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2008.05.15 (Thu)

いくらかかっても必ず儲かる?

どんなことでもいいので質問がある方は挙手(コメント欄に書き込んでください)。
どんな教科でもいいです。答えられる範囲で答えます。
前も因数分解やりましたね?
よろしくお願いします。

それでは本題に移りたいと思います。
期待値と実際の感覚にずれが生じることってあると思いますか?

普通なら、
「くじ引き一回30円、あたり一本はずれ一本、当たったら100円もらえる」
というくじ引きならやりますね?
一回外れても、二回外れても、三回目で当たれば10円得します。
当たる確率は2分の1なので、たいていは(計算上)2回やれば当たります。70円得するわけです。

まあ、このくじは、得する確率の方が高いですね。直感でもそう思います。このくじ引きの期待値も50円ですから、直感とも一致するわけです。

しかし、次のようなゲームはどうでしょうか?
「コインをまず一回投げる。
このとき表が出れば100円もらえ、ゲームが終了する。また、裏が出れば二回目に挑戦する。
二回目は、表が出れば200円もらえ、ゲームが終了する。また、裏が出れば三回目に挑戦する。
三回目は、表が出れば400円もらえ、ゲームが終了する。また、裏が出れば四回目に挑戦する。
四回目は、表が出れば800円もらえ、ゲームが終了する。また、裏が出れば五回目に挑戦する。
このように、n回目には、
表が出れば(2n-1×100)円もらえ、ゲームが終了する。
裏が出れば、(n+1)回目に挑戦する。」


このようなルールのゲームがあります。

さて、ゲームの参加料は1万円です。
参加しますか?

計算上は、必ず得をします。それも、参加料がいくらであっても得をします。
計算してみれば明らかです。

100円がもらえる確率は、2分の1
200円がもらえる確率は、一回目で裏が出て二回目で表が出るので4分の1
400円がもらえる確率は、一回目、二回目で裏が出て三回目で表が出るので8分の1
800円がもらえる確率は、一回目、二回目、三回目で裏が出て四回目で表が出るので16分の1・・・

ということで、期待値は、
100・(1/2)+200・(1/4)+400・(1/8)+800・(1/16)+・・・

となり、結局

50+50+50+50+50+・・・

となり、無限大に発散していきます。

時間が無限にあれば、無限にお金が手に入る計算になります。

さあ、やりますか?1万円で一回。


それでもやはりやろうとは思わないと思います。1万円が100円になってしまう確率も1/2ですから。

このように、期待値が実際の感覚との間にずれが生じてしまうこともあります。
計算上でいくら得をすると言われても、感覚では得をするとは思えないことだってあるのです。

宝くじなら、直感的に損をすると思うし、計算上でも損をしている。
直感的に判断できないようなものもあります。そのような場合は、計算をしてみて、得なら得だと思えますし、損なら損だと思えます。
しかし、この場合だと、直感的に「損をする」と思ってしまいますね。しかし、計算では得。また、いくらそう言われても、納得できないような気がします。

こんなこともあるんですね。

【More・・・】

ご希望の方がいらっしゃいましたら、上の問題、一回100万円にて実施させていただきます。
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18:49  |  確率・場合の数-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

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幾何学で必須の定理の紹介
おれさま |  2008.05.15(木) 21:37 |  URL |  【コメント編集】

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