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2008.06.05 (Thu)

積と和の一致

昨日の記事の補足説明は次回行います。

積と和が一致するといったら、皆さんはどのようなものを考えますか?

まずは、
2+2=4
2×2=4


という、2つの2の組をあげると思います。

しかし、次のようなものもあるのです。

直角三角形でない三角形ABCにおいて、
tanA + tanB + tanC = tanA tanB tanC


どうでしょう?すごいと思いませんか?ちなみに、証明もやってみましょう。

三角形ですから、A+B+C=π(180°)ですよ。

まずは、ノーヒントで頑張ってみてください。

・・・

・・・

http://penpenpensama.web.fc2.com/oboeconcerto.mid

・・・

・・・

分かりましたか?
分からない方は、ヒント。加法定理を用いてください。

それではもう一度。分かっている人はご辛抱。

・・・

・・・

昨日はすいませんね。諸事情があったもので・・・

・・・

管理人である私の、根も葉もない噂が出回っているようですが、迷惑ですので、おやめください。

・・・

・・・

それでは、答えです。
「π」がn(エヌ)に見える方、カギカッコの中身は「パイ(円周率)」ですよ。

(証明)

tanC = tan(π- ( A + B ))

tan(π-θ) = -tanθなので、

tanC = -tan( A + B )

ここで、加法定理より、

tanC = -tan( A + B )
=-(tanA + tan B ) / (1- tanA tanB )


ここはまだ加法定理の公式に当てはめただけですよ。
分母を払って、

tanC (1- tanA tanB )=-(tanA + tan B )

tanC - tanA tanB tanC = -tanA - tan B

よって、
三角形ABCにおいて、
tanA + tanB + tanC = tanA tanB tanC


この事実を用いて、ヘロンの公式をまた違ったアプローチから証明できるのですが、それは後日。
上の事実は、別に三角形でなくとも、成り立ちます。
α≠π/2,β≠π/2,γ≠π/2,α+β+γ=π
これならば、成り立ちますね。

すごいと思いませんか。感動しますよ。感動の涙が流れそうですね。

もう一度、最後にまとめましょう。
α≠π/2,β≠π/2,γ≠π/2,α+β+γ=π
のとき、
tanα + tanβ + tanγ = tanα tanβ tanγ

です。

正接の積と和の一致、どうでしたか?
びっくりすると思います。
それではまた次回。
さようなら。
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