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2008.04.30 (Wed)

数学の神秘

今日は神秘シリーズ第一弾!

まずは、基本的で有名な、整数の綺麗な性質を挙げていきましょう。

<完全数>
~その数自身を除く、その数の約数の和が、その数自身と等しい数~
本当に有名ですね。
最小の数は6。天地創造。
6の約数は、1,2,3,6。
6自身を除く約数の和、1+2+3=6となり、 もとの数6と一致します。
次に小さい数は28。ほぼ月の公転周期です。

ちなみに、これらそれぞれの数の約数を全て足すと、
6の約数の和・・・12
28の約数の和・・・56
となります。これは、もとの数の2倍になっているので、「2倍完全数」ということになりますが、つまりこれが完全数です。
120の約数の和は360となり、120は「3倍完全数」ということになります。

奇数の完全数は存在するのか、また完全数は無限に存在するのか?
未だに解明されておりません。

<友愛数>
~異なる2つの自然数の自分自身を除いた約数の和が、互いに他方と等しくなるような数~
これも有名です。
最小の組は220と284です。
220の約数・・・1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110,220
284の約数・・・1,2,4,71,142,284
それぞれ、自分自身を除く約数の和は、
220・・・1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
284・・・1+2+4+71+142=220
となります。
17296と18416が、その次に小さな組です。
奇数と偶数の組は存在するのか、このような友愛数の組は無限に存在するのか?
未だに解明されておりません。

<婚約数>
~異なる2つの自然数の自分自身と1を除いた約数の和が、互いに他方と等しくなるような数~
友愛数に似てますね。1も除きます。
最小の組は48と75です。
48の約数・・・1,2,3,4,6,8,12,16,24,48
75の約数・・・1,3,5,15,25,75
それぞれ、自分自身と1を除く約数の和は、
48・・・2+3+4+6+8+12+16+24=75
75・・・3+5+15+25=48
となります。
次は、140と195です。
奇数同士、偶数同士の組は存在するのか、このような婚約数の組は無限に存在するのか?
未だに解明されておりません。

<社交数>
~異なる3つ以上の自然数の組で、何度か友愛数のような作業を続けていると、もとの数になるような数~
詳しく書くと長くなってしまうので、簡潔にまとめてみました。
Aの約数(Aを除く)の和=B
Bの約数(Bを除く)の和=C
Cの約数(Cを除く)の和=D
・・・というような作業を続け、最終的に、
Xの約数(Xを除く)の和=A
となれば、その自然数の組(A,B,C,・・・,X)が社交数の組ということになります。

見つけることができますか?
最小の例は追記の部分に書かせていただきます。

<友愛的三対>

~異なる3つの自然数の組で、ある数の自分自身を除く約数の和が他の2つの自然数の和で表すことのできるという関係にあるような数~
分かりにくいですね。
103340640と123228768と124015008がその例です。
103340640の約数(自分自身を除く)の和=247243776=123228768+124015008
123228768の約数(自分自身を除く)の和=227355648=124015008+103340640
124015008の約数(自分自身を除く)の和=226569408=103340640+123228768

難しいですね。ややこしくなるので、今回は土曜日の問題の解説の掲載はやめましょう。
下に、社交数です。

【More・・・】

一例は、(12496,14288,15472,14536,14264) です。
12496の約数(自分自身を除く)の和=14288
14288の約数(自分自身を除く)の和=15472
15472の約数(自分自身を除く)の和=14536
14536の約数(自分自身を除く)の和=14264
14264の約数(自分自身を除く)の和=12496
こんな感じです。
最小の数は14316で、これを含む組は28個の組です。
何か一つでも、この短い時間の間に見つけた方は、なかなかの腕前です。

数学は美しいですね。

また、数学の神秘の特集も組んでいきたいと思います。

それでは。
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21:07  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

*Comment

■No title

めっちゃ濃いっすね・・・。
俺こういう形のブログやったら3日ぐらいでネタなくなって崩壊しそうです(汗
悠。。 |  2008.05.01(木) 18:49 |  URL |  【コメント編集】

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