すでに B にある数 2 の 2 倍であるので、Bに入れてはいけません。

よって、 3 は B に入れてみましょう。
4 は B に入ってはいけないので、 A に入る必要があります。

このとき、
A = {1,4}
B = {2,3}
となります。最後に 5 を振り分けますが、どちらに入ることもできません。
5 = 1 + 4 = 2 + 3
であるからです。


これが、題意を簡略化し、 2 カ国 と 5 人 という規模で考えた場合です。

このくらいの量であったら、実際に操作を行って証明することができますが、
6 カ国 と 1978 人という規模となると、そうはいきません。

「何かうまい証明」

というものが必要になります。


このくらいですね。

ちなみに、これの証明、内容は別に難しいものではありません。その発想にいたるということが、難しいことなのです。

それでは。





↓↓やはり難しい↓↓

16:10  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.04.11 (Sat)

フェルマーの最終定理を考える3

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その、数学オリンピックの問題というのが、これです。

 「ある世界的組織は6カ国のメンバーから構成される。組織のメンバーリストには1978人が登録し、各人が1,2,・・・,1978番と番号付けられている。このとき次のようなメンバーが少なくとも一人はいることを証明せよ。
『その人の番号は同じ国の2人の人の番号の和であるか、あるいは同じ国のある人の番号のちょうど2倍である』」



ものすごくエレガントな証明がありました。 

それでは。

次へ



↓↓難しい↓↓

22:52  |  整数-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2009.04.10 (Fri)

企業城下町

さて、かの有名企業、ダイハツの本社はどこにあるでしょうか?





正解は、
「大阪府池田市ダイハツ町1番1号」
です。



企業の名前がそのまま住所になってしまう、なんてこと、よくありますよね。

カタカナがそのまま住所になってしまうのですから、驚きです。
「南アルプス市」にはあまり違和感を感じませんけどね。


旭川市パルプ町       山陽国策パルプ(現:日本製紙)
仙台市青葉区ニツカ     ニッカウヰスキー
豊田市トヨタ町       トヨタ自動車
津市雲出鋼管町       日本鋼管(現:JFEスチール)
笠岡市鋼管町        日本鋼管(現:JFEスチール)
福山市鋼管町        日本鋼管(現:JFEスチール)
山陽小野田市セメント町   小野田セメント(現:太平洋セメント)
津久見市セメント町     小野田セメント(現:太平洋セメント)
佐世保市ハウステンボス町  ハウステンボス
太田市スバル町       富士重工業

すごいですね。





↓↓企業城下町!↓↓

17:22  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.04.09 (Thu)

フェルマーの最終定理を考える2

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それでは早速、リブリの定理を証明しましょう。

<<リブリの定理>>
「p,q はともに奇素数であるとする。
pを固定して、
xp + yp ≡ zp (mod q)

を満たす自然数 (x,y,z) の組が、
xyz ≡ 0 (mod q)
を満たす自然数 (x,y,z) の組しか存在しないような q が無限に存在するならば、フェルマーの最終定理は正しい。」



(証明)
仮定を満たす奇素数 q の無限列を
q1,q2,q3,・・・  ― (i)

とする。

フェルマーの最終定理が正しくなく、

ap + bp = cp

を満たす自然数 a,b,c が存在すると仮定する。

当然、この a,b,c の組は

ap + bp ≡ cp (mod q1)

を満たす。

すると仮定より、

abc ≡ 0 (mod q1)

となり、abc は q1 の倍数であることが分かる。

同様にして、 abc は q1,q2,q3,・・・ の倍数となる。

しかし、qi は無限個あるので、 abc は無限の大きさを持つこととなり、矛盾。

ゆえに、リブリの定理は示された。

(Q.E.D.)

