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2008.05.07 (Wed)

因数分解

次回も少し因数分解に触れてますが、大方は今回です。
因数分解って、やっぱりエレガントな解法はないみたいですね。
地道にやっていくのが一番ですが、調べてみると少しは使えそうなものが見つかりました。

基本的なことから順にまとめていきましょう。

<共通因数でくくる>
これが一番基本ですね。
X2-X
これを因数分解するには、共通因数Xでくくって、
X(X-1)
とすればいいのです。全部これだったら楽なのですが、そうはいきません。

次にするのがこれです。

<公式を使う>
展開公式をひっくり返しただけです。
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
X2+(a+b)X+ab=(X+a)(X+b)・・・たすき掛け
a2-b2=(a+b)(a-b)
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
これだけは覚えるしかありませんね。

<襷掛け>
先ほどの公式、
X2+(a+b)X+ab=(X+a)(X+b)
ですね。
これを拡張して、
abX2+(ad+bc)X+cd=(aX+c)(bX+d)
例えば、次の問題
「6X2+X-2を因数分解しなさい」
という問題においては、上の公式から、「襷掛け」という作業をしますね。
2-1-3
×
3
2
4


まあ、こんな感じですね。
一番左はX2の係数6を2×3に分解、真ん中は定数項-2を-1×2に分解して、襷掛けをし、一番右側の-3と4を足すと、Xの係数1に一致しますね。(詳しいことは授業で学んでください)

<因数定理>
これ、画期的ですよね。
整式f(X)において、f(a)=0となるとき、f(X)の因数に(X-a)が含まれる。

つまり、X2+2X-4の場合、X=2を代入すると、式の値は0になります。
よって、この式は、(X-2)を因数に持ちます。
X2+2X-4を(X-2)でくくりだすと、(X-2)(X-2)となって、結局(X-2)2ですね。
これは本当に便利ですね。
2X4−5X3−8X2+17X−6
共通因数も見つからないし、公式もすぐに使えそうにないので、戸惑いそうですよね(何とかしたらできると思いますが・・・)。
ここで、X=1を代入してみると、
2-5-8+17-6=0となるので、この式はX-1を因数に持ちます。
よって、2X4-5X3-8X2+17X-6をX-1でくくりだすと、
(X-1)(2X3-3X2-11X+6)
ここで、(2X3-3X2-11X+6)には、Xに-2を代入すると0になるので、
(X+2)も因数です。
よって、2X4-5X3-8X2+17X-6は、
(X-1)(X+2)(2X2-7X+3)
です。あとは、因数定理でもいいですが、(2X2-7X+3)を襷掛けで因数分解して、
(X-1)(X+2)(X-3)(2X-1)
とできます。
ためしに、最初の式にX=1,-2,3,1/2を代入してみてください。全て0になるはずです。

そして、最後に新しい方法です。
続きを読んでください。

【More・・・】

6X2-11X-10
これを因数分解します。
2乗の式にできませんね。それは、X2の項が平方数でない6だからです。
では、X2の項を平方数にしましょう。そのために、6を掛けます。式を変えないために、最後は6で割っておきますね。

6×(6X2-11X-10) / 6
これも同じ式ですね。
分子を変形します。
(分子)=36X2-6・11X-6・10
=(6X)2-11・6X-60
ここで、t=6Xとおくと、
(分子)=t2-11t-60
襷掛けで因数分解をして、
(t-15)(t+4)
となります。
t=6Xなので、
(分子)=(6X-15)(6X+4)
=3(2X-5)・2(3X+2)
この変形は分かりますね。それぞれの因数を3と2でくくりだしただけです。
=6(2X-5)(3X+2)
分母は6なので、この式を6で割って、
(2X-5)(3X+2)
これが、6X2-11X-10を因数分解した答えです。
すごいですね。こんな方法もあるんですよ。
因数分解、やはり難しいところもありますが、頑張ってマスターしましょう!!



x3y-xy3-x3+xy2+x2y-y3

よく見てください。
xyの次数を見ると、
(四次)-(四次)-(三次)+(三次)+(三次)-(三次)なので、おっ、と言うことでx=yを代入してみましょう。
すると、何と言うことでしょう。
0になるのです!!
ということで、(x-y)は因数です。ということで、式をx-yで割りましょう。yをxの係数として扱ったら分かりやすいですよ。
この時点で、
x3y-xy3-x3+xy2+x2y-y3
は、xについて整理すると、
(y-1)x3+yx2+(y2-y3)x-y3
なので、これは、x-yでくくって
(x-y){(y-1)x2+y2x+y2}
ですね。組み立て除法を使ってくださいよ。(筆算でもいいですが)

中かっこの中身は襷掛けで。
そうすれば、
(x-y)・{(y-1)x+y}(x+y)
つまり、中かっこの中身を整理すれば、
(x-y)(x+y)(xy-x+y)
とできますね。
今考えました・・・
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19:26  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(4)  |  EDIT  |  Top↑

*Comment

■No title

x^3y-xy^3-x^3+xy^2+x^2y-y^3
これはどう解くの?
次数がめちゃくちゃで因数分解できないんだけど??

フォントが読みやすくなったねぇ。。
進歩かな??
おれさま |  2008.05.07(水) 21:51 |  URL |  【コメント編集】

■No title

字体を変えるのをやめただけです。
「数学の神秘」シリーズでは例の書体ですよ。
上を更新して、今ご質問のあった問題の解説も付け加えました。ご覧ください。
Pen. |  2008.05.07(水) 22:25 |  URL |  【コメント編集】

やっぱ因数分解は嫌いや…
ひなたぼっこ |  2008.05.07(水) 22:31 |  URL |  【コメント編集】

■No title

次回の記事http://penpenpensama.blog25.fc2.com/blog-entry-19.html
にも例の因数分解の問題の別解を掲載しました。
Pen. |  2008.05.08(木) 21:49 |  URL |  【コメント編集】

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