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2008.04.19 (Sat)

スチュワートの定理


今回は大きな文字でお伝えします。
前回は論理の話でしたが、さて、今回は図形の話をしましょう。
「中線定理」というのを知っていますよね?
「任意の三角形ABCの、BCの中点をMとしたとき、
AB2+AC2=2(AM2+BM2
が成り立つ」
です。
証明は省かせてもらいます。(座標を設定すればすぐに証明できます。)

大きい文字は疲れました。やぱり普通の文字サイズにしましょう。(「やぱり」?「やはり」の間違いデス)
さて、上の定理、かなり限られた状況だけでしか適用できませんよね?
「Mが中点である」というのが条件なのですから。
明らかに、Mが中点である場合よりも、Mが中点でない場合の方が圧倒的に数が多い。
では、そんなときにも使える定理はないのでしょうか?

そこで、スチュワートの定理です。
内容は、次のようなものです。
「任意の三角形ABCの、BCをm:nに内分する点をPとする。
このとき、
n・AB2+m・AC2=(m+n)・AP2+n・BP2+m・CP2
が成り立つ」

感動ものです。
m:n=1:1、すなわちPがBCの中点のとき、中線定理になります。

これはすぐに使えますね?(ちなみに、Z会模試にもこれを使えば一発の問題が出ました!!)

しかし、これだけ覚えても意味はありません。やっぱり証明ができなきゃ。
考えてみてください。
シンキング・タイム スタート!!

・・・

・・・

・・・と言うわけで、すこし話題を変えましょう。
今日、こんなものが届いてきました。
Wii スーパーファミコン クラシックコントローラ

スーパーファミコンのコントローラ?
いやいや、違います。思いっきり"Wii"って書いてありますし。

そうです。「Wii スーパーファミコン クラッシクコントローラ」です!!
これは2007年度(9月始まりなんです!)のクラブニンテンドープラチナ会員に送られる特典のうちの一つです。(違うのも選択できましたが・・・)
非売品です。

・・・

・・・

・・・さあ、スチュワートの定理の証明、できましたか?
簡単なことです。座標を設定してみましょう。

(証明)
三角形ABCの各頂点を A(a,b) B(-mk,0) C(nk,0) (kは任意の実数の定数)とおいても一般性を失わない。
このとき、
P(0,0)となる。
このとき、 AB2=(a+mk)2+b2 、 AC2=(a-nk)2+b2
       BP2=m22 、 CP2=n22 、 AP2=(a2+b2
なので、  n・AB2+m・AC2-n・BP2-m・CP2
      =n・{(a+mk)2+b2}+m{(a-nk)2+b2}-n・m22-m・n22
      =(m+n)(a2+b2
      =(m+n)AP2
 よって、 n・AB2+m・AC2=(m+n)AP2+n・BP2+m・CP2  (Q.E.D.)

どうです。計算は少しややこしいかもしれませんが、簡単でしょう?
これは、余弦定理でも証明できるようです。余力があればやってみてください。

今回はこれで終わりですが、次回のために一題。

次回は「トレミーの定理」について説明します。
知っているかもしれませんが、今回はその原型について話をします。それは、次の定理です。
「四角形の対辺の積の和は対角線の積に等しいか、それ以上である。」

すなわち、
「四角形ABCDにおいて、
AB・CD+AD・BC≧AC・BD」

と言う定理です。
証明してみてください。
次回は、その証明をします。

おそらく、皆さんが知っているのは、
「円に内接する四角形ABCDにおいて、
AB・CD+AD・BC=AC・BD」
だとおもいます。。。

それでは。
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17:42  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(3)  |  EDIT  |  Top↑

*Comment

■No title

くらしっくこんとろーら=====
edi |  2008.04.19(土) 18:24 |  URL |  【コメント編集】

■念のため・・・

そちらは本題ではございません。
Pen |  2008.04.19(土) 18:41 |  URL |  【コメント編集】

■Yes title

くらしっくこんとろーら=====
TTTT |  2008.04.20(日) 16:25 |  URL |  【コメント編集】

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