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2008.04.22 (Tue)

常識と違う??確率

さてさて、前回の問題。
「40人のクラスの中に、同じ誕生日の人がいる確率は?」
ですが、答えは昨日もゲストさんにお答えいただいた通り、
1-{(364P39)/365^39}
ですね。約90%の高確率です。
断っておきますが、365^39は「365の39乗」です。/は割り算(分数)の記号です。
有名ですが、一応解説。
余事象で考えます。
例えば2人のクラスの場合だったら?
2人の誕生日が一致しない確率は、365日中、片方の一人の誕生日以外にもう一人の誕生日があるから、
364/365
よって、2人の誕生日が同じ確率は、1-(364/365)=1/365
3人だったら、同様にして、1-{(364/365)*(363/365)}
ちなみに、*は掛け算の記号です。
・・・というわけで、40人の場合、
1-{(364/365)*(363/365)*(362/365)*・・・*(325/365)}
です。中かっこの中を整理すると、結局分母は364P39、分子は365^39なので、最初の式の通りです。

それでは、こんな2つの問題を。
「区別のつかない3つの袋の中に二つの玉が入っており、それぞれ、赤玉と白玉、白玉二つ、赤玉二つが入っています。
一つの袋を選び、中身を一つ取り出すと、それは赤玉でした。その袋の残りのもう一つの玉が白玉である確率は?」
「3つの箱が並んでおり、そのうち1つの箱の中のみに賞金が入っている。
 あなたは、ある1つの箱を選んだ。すると、相手は、残った2つの箱のうち、片方のみを開け、中に賞金の入っていないことをあなたに示した。そして、相手は、今ならもう片方の開けていない箱に選びかえても良いと言った。
 さて、あなたは賞金の入った箱を選びたい。あなたは箱を選びかえたほうが良いのだろうか?それとも、変えても変えなくてもどちらでもいいのだろうか?確率の観点から説明せよ。」

さて、分かるかな?



いきなりですが、このブログに関するご意見・ご感想・質問はコメント欄、もしくは直接管理人まで!

質問は、できる限り答えていきたいと思います。難しすぎるものはやめてね。数学のページですが、数学以外でもOKです。

それでは、下に上の問題の答えです。






【More・・・】

「区別のつかない3つの袋の中に二つの玉が入っており、それぞれ、赤玉と白玉、白玉二つ、赤玉二つが入っています。
一つの袋を選び、中身を一つ取り出すと、それは赤玉でした。その袋の残りのもう一つの玉が白玉である確率は?」


赤玉を取り出したとき、残りは赤か白かどちらかで、どちらの事象も同様に確からしいから2分の1!なんてことはありませんよ!!
(答)
 これは、こう言い換える事ができます。
「3つの袋のうちどれを選ぶ事象も同様に確からしいが、ある一つの袋を選び、その中の二つの玉のうち、取り出した一つが赤い玉であったとき、最初に選んだ袋が赤玉と白玉が入った袋である確率」

ややこしいですか?インフルエンザであれば、必ずくしゃみをするとして、インフルエンザでなくともくしゃみはすることはあるけれども、その人がくしゃみをしたとき、その人がインフルエンザにかかっているような確率を求めるようなものです。

「くしゃみをした」という条件があるのとないのでは、インフルエンザにかかっている確率が変わるのは直感的に分かりますよね?それと同じです。

まず、赤玉を袋から取り出す確率は、
赤玉と白玉の入った袋をA、白玉二つの入った袋をB、赤玉二つの入った袋をCとすると、
まず、最初にAかCの袋を選び、Aの場合は2つのうち赤玉の方を引き当てる、
Cの場合はどちらでもいいから取り出したら赤玉を取り出したということになるので、その確率は
(Aを選ぶ) × (赤を選ぶ) + (Cを選ぶ) × (赤を選ぶ)
  1/3   *   1/2    +    1/3   *    1
1/2

このうち、Aの袋を選んでいて、赤を引き当てた確率は、
1/3 * 1/2
1/6

よって、
(1/6)/(1/2)
1/3
ちゃんとこのような考え方、できましたか?

