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2009.06.30 (Tue)

どこでもドア

ドラえもんの道具、『どこでもドア』は、誰もが憧れる道具の一つです。
これがあれば、どれだけ便利なことか。

そう言えば、ドラえもんの道具と言えば、地球破壊爆弾というものについて、かなり前に議論した覚えがあります。
パラドックスでしたね。

それはともかく、どこでもドア、もし本当に存在したら、永久機関が作れますね。

滝壺に、どこでもドアを滝に対し垂直に設置します。移動先は、数メートル上にしておきます。

すると、滝の水は決して下に落ちることなく、二つのどこでもドア(入口と出口)の間を落ち続けるのです。

つまり、位置エネルギーがなくならないわけです。

これを、たとえば水力発電の機関に利用すれば、少量の水を一度上まで運ぶだけで、あとは永久機関の出来上がり。

クリーンなエネルギー。


U = mgh

どうでしょう?

どこでもドア、開発しません?




↓↓できたらポチッ↓↓

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21:26  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.06.29 (Mon)

相変わらず作曲しています。

今日は、こちらです。
作曲しちゃいました。

コンピューターによる演奏ですが、ご了承を。

ピアノ曲です。楽譜はリンク集からジャンプできる「自作部屋」にありますので、よかったらどうぞ。

Destiny 第一楽章
http://www.youtube.com/watch?v=SRz1yvM4KSU&fmt=18





Destiny 第二楽章
http://www.youtube.com/watch?v=jQnxb54S1hI&feature=channel&fmt=18






↓↓気になったらポチッ↓↓

18:22  |  音楽(リニューアル前)  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.06.27 (Sat)

6/24解答

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

交流掲示板<http://penpenpensama.hp.infoseek.co.jp/Go.html>

お待たせしました、解答です。
「(1) 2つの有理数の和は、また有理数であることを示せ。
(2) 次の命題(P)とその証明を考える。

 (P) : q1,q2,q3,・・・ が有理数であるとき、その無限和 は有理数である。


 証明 :
 q1,q2が有理数だから、 q1+q2 は有理数である。
 そこで、n を 2 以上の自然数とし、Q = ∑[i=1,n]qi が有理数であると仮定する。
 このとき、∑[i=1,n+1]qi = Q + qn+1 であり、 Q もqn+1も仮定によって有理数だから、
 ∑[i=1,n+1]qiもまた有理数である。
 したがって数学的帰納法より、∑[i=1,∞]qi は有理数である。


実は命題(P)は間違っている。反例を示した上で、上の証明のどこが間違っているかを説明せよ。」
[2005 上智大・理・数]


(1)は、「有理数全体の集合は、和について閉じている」ということですね。

それでは解答です。

(解答)
(1)(証明)
a,b,c,dを整数とし、2つの有理数を
b/a,c/d
とおくと、
b/a + c/d = (bd+ac)/ad
となり、
bd+ac,ad
はいずれも整数であるから、
2つの有理数の和は有理数である。
(証明終)

(2)
(反例)
例えば、√2を一桁ごとの和、すなわち、
1 + 0.4 + 0.01 + 0.004 + ・・・
について、
これら一つ一つは有理数であるが、その和√2は無理数である。
(√2が無理数であることの証明省略)

(他にも、ζ(2) = π2/6 など)


数学的帰納法は、有限のN番目について成り立つと仮定したとき、N+1が成り立てばよいということであり、無限において成り立つものではない。



それでは。


↓↓ふう。↓↓

18:31  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.06.26 (Fri)

あーあ

・・・というわけで(?)。

今日は徳川家重。

彼、言語障害だったんですよ。

ま、あとはご自分で。彼の言うことが聞き取れた唯一の側近の名前とか。
22:02  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.06.25 (Thu)

6/24ヒント

無限は有限と同じように考えていいのかな?
20:37  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.06.24 (Wed)

6/24問題

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

交流掲示板<http://penpenpensama.hp.infoseek.co.jp/Go.html>

「(1) 2つの有理数の和は、また有理数であることを示せ。
(2) 次の命題(P)とその証明を考える。

 (P) : q1,q2,q3,・・・ が有理数であるとき、その無限和 は有理数である。


 証明 :
 q1,q2が有理数だから、 q1+q2 は有理数である。
 そこで、n を 2 以上の自然数とし、Q = ∑[i=1,n]qi が有理数であると仮定する。
 このとき、∑[i=1,n+1]qi = Q + qn+1 であり、 Q もqn+1も仮定によって有理数だから、
 ∑[i=1,n+1]qiもまた有理数である。
 したがって数学的帰納法より、∑[i=1,∞]qi は有理数である。


