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2008.05.06 (Tue)

数学の神秘2

やはり、数学は美しいですね。
今日も行きましょう。

<9点円の定理>
有名ですけど、本当に美しいと思います。
「任意の三角形において,各辺の中点,各頂点の垂線の足,垂心と各頂点を結ぶ線分の中点の 9点は同一円周上にある。」という定理です。
この定理で定義される円が、9点円です。

証明してみてください。
実は簡単にできるんです。証明の方針は、円周角=90°。これが全てです。
もちろん、これ以外にも証明方法は色々ありますが、これが簡単でしょうね。

(証明)
三角形ABCの辺BC,CA,ABの中点をL,M,Nとし、点A,B,Cから対辺におろした垂線の足をD,E,F,垂心をHとする。また、AH,BH,CHの中点をP,Q,Rとする。
(図は自分で描いてください。)
NはABの中点、PはAHの中点だから、NPとBHは平行。(∵中点連結定理の逆)・・・※
BE⊥ACより、BH⊥AC。BHとNPは平行なので、NP⊥AC。

また、上の※と同様に考えると、ACとNLは平行。
よって、NP⊥NL

同様に、MP⊥ML。
また、DP⊥DL。
よって、三点N,M,DはPLを直径とする同一円周上にある。
すなわち、N,M,D,P,Lは同一円周上。

これと同様に、QM,RNについても考えると、以上の9点は同一円周上にある。

(Q.E.D.)

少し省略もしましたが、これでいいでしょう。

で、これです。

<フォイエルバッハの定理>
これがすごいですね。9点円はその三角形の傍接円、内接円に接するというものです。
内容は難しい証明ではないと思うのですが、長くなるのでここでは証明は省かせていただきます。

それにしてもすごいですね。円が4点を通るだけでもすごいことなのに、9点も通ってしまうんですよ。

【More・・・】

ちなみに、次のようなものもあります。
<オイラー線>
外心・重心・垂心を通る直線です。
ということは、外心・重心・垂心は同一直線上にある、ということです。
これの証明は自分でやってみてください。
幾何学的に外心と垂心を結ぶ直線上に重心があることを示してもいいですし、解析学的に座標を設定して示してもいいです。
できると思います。

それでは、前々回不備のあった問題、
問2.二人でじゃんけんをして勝ったとき、グーを出して勝った確率を求めよ。
の解答です。


(解答・解説)
二人のじゃんけんで、勝つ確率は1/3ですね。
そのうち、グーを出して勝つ確率は、1/32、すなわち、1/9です。
よって、求める確率は(1/9)/(1/3)
すなわち、1/3
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