もう一問の方。
「3つの箱が並んでおり、そのうち1つの箱の中のみに賞金が入っている。
 あなたは、ある1つの箱を選んだ。すると、相手は、残った2つの箱のうち、片方のみを開け、中に賞金の入っていないことをあなたに示した。そして、相手は、今ならもう片方の開けていない箱に選びかえても良いと言った。
 さて、あなたは賞金の入った箱を選びたい。あなたは箱を選びかえたほうが良いのだろうか?それとも、変えても変えなくてもどちらでもいいのだろうか?確率の観点から説明せよ。」


(答)
率直に言うと、変えたほうがいいです。
説明しましょう。
A,B,Cの三つの箱とし、賞金はCに入っているとする。

あなたがAの箱を選んだ場合(1/3)、
相手はBを開けます。
そのとき、Cに変えたら当たり、変えなかったらはずれです。

あなたがBの箱を選んだ場合(1/3)、
相手はAを開けます。
そのとき、Cに変えたら当たり、変えなかったらはずれです。

あなたがCの箱を選んだ場合(1/3)、
相手はAかBを開けます。
そのとき、残りの方に変えたらはずれ、変えなかったら当たりです。

これで分かったと思います。あなたがAかBを選んだ場合、(1/3 + 1/3 = 2/3)変えた方がよい、
あなたがCを選んだ場合、(1/3)変えなかった方がよい、と言う事になります。

まとめると、2/3の確率で変えたら当たり、1/3の確率で変えなかったら当たりなので、結果的に、
変えたほうが良い
ということになるのです。
もっと直感的に分かりやすく説明してみましょう。

究極の状況を考えます。
「1億箱あり、その中の一つが当たりです。
 あなたは、ある一箱を選び、相手はそれ以外の9999万9998個のはずれの箱を開けました。
さあ、あなたは残ったもう一つの箱に選び変えた方が良いのでしょうか?」
明らかに変えたほうがいいですね。あなたが最初に1億分の1で当たりの箱を選んでいたときのみ選び変えたらはずれで、それ以外の場合は当たりになるのですから。

究極の状態を考えたら当たり前なのに、そうでないとどうもそれが常識に思えない。
このようなことはこの世の中にだって多く存在しています。

「今、自分がやっている事は悪い事だけれども、些細なことだしどうって事ないだろう」なんて思ってやってること、実は大きな問題を引き起こす可能性だってあるのです。
たとえありえないようなことでも、実際に起こる可能性だってあるのです。常に究極の状況を考えながら、行動するようにしましょう。

ちなみに今回の問題、実は「ベイズの定理」と言うものが根底にあるのです。ま、これはもっと後に習うようなことですが、そんなに難しい事でもありません。この定理が理解できれば、このような問題はすぐに解けるようになるでしょう。興味があればご自身で調べてみてください。

次回には宿題は出しません。話題は明日のお楽しみ、と言うことで。

それでは!!
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22:15  |  確率・場合の数-math  |  TB(0)  |  CM(3)  |  EDIT  |  Top↑

*Comment

■No title

うん。
>このことに関するご意見・ご感想はコメント欄、もしくは直接影さんまで!
来られても、「冗談です」としか言わんぞ?
っていうか察してくれ。
大丈夫、お前の大事な妹を泥棒したりしないからw
影 |  2008.04.22(火) 23:08 |  URL |  【コメント編集】

影さん。。。
頑張れ。。。
。。。。。。
BAN |  2008.04.22(火) 23:11 |  URL |  【コメント編集】

■No title

1億のハコwww
めちゃウケるんですけど。。
今日は更新・・・なしですか??
悠。。 |  2008.04.23(水) 22:08 |  URL |  【コメント編集】

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