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2008.05.16 (Fri)

初等幾何学で必須の定理

おれさまさん、問題のご提示、ありがとうございます。
これも、一回では書ききれないので、シリーズとして進めていきたいと思います。

「幾何学で必須の定理の紹介」とは、漠然とした提示でありますので、ご希望にお答えできるよう、最初からすべて順を追って紹介していこうと思います。

ユークリッド幾何学ですね。第5公理(平行線の公理)を否定しちゃだめですよ。

まず、同位角・錯角・対頂角について。
定義は省きます。
ただし、ここで、「平行線の同位角は等しい」ことを認めるものとします。公理ですもの。

「対頂角は等しい」
(証明)
直線ℓとmが一点で交わるとき、一組の向かい合う角を、∠A,∠Bとおく。
このとき、∠A=∠Bを示せばよい。
また、残る二つの角のうち、一方を∠Cとおく。
∠A+∠C=180°・・・I
∠B+∠C=180°・・・II
I,IIより、∠A+∠C=∠B+∠C
∴∠A=∠B
よって、対頂角は等しい。
(Q.E.D.)

「平行線の錯角は等しい」
(証明)
平行な2直線をℓ,mとする。また、この2直線とそれぞれ一点で交わる直線をnとおく。
ℓ,m,nによってできる一組の錯角をそれぞれ∠A,∠Bとおく。
このとき、∠A=∠Bを示せばよい。

∠Aの対頂角を∠Cとおく。
上の定理より、対頂角は等しいので、∠A=∠C・・・I
∠Cと∠Bは同位角なので等しい。・・・II
I,IIより、∠A=∠B
よって、平行線によってできる錯角は等しい。
(Q.E.D.)

ちなみに、逆の証明です。
「対頂角は等しい」の逆は成り立ちませんね。
「等しい2つの角は、対頂角である」なんてありえませんから。

ただし、「平行線の錯角は等しい」の逆は成り立ちます。
この定理の逆をわかりやすくすると、
「錯角」の定理は逆もありますね。錯角が等しければ、その2直線は平行です。
これは、「同位角が等しければ、二直線は平行」が公理なので、ここから先ほどと同じ要領で示すことができます。(錯角の話は対頂角を用いて同位角に持っていくことが容易ですから)


この調子で大丈夫でしょうか?
大丈夫ですよね。
シリーズにしたら、いずれ終わります。
いずれ、おれさまさんのご希望に副えることもできると思います。

それでは。
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18:54  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(3)  |  EDIT  |  Top↑

*Comment

幾何嫌い
ひなたぼっこ |  2008.05.16(金) 21:03 |  URL |  【コメント編集】

■No title

テスト前だし俺のリクエストなんてテスト後に回していいよ??
おれさま |  2008.05.16(金) 21:12 |  URL |  【コメント編集】

■Help!!

誰~か証明の簡単な方法教えて~TT
影 |  2008.05.16(金) 22:39 |  URL |  【コメント編集】

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