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2008.06.27 (Fri)

数学の神秘7

直線の上を、その直線と1点で接している円が滑らずに回転します。
このとき、円周上に一点を取り、その動き(軌跡)を考えます。
そうすると、こんな曲線(Wikipedia)になります。x軸、y軸の数値などは考えなくていいです。ただ、こんな曲線なんだな~、と思っておいてください。このような曲線のことを、サイクロイド曲線と言います。

さて、ここで問題です。
例えば、このサイクロイド曲線が、
直径1cmの円の円周上の点によるものだったならば、このサイクロイド曲線の長さは何cmになるのでしょうか?

これが、今回の美しいところです。

 ちなみに、「数学の神秘」という題で更新しているときの、「神秘」とは、どのような基準なのか?
それは、管理人である私が、「これは美しい」「神秘的だ」と、感銘を受けた内容について掲載しています。

じらしてしまって申し訳ありませんね。
もう少し、お付き合いください。

 数学は、とても芸術的です。まず、必ず「答え」が存在する。答えのない問題は存在しません。
一つ、注釈を付け加えておきますが、「答えのない問題」とは、ここでは、「答えがあるのかどうかも分からない」という問題です。
 「不可能な問題」でも、それには「不可能だ」という答えが与えられています。
また、この世の中には、まだ解明されていない問題もありますが、それは、ただ、解明されていないだけで、答えは存在するのです

 そして、次に、「ただ一つの解に達するための方法が、一つとは限らない」ことです。
たとえ、もう解明された問題でも、「もっと別の解法はないのか」「もっと簡単な解法はないのか」と探ることができます。それが、また一つの楽しみであり、そして、見つけたときの達成感と言えば、この上ありません。

 そして、「数学は不変である」ということです。

「平面幾何学(ユークリッド幾何学)において、三角形の内角の和は180°である」

どんな三角形を描いても、必ず180°になります。
179°でも、181°でもありません。必ず180°なのです。

それ以外にも、ピタゴラスの定理もありますし、それだけではなく、すべてが不変です。

それに対し、物理などにも、いろいろな公式がありますが、同じ世界において、ニュートン力学がすべてに適用されるわけではありません。原子レベルの話になると、どうしても量子力学になってしまうのです。

(ユークリッド幾何学と、非ユークリッド幾何学は、根本的に別の世界です。同じ世界ではありません)

他にも、いろいろと要素がありますが、このように、数学は、とても芸術的なのです。

それでは、本題に戻りましょう。
答えはずばり、4cmです。

えっ!有理数?

と思った方もいるでしょう。

そうです。πが登場しないのです。

超越数ではないのです。(超越数については後ほど)

サイクロイド曲線の長さは、直径の長さの4倍と等しくなります。

どうです?神秘的じゃありませんか?
あの曲線が、超越数でも何でもないなんて。

それだけなのですが、今日、私は、このことを知り、ひどく感動いたしました。

どうでしょう?感動していただけたでしょうか?

それでは、この続きに、超越数です。

【More・・・】

<超越数>
 簡単に言うと、「どのような代数方程式の根にもなり得ない数」です。

根とは、今は解のことだと考えていただければ結構です。

代数方程式とは、有理数係数の、
a1xn+a2xn-1+a3xn-2+・・・+anx

というような方程式です。n次方程式において、必ず根はn個存在します。

まず、有理数は、一次方程式の根となるので、超越数ではありません。

また、無理数=超越数と言うわけでもありません。

無理数でも、±√2は、

x2=2

の解ですね。

このように、無理数の中でも、代数方程式の根となり得るものは超越数ではありません。

πや、e などは、代数方程式の根とはなり得ないのです。


そういえば、有理数と無理数、どちらも無限に存在しますが、どちらの方が密度がより濃いか、分かりますか?

どういう意味か分かりますよね?
数直線上に、有理数の点だけを取っていった場合と、無理数の点だけを取っていった場合、どちらの方が点の密度が濃くなるか、ということです。


答えは・・・なんと無理数なのです。

意外でしたか?予想通りでしたか?

それでは、また、逢いましょう。さようなら。
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