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2008.05.12 (Mon)

数学の神秘3

黄金比
次のXの値を求めよ。
gold.png

分かりますか?
解き方は、両辺を二乗します。
すると、X2=1+√1+・・・となりますね。
このX2からXを引くと、1が残りますね。
よって、方程式
X2-X-1=0
をの解がXということになります。
これを解くと、
X=(1±√5) / 2

解けましたね。
そして、これの正の解
X=(1+√5) / 2
に見覚えはありませんか?

黄金比です。
1 : (1+√5) / 2
これが黄金比です。

これだけでも十分美しい比ですね。
芸術作品や、自然界にも存在しています。

そして、次のことはご存知でしょうか?

X=(1+√5) / 2
これを二乗します。そして、その値を分母が2になるように書くと、そのときの分子は
3+√5
です。
また、黄金比を三乗し、その分母を2になるようにすると、そのときの分子は
4+2√5
です。
四乗したときは、
7+3√5
になります。
なにか規則性を見出せませんか?

そうです。
黄金比をn乗し、分母を2にしたとき、分子の有理数部分はリュカ数列(ルーカス数列)、無理数部分の係数はフィボナッチ数列のそれぞれn番目の項になっているのです!

ちなみに、フィボナッチ数列とリュカ数列は、それぞれ似たようなものです。
フィボナッチ数列は、
1,1,2,3,5・・・
と、1,1からスタートして、前の二つの項を足したものが次の項になるという数列です。

それに対し、リュカ数列は1,3からスタートして、
1,3,4,7,11・・・
という数列です。

知ってましたか?
黄金比は、図形として美しいだけではなく、式としてもとても美しいものだったのですね。

【More・・・】

ウェスト・サイド・ストーリー

ちなみに、マリアの婚約者はチノです。マリアには婚約者がいたにもかかわらず、ダンスパーティーで出会ったトニーを選んだのです。
トニーを撃ったのはチノですよ!!
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