このようになるので、無限列 (i) を見つけられれば、フェルマーの最終定理の証明は完了するわけですが、この方向性はシューアという人物によって閉ざされました。

彼の発表した定理は次のような定理です。

<<シューアのフェルマー合同式定理>>
「奇素数 p を固定する。この p に対し、定数Nが存在して、q≧N なるすべての奇素数 q に対して、

xp + yp ≡ zp (mod q)

かつ、

xyz と 0 は q を法として合同でない

を満たす自然数 x,y,z の組が存在する。」


これで、無限列 (i) の存在は否定されました。

この定理の証明は、ここではいたしません。

非常に面白い定理、「シューアの定理」を使って証明するのですが、「シューアの定理」も、また面白い定理です。

以前、数学オリンピックにこれを簡略化した問題が出題されたこともあります。

とっても、エレガントな証明方法でした。


次へ

↓↓奥深いですね↓↓

18:15  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.04.08 (Wed)

フェルマーの最終定理を考える

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フェルマーの最終定理、御存知ですね。

「nを3以上の自然数とするとき、
xn + yn = zn

を満たす自然数 (x,y,z) の組は存在しない。」


というものです。

今でこそ証明されましたが、このような難問になると、様々な定理が副産物として生まれます。

次の定理も、その一つです。


<<リブリの定理>>
「p,q はともに奇素数であるとする。
pを固定して、
xp + yp ≡ zp (mod q)

を満たす自然数 (x,y,z) の組が、
xyz ≡ 0 (mod q)
を満たす自然数 (x,y,z) の組しか存在しないような q が無限に存在するならば、フェルマーの最終定理は正しい。」


さて、証明してみてください。

難しくはありませんよ。

次へ

↓↓解決!↓↓

21:34  |  整数-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.04.07 (Tue)

4/4解答

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ようやく解答です。

「(1+tan1゜)(1+tan2゜)(1+tan3゜)・・・(1+tan42゜)(1+tan43゜)(1+tan44゜)
の値を求めよ。」



(解答)
加法定理より、
tan(45°- θ) = (tan45° - tanθ)/(1+tan45°tanθ)
=(1-tanθ)/(1+tanθ)

である。

ここで、
(与式)
={(1+tan1゜)(1+tan44゜)}{(1+tan2゜)(1+tan43゜)}{(1+tan3゜)(1+tan42゜)}
・・・{(1+tan22°)(1+tan23°)}

であり、
中カッコ内は、θ=1°,2°,3°,・・・,22°
において、すべて
(1+tanθ){1+tan(45°-θ)}
の形になっている。

(1+tanθ){1+tan(45°-θ)}
= (1+tanθ){1 + (1-tanθ)/(1+tanθ)}
=(1+tanθ){(1+tanθ)/(1+tanθ) + (1-tanθ)/(1+tanθ)}
=(1+tanθ) + (1-tanθ)
= 2

となるので、

(1+tan1゜)(1+tan2゜)(1+tan3゜)・・・(1+tan42゜)(1+tan43゜)(1+tan44゜)

= 222

である。


ま、こんなところで。

↓↓終↓↓


21:41  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2009.04.06 (Mon)

7の倍数判定法

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最早記事の順番が滅茶苦茶ですね。
4/4の問題の答えは明日にしましょう。

今回は、4/1の問題の解答の補足のようなかたちになります。

7の倍数の判定法をお教えしましょう。


まず、次の数が7の倍数かどうか、判別してみてください。

24028917

386512

173999168

さあ、お分かりでしょうか?


正解は、次のように判定します。

まず、24028917から。

まず、下から3桁ずつ区切ります。

24|028|917

すると、24,28,917という3つの数字になりました。

これを、交互に足し引きします。
下から計算します。

917 - 28 + 24 = 916

916を7で割ってみると・・・

916 ÷ 7 = 130 ・・・ 6

割りきれません。

よって、24028917は7の倍数ではありません。


次は、386512です。

386|512

となりますので、

512 - 386 = 126

126 ÷ 7 = 18

と割り切れますので、386512は7の倍数です。


最後の173999168も同様に考えましょう。

173|999|168

168 - 999 + 173 = -658

-658 ÷ 7 = -94

割り切れましたので、173999168も7の倍数です。


ただ、最後に3桁の数を7の倍数かどうか判定しなければなりません。
これにも方法があります。

先ほど出てきた最終段階の数字、
916
126
-658
の3つを見てみましょう。

916の場合、
91 - 6×2 = 79
これは7で割り切れないので、916は7の倍数ではない。

126の場合、
12 - 6×2 = 0
これは7で割り切れるので、126は7の倍数である。

-658の場合、(658について確かめればよい)
65 - 8×2 = 49
これは7で割り切れるので、-658は7の倍数である。

という具合です。



それでは、授業を延長してもらえれば、これらのことの証明をご覧いただけます。

↓↓素晴らしい!!↓↓

18:54  |  整数-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

2009.04.04 (Sat)

