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2008.07.08 (Tue)

極座標

(cosθ+i・sinθ)n=cos(nθ)+i・sin(nθ)

さてさて、これを証明しようと思っても、もう高校課程にはないということですね・・・(数学的帰納法での証明なら高校課程でもできますが)
残念ですね。

でも、これ、結構面白いですよね。

まあ、この話は置いておきます。
名前は「ド・モアブルの公式」です。
頭の片隅にでも置いておいてください。

・・・というより、
cosθとi・sinθの項、よく見ませんか?

eθi=cosθ+i・sinθ

もそうでしたよね。


考えてみましょう。
座標平面上で、ある点の座標を表す時、どのように表しますか?
その点のx座標、y座標を調べて、
(x,y)
と表しますよね?

しかし、ほかにも表し方はありませんか?
考えてみてください。

・・・


・・・


・・・


・・・


分かりましたか?

例えば、座標平面上に、点を一つ取りました。
この点の名前をPとでもおきましょう。

原点OとPの距離が分かりますね。

この距離をrとでも置きましょう。

すると、点Pとは、
「原点Oからの距離が r の点」
となりますね。

しかし、これでは点が確定しません。

原点Oを中心とした半径 r の円周上の点すべてをさすことになります。

それでは、どのようにすればいいのでしょうか?

それは、角度を決めればよいのです。

三角関数の単位円と同じような感覚で、角度を設定しましょう。


すると、点Pは、
「原点Oからの距離が r で、角度がθの点」
となり、確定されます。

よって、点Pは、
(原点Oからの距離,角度)
というようにあらわし、

(r,θ)

と表すことができます。

このとき、点Pのx座標、y座標について、
x = rcosθ
y = rsinθ
とおけるのがお分かりでしょうか?


さあ、この通りにやってみましょう。

これを理解していただけないと、次に進めません。

しかし、今日は次には進みません。

それでは!
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