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2008.07.05 (Sat)

加法定理の図形的確認

かなり、幾何学的な証明(略証)となります。
しかし、かなり面白い証明でもありますので、ご覧ください。

ここで、幾何学的だ、ということは、視覚的に理解ができるということです。

面白いですよ~

それでは、下の図を参考にしながらどうぞ。
加法定理

∠C=90°、AB=1の直角三角形ABCの、内角Bを大きさαとβに分ける直線を引く。
また、∠Aから、Cに関してBと反対側に大きさαの角を作る直線を引き、先ほどの直線との交点をDとおく。
Dから、線分ACのと、線分BCの延長上に垂線を下し、その足をそれぞれE,Fとおく。
(図の通りです。)


ここで、AB=1なので、
DF= (DB/AB)× (DF/DB)
である。
DB/AB = cosβ, DF/DB = sinα
なので、
DF=cosβsinα
また、
DF=EC
なので、
EC= sinαcosβ・・・(i)

ここで、△ABCにおいて、
∠ACB=180°-(α+β+∠BAC)
また、△DABにおいて、
∠ADB=180°-(α+∠BAC+β)
よって、
∠ACB=∠ADB
∠ACB=90°なので、
∠ADB=90°

また、ここでもAB=1より、
AE= (AD/AB)× (AE/AD)
∠ADB=90°なので、
AD/AB = sinβ
また、AE/AD = cosα
よって、
AE = cosαsinβ・・・(ii)


ここで、AC= (AC/AB)   (∵AB=1)
AC/AB = sin(α+β)
なので、
AC= sin(α+β)・・・(iii)

また、AC=AE+ECなので、
これに以上(i)(ii)(iii)を代入して、

sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ


また、上と同様に考えて、
BF=cosβcosα
CF=ED=sinβsinα
また、
BC=cos(α+β)

BC=BF-CF
なので、

以上より、
cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ

(略証終)

これが、図形的に、しかも、一つの図から正弦・余弦の加法定理どちらもを同時に確認することができるのです。

すごいと思いませんか?

ちなみに、正弦の加法定理は、
△ABCを描き、∠Aをαとβに分ける線分を描いて、面積について等式を作れば、確認することができます。

やり方わかりますよね?

ご自分で、確かめてみてください。

それでは。
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