実は命題(P)は間違っている。反例を示した上で、上の証明のどこが間違っているかを説明せよ。」
[2005 上智大・理・数]


では。

↓↓やってね↓↓

22:18  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.06.23 (Tue)

6/22解答

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

交流掲示板<http://penpenpensama.hp.infoseek.co.jp/Go.html>

それでは、解答です。
「以下のそれぞれの命題が真であるか偽であるかを答え、真の場合は証明を、偽の場合は反例を与 えよ。
(1) x < y ならば x2 < y2 である。
(2) log2x = log3y ならば x ≦ yである。
(3) 微分可能な関数ƒ(x) がƒ’(a) = 0 を満たすならば、ƒ(x) は x = a において極値をとる。
(4) n が2以上の自然数ならば、 1 + 2 + … + n の約数の中に3以上の奇数がある。」
[2009 広島大 (1)(2)文系・(3)(4)文理共通]


(解答)
(1) 偽。
x = -10,y = 1のとき、x < y であるが、x2 = 100,y2 = 1 より、x2 > y2である。

(2)偽。
x = 1/2,y = 1/3 のとき、
log2x = log3y = -1
であるが、
x > y
である。

(3)偽。
ƒ(x) = x3 のとき、
ƒ’(x) = 3x2 で、ƒ’(0) = 0 であるが、増減表は以下の表のようになり、ƒ(x) は x = 0 において極値をとらない。

x・・・0・・・
ƒ’(x)
0
ƒ(x)↗(↑)極大↘(↓)


(4)真。
(証明)
1 + 2 + 3 + ・・・ + n

= n(n+1)/2

であり、n ≧ 3 であることから、n と n+1 の偶奇は異なり、どちらかは3以上の奇数である。
ゆえに、n(n+1)/2 は必ず3以上の奇数を約数に持つ。
(証明終)


それではさようなら。


↓↓できました。↓↓


21:36  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.06.22 (Mon)

6/22問題

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

交流掲示板<http://penpenpensama.hp.infoseek.co.jp/Go.html>

「以下のそれぞれの命題が真であるか偽であるかを答え、真の場合は証明を、偽の場合は反例を与 えよ。
(1) x < y ならば x2 < y2 である。
(2) log2x = log3y ならば x ≦ yである。
(3) 微分可能な関数ƒ(x) がƒ’(a) = 0 を満たすならば、ƒ(x) は x = a において極値をとる。
(4) n が2以上の自然数ならば、 1 + 2 + … + n の約数の中に3以上の奇数がある。」
[2009 広島大 (1)(2)文系・(3)(4)文理共通]

では。


↓↓大丈夫。↓↓


21:40  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.06.20 (Sat)

トリチェリの問題 解答

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

交流掲示板<http://penpenpensama.hp.infoseek.co.jp/Go.html>

フェルマーがトリチェリに出したと言われる問題の解答です。

「任意の鋭角三角形ABCの内部の点Pに対して、
PA + PB + PC
の値が最小となる点Pを作図せよ。」



(解答)
(1)△ABCの三辺それぞれを一辺とする正三角形を、△ABCの外部につくる。
(2)(1)でつくった3つの正三角形の外接円を描く。
(3)(2)で描いた3円の交点が、求める点Pである。

なぜ、こうなるのでしょうか?
考えてみてください。
↓↓mmHg↓↓
22:00  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.06.19 (Fri)

すみません。豆知識

この頃、やる気が感じられませんね。

文化祭のときと気持ちは変わりません。

言い訳です。

というわけで、今日も豆知識。

「リンス」「トリートメント」「コンディショナー」

以下、引用です。


リンス・・・・
髪の表面を油分でカバーし、シャンプーの後の髪のきしみを防いで、手ざわりをよくすることができる。
また、髪の水分の蒸発をおさえることができる。しかし、毛髪の内部には作用しない。

トリートメント・・・・

リンスと同じ効果があるが、毛髪の内部にまで、タンパク質成分が浸透できるので、ダメージ部分に栄養を補給する事ができる。


そしてコンディショナーは、髪の表面をカバーするという点では、リンスに近いけど、リンスよりも髪の表面のコンディションを整える力が強いものと考えて下さい。
リンス、トリートメント、コンディショナーの違いより引用)
19:59  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.06.18 (Thu)

