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2009.04.13 (Mon)

フェルマーの最終定理を考える4

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昨日紹介した問題ですね。
 「ある世界的組織は6カ国のメンバーから構成される。組織のメンバーリストには1978人が登録し、各人が1,2,・・・,1978番と番号付けられている。このとき次のようなメンバーが少なくとも一人はいることを証明せよ。
『その人の番号は同じ国の2人の人の番号の和であるか、あるいは同じ国のある人の番号のちょうど2倍である』」


証明をここでしてしまうのは、さすがにやめた方が良いと思います。
証明を聞きたい方は、直接お話しするしか方法はありません。


ただし、題意は考えておきましょう。

例えば、1,2,3,4,5という5つの数字をすべて、重複がないように、2つの集合A, Bに分けます。

ただし、A ≠ φ,B ≠ φ です。(AもBも空集合でない)

このとき、
どちらかの集合の中では、
「ある要素は、他の2つの要素の和になっているか、あるいは他の数字のいずれかのちょうど2倍である」
というようなことが起きないように振り分けられるでしょうか?

例えば、
A に 1 という数字を入れましょう。
すると、2 は B に入れなければなりません。

ここで、3 を A に入れると、 4 は B に入ることになりますが、4 は、すでに B にある数 2 の 2 倍であるので、Bに入れてはいけません。

よって、 3 は B に入れてみましょう。
4 は B に入ってはいけないので、 A に入る必要があります。

このとき、
A = {1,4}
B = {2,3}
となります。最後に 5 を振り分けますが、どちらに入ることもできません。
5 = 1 + 4 = 2 + 3
であるからです。


これが、題意を簡略化し、 2 カ国 と 5 人 という規模で考えた場合です。

このくらいの量であったら、実際に操作を行って証明することができますが、
6 カ国 と 1978 人という規模となると、そうはいきません。

「何かうまい証明」

というものが必要になります。


このくらいですね。

ちなみに、これの証明、内容は別に難しいものではありません。その発想にいたるということが、難しいことなのです。

それでは。





↓↓やはり難しい↓↓

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