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2009.07.31 (Fri)

角谷(コラッツ)の予想

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

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有名な未解決予想ですね。
「任意の自然数 n について、
  • n が偶数なら 2 で割る
  • n が奇数なら 3 倍して 1 を足す
という操作を繰り返し行うと、最終的に必ず 1 になる」


コンピュータでは、 3 × 253 までこの予想が正しいことが確認されているようです。
証明してみてくださいね。


・・・ではなく、これを意識した中学入試問題があったようですね。
ここでは言いませんが。市川中学入試問題(2009)だそうです。

面白いですね。


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20:21  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.07.30 (Thu)

あーあ

明日からも、頑張りますよ!
21:52  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.07.29 (Wed)

7/28解答

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昨日の問題です。
「自然数 n をそれより小さい自然数の和として表すことを考える。ただし、 1 + 2 + 1 と 1 + 1 + 2 のように和の順序が異なるものは別の表し方とする。
 例えば、自然数 2 は 1 + 1 の 1 通りの表し方ができ、自然数 3 は 2 + 1 、 1 + 2 、 1 + 1 + 1 の 3 通りの表し方ができる。
(1) 自然数 4 の表し方は何通りあるか。
(2) 自然数 5 の表し方は何通りあるか。
(3)  2 以上の自然数 n の表し方は何通りあるか。」
[2002 大阪教育大]


(1)(2)は実験ですので、ここでは(3)だけを解きます。

(解答)
(3)
2以上の自然数nは、下のようにn個の1の和で表せる。

n = 1 + 1 + 1 + ・・・ + 1

つまり、n個の「1」と、(n-1)個の「+」で表される。

このうち、それぞれの + をそのまま残しておくか、先に計算してしまうか
(つまり、1+1をそのままにしておくか、2とするか。
3 = 1 + 1 + 1
なら、
最初の1+1 を先に計算してしまって、
3 = 2 + 1
最後の1+1 を先に計算してしまって、
3 = 1 + 2
どの + もそのまま残しておいて、
3 = 1 + 1 + 1
全て先に計算してしまって、
3 = 3(除外))

を選べばよいので、

2n-1 (通り)

あるが、すべてを先に計算してしまってはいけない
(つまり、n = n となる状況になってはいけない)
ので、ここから1を引いた、

2n-1 - 1 (通り)

が答えである。
それでは。


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20:39  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.07.28 (Tue)

7/28問題

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今日は、問題です。
「自然数 n をそれより小さい自然数の和として表すことを考える。ただし、 1 + 2 + 1 と 1 + 1 + 2 のように和の順序が異なるものは別の表し方とする。
 例えば、自然数 2 は 1 + 1 の 1 通りの表し方ができ、自然数 3 は 2 + 1 、 1 + 2 、 1 + 1 + 1 の 3 通りの表し方ができる。
(1) 自然数 4 の表し方は何通りあるか。
(2) 自然数 5 の表し方は何通りあるか。
(3)  2 以上の自然数 n の表し方は何通りあるか。」
[2002 大阪教育大]


では。

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20:35  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.07.27 (Mon)

角の三等分の感動

普通には、任意の角は三等分できませんが、

放物線が与えられれば

作図ができるんですね。
勿論、整数の目盛りはx軸、y軸上にないといけませんが。
21:38  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.07.25 (Sat)

夏休み

・・・ですか。

「翔ぶが如く」を聴いてから、「Part Of Your World」を聴くと、どちらも引き立ちますね。

すごいです。
21:43  |  お知らせ  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.07.24 (Fri)

7/20手抜き解答

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/mathbun/mathbun89.htm

参照してください。
21:22  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.07.23 (Thu)

7/20解答?

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問題でしたね。

X + Y + Z = 0
のとき、
(X5+Y5+Z5)/5 = (X3+Y3+Z3)/3 × (X2+Y2+Z2)/2
が成り立つことを示せ。



この美しい式を証明しましょう。


・・・っていうのは明日です。それでは。

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22:39  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.07.22 (Wed)

あああああああæ

記事の更新を忘れそうになってしまいました。
恥ずべき行為ですね。
23:07  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.07.21 (Tue)

工事中

技術的な問題ではありません。

ピアノっていい楽器だと思いましてね。
20:52  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.07.20 (Mon)

7/20問題

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問題です。

X + Y + Z = 0
のとき、
(X5+Y5+Z5)/5 = (X3+Y3+Z3)/3 × (X2+Y2+Z2)/2
が成り立つことを示せ。



なんだか美しいですね。


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22:37  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.07.18 (Sat)

・・・

高松塚古墳、怖い。
18:12  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.07.17 (Fri)

とても嬉しかった話

初めてですね。
日付が変わってすぐに、誕生日おめでとうメールが届いて来たのは。

感謝。この上なく感謝。

・・・
19:30  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.07.16 (Thu)

どうでもいい話

1/σ ・ σ(X)

という式、とても見にくくありませんか?

