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2009.11.28 (Sat)

ちょっと前の話題に戻ってみた

〔注意事項〕をご覧ください。(携帯の方はこちら

交流掲示板<http://penpenpensama.hp.infoseek.co.jp/Go.html>

nは自然数とする。

(n!)2 ≧ nn

を証明せよ。


(証明)
(n!)2

= {n・(n-1)・(n-2)・ … ・1}・{1・2・3・…・n}

= (n・1)・{(n-1)・2}・{(n-2)・3}・…・(1・n)

= Π[k=1,n] k(n-k+1)

ここで、

1 ≦ k ≦ n の自然数 k において、

k(n-k+1) - n

= (k-1) n - k(k-1)

= (k-1)(n-k)

≧ 0

(等号成立は k = 1,nのとき)

∴ k(n-k+1) ≧ n

∴Π[k=1,n] k(n-k+1) ≧ Π[k=1,n] n

∴ (n!)2 ≧ n2
(等号成立は、常に k = 1,n が成り立つとき、つまり、 n = 1,2 のとき)



それでは。



↓↓あらららら。↓↓

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19:38  |  整数-math  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.11.18 (Wed)

リンクしておきましょうか。

僕がyoutubeにアップした作品(曲)は、下のURLからご覧いただけます。

今のところ、ほとんどが吹奏楽作品ですね。

拙作ですが、お聞きください。

http://www.youtube.com/penpenpensama
23:11  |  お知らせ  |  TB(0)  |  CM(0)  |  EDIT  |  Top↑

2009.11.05 (Thu)

課題曲レポート ”ミニシンフォニー 変ホ長調”

僕は自分の置かれている境遇を素直に受け止めることにした・・・

と言う訳で、更新です。

課題曲を通して、交響曲の形式を見ていきましょう。

今回は、原博氏による2002年の課題曲III

ミニシンフォニー 変ホ長調

です。委嘱作品ですね。(もちろん吹奏楽)

5分程度の曲ですが、4つの楽章で編成され、「シンフォニー」の形式はしっかりと保たれています。

「シンフォニー」の形式とともに、見ていきましょう。


< I. Allegro moderato >
(変ホ長調、4分の4拍子)

「Allegro」には、「速く」「快速に」「陽気に」と言ったような意味があります。
「Moderato」には、「適度の」「ほどよい」と言ったような意味があります。単独で使われると、「中くらいの速さで」と訳されることが多いです。

この曲の場合は、「ほどよく速く」といったような意味になりますが、まあ、速すぎず遅すぎず、落ち着いたテンポで、明るく演奏すればよい、といったようなニュアンスでしょうね。

この曲の形式は、
A(提示部) - B(展開部) - A'(再現部) (- Coda)
で、
A は二つの、異なる性格のメロディーで構成された、まさしくソナタ形式の曲です。

ソナタ形式と言えば、
A(提示部)の前に序奏がついたり、A'の後に大きなコーダがついたりなどと言ったものもありますが、この曲の場合、序奏もなく、コーダも必要最小限に抑えています。
「時間の制約」というものを「制約」と受け取らず、「5分」という時間の短さを積極的に活用した、まさしく傑作ですね。
(ちなみに、これが原博さんの遺作となったようです)

一般的なソナタ形式を図で表すと、下のようになります。

(序奏 -) A - B - A' (- Coda)

また、提示部Aは、第一主題と第二主題で構成され、この二つは一般に異なった性質を持ちます。
そして多いのが、
長調の場合、第一主題に対し第二主題は属調で、
短調の場合、第一主題に対し第二主題は平行調で、
それぞれ演奏されます。
この二つの主題は曲全体を通してとても重要なものであるため、しばしば提示部はリピート記号で繰り返されます。
(属調、平行調については後ほど)

展開部Bでは、提示部で登場した二つの主題が、形を変えながら、複雑に絡み合うなどして、音楽のテンションを高めていきます。


再現部A'は、提示部Aと基本的に同じような構成ですが、大きく違うのは、多くは、
長調の場合、第二主題が第一主題と同じ調で、
短調の場合、第二主題が第一主題の同主調で 、
演奏されます。提示部で異なっていた二つが、再現部で調和するんですね。これが、ソナタの醍醐味です。
展開部と再現部がまとめてリピートされることもあります。
(同主調についても後ほど)




ミニシンフォニー 変ホ長調
においては、
第一主題は変ホ長調で演奏され、
ユニゾンによる強奏(フォルテ)で、メロディーは分散和音で構成され、ノンレガートです。

それに対し、第二主題は変ロ長調で演奏され、
ピアノというアーティキュレーションのもと、メロディーはスケール(音階)で構成され、レガートです。

第一主題の強奏の後のブリッジ、なんだか、アルトサックスが美しいですね。


展開部は、金管群が、第一主題をいくつかのパートで絡み合い、短調になりつつ第二主題を目指していきます。
そして、木管も加わり短調のブリッジで展開部の頂点を極め、木管群がそれを引き継いで、再現部に突入します。

