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2008.04.24 (Thu)

懐かしき問題~音楽を聴きながら~

いきなりですいませんが、こちらをお聞きください。変なページに飛ぶかもしれませんが、その中の再生ボタンらしき物を探してクリックしてみてください。できなければ、右クリックしてファイルを保存してください。
注意:クリックしただけでは聞けません(なぜか)。開いたら「このページは準備中です」と出ると思いますが、アドレスバーをクリックして、そのままエンターキーを押してください。以下も同様です。分からない場合はこちら、又は管理人のメールアドレスまで。コメント欄でもいいですが、できるだけメールでお知らせください。または、こちらをご覧ください。
The Thief(Masaki's Theme)<シーフ(マサキのテーマ)>
作曲しました。お気に入りの曲の一つです。m4a形式なので、すぐに再生されると思います。別ウィンドウで開きます。聞けない場合は
http://www.geocities.jp/penpenpensama/Files/The_thief.m4a
とアドレスバーに打ち込んでください。
楽譜はこちら


中学入試対策で、このような問題を解いたことがありませんか?
「1~100までの整数を掛け合わせた時、末尾に0が何個続くか?」

これは簡単ですね。このように解きます。解答は簡潔にするため、小学校では習わない記号も使いますが、基本は同じですね。

(答)
100!を素因数分解したときの、5の指数を求めればよい。
よって、
100÷5=20
100÷25=4
100÷125=0・・・100
20+4=24
よって、24個。
こんな求め方しませんでしたか?

意味はわかりますよね?
100÷5で、100の中の5の倍数の数を求めます。しかし、これでは、5の指数は求まりません。5の自乗も1つとして数えているからです。(25も5が1つとしか数えていない)
だから、次は5の自乗、25の倍数を調べます。こうして、5が2つあるのに一回しか数えていない数をもう一度数えます。
次に、5の三乗を調べましたが、ありませんでした。

こんな感じです。思い出していただけたでしょうか?

この方法、例えば「1000000000000000000000000000000000000000!は、末尾に0は何個つく?」のような問題の時、どうしますか?
5の倍数、25の倍数、125の倍数、625の倍数、3125の倍数・・・と調べていきますか?
大変ですよね。
次のような便利な公式をご存知ですか?



ここで、話は飛びます。
先ほどの曲、聴き終わりましたか?まだなら、聞き終えるまですこしお待ちください。

聞き終わったら、次はこちらです。
Masaki<マサキ>
こちらは先ほどより短いピアノ曲です。mp3なのですぐに再生されます。すぐ終わります。聞けない場合は
http://www.geocities.jp/penpenpensama/Files/Masaki.mp3
楽譜はこちら



それでは、音楽を聴きながらどうぞ。

自然数 N の階乗( N!)を素因数分解した際の、素数 P の指数は次の公式で求められる。

分子・・・ N-(NをP進法で表したときの各桁の和)
分母・・・ P-1

すなわち、

N-(NをP進法で表したときの各桁の和)
―――――――――――――――――
         P-1


です。
非常にシンプルです。
例えば、先ほどの問題の、100!を素因数分解した時の5の指数は、
100は5進法で表すと
5 )100
5 ) 20 ・・・0
    4 ・・・0

より、400です。
だから、

100-(4+0+0)
――――――――― =24
    5-1

で、先ほどの結果と合いましたね。

説明をさせてもらいます。

その前に、先ほどの曲は聞き終わったと思います。
今日は4曲ありますが、3曲目です。
Masaki's tear<マサキの涙>
これはm4aです。一曲目と同じように、再生ボタンを自分で押してください。聞けない場合は
http://www.geocities.jp/penpenpensama/Files/Masakis_tear.m4a
これもピアノの短い曲です。雰囲気でてますね~
楽譜はこちら



(説明)
N!(Nは自然数)を素因数分解した時の素数Pの指数は、
[N/P]+[N/P^2]+[N/P2]+[N/P3]・・・ (式1)
となる。(最初の解法をまとめただけです。)
[N/P]=a
[a/P]=b
[b/P]=c・・・
とおくと、
(式1)は、
[N/P]+[a/P]+[b/P]+[c/P]・・・
となる。これは、a+b+c+d+・・・と同じである。
先ほどの問題のように、N=100 P=5を代入すれば、
[100/5]+[20/5]+[4/5]で、答えは24と確かめられる。

ところで、NをP進法で表すとき、
P ) N 
P ) a   ・・・S
P ) b   ・・・T
    ・
    ・
    ・
となるのはお分かりだろうか。(このとき、PをN進法で表すと「・・・UTS」となる事を示している。ただし、「・・・UTS」とは掛け算ではない。位取りである)
ここからは分かりにくくなるので、一例を挙げて説明しておく。
例を挙げよう。
100を5進法で表すときの計算
5 )100
5 ) 20 ・・・0
     ・・・0
この式で出てきた赤文字20と4を足した24というのが求める数である。
100は5進法で表すと400になるので、
100=4・52+0・51+0・50=4・25+0・5+0・1(式2)
100を5で割った商がaに当たるので、(式2)の両辺を5で割ると、その商は、
a=20=4・51+0・50=4・5+0・1
これをまた5で割った商がb。
b=4=4・50=4・1
したがって、この場合、
[N/P]+[a/P]+[b/P]+[c/P]・・・=a+b+c+d+・・・
=4・(51+50)+0・50
   52-1     51-1
=4・――― +0・―――
    5-1     5-1
 4・52+0・51+0・50-(4+0+0)
=―――――――――――
      5-1
他の場合も同様に求まる。
(説明終)


それでは最後の曲。
Dissolution of Thieves(シーフの解散)
この曲はソロチェロとソロヴァイオリン、そして弦の響きです。短めです。mp3ファイルです。聞けない場合は
http://www.geocities.jp/penpenpensama/Files/Dissolution_of_Thieves.mp3
楽譜はこちら

これらの曲については以下をご覧ください。

【More・・・】

これらの曲は僕が「シーフ四部作」として作りました。
だから、基本のメロディーは全て同じです。コード進行は違いますが。
最後の解散は、後味を悪くしてあります。何か起こりそうな予感が・・・

曲をアップしたのは、初の試みです。音量が小さかったら自分のパソコンで調整してください。
ぜひご感想をお願いします。
そういえば、これ、影さまにはいいことですね。最初の曲、バスクラソロてんこもり!

明日は金曜日。一週間の復習といきましょう。
それでは!!
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19:41  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(2)  |  EDIT  |  Top↑

*Comment

■No title

聞けぬぞ~~?
影 |  2008.04.24(木) 22:31 |  URL |  【コメント編集】

■No title

その後、解決されました。
URLを直にアドレスバーに打ち込んでみましょうね。
Pen. |  2008.04.24(木) 23:00 |  URL |  【コメント編集】

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