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2008.04.21 (Mon)

トレミーの定理

今日は前回の問題、「トレミーの定理」の証明です。
幾何学的に解きましょう。
まず、円に内接する四角形のほうから。

「円に内接する四角形ABCDにおいて、
AB・CD+AD・BC=AC・BD
が成り立つ」


(証明)
∠CAD=∠BAEとなる点Eを下図のようにBD上にとる。

△ABEと△ACDにおいて、
円周角の定理より、∠ABD=∠ACD
よって、△ABE∽△ACD(∵2角相等)・・・( i )

また、△ABCと△AEDにおいて、
円周角の定理より、∠ACB=∠ADE
∠BAC=∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC=∠EAD
よって、△ABC∽△AED(∵2角相等)・・・( ii )

( i )より、
AB:BE=AC:CD ∴AB・CD=BE・AC・・・( iii )
( ii )より、
AC:BC=AD:ED ∴AC・ED=AD・BC・・・( iv )

( iii )( iv )の辺々をたして、
AB・CD+AD・BC=BE・AC+AC・ED
           =AC・(BE+ED)
           =AC・BD  (Q.E.D.)

最初の点Eさえとることができれば、あとは簡単に証明ができますね。
しかし、今日の本題はこれではありません。

本題はこれ。

「任意の四角形ABCDにおいて、
AB・CD+AD・BC≧AC・BD
が成り立つ」

先ほどの証明を踏まえて、証明できなかった人はもう一度考えてみましょう。

その間、違う話題で。

たとえば、次の文章。
「A君の飼っている犬の親の犬は、B君のよりも小さいのなんのって言ってA君、何も聞かないの。何か方法はないの?A君ももう中学生なのだから、そんなことは言わないの!」

さあ、助詞「の」が多用されてますが、すごいですね。
最初の「の」は主格を表す「の」ですね。「が」と言い換えられます。
次の「の」は格助詞で、連体修飾語を作る「の」です。
「親の犬」の「の」は、同格を表す「の」です。「である」と言い換えられます。

「B君の」の「の」は準体助詞の「の」です。「のもの」と言い換えられます。
「賢いのなんの」の「の」は?主に用言を列挙する「の」です。
「何も聞かないの」の「の」は、終助詞で、「軽い断定」(や、「女言葉」)を表します。

「何か方法はないの?」の「の」は終助詞で、「疑問」の「の」
「中学生なのだから」の「の」は理由・根拠を強調する「の」。代わりに「ん」も使います。
最後の「の」は命令。

というわけで、全ての「の」は全く違う用法の「の」でした。どうです。面白いでしょう?

それでは、トレミーの定理の本命の証明です。
いきなりすごい点を一点とります!!



【More・・・】

下の図のように、△DAB∽△DECとなるような点Eをとる。

すると、DB:DC=AB:EC
∴AB・DC=DB・EC・・・( v )
また、△DAEと△DBCにおいて、
∠ADB=∠EDC(∵△DAB∽△DEC)
DA:DE=DB:DCより、
△DAE∽△DBC
よって、AD:DB=AE:BC
∴AD・BC=DB・AE・・・( vi )

( v )( vi )をたして、
AB・CD+AD・BC=DB・EC+DB・AE
           =DB・(AE+EC)≧DB・AC (∵三角不等式より)
よって、任意の四角形ABCDにおいて、 AB・CD+AD・BC≧AC・BD が成り立つ。
等号成立は、AE+EC=AC、すなわちEがAC上にあるとき。
このとき、∠ABD=∠ACDから、円周角の定理の逆より、4点ABCDが同一円周上、
すなわち四角形ABCDが円に内接するときである。  (Q.E.D.)

おっと、先ほどの円に内接する四角形の時の、逆の証明もできちゃいました。
これはすなわち、「四角形ABCDにおいて、AB・CD+AD・BC=AC・BDならば、四角形ABCDはある円に内接する」です。
一石二鳥、一挙両得ですね。

それでは、今日はここまで。
次回は確率です。
問題を一題出しておきます。有名な問題ですが、自分で一度解いてみてください。
問題。
「40人のクラスの中に、同じ誕生日の人がいる確率は?」
クラスの中で、「もしかして君と君、誕生日同じ!?」なんてことあると思いますが、その確率を求めてみましょう。それでは!!
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18:00  |  幾何学-math  |  TB(0)  |  CM(3)  |  EDIT  |  Top↑

*Comment

■No title

1-364P39/365^39

音楽之友 |  2008.04.21(月) 21:30 |  URL |  【コメント編集】

■No title

正解ですね。はい。
有名な問題なので。
一応次回ちゃんと説明します。
Pen. |  2008.04.21(月) 21:45 |  URL |  【コメント編集】

■No title

ゴメン・・・着いて行かれへんレベル…また後日じっくり見よう^^;
影 |  2008.04.21(月) 21:54 |  URL |  【コメント編集】

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