この曲では、再現部は第二主題が先に演奏されます。
調も解決しており、また、提示部のときとは違い、主旋律と同じ音型で、他のパートも様々に絡んできて、この曲の頂点ですね。

最後に第一主題にも金管が加わり、頂点のテンションを保ったまま、少し早くなって終わりを迎えますね。

全39小節ではありますが、提示部の繰り返しもあり、それなりの長さはあります。


< II. Andante >
(ハ短調、4分の6拍子)

「Andante」は、「歩くような速さで」といったような意味ですね。
ゆったり演奏しましょう。

二楽章は、緩徐楽章ですね。
複合三部形式や、変奏曲などが使われることが多いのですが、この曲では三部形式が採用されていますね。

ごく単純な、A - B - A' の形式です。ここでのAというのは、第一主題、第二主題というようにわかれてはいなく、ごく単純に、一つのアルファベットで一つの主題を表しています。


二楽章では、近親調のうち、多くは属調や下属調が用いられますが、ここでは、ベートーヴェンの好んだ平行調が用いられています。


美しい、「歌」の楽章ですね。真ん中あたりで、テンポを落とし、頂点を極めるところが感動的です。あとは、そこから曲を収めていき、二楽章は終わります。
トランペットも美しい。

全32小節です。


< III. Minuetto >
(変ホ長調、4分の3拍子)

踊りの楽章ですね。
「Minuetto」という綴りは、イタリア語です。ドイツ語だと、「Menuett」となります。

ベートーヴェンなどは、メヌエットよりも、スケルツォを好んで用いられていました。
どちらも踊りの曲です。
(ベートーヴェンの、交響曲での踊りの楽章では、名実ともにメヌエットなのは、交響曲第八番のみですね。実質スケルツォだが題名はメヌエットというのは、交響曲第一番です。)

これは、普通中間部(Trio)を挟みますね。基本、三部形式です。

三拍子で、一拍目に強拍のある踊りが、メヌエットやスケルツォです。

メヌエットは、もともと高貴な貴族たちの踊りですから、速いテンポは不向きです。

調も、一楽章と同じ調に戻ります。


この曲では、2楽章の落ち着いた感じから、エネルギーを取り戻して、次の4楽章を迎えるといったような感じですね。

落ち着いた感じで、でも確実にエネルギーを内包した感じで、演奏してほしいところです。


全52小節ですが、とりわけ長いというわけでもわりません。



< IV. Rondo Allegro giocoso >
(変ホ長調、8分の6拍子)

これも、第一楽章と同じ調ですね。同主調で書かれることもあります。

「giocoso」には、「楽しげな」「愉快な」といったような意味があります。

題名通り、交響曲の第四楽章の定石、ロンド形式ですね。

ソナタ形式などが使われることもあります。(もちろん、例外あり)


古来、ロンド形式は
A - B - A - C - A - D - ・・・
というように、「A」の主題が何度も回って(めぐって)くるので、「回る」といった意味の「Rondo」と名づけられたようです。(日本語でも、「輪舞曲」「回旋曲」)

多くは、
A - B - A - C - A - B - A(大ロンド形式)
や、
A - B - A - C - A(小ロンド形式)
などの形をとります。

ま、この曲は上の形式(大ロンド形式)とも言えるでしょう。

軽快なテンポで、テンションを落とさずに最後まで演奏してもらいたいものです。

最後の方で、Vivaceになりますね。「活発に」といったような意味ですが、Allegroよりも速いテンポを指します。

そして、最後の二小節は、Tempo I(テンポ プリモ)ですね。(第四楽章の最初のテンポ)

rit.などにならないようにしてほしいものです。
停滞、減速といったようなイメージではなく、最後に締める、と言ったような感じですね。

ちなみに、Aの部分とも言える旋律は、一つのパートで吹くのではなく、一つの旋律の音が、いくつかのパートに分けられていますね。

イメージでは、「一拍目、ニ拍目はファースト、三拍目はセカンドが主旋律の音を持っている」といったようなものですね。

全体像をしっかりとつかみましょう。

全53小節です。一分程度で、軽快に切り抜けていきますね。



以上のように見てきました。
交響曲と言えば、通常全四楽章で編成されていますが、ベートーヴェンの交響曲第六番「田園」のように、全五楽章だったり、また、二楽章は緩徐楽章、三楽章は踊りの楽章というのが普通ですが、ベートーヴェンの交響曲第九番(合唱付き)のように、二楽章にスケルツォ、三楽章に緩徐楽章が来ることもあります。

ま、基本的には、この、
ミニシンフォニー 変ホ長調
のような形式ですね。



それでは、追記部分に、「近親調」についてです。
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