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2008.07.18 (Fri)

複素数(極形式)の掛け算

極座標
複素数の表し方
極形式の練習
の続きです。

さて、今度は、複素数同士の掛け算です。

まったく、難しい式にはならないのです。むしろ、美しい。

結論から言いましょう。

二つの複素数、

Z1=2{cos(π/4)+i・sin(π/4)}
Z2=3{cos(π/3)+i・sin(π/3)}

をかけ合わせてみましょう。

Z1Z2=2・3{cos(π/4 + π/3) + i・sin(π/4 + π/3)}
となり、

Z1Z2=6{cos(7π/12) + i・sin(7π/12)}

となるのです。

つまり、

Z1=r1(cosθ1+i・sinθ1)
Z2=r2(cosθ2+i・sinθ2)


のとき、

Z1Z2=r1r2{cos(θ12)+i・sin(θ12)}

となるのです。

rはその複素数の絶対値、θは偏角を表しているので、複素数同士の掛け算をする場合は、
絶対値は掛け算、偏角は足し算になるのです。

なぜそうなるかは、加法定理からすぐに分かります。

α、βを使い、掛け合わせてみましょう。

絶対値が掛け算になるのは見たらわかるので、偏角についてです。

(cosα+i・sinα)(cosβ+i・sinβ)
=cosαcosβ-sinαsinβ+i・cosαsinβ+i・sinαcosβ
よって、加法定理を使って、
(cosα+i・sinα)(cosβ+i・sinβ)
=cos(α+β)+i・sin(α+β)


となるのです。

素晴らしいですね。

極形式は、このように掛け算では恐ろしいほど威力を発揮するのです。

これで、もう
ド・モアブルの定理(一度は公式と書きましたが)
もすぐに理解できますね。
まあ、ここまでで分かるのは、nが0以上の整数のときですが。

(cosθ+i・sinθ)n=cos(nθ)+i・sin(nθ)

そのまんまですね。今の話から考えれば、とても簡単な定理ですね。

明日は、極形式を使わずに、このド・モアブルの定理を証明してみますね。

それでは。
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