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2008.06.14 (Sat)

ブラマグプタの公式2

まずは、次の式を因数分解してみてください。もっと手ごたえのある問題かと思いましたが、簡単ですね。
ひたすら(二乗)-(二乗)の因数分解です。
4(ab-c d)2-(a2+b2-c2-d2)

このぐらいの因数分解ならすぐにできますね。


さて、これを解いたうえで、例の「ブラマグプタの公式」を証明しましょう。
<<ブラマグプタの公式>>
「円に内接する四角形の辺の長さをそれぞれa,b,c,dとし、
2s=a+b+c+dとおくと、
四角形の面積は
(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)
である。」

この証明をしましょう。図は、「トレミーの定理」のときに使わせてもらった図をそのまま使用させてもらいました。何度も言いますが、下に出てくる記号「π」は、円周率「パイ」です。「エヌ」は使いません。

(証明)
ブラマグプタ

円に内接する四角形ABCDにおいて、
AB=a, BC=b, CD=c, DA=d
とおく。
また、
2s=a+b+c+d
とおく。

(四角形ABCD)=△ABC+△ADCである。
ここで、∠B=θとすると、
△ABC= (ab・sinθ)/2
また、四角形ABCDは円に内接するので、
∠B+∠D=π
よって、∠D=π-θ
△ADC= {cd・sin(π-θ)}/2 = (cd・sinθ)/2

以上より、
(四角形ABCD)=△ABC+△ADC= {(ab+cd)/2}・sinθ

ここで、AC=eとおくと、第二余弦定理より、
e2=a2+b2-2ab・cosθ
また、
e2=c2+d2-2cd・cos(π-θ)
cos(π-θ)= -cosθなので、
e2=c2+d2+2cd・cosθ

よって、
a2+b2-2ab・cosθ=c2+d2+2cd・cosθ

上式より、
cosθ=(a2+b2-c2-d2)/2(ab+cd)

三角比の性質より、
sin2θ+cos2θ=1なので、
sin2θ=1-cos2θ

よって、
sin2θ=1- (a2+b2-c2-d2)2/4(ab+cd)2

=4(ab+cd)2-(a2+b2-c2-d2)2/4(ab+cd)2

ここで、上式の分子を因数分解する。

4(ab+cd)2-(a2+b2-c2-d2)2

={2(ab+cd)-(a2+b2-c2-d2)}{2(ab+cd)+(a2+b2-c2-d2)}

={(c2+2cd+d2)-(a2-2ab+b2)}{(a2+2ab+b2)-(c2-2cd+d2)}

={(c+d)2-(a-b)2}{(a+b)2-(c-d)2

=(c+d-a+b)(c+d+a-b)(a+b-c+d)(a+b+c+d)

=(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)

a+b+c+d=2sなので、

(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)

=2(s-a)・2(s-b)・2(s-c)・2(s-d)

=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)

∴sin2θ=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)/4(ab+cd)2

約分して、

sin2θ=4(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)/(ab+cd)2

ここで、0<θ<πなので、
0<sinθ<1
よって、sinθの値は正なので、

sinθ= 2√(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)/(ab+cd)

(四角形ABCD)={(ab+cd)/2}・sinθ
なので、sinθに上の値を代入して、

(四角形ABCD)={(ab+cd)/2}・{2√(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)/(ab+cd)}

=√(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)

よって、
円に内接する四角形の辺の長さをそれぞれa,b,c,dとし、
2s=a+b+c+dとおくと、
四角形の面積は
(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)
である。

(Q.E.D.)

赤字の部分からが、最初に出した因数分解の問題の答えでもあります。

別に、難しいことではありません。

理解していただけたでしょうか?

三角形ABCの面積は、
(1/2)・ab・sinC
(1/2)・bc・sinA
(1/2)・ca・sinB
の3つのうちいずれかですね。



また月曜日にお会いしましょう。

それでは。

【More・・・】

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■こんにちは!

気になったのでコメント残させて頂きました(^ ^)v
サウルコス |  2008.06.15(日) 16:45 |  URL |  【コメント編集】

最近数式見たら酔いそうや…
ひなたぼっこ |  2008.06.15(日) 19:19 |  URL |  【コメント編集】

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