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2008.06.28 (Sat)

Fair or Unfair?

勝負事においては、何事もフェアであることが望ましいのですが、そうはいかないのがこの世の中です。

ちなみに、勝負の類義語は、輪贏です。
読み方は、「ゆえい」または「しゅえい」です。
本来の読み方は、「しゅえい」ですが。
輪=負け
贏=勝ち
の意味です。

思いっきり簡単な問題(もう皆さんがご存知の問題)も含み、いろいろと紹介していきます。
この勝負は、Fair or Unfair?

勝負とか言いながらも、まずはくじ引きから。

(1)10本中3本が当たり、7本が外れのくじがある。10人以内の人間が、1人1本ずつ順番にくじを引く時、このくじ引きは公平であるかどうか?

基本中の基本。有名すぎます。「くじ引きの平等性」ですよ。
答えを先に言うと、公平だということです。

1人目の当たる確率・・・3/10
2人目の当たる確率・・・(3/10)・(2/9)+(7/10)・(3/9)=9/30=3/10
・・・3人目以降はご自分で計算してください。ここに書いてしまうと煩雑になってしまうので。

ただし、全員、3/10になります。

それでは、次。

(2)15本中3本が当たり、7本が外れ、5本が「もう一度引く」のくじがある。10人以内の人間が、1人1本ずつ順番にくじを引く時、このくじ引きは公平であるかどうか?ただし、「もう一度引く」を選んだ場合は、当たりか外れを引くまで、同じ人が引き続ける。

どうでしょうか?

1人目が当たりを引く確率から求めましょう。
どういう計算をしますか?
「1本目に当たり、1本『もう一度引く』を引いてから2本目に当たり・・・」
というように計算しますか?

それでもいいですが。

単刀直入に申し上げましょう。

3/10
です。

信じられない方、頭が固い。
何本「もう一度引く」があろうとなかろうと、当たりが3本、外れが7本の当たりと外れは計10本ですから、3/10です。
嘘じゃないです。信じてください。これが「確率」というものです。

小学生ならすぐに理解してくれますけどね。
そんな問題いくらでもあります。小学生の方がすぐに解ける問題と言うものは。

ということで、「もう一度引く」が何本あっても結果は同じ、この勝負は公平です。

次は、不公平な勝負をどうしたら公平にするか、という問題です。

(3)サイコロを振り、その目が偶数か奇数かを当てる賭けを二人でする。
もちろん、普通ならば平等な勝負だが、このサイコロには、ある仕掛けがしてあり、相手は偶数の目と奇数の目、どちらの方が出やすいかを知っている。
このとき、どのようなルールにすれば公平になるか。
もちろん、自分はどちらの目の方が出やすいかは知らない。
そして、必ず相手から予想するものとする。


さあ、がんばって!

自分に不利な状況を、いかにして乗り切るか。今回はそういう問題です。

さて、考えられましたか?答えはすぐ下なので、考え中の方はすぐに下を見ないようにしてくださいね。


それでは、答えを申し上げます。



「サイコロを続けて2回振り、『偶数から出てから奇数が出る』か、『奇数が出てから偶数が出る』かのどちらかに賭ける。

例えば、極端な例、
偶数が出る確率・・・0.9
奇数が出る確率・・・0.1
としましょう。

このとき、
(偶数が出てから奇数が出る確率)=0.9×0.1=0.09
(奇数が出てから偶数が出る確率)=0.1×0.9=0.09
なので、これは公平です。

それでは、最後の問題です。

(4)大相撲の、3人の力士による優勝決定戦の「巴戦」は公平か?
ただし、3人の力士はそれぞれ同程度に強いものとし、「巴戦」の形式は、次のようなものとする。
  • まず、力士AとBが戦う。
  • AとBとの戦いの勝者(ここではAとする)が、次にCと戦う。
  • Cが負ければ、第一試合で勝ったAは続けて二勝したことになるので、その時点で優勝は決まる。Cが勝てば、次に、Bと戦う。
  • このようにして、先に続けて二勝した者が優勝する。


さて、この試合、実際に行われていますが、公平でしょうか?

Fair or Unfair?

直感的に考えましょう。

AかBは、最初の試合で戦います。仮に、Bが負けたとしても、Bには優勝のチャンスが残されています。なぜなら、次の試合でAが負ければよいからです。

しかし、Cは、二戦目で戦います。Cが負けた時点で、優勝者は決定してしまいます。
つまり、Cは一度負けてしまえば、優勝できるチャンスは残されていないのです。

だから、公平でないことはすぐに分かります。

では、どのくらいCは不利なのか。

確率的に考えましょう。

計算は続きをご覧ください。

【More・・・】

三人の力士は、同程度に強いので、それぞれの試合で勝つ確率は、すべて1/2である。

<Aが優勝する確率>
[1]最初の試合でBに勝ち、そのあとCにも勝つ確率・・・(1/2)・(1/2)=1/4
[2]最初の試合でBに勝ち、そのあとCに負け、次にCがBに負け、次にB,Cと連勝する確率
・・・[1]・(1/2)・[1]=(1/8)・(1/2)=1/16

・・・というように、
初項1/4、等比1/8の等比級数が確率となります。

これを計算すると、5/14です。

BもAと同じなので、5/14。

Cは、1-{(5/14)-(5/14)}=4/14

よって、Cは、A,Bよりも、1/14だけ勝つ確率が低いのです。

途中の計算は自分でしてください。

この試合、不公平なので、どのような順で試合に当たるようにするのか、くじ引きなどいろいろと工夫はしているようです。

不公平も不公平なりに、がんばっているんですね。

それでは。
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21:00  |  確率・場合の数-math  |  TB(0)  |  CM(3)  |  EDIT  |  Top↑

*Comment

■素朴な発言(ぶっちゃけ)

なんか
めんどくさいよね。
この偽善日記。
おなかいっぱいだおぅよ?
飴師 |  2008.06.29(日) 18:38 |  URL |  【コメント編集】

■素朴な発言

うん、あのさ。
偽善日記って何さ?
ってか僕としてはブログに文句言ってる人は見なきゃいいと思うんだ~。
あんた1人の意見のために大衆が見てるブログが様変わりするわけないじゃないか♪
影 |  2008.06.29(日) 19:28 |  URL |  【コメント編集】

まぁ影はPen.にも同じこと言ってたけど賛成です∀

だって俺批判される側やし…

ひなたぼっこ |  2008.06.29(日) 20:31 |  URL |  【コメント編集】

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