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2008.05.23 (Fri)

グラフ!

絶対値のグラフって、面白い形を描きますね。

たとえば、まずは
|x|+|y|=a (aは定数)
のグラフ。
(a,0)(0,a)(-a,0)(0,-a)
の四点を頂点とする正方形ができますね。
|x|+|y|≦aの方がきれいかな?(中を塗りつぶしただけですけども。)

次のグラフはどうでしょう?
| | | x | - 4 || y | - 4 | ≦ 2

描けますか?とっても面白い形になりますよ。せめて、不等式だけでも解いてみてください。「y=f(x)」の形で。後ほど解説します。

このごろ、あまり曲のいい案が浮かんできません。どうすればよいのでしょうか?
いいインスピレーションが沸きません。
気分転換をしていると、思いつくときがあるのですが、タイミングが悪い!!
道を歩いているときにメロディーがよく思いつくのですが、家に帰ると、それを忘れてしまっているのです。
どうしても思い出すことができません。
また、授業中などに思いついたら紙などにメモをするのですが、そのときはいいと思っていても、いざ起こしてみると今一つ。そのときと比べて、何かが足りない。僕が「いい」と思った以上、そのときにしかなかったものがあったはず。しかし、どうしても思い出せないのです。
どうしましょう・・・


できましたか?
まずは、不等式をといてみないことにはグラフは描けませんね。
場合分けしかありません。

(1)x,y共に正のとき
赤の絶対値と緑の絶対値は、共にそのまま外れるので、
| | x - 4 |+ y - 4 | ≦ 2
そこで、xの値によって場合わけをすると、

(i)x≧4のとき
青の絶対値はそのまま外れるので、
| x - 4 + y - 4 | ≦ 2
つまり、
| x + y - 8 | ≦ 2
絶対値を外すと、
- 2 ≦ x + y - 8 ≦ 2
よって、
6 ≦ x + y ≦ 10

(ii)x<4のとき
青の絶対値は正負が変わって外れるので
|- x + 4 + y - 4 | ≦ 2
つまり、
|- x + y| ≦ 2
絶対値を外すと、
- 2 ≦ - x + y ≦ 2

(i)(ii)より、x,y共に正のとき、
x≧4のとき、 y≧-x+6 かつ y≦-x+10
x<4のとき、 y≧x-2 かつ y≦x+2


・・・という調子で、あとは場合分け(2)(3)(4)についてもといていってください。xとyの正負についての場合分けですよ。

すると、結局、(1)で求めたのはそのグラフの第一象限での形を求めたものですが、そのグラフを、
y軸に対して対象移動したものが第二象限のグラフ、
そして、第一、第二象限のグラフをそれぞれx軸について対象移動したものが、
第四、第三象限のグラフになります。


図は、下図のようになります。
グラフ


一つの式だけで、こんな複雑で面白い図形も描けちゃうのです。すごいと思いますね。


【More・・・】

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*Comment

リンク募集中が文化祭の看板に見える…
ひなたぼっこ |  2008.05.23(金) 19:34 |  URL |  【コメント編集】

■No title

某ブログから独立しました。。
リンクしといてください。。
元のブログへのリンクはご自由に……
おれさま |  2008.05.23(金) 21:01 |  URL |  【コメント編集】

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