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2008.06.23 (Mon)

ピタゴラス音階と平均

和音の響きも美しいですね。

まずは、これを確認しておきます。

振動数の比が3:2のとき(完全5度)、2:1のとき(完全8度)のとき、4:3のとき(完全4度)のとき協和音となる。

この定義だと、例えば、完全5度は、ドとその下のソ、完全8度はドと、その1オクターブ下のド、完全4度はドとその下のファですね。

ピタゴラス音階とは、このようにある音から始って、完全5度の積み重ねで出来上がる音階です。
(ここでは、2:3で積み上げていきます)
C-G-D-A-E-B-F-C-G-D-A-F-C

最初のCの音の振動数を分かりやすく4096とおくと、

C  4096
G  6144
D  9216
A  13824
E  20736
B  31104
F 46656
C 69984
G 104976
D 157464
A 236196
F  354294
C  531441

ということになります。

また、最初のC 4096を1:2の計算で、完全8度で積み上げていくと、
C 4096の7オクターブ上の振動数は、C 524288となります。
531441≒524288
ということで、辻褄を合わせています。
これらの音を、1オクターブ内に収めた音階では、長3度が上手く響きません。そのような欠点は持っています。また、移調も容易ではありません。

それはともかく、Cを中心に考えると、
C F G C
この4つの音は協和音となる、ということです。
ただし、別に具体的に音を定める必要はありません。
たとえば、バイオリンなどの弦の長さの比が
6:8:9:12
となればいいのです。
よって、
6 8 9 12
この四つの数字は、ある意味では美しい数字なのです。

さて、ここに、6の1オクターブ下の音、3を加えましょう。

3 6 8 9 12
この五つの数字を見て、何か思いませんか?


6は、3と12の相乗平均

8は、6と12の調和平均

9は、6と12の相加平均


となっているのです。

<相乗平均>
aとbの相乗平均は、
√(ab)
で与えられる。

<相加平均>
aとbの相加平均は、
(a+b)/2
で与えられる。

いわゆる一般的な「平均」ですね。

<調和平均>
aとbの調和平均は、
2/{(1/a)+(1/b)}
で与えられる。

・・・なんて言っても分かってもらえないですよね?

速さを思い出してください。

「A地点からB地点まで、行きは時速4km、帰りは時速2kmで歩いた。このとき、行きと帰りの平均の速さを求めよ」
という問題に出合った時、まさか
(4+2)/2=3
とし、時速3kmなどとはしませんよね?

時速8/3km、つまり、およそ時速2.7kmですよ。

その時の計算が、「調和平均を求める」計算になっているのです。

ピタゴラス!!比は美しい!ただし、整数比で表わせないものも認めてくれ!!!!!
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*Comment

発言します。
ひなたぼっこ |  2008.06.23(月) 23:09 |  URL |  【コメント編集】

■素朴な発言

とことん書き込みフォームやらが改造されてるな・・・
TTTT |  2008.06.24(火) 18:06 |  URL |  【コメント編集】

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