σ(X) = σ
だなんて定義されると、ややこしいですよね。

ƒ(x) = ƒ

とする、みたいなもんですから。同じ記号を、数値として用いるか、意味を持つ記号として用いるか、どちらかだけにしてほしいですね。
22:36  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.07.15 (Wed)

「7/13問題」におけるコメントへの返信

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馬さんが書き込みをしてくださったので、それに対する返事をしたいと思います。

問題は、こちらです。
「座標空間に4点A(2,1,0),B(1,0,1),C(0,1,2),D(1,3,7)がある。3点A,B,Cを通る平面に関して点Dと対称な点をEとするとき、点Eの座標を求めよ。」
[2006 京都大・文]


馬さんのように、この問題は平面座標の応用問題としても十分解けるのです。

平面ABCの方程式はそれほど問題ではないので、これを出したところから続けましょう。

平面ABC : x + z - 2 = 0

都合の良いことに、yの項がありません。
 すなわち、平面ABCはy軸と平行であるので、点Dを平面ABCに関して対象移動しても、y座標は変わりません。

よって、考えやすいように、点Dを zx平面上(平面y=0上)に正射影し、この点をD'とします。

ここから先、すべて zx平面上で考えましょう。

点D'を直線 x + z - 2 = 0 に関して対称移動した点をE'とし、このE'の座標を求めます。

(座標は、(x,z)で表します)

x + z - 2 = 0
は、すなわち
z = -x + 2 ・・・(i)
であるので、これと垂直な直線D'E'の傾きは1である。
これが、D'(1,7)を通るので、
D'E' : z = x + 6 ・・・(ii)

直線(i)と(ii)の交点は(-2,4)であり、点E'はこの点に関して点D'(1,7)と対称な点なので、

E'(-5,1)


以上より、
E(-5,3,1)
ま、こういうことですね。

↓↓CU↓↓

22:24  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.07.14 (Tue)

7/13解答

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前回の問題ですね。
「座標空間に4点A(2,1,0),B(1,0,1),C(0,1,2),D(1,3,7)がある。3点A,B,Cを通る平面に関して点Dと対称な点をEとするとき、点Eの座標を求めよ。」
[2006 京都大・文]


素直な問題ですね。

(解答)
AB↑ = (-1,-1,1)
AC↑ = (-2,0,2)
であるので、
AB↑× AC↑ = (-2,0,-2)
平面ABCはこのベクトルを法線ベクトルに持ち、点A(2,1,0)を通るので、平面ABCの方程式は、
-2(x-2) + 0(y-1) - 2(z-0) = 0
∴ x + z - 2 = 0

ここで、平面ABCの方程式のx,zに点Dの座標を代入すると、
1 + 7 - 2 = 6
となり、点Dは平面ABCに関し、正領域にある。

点Dと平面ABCの距離は、公式を用いて、

|1+7-2| / {√(1+1)} = 3√2

である。

ここで、y軸と平面ABCは平行であるので、
点Eのy座標は、点Dと同じ3である。

よって、E(X,3,Z)とすると、
点Eは平面ABCに関し、負領域にあるので、
X + Z - 2 < 0
かつ、
|X+Z-2| / √2 = 3√2
∴X + Z = -4 ・・・(i)

また、DE↑ と AB↑×AC↑は平行なベクトルなので、
(1-X,0,7-Z) // (-2,0,-2)
∴ -2(1-X) + 2(7-Z) = 0
∴ X - Z + 6 = 0 ・・・(ii)

(i)(ii)より、
X = -5,Z = 1

以上より、
E(-5,3,1)
である。


他にも様々な解き方がありますが、今回は外積を使っててっとり早く済ませてしまいました。
それでは。

↓↓バイバイ!↓↓

20:52  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.07.13 (Mon)

7/13問題

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「座標空間に4点A(2,1,0),B(1,0,1),C(0,1,2),D(1,3,7)がある。3点A,B,Cを通る平面に関して点Dと対称な点をEとするとき、点Eの座標を求めよ。」
[2006 京都大・文]