擬態語

どんぶらこ
20:47  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.06.17 (Wed)

トリチェリの問題 ヒント 「ヴィヴィアーニの定理」

ヴィヴィアーニ(Viviani)の定理

 正三角形ABC の内部の任意の点Pに対して、点Pより各辺に下ろした垂線の長さ
の和は一定で、正三角形の高さに等しい。
19:30  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.06.16 (Tue)

お待ちいただき、感謝しております。

お知らせです。
こちら(http://www.haikukoushien.com/chihou_kekka.html)をご覧ください。


それでは。
22:11  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.06.15 (Mon)

トリチェリの問題

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

交流掲示板<http://penpenpensama.hp.infoseek.co.jp/Go.html>

フェルマーがトリチェリに出したと言われる問題です。

「任意の鋭角三角形ABCの内部の点Pに対して、
PA + PB + PC
の値が最小となる点Pを作図せよ。」


では。

↓↓mmHg↓↓
16:44  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.06.13 (Sat)

しばらくお待ちください。

6/16まで、お待ちください。
22:34  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.06.12 (Fri)

6/8解答

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

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それでは永らくお待たせいたしました問題の解答です。
「 次の問に答えよ。答えだけではなく式・説明など解答の途中の経過を示すこと。
(1) 関数 y = ƒ ( x ) の値域の定義を述べよ。
(2) 関数 y = ƒ ( x ) があるとき、逆関数が存在する条件と逆関数の定義を述べよ。
(3) 対数関数を指数関数により定義せよ。
(4) 対数関数の底の変換公式を書きなさい。さらに、指数法則より底の変換公式を示しなさい。 」
[2009 順天堂大・医]



(解答)
(1) 変数 x が定義域内の値をうごくとき、その値 x = a に応じて定まる変数 y の値 ƒ ( a ) の取り得る値の範囲をいう。

(2) 「値域の任意の値 b に対して、 b = ƒ ( a ) となる定義域の値 a がただ1つ存在すること」ことが存在条件である。
 逆関数 とは、ƒ の値域を定義域とし、値域に対応するただ1つの定義域の値 a を対応させる関数をいう。

(3) 指数関数とは、y = ax ( x は実数全体、 a > 0 , a ≠ 1 )を満たす関数である。0 < a < 1 のとき単調減少、 a > 1 のとき単調増加の関数であるから、 xi ≠ xj であれば f ( xi ) ≠ f ( xj ) である。すなわち値域に対応する定義域の値はただ1つであるから、指数関数には逆関数が存在する。これを対数関数と定義して、 y = logax と表す。

(4) 底の変換公式とは、 a > 0 , a ≠ 1 , b > 0 , c > 0 , c ≠ 1 に対して、

logab = logcb / logca

というものである。

logab = x
logcb = y
logca = z

とおくと、対数関数は指数関数の逆関数であることから、

ax = b
cy = b
cz = a

が成り立つので、

b = ax = cy

また、cz = a であるから、

指数法則も考慮して、

b = cxz = cy

よって、対数関数の定義より、

y = xz = logcb

y = xz で、z ≠ 0 であるから、

x = y/z

ゆえに、

logab = logcb / logca

である。

以上より、底の変換公式は示された。



↓↓OK!↓↓

23:23  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.06.11 (Thu)

HOWARD ASHMAN

TO OUR FRIEND HOWARD
WHO GAVE A MERMAID HER VOICE
AND A BEAST HIS SOUL,
WE WILL BE FOREVER GRATEFUL
HOWARD ASHMAN
1950-1991
22:51  |  音楽(リニューアル前)  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.06.10 (Wed)

363

この記事により、363件目となります。
19:52  |  お知らせ  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.06.09 (Tue)

ちょっと休憩

今日はちょっと昨日の解答をする気にはなれないので。
すみませんね。


ちょっとだけ豆知識。


大阪市の市章は、澪標(みおつくし)のマークですね。

ちなみに澪標とは・・・
「澪つ串」
つまり、
「澪(みお)の串」

なんとなく意味が分かりませんか?

