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2008.07.12 (Sat)

複素数の表し方

極座標の回の続きです。

ある点の座標が、原点からその点までの距離rと、x軸と成す角θで表せることが分かりました。

それでは、次は複素平面というものを考えましょう。

ガウス平面とも言います。

xy平面というのがありますね。そのx軸を実軸、y軸を虚軸とします。

純虚数の数直線と実数の数直線を垂直に組み合わせたイメージです。

これにより、複素数を表すことができます。

例えば、xy平面での(3,2)の位置にある点は、
3+2i
という数を表します。断わっておきますが、i は虚数単位です。

この平面を使って、複素数を違う表し方で表してみましょう。

例えば、
1+(√3)i
という複素数を考えます。

複素平面で1+(√3)i という点は、原点から2の距離にありますね。(ここでは複素数の絶対値での表し方を知っているものとしています)

すると、1+(√3)i という点は、原点を中心とした半径2の円周上にあることになります。

よって、1+(√3)i=2[(1/2)+{(√3)/2}i]

です。

あとは、角度を指定すればいいわけですが、x座標が複素数の実部、y座標が複素数の虚部となります。ここでは、1/2が実部、(√3)/2が虚部です。

よって、cosθ=1/2,sinθ=(√3)/2
です。
これより、θ=π/3ということが分かり、

1+(√3)i=2{cos(π/3)+i・sin(π/3)}
ということが分かります。

このように、複素数a+bi は、
a+bi = r(cosθ+i・sinθ)
と表すことができるのです。

分かりましたか?

今日はここまでです。

それでは。
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21:19  |  その他の数学-math  |  TB(0)  |  CM(1)  |  EDIT  |  Top↑

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せっかくテスト終わったのに…
ひなたぼっこ |  2008.07.12(土) 22:24 |  URL |  【コメント編集】

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