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2008.06.02 (Mon)

テストで使える 「数学α1問題集 16ページ」 エレガントな解法

こんな問題がありますね。やっぱり中3生かな?高1は復習のつもりで。

【例題】(余りを求める)
整式P(x)をx-1で割ると -1 余り,x2-2x+5で割ると 6x-11余る.
この整式を(x-1)(x2-2x+5)で割ったときの余りを求めよ.


まずは、問題集通りの解答を、より丁寧に、解説していきます。

≪問題集通りの解答≫
P(x)を(x-1)(x2-2x+5)で割ったときの余りを、整式Q(x)と置く。
(x-1)(x2-2x+5)は3次式であるから、余りは高々2次式の整式である。
よって、余りをax2+bx+cとおくと、
P(x)=(x-1)(x2-2x+5)Q(x)+ax2+bx+c ・・・(i)

となる。条件より、P(x)をx-1で割った余りは-1なので、P(1)=-1となる。

なぜなら、「P(x)をx-1で割った余りは-1」ということから、
P(x)=(x-1)・(商)+(-1)
であり、x=1を代入すれば、
P(1)=0・(商)-1=-1となる。

よって、P(1)=a+b+c=-1 ・・・(ii)

また、(i)の式を変形すると、
P(x)=(x-1)(x2-2x+5)Q(x)+ax2+bx+c
   =(x-1)(x2-2x+5)Q(x)+a(x2-2x+5)+2ax-5a+bx+c
   =(x2-2x+5){(x-a)Q(x)+a}+(2a+b)x-5a+c
となる。
ここで、(x2-2x+5){(x-a)Q(x)+a}は(x2-2x+5)で割り切れるので、P(x)を(x2-2x+5)で割った余りは(2a+b)x-5a+cである(一次以下の式)。

よって、条件より、P(x)を(x2-2x+5)で割った余りは6x-11なので、

6x-11=(2a+b)x-5a+c
係数を比較して、
6=2a+b ・・・(iii)
-11=-5a+c ・・・(iv)

(ii)(iii)(iv)より、連立方程式を解いて、a=1,b=4,c=-6

求める余りはax2+bx+cなので、上の値を代入して、x2+4x-6

したがって、上より、
整式P(x)を(x-1)(x2-2x+5)で割ったときの余りはx2+4x-6

途中の式変形も厄介ですし、何といっても連立方程式では間違える率が高く、そのような意味では「難しい」問題でしょう。もっと簡単な方法はないのでしょうか?
・・・そう思っていたら、ありました。ご覧ください。明らかに、簡単で、時間も節約できます。

≪elegant!≫
P(x)を(x2-2x+5)で割ったときの余りは6x-11なので、P(x)は、整式Q(x)を用いて、
P(x)=(x2-2x+5)Q(x)+6x-11 ・・・(i)

とおける。
また、Q(x)をx-1で割った商をQ'(x),余りをkとおくと、
Q(x)=(x-1)Q'(x)+k
なので、これを(i)に代入して、

P(x)=(x2-2x+5)(x-1)Q'(x)+k(x2-2x+5)+6x-11

となる。これは、
P(x)を(x-1)(x2-2x+5)で割ったときの商がQ'(x),余りがk(x2-2x+5)+6x-11であることを示している。

ここで、条件より、P(x)をx-1で割った余りは-1なので、P(1)=-1となる。
よって、
P(1)=4k-5=-1
よって、k=1

これを、k(x2-2x+5)+6x-11に代入して、
x2+4x-6


したがって、上より、
整式P(x)を(x-1)(x2-2x+5)で割ったときの余りはx2+4x-6

どうですか?どちらの方が簡単ですか?下の解き方は、連立方程式を使っておりません。また、最初の解法のように、複雑な式変形も行っておりません。
下のほうが、速く、かつ、正確に、そして簡単に解くことができると思います。
ぜひ、マスターしてみてください。
どちらのやり方でも、できるように。

それでは。

下に、前回の解答です。

【More・・・】

前回の「復習」の解答ですね。

問1.「ウエスト・サイド・ストーリー」で、トニーについて、
(1)恋に落ちた相手は?
(2)誰を殺した?
(3)誰に殺された?

問2.フィボナッチ数列において、平方数はただ一つ存在する。その数を答えよ。

問3.△ABCにおいて、∠Bの二等分線と、∠Cの二等分線の交点は、∠Aの二等分線上にあることを示せ(傍心と内心)。

問4.50人のクラスで、無作為に席替えを行った。このとき、前と全く同じ位置の席に座る人が1人以上存在する確率を求めよ。

問5.チームプラクトの正規メンバーの数を答えよ。

問6.「罰金」「科料」「過料」の3つの違いを答えよ。

問7.次の文章、「A君の飼っている犬の親の犬は、B君のよりも小さいのなんのって言ってA君、何も聞かないの。何か方法はないの?A君ももう中学生なのだから、そんなことは言わないの!」について、助詞「の」が多用されているが、使われている順に意味を答えなさい。


(解答)
問1.(1)マリア (2)ベルナルド (3)チノ

問2.144のただ一つである。

問3.教科書を見直しなさい。

問4.実は、計算は大変です。クラスの人数が増えるにつれて、その確率は1/e≒0.367879・・・に近づきます。ただ、確実に言えることは、平均すると必ず一人、前と全く同じ席に座る人がいます。

問5.edi,Pen.,038,TTTTの4人。準メンバーに1人。

問6.「罰金」「科料」は刑事罰。「過料」は行政罰。
「罰金」は1万円以上、「科料」は1000円以上1万円未満。「科料」は「とがりょう」とも読みます。
「過料」は「あやまちりょう」とも読みます。
刑罰は、重い順に「死刑」「懲役」「禁錮」「罰金」「拘留」「科料」であり、追加刑に「没収」があります。

問7.最初の「の」は主格を表す「の」ですね。「が」と言い換えられます。
次の「の」は格助詞で、連体修飾語を作る「の」です。
「親の犬」の「の」は、同格を表す「の」です。「である」と言い換えられます。

「B君の」の「の」は準体助詞の「の」です。「のもの」と言い換えられます。
「賢いのなんの」の「の」は?主に用言を列挙する「の」です。
「何も聞かないの」の「の」は、終助詞で、「軽い断定」(や、「女言葉」)を表します。

「何か方法はないの?」の「の」は終助詞で、「疑問」の「の」
「中学生なのだから」の「の」は理由・根拠を強調する「の」。代わりに「ん」も使います。
最後の「の」は命令。

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18:31  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(2)  |  EDIT  |  Top↑

*Comment

おぉ~…
ひなたぼっこ |  2008.06.02(月) 20:39 |  URL |  【コメント編集】

■No title

ひぇ~…
影 |  2008.06.02(月) 23:03 |  URL |  【コメント編集】

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