それでは。
22:53  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.06.08 (Mon)

6/8問題

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それでは、今日の問題です。
「 次の問に答えよ。答えだけではなく式・説明など解答の途中の経過を示すこと。
(1) 関数 y = f ( x ) の値域の定義を述べよ。
(2) 関数 y = f ( x ) があるとき、逆関数が存在する条件と逆関数の定義を述べよ。
(3) 対数関数を指数関数により定義せよ。
(4) 対数関数の底の変換公式を書きなさい。さらに、指数法則より底の変換公式を示しなさい。 」
[2009 順天堂大・医]


では。

↓↓手抜き風↓↓
21:48  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.06.06 (Sat)

ただ美しい行列式

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

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nを自然数とする。

n!(n-1)!(n-2)!・・・3!2!1!

=Π[k=1,n] k!

=| 1 1213・・・1n|
| 2 2223・・・2n|
| 3 3233・・・3n|
|・・・・・・・・・・・・・・・|
| n n2n3・・・nn|


うまく描けませんが。


↓↓それでは↓↓
22:42  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.06.05 (Fri)

6/4解答

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では、パッパと解答しましょう。
「p を素数、 n を正の整数とするとき、 ( pn ) ! は p で何回割り切れるか。」
[2009 京都大・理甲、文]


今回、ガウス記号を使う必要はあるわけではないのですが、応用が効くように使っておきます。

(解答)
pは素数なので、p≧2である。
よって、求める値は、
(∑[k=1,n]を「∑」と表します)
∑[pn/pk]
=
1 + p + p2 + p3 + ・・・ + pn-1
=
(pn - 1)/(p - 1)

それでは。

↓↓Renaissancha!↓↓
22:07  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.06.04 (Thu)

6/4問題

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今回も問題です。簡単にいきましょう。
「p を素数、 n を正の整数とするとき、 ( pn ) ! は p で何回割り切れるか。」
[2009 京都大・理甲、文]


理系乙には出てませんね。

それでは。

↓↓ではでは。↓↓
22:01  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.06.03 (Wed)

6/2解答

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前回の問題です。
「2以上の整数m,nは m3 + 13 = n3 + 103 をみたす。 m,n を求めよ。」
[2009 一橋大]

因数分解して解くのが定石ですね。
それでは解答です。

(解答)
与式を変形すると、
m3 - n3 = 103 - 13 = 999 = 33×37
である。

よって、
m3 - n3 = (m - n)(m2 + mn + n2) = 33×37
である。

ここで、
m - n = p
m2 + mn + n2 = q
とおくと、

m = n + p
であるので、これより、

n2 + n(n + p) + (n + p)2 = q

ゆえに、

3n2 + 3pn + p2 - q = 0

ここで、n は自然数なので、これを n についての二次方程式と見ると、この方程式は実数解をもつ。
ゆえに、判別式を D とすると、

D = 9p2 - 12p2 + 12q = 12q - 3p2 ≧ 0

よって、

p2 ≦ 4q

これと、pq = 33×37

より、考えられる (p,q) の組は、

(p,q) = (1,999),(3,333),(9,111)

の3組
である。

(1) (p,q) = (1,999) のとき

m - n = 1
m2 + mn + n2 = 999
なので、

m = n + 1

よって、
(n + 1)3 - n3 = 999

この方程式を解くと、 n は自然数でないので不適。


(2) (p,q) = (3,333) のとき

m - n = 3
m2 + mn + n2 = 333
なので、

m = n + 3

よって、
(n + 3)3 - n3 = 333
∴(n - 9)(n + 12) = 0
n は2 以上の整数なので、 n = 9
このとき、 m = 12


(3) (p,q) = (9,111) のとき

m - n = 9
m2 + mn + n2 = 111

なので、

m = n + 9

よって、
(n + 9)3 - n3 = 111
∴(n - 1)(n + 10) = 0
n ≧ 2 をみたさないので不適。


以上(1)(2)(3)より、
(m,n) = (12,9)



では。


↓↓では↓↓
22:11  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.06.02 (Tue)

6/2問題

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

交流掲示板<http://penpenpensama.hp.infoseek.co.jp/Go.html>

「2以上の整数m,nは m3 + 13 = n3 + 103 をみたす。 m,n を求めよ。」
[2009 一橋大]


それでは。

↓↓では↓↓
21:49  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.06.01 (Mon)

問題?

次の語句の意味の違いを答えよ。

「パンデミック」と「パンナコッタ」

「アイソスタシー」と「愛想尽かし」

「女形」と「お山」

「カーテン」と「バーテン」
21:42  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑
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