FC2ブログ
2018年09月 / 08月≪ 123456789101112131415161718192021222324252627282930≫10月

--.--.-- (--)

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
--:--  |  スポンサー広告  |  EDIT  |  Top↑

2008.05.24 (Sat)

こっちの方がいいのではないか?

昨日の続きみたいになってしまいますがあしからず。

昨日、
|x|+|y|≦a (aは定数)
のグラフは、正方形を表す(中は塗りつぶされている)と書きました。間違ってません。ちなみに、何があっても定数aは正ですよ。
昨日はこの不等式の解法は示しませんでした。
僕が見た模範解答は、
xとyそれぞれの正負で場合分けしていました。
すると、(x,y)=(正,正),(正,負),(負,正),(負,負)
の四つで場合わけが必要ですが、そんなに場合分けは必要なのでしょうか?

・・・と、今日世界史の試験時間に考えていました。
(だって世界史ってどんなにがんばっても思い出せないもんは思い出せないし、いっそのこと、遊んじゃえ、って・・・)

そんなことどうでもいいですが、場合分けは二つで十分です。
xの正負だけで解けます。

(解答)
|x|+|y|≦a
|x|を右側に移項すると、

|y|≦-|x|+ a

yの絶対値をはずして、

-( -|x|+a )≦y≦-|x|+ a

すなわち、

|x|- a ≦y≦-|x|+ a

ここで、xの正負について場合分けをする。

(1)x≧0のとき、
上式は、

x - a ≦y≦- x + a

(2)x<0のとき、
上式は、
- x - a ≦y≦x + a


(1)(2)より、
x≧0のとき、y≧x - a かつ y≦- x + a
x<0のとき、y≧- x - a かつ y≦x + a


これが答えです。この方が楽だと思います。
テストで「この不等式を解け」という問題が出たら、こう答えないといけません。

しかし、です。すこし考えてみましょう。
これ、グラフを描くだけなら、最後まで求める必要ありませんよね?
|x|- a ≦y≦-|x|+ a
これが求まればもうグラフは描けます。
y≧|x|- a かつ y≦-|x|+ a
これだけで十分ですね。

y=|x|- aは、y=|x|、つまり、y=xのグラフの、x軸より下の部分を上へ折り返し、そのグラフを下にaだけ平行移動させればいいわけです。
また、y=-|x|+ aは、y=-|x|、つまり、y=xのグラフの、x軸より上の部分を下へ折り返し、そのグラフを上にaだけ平行移動させればいいわけです。

そして、そのy=|x|- aより上にあり、y=-|x|+ aより下にある部分を塗りつぶせばいいわけです。

結局、上の不等式を解くためには場合分けが必要になるものの、グラフを描くためだったら全く場合わけが必要ないということになります。

模範解答はなんと面倒なことをやっていたのでしょうか??

謎です。

下に、全く別の問題のとってもエレガントで、ものすごく便利な解法を紹介したいと思います。

【More・・・】

エレガントな解法の時間です。

次の問題をまずは自力で解いてみましょう。
「三点(3,56),(-1,4),(6,200)を通る放物線の式を求めよ」

少し待ちます。
ちなみに、全く関係ありませんが、2100 -100は、
1267650600228238993037566410652ですよ。
テストにこう書いた人がいたら誰もが驚くでしょう。
ちなみに、○くれるのかな・・・?

さてと、上の問題の答えです。
教科書の模範的な解答なら、
放物線を
y=ax2+bx+c
とおいて、a,b,c についての連立方程式を解いていくと思います。

しかし、次のように解けます。

「2点、(3,56),(-1,4)を通る直線は、
y=13x+17
よって、求める放物線は、
y=a(x-3)(x+1)+13x+17
とおける。

この放物線は、(6,200)を通るので、これを代入して、
200=a(6-3)(6+1)+13・6+17

200=a・3・7+78+17

200=21a+95

21a=105

a=5

よって、求める放物線は、

y=5(x-3)(x+1)+13x+17

展開すると、
y=5x2-10x-15+13x+17

すなわち、

y=5x2+3x+2

である」


分かりますか?これなら連立方程式を解く必要もありませんし、もっと簡単ならば暗算でもできそうなくらいですね。

求める放物線が
y=a(x-3)(x+1)+13x+17
となる意味が分かりますか?

これは、(3,0),(-1,0)を通る放物線
y=a(x-3)(x+1)
が、(3,56),(-1,4)を通るように平行移動した式です。

13x+17がその平行移動を表しています。

なんとなく意味も分かりましたね?

このやり方、覚えてみてください。すぐに慣れますよ。

それでは。
スポンサーサイト
16:26  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

*Comment

■No title

ごめん、俺のレベルではわかんねえ。
TTTT |  2008.05.26(月) 19:04 |  URL |  【コメント編集】

コメントを投稿する

URL
COMMENT
PASS  編集・削除するのに必要
SECRET  管理者だけにコメントを表示  (非公開コメント投稿可能)
 

▲PageTop

*Trackback

この記事のトラックバックURL

→http://penpenpensama.blog25.fc2.com/tb.php/34-680cd7ef

この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)

この記事へのトラックバック

▲PageTop

 | BLOGTOP | 
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。