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2008.06.09 (Mon)

初等幾何学で必須の定理3

三角形の相似・合同についておさらいしましょう。

まずは、三角形についてですが、ユークリッド幾何学では、内角の和は180°ですし、三辺をa,b,cとおくと、
a<b+c b<c+a c<a+b
が成り立ちますね。
それでは進みましょう。

相似とは、簡単に言うと、「縮尺の違いをのぞいて同じ形」ですね。
それに対して、合同は、「位置の違いをのぞいて同じ形」です。
相似である条件は、次の三つのうちいずれかですね。

(1)三辺の比の相当
(2)二辺の比とそのはさむ角の相当(二辺夾角の相当)
(3)二角の相当

これの証明は省きます。その代わりに、合同条件を証明してみましょう。
合同である条件は、次の三つのうちいずれかです。

(1)三辺の合同
(2)二辺とそのはさむ角の合同(二辺夾角の合同)
(3)二角とそのはさむ辺の合同(二角夾辺の合同)

証明してみてください。
意外と手こずるかも?

それでは、証明していきたいと思います。

(証明)
二つの三角形を△ABC,△DEFとする。

(2)から証明する。
AB=DE,AC=DF,∠A=∠Dとおく。∠Aと∠Dが重なるように移動させると,線分ABと線分DE,線分ACと線分DFが重なる。また,AB=DE,AC=DFより頂点Bと頂点D,頂点Cと頂点Fが重なることになる。よって△ABCと△DEFは合同である。

次に(3)を証明する。
BC=EF,∠B=∠E,∠C=∠Fとおく。線分BCと線分EFが重なり,かつ頂点Aと頂点Dが同じ側に来るように移動させる。すると,∠B=∠Eより線分BAと線分EDは重なり,∠C=∠Fより線分CAと線分FDは重なる。その結果,線分BAと線分CAの交点Aと,線分EDと線分FDの交点Dも重なることになる。よって、△ABCと△DEFは合同である。

最後に(1)を証明する。
まず「△PQRがPQ=PRの二等辺三角形なら∠Q=∠R」の証明をする。
∠Pの二等分線と線分QRとの交点をSとし,2つの三角形△PQS,△PRSを考えると,PQ=PR,∠QPS=∠RPS,PSは共通なので,(2)より△PQSと△PRSは合同となり,∠Q=∠Rである。
よって、△PQRがPQ=PRの二等辺三角形なら∠Q=∠Rである。

AB=DE,BC=EF,CA=FDとおく。線分BCと線分EFが重なり,かつ頂点Aと頂点Dが反対側になるように移動させる。このとき頂点Bと頂点E,頂点Cと頂点Fは重なっているので,それぞれの頂点をBとCとする。
まずAB=DEより△BADは二等辺三角形になるので,∠BAD=∠BDとなる。
同様にCA=FDより△CADは二等辺三角形になるので,∠CAD=∠CDAとなる。
そして,∠A=∠BAD+∠CAD,∠D=∠BDA+∠CDAなので,上の結果より∠A=∠Dとなり,これとAB=DE,CA=FDから,(2)より△ABCと△DEFは合同となる。

以上より、示された。(Q.E.D.)

意外とややこしいですね。
まあ、今日はこのぐらいにしておきましょう。
遅い時間になりましたが、それでは。
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