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2008.05.19 (Mon)

初等幾何学で必須の定理2

順を追って説明していこうと思いましたが、今日悠。。さんよりリクエストがありましたので、そちらを優先させていただきたいと思います。

「チェバの定理」
「三角形ABCと、その辺上にない点Oがある。
AOとBC,BOとCA,COとABの交点をそれぞれD,E,Fとしたとき、
AF  BD  CE = 1
FB   DC   EA

である。」

ちゃんと表示されているかどうかは多いに疑問ですので、もう一度。
(AF/FB)+(BD/DC)+(CE/EA)=1

これは、点Oが三角形ABCの内部にあっても外部にあっても成り立ちます。

そして、この逆、
「(AF/FB)+(BD/DC)+(CE/EA)=1ならばAD,BE,CFは一点で交わる」
も成り立ちます。

証明は場合分けなどがあり、ここに書くと煩雑になってしまうので省略します。

図を描きましょう。

図に書かれた辺の番号は、長さではありません。通し番号です。

上の公式の線分に通し番号、AFに1、FBに2、BDに3、DCに4、CEに5、EAに6を割り当てたものです。
分かりやすいと思います。
チェバ1

チェバ2


基本は反時計回りに一回転

B qqq ?c xxe Pen.

上は遊びです。「Maestro Wide」というフォントがインストールされていれば、音符などの記号になっているはずです。

証明はしませんが、方針だけ。

点Oが内部にある場合は、△AOB,△BOC,△COAを作って考える。

点Oが外部にある場合は、位置によって場合分け

点Oが∠A,∠B,∠Cの対頂角の外部の場合は、△AFEにおいて、点Oが内部にある場合と同じように考え、発展させる。

点Oが∠A,∠B,∠Cの対頂角の内部の場合は、それぞれの辺の比を△ABO,△BCO,△CAOの面積の比に置き換える。

やってみてくださいね。
これがすべてです。

次回はメネラウスの定理を。

では。

下に雑談。

【More・・・】

雑談がほしいならこちら。

昨日も、また一曲完成しました。
編成は、ピアノ1、トランペット1。

いい編成ですね。(何が?)

オーボエ2とファゴット1の木管アンサンブル曲を二曲作って以来の小編成の曲です。

聞いてみてくださいね。では。
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18:10  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(3)  |  EDIT  |  Top↑

*Comment

■クレーム

リンクが休憩時間ってのはひどくね?w
TTTT |  2008.05.19(月) 20:01 |  URL |  【コメント編集】

■No title

変更させていただきました。
Pen. |  2008.05.19(月) 20:54 |  URL |  【コメント編集】

おぉ
久々の雑談
でもパソ繋がんねぇし…

明日をお楽しみにww
ひなたぼっこ |  2008.05.19(月) 20:59 |  URL |  【コメント編集】

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