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2008.06.11 (Wed)

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCを使ったヘロンの公式の証明

題名の通りです。まずは、積と和の一致の記事をご覧ください。
次から出てくる記号、「π」は、円周率、「パイ」です。小文字の「エヌ」は使いません。
例の記事で、証明された事柄
α+β+γ=π,α≠π,β≠π,γ≠πのとき、
tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ

これを使います。

<ヘロンの公式>
 三角形の三辺をa,b,cとおき、2s=a+b+cとした時の三角形の面積Sは、
S=√s(s-a)(s-b)(s-c)


確認のためです。

それでは、この、「ヘロンの公式」を証明しましょう。図は証明の中ほどにあります。

(証明)
△ABCのA,B,Cの対辺をa,b,cとおき、2s=a+b+cと定義する。
また、△ABCの内接円の中心をIとし、半径r、内接円とBC,CA,ABとの接点をD,E,Fとする。
(青字のところは飛ばしてみてもらっても構いません)

△BIDと△BIFにおいて、BIは共通、ID=IF(=r)。
また、Iは内心なので、BIは∠Bの二等分線。よって、∠IBD=∠IBF。また、∠IDB=∠IFB(=90°)。よって、∠BID=∠BIF。
以上より、△BID≡△BIF(∵二辺夾角の合同)
∴BD=BF。
また、△CIDと△CIE,△AIEと△AIFにおいても同様にして、△CID≡△CIE,△AIE≡△AIF。
∴CD=CE,AE=AF。

2s=a+b+c=BD+DC+CE+EA+AF+FB。
BD=BF,CD=CE,AE=AFより、2s=2(BD+CE+AF)
∴s=BD+CE+AF
ここで、s-a=BD+CE+AF-a。CE=CDなので、s-a=BD+CD+AF-a=a+AF-a=AF
∴s-a=AF
s-b,s-cについても同様に、s-b=BD,s-c=CE。
ヘロン


ここで、∠BID=α,∠CIE=β,∠AIF=γとおくと、2(α+β+γ)=π。
∴α+β+γ=π。
また、α≠π/2,β≠π/2,γ≠π/2。

よって、
tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ
∴(BD/ID)+(CE/IE)+(AF/IF)=(BD/ID)(CE/IE)(AF/IF)
ID=IE=IF=r,BD=s-b,CE=s-c,AF=s-aなので、
(s-a/r)+(s-b/r)+(s-c/r)=(s-a/r)(s-b/r)(s-c/r)
両辺r3倍して、
r2{3s-(a+b+c)}=(s-a)(s-b)(s-c)
a+b+c=2sより、
r2s=(s-a)(s-b)(s-c)
∴r2=(s-a)(s-b)(s-c)/s
∴r =√(s-a)(s-b)(s-c)/s

S=r2sであるので、
r2s= s√(s-a)(s-b)(s-c)/s = √s(s-a)(s-b)(s-c)

以上より、
 三角形の三辺をa,b,cとおき、2s=a+b+cとした時の三角形の面積Sは、
S=√s(s-a)(s-b)(s-c)

(Q.E.D.)

どうでしたか?理解はできると思います。
s-a,s-b,s-c は、図形的には図の部分に当たるのです。
それぞれの意味が掴みやすい証明の仕方ですね。

他にも、ヘロンの公式にはいろいろな証明の仕方があります。自分のお気に入りの証明を一つ見つけてくださいね。

いろいろな証明といえば…「三平方の定理」もそうです。
これもすごいですね。いずれ触れるかもしれません。
今日はこれまでです。
それでは。

【More・・・】

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