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2008.05.17 (Sat)

無限降下法

フェルマーは、「フェルマーの最終定理」を証明することはしていませんでしたが、
X4+Y4=Z4
を満たす自然数(X,Y,Z)の組が存在しないことの証明はしていました。これの証明はここに書くことも可能で、ややこしくはありますが、理解ができないほど難しいものでもありません。

よって、これと似た問題を出します。
ヒントなしに解けるでしょうか?
「Xn+2Yn=4Znを満たす自然数(X,Y,Z)の組は、
n≧3の場合において存在しないことを示せ」


フェルマーの最終定理と似ていますが、こちらはすぐに証明ができます。

すこし考えてみましょう。
あなたはどうやって証明しようとするでしょうか?


まさか、直接真正面から証明しようとなんて思わないですよね?
そんなことしたら時間がいくらあっても足りません。

普通は、「存在する」と仮定すると矛盾することを導く、つまり、背理法が用いられるわけです。しかし、では、n≧3の場合においても存在するとして、どのように矛盾を導くか?

そこで登場するのが、無限降下法です。
内容説明は後です。有無を言わず次の証明をご覧ください。

(証明)
「Xn+2Yn=4Znを満たす自然数(X,Y,Z)の組は、n≧3の場合においても存在する」と仮定する。
2Ynと4Znは、明らかに偶数なので、Xnも偶数。
(∵偶数には偶数を足さないと和が偶数にならない)
Xnが偶数なので、Xも偶数。

よって、X=2X’となる自然数X’が存在する。

これより、与式は
(2X’)n+2Yn=4Zn
つまり、
2nX’n+2Yn=4Znと書き換えられる。

両辺を2で割ると、
2n-1X’n+Yn=2Zn ・・・式1
2n-1X’nと2Znは明らかに偶数なので、Ynも偶数。
Ynが偶数なので、Yも偶数。
よって、Y=2Y’となる自然数Y’が存在する。

これより、式1は、
2n-1X’n+2nY’n=2Znと書き換えられる。

両辺を2で割ると、
2n-2X’n+2n-1Y’n=Zn ・・・式2
2n-2X’nと2n-1Y’nは、明らかに偶数なので、Znも偶数。
Znが偶数なので、Zも偶数。

よって、Z=2Z’となる自然数Z’が存在する。

これより、式2は、
2n-2X’n+2n-1Y’n=2nZ’nと書き換えられる。

この式を2n-2で割ると、

X’n+2Y’n=4Z’n

よって、
Xn+2Yn=4Znを自然数の組(X,Y,Z)が満たすとき、
自然数(X/2k,Y/2k,Z/2k)の組も与式を満たすことになる。

(ただし、kは自然数)
しかし、X,Y,Zそれぞれより小さい自然数は有限個しかなく、
kの値を大きくすると、
X/2k,Y/2k,Z/2kの値は自然数でなくなってしまうので矛盾。
よって、示された。

(Q.E.D.)

つまり、無限降下法とは、
「ある自然数より小さい自然数は有限個しかない。
そこで、ある仮定をし、それをある自然数nが満たすとする。
そこから、nをどこまでも小さくしていくことができるという結論が出たとする。
しかし、実際には自然数nはどこまで無限に小さくすることは不可能である。
ゆえに、ある仮定は間違いである」

というような証明です。
分かりましたか?





【More・・・】

無限降下法は、フェルマーが編み出した証明方法です。

フェルマー自ら、フェルマーの最終定理のn=4の場合を示すときに用いたのです。

これで、√2が無理数であることも証明できます。もっとも、この場合は背理法で証明した方が簡単ですが。
余力があればチャレンジしてみてください。

復習はまたいつか、まとめて行います。

それでは。

P.S.
鳩ノ巣原理もいずれ紹介したいと思います。
影さんのコメントから、証明について触れようと思いました。コメント、ありがとうございます。
これからも、よろしくお願いします。
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18:09  |  論理学-math  |  TB(0)  |  CM(2)  |  EDIT  |  Top↑

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あれ?
雑談は?
ひなたぼっこ |  2008.05.17(土) 21:50 |  URL |  【コメント編集】

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 |  2008.05.18(日) 19:07 |   |  【コメント編集】

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