それでは。

↓↓GO!↓↓

16:00  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(2)  |  EDIT  |  Top↑

2009.07.11 (Sat)

音楽5

それでは、記号の読み方です。

日本語変記号嬰記号本位記号
英語flatsharpnatural
イタリア語bemollediesisbequadro
フランス語bemoldiesebecarre
ドイツ語BKreuzAuflosungszeichen


ですね。
正しくは、

フランス語では、bemolのe,dieseの一つ目のe,becarreの一つ目のeの上には、アクセント記号のようなものがついていて、

ドイツ語では、Auflosungszeichenのoの上には点が二つついています。
18:00  |  音楽(リニューアル前)  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.07.10 (Fri)

音楽4

前回の「シ」の話からです。

イタリア語で、
「四角いシ」=「bequadro」
「柔らかいシ」=「bemolle」
といいます。

そしてこれらがそのまま、
b → ♭ = bemolle
h → ♮(本位記号) = bequadro

となったわけです。


18:00  |  音楽(リニューアル前)  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.07.09 (Thu)

音楽3

下は、一つの可能性である可能性かもしれないという可能性があります。



東洋では、音階と言えば、
「ドレミソラ」
の「ヨナ抜き(四七抜き)音階」が基本でしたが、
西洋には
「ドレミファソラシ」
という音階で、ここには
「ファ」と「シ」という全音三つを並べた、増四度の不快な和音、「悪魔の音程」が含まれています。

ですから、聖歌では、「ファソラシ」などというようなメロディが出てくると、「シ」の音を半音下げて歌っていました(これらは、「嘘の音」「作られた音」と呼ばれていました)。


後々になって、記譜する必要ができてきたので、

丸くやわらかく響く「フラットのシ」を、「柔らかいシ」として、「b」を使いました。
それに対して、もともとの硬く響く「ナチュラルのシ」を「四角いシ」として、角ばった「b」を使いました。



そして、その角ばった「b」が、そのままそれに似た「h」という文字へと変遷していったわけです。

18:00  |  音楽(リニューアル前)  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.07.08 (Wed)

音楽2

ドイツ語の音階が
CDEFGAH
なのには、まあいろいろと説があるようですので、一つ目。

もともと印刷では、
ナチュラルの「シ」を、ゴシック体の「b」で書いていた。
フラットの「シ」を、通常書体の「b」で書いていた。

しかし、ゴシック体が使えない場合もあり、小文字の「b」が「h」と似ていることから、「h」の文字を代用するようになった。



なぜゴシック体の「b」で書いたかって・・・?

明日です。
18:00  |  音楽(リニューアル前)  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.07.07 (Tue)

音楽

まず、一つ目です。

「♭」の記号の由来は、小文字のアルファベット「b」です。
21:16  |  音楽(リニューアル前)  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.07.06 (Mon)

J↑→→ J→

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J↑→ J↑↑(+) J↓ F←← J↑→→ F↑ F↑ J↑← J↓→→

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2009.07.04 (Sat)

有間皇子の変

有間皇子って、処刑されたのは18歳の時だったんですね。
若い。

蘇我赤兄は有間皇子の変のときは35歳くらいですか。

35歳が18歳を陥れて死に至らしめる。

怖いですね。

そして、中大兄皇子の影が・・・
21:24  |  その他  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.07.03 (Fri)

音楽の問題2

前日の答えの前に問題です。

♭(半音下げる),♯(半音上げる),♮(変化記号で変えられた音を元来の高さに戻す)
の三つの記号の読み方は、それぞれ

英語:フラット,シャープ,ナチュラル
日本語:変記号,嬰記号,本位記号
です。

それでは、イタリア語、ドイツ語では何というでしょう?

ちなみに、

「ドのシャープ」
は、
「ド」 イタリア語
「の」 日本語
「シャープ」 英語

ということになっています。


↓↓♪↓↓

22:02  |  音楽(リニューアル前)  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.07.02 (Thu)

音楽の問題

問題です。

階名は、

日本語:イ ロ ハ ニ ホ ヘ ト
英語:A B C D E F G
ドイツ語:A H C D E F G
イタリア語:Do Re Mi Fa Sol La Si

ですが、何故、ドイツ語にはいきなり H という文字が現れるのでしょうか?


ヒント:小文字で考えることが解決への第一歩

↓↓♭↓↓

18:04  |  音楽(リニューアル前)  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.07.01 (Wed)

これ、見て・・・

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http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/mathbun/mathbun69.htm

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