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2008.04.28 (Mon)

確率2・場合の数

予告なしで、いきなり昨日は更新をお休みさせてもらいました。
突然だったので気づいていらっしゃらないかもしれませんが、「日曜日は更新定休日」ということにさせていただきました。上にも書きましたので、どうかご了承お願いいたします。

それでは、今日の本題へと参りましょう。

確率の2回目です。

まずは補足から。
前回の確率では、1億箱の例を出しましたが、あの問題、この考え方と似ていないでしょうか?
問題です。
「あなたは、A社の株かB社の株のどちらに投資しようか迷い、占い師に相談することにした。
占い師Xは70%の確率で当たるが、7000円の見料がかかる。それに対し、占い師Yは20%の確率でしか当たらないが、2000円の見料で済む。コストパフォーマンスを考えた場合、どちらに見てもらったほうがよいだろうか?」

簡単ですね。



正解は、確率20%で2000円の占い師Yです。占い師が言った会社と違うほうの会社の株を買えば、それは80%の確率で当たっているのですから。
考え方、似てませんか?
逆転の発想です。


まあ、これは余談として、次の問題。
「3人の囚人A・B・Cは、一人だけが恩赦で釈放され、残り二人は処刑される。恩赦で釈放される確率は、それぞれ1/4,1/4,1/2である。A・B・Cはこのことは知っているが、誰が釈放され、誰が処刑されるのかは分からない。ある日、Aは全てのことを知っている看守に『B・Cのどちらかが処刑されるのは確実なのだから、処刑される人間のうち、BかCの一人だけ教えてほしい』と言った。看守はこれに応じ、『Bは処刑される』と答えた。このとき、Aが釈放される確率はいくらか?」

前回の確率を読んでいれば少なくとも1/4のままではないことは分かると思います。


この間、土曜日の問題の問1~4の解説を。(解説というまでのこともありませんが・・・)
問1.三角形ABCの、辺BCを1:2に内分する点をPとする。AB=5,AC=6,AP=3のとき、BCの長さを求めよ。

問2.三角形ABCの、辺BCを4:3に内分する点をPとする。,AC=7,AP=4,BC=15のとき、ABの長さを求めよ。

問3.「朕深ク世界ノ大勢ト帝国ノ現状トニ鑑ミ、非常ノ措置ヲ以テ時局ヲ収拾セムト欲シ、茲ニ忠良ナル爾臣民ニ告グ。」とラジオ放送された日の曜日を答えよ。

問4.管理人Pen.の誕生日、西暦1992年7月17日の曜日を答えよ。

(解説)
問1.問2.トレミーの定理に数値を代入。ただし、問1はBP=xとおき、そのときCP=2xなのでこれを利用する。

問3.問4.ツェラーの公式に代入。ただし、問3は1945年8月15日の玉音放送の内容である。


それでは三囚人の問題の答えです。

(解答)
求める確率は、
看守が「Bは処刑される」と言い、Aが釈放される確率

看守が「Bは処刑される」と言う確率


です。

<看守が「Bは処刑される」と言う確率>
処刑される囚人の考えられる組み合わせは、
A,B・A,C・B,C
そのうち、Bが処刑されるのは
A,Bのときと、B,Cのとき。

A,Bが処刑されるとき、Cが釈放されるので、確率は1/2。このとき、看守はAのことは言わないので、必ず「Bが処刑される」と答える。よって、このとき看守が「Bは処刑される」と言う確率は1/2。

B,Cが処刑されるとき、Aが釈放されるので、確率は1/4。このとき、看守はBかCかのどちらかの名前を言う。よって、看守が「Bは処刑される」と言う確率は1/4×1/2=1/8。

よって、看守が「Bは処刑される」と言う確率は1/2+1/8=5/8。

<看守が「Bは処刑される」と言い、Aが釈放される確率>

B,Cが処刑され、看守が「Bは処刑される」という確率1/8がこれに当たります。


よって、(1/8) / (5/8) = 1/5
です。

Aは、このことを聞いたがために、自分が釈放される確率が1/20減ってしまいましたね。聞かなきゃよかった・・・

ちなみに、看守が「Cは処刑される」と言っていたら、Aが釈放される確率は1/3になります。1/12上がることになります。

それではもう一問。今度は場合の数です。最初の2問は授業でも基本問題として(重複組み合わせなので発展内容ですが)扱われるような問題です。

「x+y+zの方程式x+y+z=nにおいて、
1.この方程式を満たす自然数(x,y,z)はいくつあるか
2.この方程式を満たす負でない整数の組(x,y,z)はいくつあるか
3.x+y+z≦nを満たす負でない整数の組(x,y,z)はいくつあるか」
1番、2番は簡単ですね。3番もエレガントな解法がありますよ~


~いきなり日曜日を定休日にした理由~
これだけの分量を毎日書いていたら、他のことをやる時間が無くなり、特に「曲の制作に取り組めない!」
ただこれだけの理由です。
大袈裟な見出しでしたね。
スミマセン

【More・・・】

(解答)
1と2は授業で扱うような内容なので手短に。
1・・・n-1C2
2・・・n+2C2
3・・・x+y+z+a=nというように負でない整数aを加えて2と同じように考えると、n+3C3

次回は、「ピックの定理」という便利な定理を紹介します。
みなさんも、小学生の時に内容は塾などで教わったことがあるかもしれません。
それほど便利な定理です。
これを使えば、図形の面積が簡単に求められるかも??

それでは。
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18:57  |  確率・場合の数-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

*Comment

■No title

最後のすみませんがうざい(?▽?;)
ひなたぼっこ |  2008.04.29(火) 00:24 |  URL |  【コメント編集】

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