4/4問題

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今回も問題です。

「(1+tan1゜)(1+tan2゜)(1+tan3゜)・・・(1+tan42゜)(1+tan43゜)(1+tan44゜)
の値を求めよ。」


この掛け算、計算してみてください。

↓↓surprise↓↓


22:20  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.04.03 (Fri)

4/1解答

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それでは、今回は解答篇です。
「相異なる9個の数 a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9 があり、すべて1以上9以下の自然数である。
k = 1,2,3,4,・・・
について、
a1a2・・・ak

がkの倍数となるような組
(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9)

を求めよ。

ただし、a1a2・・・akというのは位取り記法であって、

たとえば、a1=1,a2=2,a3=3であれば、

a1a2a3 は 123 という数を表す。」



(解答)
まず、
a1a2a3a4a5

は5の倍数であるので、末尾a5は0か5ですが、条件よりa5= 5 と決定します。

また、a2,a4,a6,a8 は偶数です。

1~9 には偶数は4つしかないので、他はすべて奇数です。

a1a2a3a4は4の倍数なので、

末尾a3a4は4の倍数である必要があります。

a3は奇数であるので、末尾 a4 は 2 か 6 であることが分かります。

また、a1a2a3a4a5a6a7a8 は8の倍数なので、

a6a7a8が8の倍数であり、a6は偶数なので、a7a8が8の倍数です。

a7は5でない奇数なので、

a7a8 = 16,32,72,96

という4つの候補に絞れます。

整理しておきましょう。今の時点で、
a1 = 1,3,7,9
a2 = 4,8
a3 = 1,3,7,9
a4 = 2,6
a5 = 5 (確定)
a6 = 4,8
(a7,a8) = (1,6),(3,2),(7,2),(9,6)
a9 = 1,3,7,9

です。


a1a2a3,a1a2a3a4a5a6,a1a2a3a4a5a6a7a8a9 は、

それぞれ3の倍数、6の倍数、9の倍数であるので、

a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9はそれぞれ3の倍数である必要があります。

a4 + a5 + a6 = a4 + 5 + a6

が3の倍数であり、a4 = 2,6 なので、

(a2,a4,a6,a8) = (4,2,8,6),(8,6,4,2)

のいずれかであることが分かります。

・・・

もうお分かりですね。

この二通りと、「3の倍数」という条件から、すべてを調べていき、最後に「7の倍数」の条件を遣います。

「7の倍数」の条件については、後日お伝えしましょう。

それでは。

ちなみに、答えは

(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9) = (3,8,1,6,5,4,7,2,9)

ですよ。


↓↓パズルでした↓↓


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2009.04.02 (Thu)

ディズニー・オン・クラシック2009!!

昨日の問題は明日、解答を。

とうとう今年もやってきましたね、
ディズニー・オン・クラシック まほうの夜の音楽会 2009
公式サイト http://www.disney.co.jp/onclassic/index.html#/top/


今年はライオンキングだそうですね。

憧憬
20:52  |  音楽(リニューアル前)  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.04.01 (Wed)

4/1問題

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

交流掲示板<http://penpenpensama.hp.infoseek.co.jp/Go.html>

またもや問題です。
パズルですよ。

「相異なる9個の数 a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9 があり、すべて1以上9以下の自然数である。
k = 1,2,3,4,・・・
について、
a1a2・・・ak

がkの倍数となるような組
(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9)

を求めよ。

ただし、a1a2・・・akというのは位取り記法であって、

たとえば、a1=1,a2=2,a3=3であれば、

a1a2a3 は 123 という数を表す。」


↓↓応援します↓↓


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